极限法的应用
利用极限运算法解决生活中的例子
利用极限运算法解决生活中的例子引例两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。
当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。
设两人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？（G·波利亚称“由来已久的难题”）G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”：猜想（把问题极端化）如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。
证明（利用对称性）由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。
从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。
极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路。
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系.在很长一段时间里，许多人尝试解决微积分理论基础的问题，但都未能如愿.这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量.而人们对变量数学特有的规律还不-|·分清楚.对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解.对有限和无限的对立统一关系还不明确.人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用I 口的概念说明不了这种“零"与“非零”相互转化的辩证关系。
高中物理解题中极限思想的应用
高中物理解题中极限思想的应用ʏ佟魁星同学们在面对一些不能直接进行验证或实验的物理题目时,可以用极限思想梳理题目中的物理规律和物理意义,分析物理定律的适用条件㊂极限思想运用的要点是在分析的过程中将某个物理量可能发生的变化推到最大㊁最小或临界值,根据物理量和其他变量的合理关系分析假设是否准确,下面举例分析㊂一㊁运用极限法寻找思维突破口 图1例1 如图1所示,质量m =50k g 的直杆竖直放在水平面上,直杆和地面间的动摩擦力因数μ=0.3㊂将一根绳索一段固定在地面上,另一端拉住直杆上部,保持两者之间的夹角θ=30ʎ㊂设水平力F 作用于杆上,杆长为L ,力F 距离地面h 1=25L ,要保证杆子不滑倒,则F 的最大值为多少?(取g =10m /s2)解析:面对这样的问题,很多同学找不到解题的切入点,无从下手㊂而运用极限法能轻松地找到思维突破口㊂在分析直杆不滑倒这一条件时,应该从两方面考虑,一是直杆和地面的静摩擦力处在极限状态,二是h 和力的大小之间的关系㊂直杆的受力情况如图1所示,根据平衡条件可知,F -T s i n θ-f =0,N -T c o s θ-m g =0,F (L -h )-fL =0㊂根据以上三式可知,当水平力F 增大时,摩擦力f 也会随之增大,而当f 增大到等于最大静摩擦力时,直杆就会滑倒,此时摩擦力f m a x =μN ,解得F m a x =m g L t a n θt a n θμ(L -h )-h ㊂当t a n θμ(L -h )-h []无限接近于0,即h 0=0.66L 时,h 就无法对F 形成限制㊂当h 1=25L <h 0时,解得F m a x =382.5N ㊂二㊁运用极限法提高解题效率例2 如图2所示,某滑轮装置处于平衡状态,此时如果将A C 换成一条长绳,让C 移到C ',A B 保持竖直,滑轮仍旧处于平衡状 图2态,那么A C '绳受到的力T 和A B 杆受到的压力N 同之前相比有什么样的变化?解析:用常规解法求解这道题时,需要先考虑以点A 为分析对象,综合考虑点A 受到的A C 绳的拉力T '㊁A B 杆的支撑力N '和A D 绳的拉力T 0共三个力的作用时处于平衡状态,列出方程,求出T '和N '的大小,再运用牛顿第三定律得出T 和N 的大小,然后分析T 和N 大小之间的关系㊂不仅过程烦琐,而且计算麻烦,稍不注意还有可能出现计算错误,影响正确判断㊂而运用极限法求解,不用设立方程,只要考虑极限状态下T 和N 的大小就可以㊂设A C 绳和水平面间的夹角为θ,当θ无限趋近于0时,N =0,T =G ;当θ=90ʎ时,N 增大,T =N 也会增大㊂所以当θ减小时,T 和N 都会减小㊂三㊁运用极限法精确分析物理过程 图3例3 如图3所示,质量为m 的木块叠放在质量为m 0的木板上,两者之间的动摩擦因数为θ1,木板和地面之间的动摩擦因数为θ2,在木板上施加一个水平外力F ,当F 为多大时,可以从木块下方将木板顺利抽走?