第六章 6.1平面向量的概念
高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 课时作业1 平面向量的概念 新人教A版必
课时作业1 平面向量的概念知识点一平面向量的概念 1.下列说法正确的是( )A ．实数可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C ．向量的模是正数D ．向量的模可以比较大小 答案 D解析 对于A ，数量可以比较大小，但向量是矢量，不能比较大小，A 错误；对于B ，向量是矢量，不能比较大小，B 错误；对于C ，零向量的模为0,0不是正数，C 错误；对于D ，向量的模长是数量，可以比较大小，故选D.2．有下列说法： ①位移和速度都是向量；②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③零向量没有方向； ④向量就是有向线段． 其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 对于①，位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向，其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误.知识点二向量的几何表示3.在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上，点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA →，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上，点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．4．某船从A 点出发向西航行了150 km 到达点B ，然后改变方向向北偏西30°方向航行了200 km 到达点C ，最后又改变方向向东航行了150 km 到达点D .作出向量AB →，BC →，CD →.解 作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．知识点三相等向量与共线向量 5.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则向量a 与b 的长度相等且方向相同或相反；②对于任意非零向量a ，b ，若|a |＝|b |且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； ③非零向量a 与非零向量b 满足a ∥b ，则向量a 与b 方向相同或相反； ④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ⑤若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c . 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 若|a |＝|b |，则向量a 与b 的长度相等而方向可以任意，故①不正确；根据相等向量的定义可知②正确；根据共线向量的定义可知③正确；向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线或AB ∥CD ，故④不正确；若b ＝0，则a 与c 不一定共线，故⑤不正确．综上可知只有②③正确，故选C.6．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →，AE →相等的向量； (2)写出与AD →的模相等的向量．解 (1)与AF →相等的向量为BE →，CD →，与AE →相等的向量为BD →. (2)与AD →的模相等的向量为DA →，CF →，FC →.7. 如图，在△ABC 中，三边长AB ，BC ，AC 均不相等，E ，F ，D 分别是边AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．解 (1)∵E ，F 分别为边AC ，AB 的中点， ∴EF ∥BC .从而与EF →共线的向量包括：FE →，DB →，BD →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)∵E ，F ，D 分别是边AC ，AB ，BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.8．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是边AD ，BC 上的点，且→＝MA →.求证：DN →＝MB →. 证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →. 同理可证，四边形AM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同， ∴DN →＝MB →.一、选择题1．下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →就是AB →所在的直线与CD →所在的直线平行或重合 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段D ．共线向量是在一条直线上的向量 答案 C解析 由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故C 正确．2．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对 答案 C解析 由向量不能比较大小，可知选C. 3．下列说法正确的是( ) A ．有向线段AB →与BA →表示同一向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量 C ．零向量与单位向量是平行向量 D ．对任一向量a ，a|a |是一个单位向量答案 C解析 向量AB →与BA →方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当a ＝0时，a|a |无意义，故A ，B ，D 错误．零向量与任何向量都是平行向量，C 正确．4．下列结论中，正确的是( )A ．2019 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度已选定，则l 上有且仅有两个点A ，B ，使得OA →，OB →是单位向量C ．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D ．一个人从A 点向东走500米到达B 点，则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移 答案 B解析 一个单位长度取作2019 cm 时，2019 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；B 正确；C 中两向量为平行向量；D 中的AB →表示从点A 到点B 的位移．5．O 是△ABC 内一点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的( ) A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心 答案 C解析 ∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，∴O 到三角形三个顶点的距离相等，∴点O 是△ABC 的外心，故选C.二、填空题6．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．答案532解析 结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是边AD 与BC 的中点，则在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．答案 BA →，CD →解析 由题意得AB ∥EF ，CD ∥EF ，∴在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.8．如图，在△ABC 中，∠ACB 的角平分线CD 交AB 于点D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为________．答案 32解析 由三角形内角平分线的性质，得|AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|，故|DB →|＝32.三、解答题9．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a 平行，且长度相等，如图所示． (2)满足条件的向量c 可以是图中的CD →.所有这样的向量c 的终点的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆，如图．10．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地西南方向飞行1000 2 km到达丁地，问丁地在甲的什么方向？丁地距甲地多远？解如图，用A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知△ABC为正三角形．∴AC＝2000.又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 2.∴△ACD为等腰直角三角形．即AD＝10002，∠CAD＝45°.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000 2 km.。
2025年高考数学一轮复习-6.1-平面向量的概念及其线性运算【课件】
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难
6.1平面向量的概念
(1)O→A ，使|O→A|＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°；
(2)A→B，使|A→B|＝4，点 B 在点 A 正东； (3)B→C，使|B→C|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°.