解析:运用常规法求解本题,要综合考虑木块和木板的运动状态,以及二者在运动中的状态变化㊂而运用极限法只需分析出木块㊁木板所对应的极限状态和最大加速度㊁最大静摩擦力㊂能从木块下方顺利将木板抽走的临界状态是木板和木块之间的摩擦力为最大静摩擦力f m a x ,这时两者共同运动的最大加速度a m a x =f m a x m =μ1m g m =μ1g ,由牛顿第二定律得F 0-μ㊃2(m +m 0)g =(m 0+m )a m a x ,解得F 0=(m 0+m )(μ1+μ2)g ㊂因此当F >F 0时,可以将木板从木块下顺利抽走,即F >(m 0+m )(μ1+μ2)g ㊂作者单位:辽宁省大连市第二十四中学33基础物理 尝试创新 自主招生 2020年6月。
方法28 极限分析法-高考物理选择题技法
方法28 极限分析法，合理推理，无所不及物理中体现极限思维的常见方法有极限法、微元法。
极限法是把某个物理量推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论．该方法一般适用于题干中所涉及的物理量随条件单调变化的情况．在某些物理状态变化的过程中，可以把某个物理量或物理过程推向极端，从而作出科学的推理分析，使问题化难为易，化繁为简，达到事半功倍的效果。
极限法一般适用于定性分析类选择题。
例如假设速度很大(趋近于无限大)或很小(趋近于零)、假设边长很大(趋近于无限大)或很小(趋近于零)或假设电阻很大(趋近于无限大)或很小(趋近于零)等，进行快速分析。
运用此方法要注意因变量随自变量单调变化。
例题1：（19年全国3卷）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。
t=0时，棒ab以初速度v0向右滑动。
运动过程中，ab、cd 始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。
下列图像中可能正确的是（）例题2：(2012·安徽高考)如图所示，细线的一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。
在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T和斜面的支持力为F N分别为(重力加速度为g)( )A．T＝m(g sin θ＋a cos θ)F N＝m(g cos θ－a sin θ)B．T＝m(g cos θ＋a sin θ)F N＝m(g sin θ－a cos θ)C．T＝m(a cos θ－g sin θ)F N＝m(g cos θ＋a sin θ)D．T＝m(a sin θ－g cos θ)F N＝m(g sin θ＋a cos θ)例题3：（2019年海南卷）如图，一段半圆形粗铜线固定在绝缘水平桌面（纸面）上，铜线所在空间有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。
极限状态设计法
极限状态设计法极限状态设计法是一种在工程设计中广泛应用的方法，它的目标是确保结构在极端条件下的安全性和可靠性。
本文将介绍极限状态设计法的基本原理、应用范围以及在实际工程中的重要性。
极限状态设计法是一种基于概率理论的设计方法，它考虑了结构在极端负荷情况下的破坏机制和失效概率。
通过对结构的荷载、材料性能和几何形状等因素进行全面的分析和计算，可以确定结构在设计寿命内的安全性。
极限状态设计法的应用范围非常广泛，涵盖了建筑、桥梁、航空航天、核工程等各个领域。
在建筑领域，极限状态设计法可以用于确定建筑物在地震、风灾等极端自然灾害下的安全性。
在桥梁设计中，极限状态设计法可以用于确定桥梁在超载、冰雪等极端条件下的承载能力。
在航空航天领域，极限状态设计法可以用于确定飞机在起飞、降落等关键阶段的结构安全性。
极限状态设计法在实际工程中的重要性不言而喻。
通过采用这种设计方法，可以有效地降低结构的失效风险，提高结构的安全性和可靠性。
同时，极限状态设计法还可以帮助工程师优化结构设计，减少材料和成本的浪费。
在进行极限状态设计时，需要考虑多种因素。
首先是荷载的确定，包括静态荷载、动态荷载和温度荷载等。
其次是材料的性能参数，如强度、刚度和韧性等。
此外，还需要考虑结构的几何形状和连接方式等因素。
为了实现极限状态设计的目标，工程师通常会采用一系列的分析方法和计算工具。
其中包括有限元分析、可靠性分析和统计学方法等。
通过这些方法的综合应用，可以对结构的安全性进行全面的评估和验证。
极限状态设计法是一种重要的工程设计方法，它可以确保结构在极端条件下的安全性和可靠性。
在实际工程中，合理应用极限状态设计法可以提高工程项目的质量和可持续发展能力。
因此，工程师们应该深入了解和掌握这一设计方法，并在实践中加以应用。
极限法
极限法一般用在化学的可逆反应中，即反应生成最大量或者最小量，举个例子在一密闭容器中进行反应，N2+3H2=2NH3已知反应过程中某一时刻N2 H2 NH3 的浓度分别为0.1mol\l,0.3mol\l,0.2mol\l 当反应达到平衡时，可能存在的数据是AN2为0.21mol\l H2 0.6...BN2 0.15MOL\LCN2 H2 都为0.18mol\lDNH2为0.4mol\l答B麻烦说明一下0<NH3浓度<0.4MOL/L0<N2浓度<0.2mol\l0<H2浓度<0.6mol\l用极限法假设0.1molN2和0.3mol3H2都反应完全生成0.2molNH3加上原有0.2molNH3所以NH3的浓度为0.4mol同理假设逆反应即NH3生成N2和3H2完全，根据方程式知0.2molNH3生成0.1molN20.3molH2加上原有的即N2为0.2molH2为0.6mol。
因为可逆反应不能完全反应，所以以上数据为极限，实际数据必在其之间差量法一、差量法差量法是依据化学反应前后的某些变化找出所谓的理论差量（固体质量差、溶液质量差、气体体积差、气体物质的量之差等），与反应或生成物的变化量成正比而建立的一种解题方法。
此法将“差量”看作化学方程式右端的一项，将已知差量（实际差量）与化学方程式中的对应差量（理论差量）列成比例，其他解题步骤与按化学方程式列比例或解题完全一样。
例1、向50gFeCl3溶液中放入一小块Na，待反应完全后，过滤，得到仍有棕黄色的溶液45.9g，则投入的Na的质量为A、4.6gB、4.1gC、6.9gD、9.2g[解析] Na投入到FeCl3溶液发生如下反应6Na+2FeCl3+6H2O=6NaCl+2F e(OH)3↓+3H2↑若2mol FeCl3与6molH2O反应，则生成6molNaCl，溶液质量减少82g，此时参加反应的Na为6mol；现溶液质量减少4.1g，则参加反应Na应为0.3moL，质量应为6.9g。
探讨初中物理教学中极限法的有效应用
课程教学 >>172探讨初中物理教学中极限法的有效应用胡东相贵州省贵阳市白云区实验中学摘要：在初中物理教学中应用极限法解决问题是许多教师采用的一种教学方法，它在物理教学中非常重要。
根据极限的概念，教师在解题时必须运用极限法，这样才能更好地培养学生的逻辑思维能力，从多角度解决日常生活和学习中遇到的问题，使抽象的数学问题更加直观，降低问题的难度。
总之，教师要结合学生的实际学习情况，合理运用极限法，使所有学生尽可能充分理解所学知识，从而取得显著的教学效果，达到既定的教学目标。
关键词：初中物理；极限法；有效应用；措施一、极限法简介极限法最早是在古代应用的，后来被引入到许多问题中。
从某种意义上讲，极限法就是将问题接近到边缘化，通过对边缘问题的思考来有效地解决问题。
事实上，具有逻辑思维的解题方式，主要是指在一定区域内某一个物理量呈现扩大或者缩小的趋势，并利用这种变化来总结该区域的变化，从而将所总结的规律应用到未知的问题上。
解决问题的步骤主要包括以下几点:首先，找到解决问题的关键字，假设已知的事物之一，确保未知量可以在已知事物发生变化的前提下进行分析。
其次，利用极限思想用未知量代替已知量。
此时，教师和学生可以灵活地运用所学知识解决物理问题。
初中物理教学中的极限法不是简单的算术，而是利用不规律的物理量来明确变量。
即使有些数学问题逻辑性很强，也可以通过逻辑分析得到答案。
总之，极限法由于其形象、简单、方便等显著特点，不仅能提高教学质量，而且能使问题变得简单，从而提高学生的学习兴趣，使学生积极参与物理学习。
二、极限法应用在初中物理教学中的重要性首先，它与物理学的发展有着不可分割的联系。
国外许多人不仅是物理学家，而且是数学家。
如:赫兹和牛顿，他们从数学的角度切入，探索物理问题，促进了物理学的发展。
例如，在初中物理教学中应用极限法时，开尔文引入了热力学温标，通过极限法将查理定律推到压强是零，简化了气体实验定律的表达式。
证明极限的几种方法
证明极限的几种方法一、数列极限法数列极限法是证明极限的常用方法之一。
对于数列 {an}，如果存在实数 a，使得当 n 趋向于无穷大时，数列 {an} 的每一项与 a 的差的绝对值趋近于零，即lim(n→∞)（an - a）= 0，那么我们称数列 {an} 的极限为 a。
例如，考虑数列 {1/n}，当 n 趋向于无穷大时，数列的每一项与 0 的差的绝对值趋近于零，即lim(n→∞)（1/n - 0）= 0。
因此，数列 {1/n} 的极限为 0。
二、函数极限法函数极限法是证明极限的另一种常用方法。
对于函数 f(x)，如果存在实数 a，使得当 x 趋向于某一点 x0 时，函数 f(x) 的取值趋近于 a，即lim(x→x0) f(x) = a，那么我们称函数 f(x) 在 x0 处的极限为 a。