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解析 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|O→A|＝4 2，小 方格边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数 都为 4，于是点 A 的位置可以确定，画出向量O→A如图所示．
解析 (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有O→D，B→C，A→O， F→E.
(2)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A， A→D.
(3)与 a 相等的向量有E→F，D→O，C→B；与 b 相等的向量有D→C， E→O，F→A；与 c 相等的向量有F→O，E→D，A→B.
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【例题 3】 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且O→A ＝a，O→B＝b，O→C＝c.
(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与 a 共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与 a，b，c 相等的向量． 思维导引：根据共线向量和相等向量的概念进行判断．
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【变式 1】 (1)下列各项中是向量的为( )
A．时间
B．加速度
C．面积
D．长度
(2)(多选)下列命题中，错误的是( )
A．若|a|＜|b|，则 a＜b
B．长度相等的向量都相等
C．共线的单位向量可能相等
D．若 a∥b，b∥c，则 a∥c
高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册
6。
1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。
例1。
在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。
相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。
通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。
相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。
6.1 平面向量的概念 (精讲)(原卷版)
6.1平面向量的概念 (精讲）6.1.1向量的实际背景与概念6.1.2向量的几何表示6.1.3相等向量与共线向量目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1：向量的有关概念题型2：向量的几何表示角度1：向量的模角度2：零向量与单位向量题型3：相等向量与共线向量角度1：相等向量角度2：平行向量（共线向量）一、必备知识分层透析知识点1：向量的概念（1）向量在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.②向量与向量之间不能比较大小.（2）数量只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等（3）向量与数量的区别①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).知识点2：向量的几何表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、B为终AB. 表点的有向线段记作AB(如图所示),线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作||示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.（2）向量的表示①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.②字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示（3）向量的模AB.向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模),记作||（4）两种特殊的向量零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.与0的区别与联系,0是一个向量|0|；书写时0表示零向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a 与b 平行,记作a b .规定:零向量与任意即对于任意向量a ,都有0a .长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a 与b 相等,记作a b =.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量与有向线段的起点无关.）共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合·高一课时练习）下列四个命题正确的是（ ）．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量．两个相等的向量起点、方向、长度必须都．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是||||a b =，则a b =．若a b =，则||||a b = ||||a b >，则a b > ||0a =，则0a = ．（2022·全国·高一假期作业）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b |=|，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形；m n =，n k =，则m k =；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ； ⑥有向线段就是向．（2022·高一课时练习）下列说法正确的是（．向量AB与向量BA的长度相等例题2．（BD=________.例题3．（·全国·高一专题练习）若在一个边长为的正三角形所对应的有向线段为AD（其中则向量AD的模的最小值为高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行机飞行的路程为s，位移为a，那么（a aa a不能比大小2022·高一课时练习）已知在边长为ABCD中，∠，则BD=2022·高一课时练习）已知圆O的周长是，AB是圆O的直径，是圆周上一点，π=⊥CD=___________.,CD角度2：零向量与单位向量典型例题．向量就是有向线段>，则a b||||a b>．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（e=．单位向量均相等．单位向量1．零向量与任意向量平行．若向量a，b满足||||a b=，则a b=±．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）下列说法错误的是（．若0a =，则0a =．零向量是没有方向的 ．（多选）（2022春·广东佛山向量的说法正确的是（ ）．单位向量：模为1的向量例题1．（2022春·广东揭阳·中，AB DC =，则下列向量相等的是（．AD 与CB．OC 与OA ．AC 与DB D ．DO OB =例题2．（2022·全国·高三专题练习）“a b =”是“||||a b =”的（ ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件例题3．（多选）（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）||||a b =，则a b = B ．若a b ≠，则||||a b ≠||||a b =，则a 与b 可能共线||||a b ≠，则a 一定不与b 共线(1)分别写出与AO 、BO 相等的向量；写出与AO 共线的向量；写出与AO 的模相等的向量；写出与AO 的夹角为90︒的向量；向量AO 与CO 是否相等？（多选）（2022秋·浙江嘉兴若非零向量a ，b ，下列命题正确的是．若a b =，则a b =．若a b =，则a b = ．若//a b ，则a b = ．若a b =，则//a b．（多选）（2022秋·山东菏泽高一统考期中）设点O 是平行四边形ABCD 点，则下列结论正确的是（ ）．AO OC = B ．AO BO = ．AO BO = D ．AB 与CD 共线 ．（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 中点.(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =.4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =．角度2：平行向量（共线向量）典型例题例题1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知,,,A B C D 为平面上四点，则“向量AB CD ∥”是“直线AB CD ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例题2．（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．3同类题型演练1．（2022秋·湖北·高一校联考期中）“//b a ”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）命题：若//,//a b b c ，则//a c ，则命题为_______（填写：真命题或假命题）3．（2022·高一课时练习）已知命题“若//a b ，//b c ，则//a c ”是假命题，则b =__________.。
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
新教材人教版高中数学必修第二册 知识点梳理
高中数学 必修2 第六章平面向量设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心. （2）为的重心.（3）为的垂心. （4）为的内心.【6.1】平面向量的概念1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移） （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示：2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a ，b 平行，记作a ∥b ，规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a ，b 相等，记作a ＝b【6.2】平面向量的运算1、向量的加法（1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示几何意义三角形法则使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC⃗⃗⃗⃗⃗ 平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （OC 是▱OACB 的对角线）就是向量a 与b 的和（3）规定：对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a .（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形ABC ∆,,A B C ,,a b c O ABC ∆222OA OB OC ⇔==O ABC ∆0OA OB OC ⇔++=O ABC ∆OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅O ABC ∆0aOA bOB cOC ⇔++=法则的物理模型.（5）一般地我们有|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 2、向量的减法（1）相反向量（利用相反向量的定义，－AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量性质：①对于相反向量有：a ＋（－a ）＝0；②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0；③零向量的相反向量仍是零向量（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.a －b ＝a ＋（－b ），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.