例如，考虑函数 f(x) = 1/x，当 x 趋向于无穷大时，函数的取值趋近于 0，即lim(x→∞) 1/x = 0。
因此，函数 f(x) 在x = ∞ 处的极限为 0。
三、夹逼定理夹逼定理是一种常用的证明极限的方法，适用于一些比较复杂的函数。
夹逼定理的核心思想是找到两个函数 g(x) 和 h(x)，使得对于给定的 x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且当 x 趋向于某一点 x0 时，g(x) 和 h(x) 的极限相等，即lim(x→x0) g(x) = lim(x→x0) h(x) = a。
例如，考虑函数 f(x) = x^2sin(1/x)，我们想证明当 x 趋向于 0 时，f(x) 的极限为 0。
为了使用夹逼定理，我们可以找到两个函数g(x) = -x^2 和 h(x) = x^2，使得对于任意 x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
当 x 趋向于 0 时，g(x) 和 h(x) 的极限都为 0。
因此，根据夹逼定理，我们可以得出lim(x→0) f(x) = 0。
四、极限的代数运算法则极限的代数运算法则是一组用于计算极限的规则。
心理物理法 极限法
心理物理法是一种研究感觉和知觉之间关系的科学方法。
它的核心思想是通过测量实验对象在外部刺激下产生的感知差异，来揭示感官系统中感觉和知觉之间的关系。
极限法是心理物理法的一种重要实践方法，它可以帮助研究者确定感官系统对特定刺激的敏感性和感知界限。
极限法的核心思想是通过不断调整刺激的强度，从而确定实验对象能够准确察觉该刺激的最低和最高界限。
实验对象通常被要求在感知刺激的过程中给出可靠准确的反应，例如报告刺激的存在或不存在，或者报告刺激的强度等级。
通过记录实验对象的反应结果，可以确定出感官系统在不同条件下的感知界限。
极限法在实际应用中有广泛的应用，例如在医学领域中，它可以用来研究人类对不同感官刺激的敏感性，例如对光线、声音、触觉等刺激的感知阈值。
在心理学领域中，极限法也常常用于研究人类对不同情绪刺激的感知界限，例如对于恐惧、愤怒、喜悦等情绪的敏感性。
使用极限法进行实验需要注意一些关键的实验设计要素。
首先，确定实验对象的数量和代表性，以保证研究结果的可靠性和有效性。
其次，要针对具体研究问题设计合适的刺激材料和强度范围，以确保能够在实验中观察到感知界限的差异。
另外，实验过程中还需要严格控制实验条件，以排除其他因素对实验结果的影响。
通过极限法的实验结果，研究者可以得出一些有关感官系统的重要信息。
首先，他们可以了解到感官系统对特定刺激的感知敏感性，这有助于我们理解感觉信息在人类心理活动中的重要性。
其次，他们还可以揭示出感官系统对刺激的感知界限，这有助于我们理解感知过程中的信息处理机制。
总之，心理物理法中的极限法对于研究人类感官系统的敏感性和感知界限具有重要的意义。
它为我们揭示了感觉和知觉之间的关系，并且在心理学和医学等领域中应用广泛。
通过极限法的实验设计和数据分析，我们可以更深入地理解人类感觉和知觉的特点和规律，为相关领域的研究和实践提供有力的支持。
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极限法的应用灌云高级中学 田作东高中物理习题中常会遇到求极值的问题．一个问题是否是极值问题，往往可通过题目中“最大”、“最小”、“最高”、“最低”等表述作出判断．解决极值问题的主要方法有物理分析法和数学方法．1．物理分析法极值问题中有一类问题较为简单,可直接通过物理规律求解,例如汽车发动机的输出功率P=Fv,牵引力与速度大小成正比,牵引力最大则速度最小；另一类问题必须利用物理概念、规律分析物理现象、物理过程，寻找问题中的极值条件，才能求解出极值例１： 在光滑的水平面上有两个质量均为m 的滑块A 和B ，滑块之间用一劲度系数为K 的轻质弹簧相连，开始时两滑块均处于静止状态，如图所示。
若A 被质量为 m/4，速度为V 0的子弹水平击中并留在其中，则在A 与B 相互作用过程中，A 的动能最小为多大？分析：子弹击中A 并留在A 中的过程，子弹和A 组成的系统动量守恒，有v m 04=（m+4m）v ，所以5vv =。
此后A 向右运动，压缩弹簧过程中，A 减速而B 加速，当V A =V B 时，弹簧压缩到最大限度。
接着弹簧将恢复原长，在恢复过程中，A 继续减速而B 继续加速，当弹簧恢复到原长瞬间，A 减速停止而B 加速停止，此时A 具有最小动能。
A 和B 相互作用过程中动量守恒，有v v v B A m m m +=⋅455450根据机械能守恒定律，又有2220214521)5(4521v v v B A m m m +⋅⋅=⋅⋅ 所以 0510452002=+-v v v v A A ，解得450v v A =（另一根5v舍去），此时A 具有最小动能2023********mv m v E A K =⋅⋅=例２：如图所示，质量为m 的球用线吊在倾角为45o 的斜面体上，线与斜面平行，不计摩擦，求斜面体向右加速的加速度最大不能超过多少，球才不会离开斜面体。
分析：球在斜面上时，受力如下图所示，有例2Tsinθ+cosθ=mg,Tcosθ-Nsinθ=ma.所以，斜面体向右的加速度越大，T越大，N越小。
当N=0时，加速度越大。
TF合（A）（B）由B图可知，此时斜面体的最大加速度a m=F合/m=mgtanθ/m=gtanθ.２．利用数学知识求极值利用物理概念、规律，将物理量间的关系抽象成数学表达式，即建立物理问题的数学模型，通过求解数学模型的极值来求解物理问题的极值．(1)利用二次函数配方法或一元二次方程判别式求解例3甲、乙两车相距10m,甲车在前乙车在后，同时出发做同向的直线运动．已知甲车初速度10m/s，以加速度a=2m/s2 做匀减速运动，乙车以4m/s的速度做匀速运动，问甲车能否追得上乙车？若追不上，请求解两车之间的最小距离．分析：两车出发后t时间两车的距离为ΔＳ＝S乙＋S0-S甲＝Ｖ乙t+Ｓ0-(V甲t-at2/2)=t2-6t+10利用二次函数配方法,则ΔＳ=(t-3)2+1>0,即乙车总是在前,甲车追不上乙车.当t=3s时, ΔＳmin=1m.利用一元二次方程判别式,令ΔＳ=0,即假设追上,则有t2-6t+10=0,因为Δ=-4,所以此方程中时间t无实数解,甲车追不上乙车.然后通过对两车运动过程的分析,寻找极值条件：当两车速度相等时，两车各自的位置在哪里也可判断．请同学试着解一解看看．(2)利用三角函数知识求解例4如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=3/3，物体做匀速直线运动．求牵引力F的最小值和方向角θ．解析：物体的受力图如图．建立坐标系，有：F cosθ - μN = 0①F sinθ+N-G = 0 ②得F=μG／(cosθ+μsinθ)令tanφ=μ，则cosθ + μsinθ=21μ+cos(θ-φ)∴F=当θ=φ时，cos(θ-φ) 取极大值1，F有最小值．F min==G/2，tanφ=μ=1/3，φ=30º，∴θ=30º(3)利用“定积求和”与“定和求积”．例４例5：一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平伸直，然后无初速度的释放，从小球开始运动直到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？解析：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为： P=mg vcosα=mgvsinθ…………①小球从水平位置到图中C 位置时，机械能守恒有：221cos mv mgL =θ……………②解①②可得：θθ2sin cos 2gL mg P =令y=cosθsin2θ)sin sin cos 2(21)sin cos 2(21sin cos 222422θθθθθθθ⋅⋅===y2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又根据基本不等式abc c b a 3≥++，定和求积知： 当且仅当θθ22sin cos 2=，y 有最大值33cos cos 1cos 222=-=θθθ：得由结论：当33cos =θ时，y 及功率P 有最大值．达标测试1、某物体从静止开始沿直线运动，当停止运动时，位移为L ，若运动中加速度大小只能是a 或是零，那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？2、某中学举办了一次别开生面的“物理体育比赛”，比赛中有个项目：运动员从如图所示的A 点起跑，到MN 槽线上抱起一个实心球，然后跑到B 点．比赛时，谁用的时间最少谁胜．试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑最好？3、一条宽为L 的河流通，水流速度为u ，船在静水划行速度为v ，若v <u ，则它的航行方向如何，才能使它到达对岸时向下游行驶的距离最小？4、如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在粗糙水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，若小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大？