几何意义：a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）（1）定义：规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa ，它的长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa ＝0；由①②知，（－1）a ＝－a .（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa ）＝（λμ）a ；②（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；③λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ；特别地，有（－λ）a ＝－（λa ）＝λ（－a ）；λ（a －b ）＝λa －λb .（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a ±μ2b ）＝λμ1 a ±λμ2 b .（4）共线向量定理：向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 4、向量的数量积（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为[0，π2]（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则∠a O b ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角. 当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 （4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（5）投影：如图，设a ，b 是两个非零向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，我们考虑如下变换：过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点a 和终点b ，分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.（6）向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则①a ·e ＝e ·a ＝|a |cosθ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0③当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝√a ·a .在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a ·b |≤|a |·|b |.（7）运算律：①a ·b ＝b ·a ；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （8）运算性质：类比多项式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量） 条件：e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量结论：对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2 基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2、平面向量的坐标表示（1）基底：在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.（2）坐标：对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标. （3）坐标表示：a ＝（x ，y ）.（4）特殊向量的坐标：i ＝（1，0），j ＝（0，1），0＝（0，0）. （5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆） 设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），λ∈R ，则有下表：设向量a ＝（x ，y ），则有λa ＝（λx ，λy ），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（7）平面向量共线的坐标表示：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），其中b ≠0.向量a ，b （b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0.（8）中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P 的坐标为（x ，y ），则x =x 1+x 22y =y 1+y 22.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式.（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a ·b ＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a ⊥b ⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a ＝（x ，y ），则|a |＝√x 2+y 2.②两点间的距离公式：若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.③向量的夹角公式：设两非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ，则θ=a ·b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 12＋y 12√x 22＋y 22【6.4】平面向量的应用1、平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 2、向量在物理中的应用举例（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F ·s ＝|F ||s |cosθ（θ为F 和s 的夹角）.动量m ν实际上是数乘向量. 3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推论（SAS 、SSS 、SSA ）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：；；.在△ABC 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （3）正弦定理的表示（AAS 、SSA ）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. 符号语言：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则2sin sin sin a b cR C===A B （R 为△ABC 的外接圆的半径）（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式 设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，正弦定理有如下变形： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； （5）三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． （6）相关术语①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+-2222cos c a b ab C =+-角，如图所示.②方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图1所示）.③方位角的其他表示——方向角正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图2所示）.（7）解三角形应用题解题思路：基本步骤：运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.第七章复数【7.1】复数的概念1、数系的扩充和复数的概念（1）复数的定义：形如a ＋bi （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C ＝{a ＋bi |a ，b ∈R }叫做复数集.（2）复数通常用字母z 表示，代数形式为z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.（3）复数相等：在复数集C ＝{a ＋bi |a ，b ∈R }中任取两个数a ＋bi ，c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ），我们规定：a ＋bi 与c ＋di 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d . （4）复数的分类①对于复数a ＋bi （a ，b ∈R ），当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）可以分类如下：复数{实数（b ＝0）虚数（b ≠0）（当a ＝0时为纯虚数），②集合表示：2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）（2）复数的几何意义①复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 复平面内的点z （a ，b ）. ②复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ . （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）.（4）复数的模①定义：向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）的模或绝对值. 12||d z z =-=111z x y i =+222z x y i =+②记法：复数z ＝a ＋bi 的模记为|z |或|a ＋bi |. ③公式：|z |＝|a ＋bi |＝√a 2+b 2（a ，b ∈R ）.如果b ＝0，那么z ＝a ＋bi 是一个实数，它的模就等于|a |（a 的绝对值）.（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z̅表示，即如果z ＝a ＋bi ，那么z̅＝a －bi .（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
_新教材高中数学第六章平面向量初步
方法归纳
用有向线段表示向量的步骤
跟踪训练2 在如图的方格纸中，画出下列向量． (1)|OA|＝3，点A在点O的正西方向； (2)|OB|＝3 2，点B在点O北偏西45°方向； (3)求出|AB|的值．
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向， 最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据 直角三角形的知识确定出向量的方向或长度，选择合适的 比例关系作出向量．
①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；
②若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
③若a∥b且b∥c，则a∥c；
④若a＝b，则2a>b.其中正确的命个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】 B
【解析】 ①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相 等向量的知识可知①是正确的．②，若a∥b，则可能b为零向量，方向任意，所 以②错误．
向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示
同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定． 3．共线向量与平行向量 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
基础自测 1.(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是( )
A．也可以用MN表示 C．起点是M
答案：ABC 解析：终点是N而不是M.