最大值是多少?B达标2达标45、如图所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分半径为R ，在水平轨道上停着一个质量为M =0.99kg 的木块，一颗质量为m =0.01Kg 的子弹，以v 0=400m/s 的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R 多大时，平抛的水平位移是最大？且最大值为多少？6、一架升飞机，从地面上匀加速垂直飞行到高度H 的天空，如果加速度a 和每秒消耗的油量y 之间的关系是y = ka + n （k > 0，n > 0），应当选择怎样的加速度，才能使这飞机上升到高度H 时耗油量最低．7、如图所示，已知电流表内阻忽略不计，电源电动势E ＝10V ，内阻r ＝1Ω，R o ＝R ＝4Ω，其中R 为滑动变阻器的最大值．当滑动片P 从最左端滑到最右端的过程中，电流表的最小值是多少?最大值是多少?电流表的示数将怎样变化?达标测试解析：达标1解析：根据题意，只有满足如图所示的v - t 图象OAT 2所围的面积等于位移的值，才有最大速度和最短时间．从图象可知，在L 一定时，（即S ΔOAT2=S □OBCT3=L )， v A =v max >v B ， T 2=T min <T 3，所以)(121max T T a aT v -==，T 2=2 T 1，得：a v T aT v max 22max2,21==；又因为av T v L max22max 21==，所以，aL v m az =，aLT t 22min ==．达标2解析：沿ADB 路线好．达标3解析：如图所示，以水流速度矢量u 的箭头端为圆心，以船的划行速度v 的大小为半径 ，作一圆周，分析可知，船航行的可能方向都由O 指向圆上的点 ，在v <u 的情况下 ，当船航行的方向恰好与圆相切（图中OP ）时，到达对岸向下游行驶的距离最小，此时船的划行速度v 垂直于船航行方向（OP ）．达标5达标7T 1T 2 T 3tv A v B当 sin θ= v /u ，即θ=arcsin （v /u ）时船到达对岸时向下游行驶的距离最小．达标4解析：设圆弧半径为R ，当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时，速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：Rvmm g N m gR m v 22cos cos 21=-=θθ解得小球对小车的压力为：N =3mg cos θ，其水平分量为：N x =3mg sin θcos θ=θ2sin 23mg ， 根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右， 大小为：f = N x = θ2sin 23mg ，当sin2θ = 1，即θ = 45º时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：f max =mg 23．达标5解析：子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为v 1，则 mv 0＝(m +M )v 1，所以v 1=0v Mm m+= 4m/s ；设在轨道最高点平抛时物块的速度为v 2，由于轨道光滑，故机械能守恒：2221)(21)(2)(21v M m gR M m v m M +++=+ 所以v 2=)/(])(4[(21M m gR m M Mv m ++-+R 4016-=则平抛后的位移s =v 2t = 4R R 4.02+-，当R =ab2-= 0.2m 时，s max =0.8m ．达标6解析：设加速度为a ，时间为t ，则H=at 2/2，t =a H /2，总耗油Y=yt =（ka+n ）a H /2=（k a H n Ha /22+），当a = n /k 时，最低耗油量为n k H ⋅⋅22．达标7解析：设滑动变阻器滑片P 左端的电阻为R 左，通过电流表的电流为I A ，通过R o 的电流为I o ，由并联电路可知A I I 0=0R R 左 ① ，由欧姆定律得：I ＝r R E +总，即I =14410+-++=+-+左左左左并）（R R r R R R E ②，I =I 0+I A = I A）（左10+R R ③ 把③代入②式整理得I A ＝205402++-左左R R =25.2625402+--）（左R当R ＝2.5Ω时，I A 有极小值I Amin ＝=5.26401.52A ． 当求电流表的最大值时，就需考虑R 的取值范围是“有界”的．当R 左＝0时，即由④式得I A p 在a ＝2040＝2A ． 当R 左＝R ＝4Ω时，由④式得I A P 在b ＝67.120454402=+⨯+-(A)．由此可得，电流表先从2A 减小到1.52A ，然后再增加到1.67A ．所以电流表的最大值是2A ，其变化是先减小后增大．。