B．方向是由M指向N D．终点是M
2．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线
段表示的向量是( )
A．DA和BC
B．DC和AB
C．DC和BC
D．DC和DA
答案：B 解析：易知AB＝DC.
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2 题型探究
PART TWO
一、向量的概念
例1 (多选)下列说法错误的有
A.向量
→ AB
与向量
→ BA
的长度相等
√B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 √C.零向量都是相等的 √D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定 相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B， C，D都错误，A正确.
思考 (1)平行向量是否一定方向相同？ 答案 不一定； (2)不相等的向量是否一定不平行？ 答案 不一定； (3)与任意向量都平行的向量是什么向量？ 答案 零向量； (4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ 答案 平行(共线)向量.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
第六章 平面向量及其应用
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量 的区别.
2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等
概念，会辨识图形中这些相关的概念.
3.模、零向量、单位向量
向量A→B的大小，称为向量A→B的长度(或称模)，记作
→ |AB|
.长度为
0
的向量叫做零
向量，记作 0 ；长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量.
思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？ 答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和 方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个 要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
(3)写出与
→ EF
相等的向量.
解 与E→F相等的向量有D→B，C→D.
反思 感悟
知识点三 相等向量与共线向量
1.平行向量：方向 相同或相反 的 非零 向量叫做平行向量. (1)记法：向量a与b平行，记作 a∥b . (2)规定：零向量与任意向量 平行 . 2.相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫 做 共线 向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共 线相混淆.
内容索引
NEI RONG SUO YIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 向量的概念
1.向量：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量. 2.数量：只有 大小 没有 方向 的量称为数量.
知识点二 向量的几何表示
1.有向线段 具有 方向 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 起点 、 方向 、 长度 ， 如图所示.
反思 感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意 方向问题.
跟踪训练1 下列说法中正确的是 A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关
√D.向量的模可以比较大小
解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确； 向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作A→B，线段 AB 的长度叫做有向线段A→B的长度 →
记作 |AB| .
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向
线段的方向表示向量的方向.
(2) 字 母 表 示 ： 向 量 可 以 用 字 母 a ， b ， c ， … 表 示 ( 印 刷 用 黑 体 a ， b ， c ， 书 写 时 用→a ，→b ，→c ).
反 感悟
作向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后 根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a； 解 根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，且长度相等(作图略).
1.如果 |A→B|>|C→D|，那么A→B>C→D .( × )
提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.( × )
提示 a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b的方向可能不同.
3.力、速度和质量都是向量.( × )
提示 质量不是向量.
4.零向量的大小为0，没有方向.( × )
二、向量的几何表示及应用
例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北 50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量A→B，B→C，C→D；
解 向量A→B，B→C，C→D如图所示.
(2)求|A→D|.
解 由题意，可知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线， ∵|A→B|＝|C→D|， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴A→D＝B→C，∴|A→D|＝|B→C|＝200 km.
共线的向量；
解 因为E，F分别是AC，AB的中点，所以 EF∥BC，EF＝12BC. 又因为D是BC的中点， 所以与E→F共线的向量有F→E，B→D，D→B，D→C，C→D，B→C，C→B.
(2)写出模与
→ EF
的模相等的向量；
解 模与E→F的模相等的向量有F→E，B→D，D→B，D→C，C→D.
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ 5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解 由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为 5 的 圆(作图略).
三、相等向量与共线向量
例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与
→ EF