环流定理与涡度方程课堂
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第5章涡度方程和散度方程
v u x y
Vh
s
Vh n
Vh Vh
rs
n
曲率涡度 切变涡度 12
规定在北半球：取气旋式曲率为正，反气旋式曲率为负。
曲率涡度和切变涡度的含义： 1）曲率涡度：与流线的弯曲形状有关。
c
Vh rs
气旋式弯曲：rs>0, 则
Vh rs
0；
反气旋弯曲：rs<0, 则
单位压容（力）管
上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的 力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。
力管项的物理意义除了代表L所围成的力管总数（代数
和）外，从力的环流看，力管项还可表示为气压梯度力环
流：
N Lp r
当曲线上的气压梯度力与路径 走向相同，则环流加强，反之 减弱。
7
大气的斜压性是力管项存在的必要条件，也是产生环流 加速度的因素，而大气的斜压性是由大气中非均匀加热所 产生。这一过程可以用来解释海陆风环流和山谷风环流等 的形成。下面以海陆风为例来说明直接热力环流的产生过 程。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
dC ?
dt
绝对速度和相对速度的关系为：
Va
x y z x z y
1
2
(
x
p y
y
p ) x
u
f x
v
f y
而
f (2 sin ) 2 cos
y
a
a
则涡度方程变为：
t
Vh h
w
z
v (
f ) Vh
涡度方程和散度方程
《动力气象学》
第五章 环流定理·涡度方程与散度方程
涡旋运动 涡度
涡度方程
位势运动 散度
散度方程
大气原始方程组 的变形方程
2
§5.1 环流定理
1、速度环流：指速度场中某一有向闭合曲线上的速度切向
分量沿该闭合曲线的线积分。
Ca L Va dr
绝对环流随时间的变化率称为绝对 环流的加速度。在实际问题中，我们 更感兴趣的是绝对环流随时间的变化及 造成环流随时间变化的物理过程和因子。为此，首先要导出 绝对环流定理。
(5.1)式等号右边第2项为零，因为：
L a r La 0
可得绝对环流定理
daCa dCa
p r
dt dt
L
力管项
绝对环流的加速度等于 封闭曲线L所包含的力管
若力管项为零，则绝对环流守恒
dCa 0 dt
5
2、力管项存在的条件及其物理意义
利用Stokes公式，有：
N Lp r (p)ds
方向环流增强。
10
§5.2 涡度方程
1 自然坐标系中的铅直涡度分量
绝对速度：
Va V r
绝对涡度：
Va
V
( 又r)：
( r ) 2
故：
a 2
相对涡度：
V
i
j
k
i
w
v
y z
j
u
w
z x
k
v
u
Байду номын сангаас
x y
11
相对涡度的物理意义在自然坐标系中可反映得更加清楚
直观，为此将铅直涡度分量 转换为自然坐标的表达形式。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
第五章 环流定理·涡度方程与散度方程
涡旋运动 涡度
涡度方程
位势运动 散度
散度方程
大气原始方程组 的变形方程
2
§5.1 环流定理
1、速度环流：指速度场中某一有向闭合曲线上的速度切向
分量沿该闭合曲线的线积分。
Ca L Va dr
绝对环流随时间的变化率称为绝对 环流的加速度。在实际问题中，我们 更感兴趣的是绝对环流随时间的变化及 造成环流随时间变化的物理过程和因子。为此，首先要导出 绝对环流定理。
(5.1)式等号右边第2项为零，因为：
L a r La 0
可得绝对环流定理
daCa dCa
p r
dt dt
L
力管项
绝对环流的加速度等于 封闭曲线L所包含的力管
若力管项为零，则绝对环流守恒
dCa 0 dt
5
2、力管项存在的条件及其物理意义
利用Stokes公式，有：
N Lp r (p)ds
方向环流增强。
10
§5.2 涡度方程
1 自然坐标系中的铅直涡度分量
绝对速度：
Va V r
绝对涡度：
Va
V
( 又r)：
( r ) 2
故：
a 2
相对涡度：
V
i
j
k
i
w
v
y z
j
u
w
z x
k
v
u
Байду номын сангаас
x y
11
相对涡度的物理意义在自然坐标系中可反映得更加清楚
直观，为此将铅直涡度分量 转换为自然坐标的表达形式。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
2019年动力气象学第四章.ppt
0
位涡守恒
4．大尺度大气运动 且是均质大气－－热力作用？
k
Const
d dt
(
1
a
ln
)
0
d dt
(
a
z
ln
)
0
5．位涡守恒的应用 气柱爬越高原：
d ln 2 0
dt
d ln 1 0
dt
ln ln 1 ln 2 d ( a ) 0
df
v
(
w
w )
dy
x y
(p x
y
p y
x
)
F
Z
v u
x y
① ( f ) V
f V
散度项
＝v u V 105 s 1 f 104 s 1
x y L
2）物质环线是闭合的，“环流” 表示流体随闭合环线运动的趋势， 描述了涡旋的强度。 是积分量。
3．“涡度”的定义
V
速度的旋度
1）刚体的运动形式有：平动，转动； 流体的运动形式有：平动，转动和形变， 涡度表示的是流体涡旋运动的强度。
2）“涡度”是欧拉观点下的，是微
分量。
3）可证：
2
（涡度＝2倍角速度）。
例：地球在垂直向的牵连涡度为：
f 2sin
（二）大尺度大气涡旋运动 1．大涡尺度度大主气要运是动在是垂准直水方平向运上动，，即所：以
k
2．绝对涡度 ＝相对涡度＋牵连涡度：
环流定理,涡度方程和散度方程
Ca C Ce C Ca Ce 绝对环流=相对环流+牵连环流：
故相对环流定理形如：
dCa dC dCa dCe ——（*） ，其中， dt 刚已讨论，那么 dt dt dt
Ce
？
○L A dr A d ，有： 由曲线-曲面积分转换（Stokes ）定理：
N区上升，L区下沉，近地面北风，高空南风。实际上引入地转效应后， 不应是单圈环流，而是三圈环流。这就是Hadley 等环流。 当然也可用其解释一些局地风，如海陆风，山谷风等。
RT p0
总之：斜压作用是大气运动中的一个重要因子。
6
§6.2 相对环流定理
已知，绝对速度为相对速度与牵连速度之矢量和：V V r a 两端对环线L积分： ○ LVa dr ○ LV dr ○ L ( r ) dr ，可见：
算子只对Ω运算，故 可互换，且省写下标
( r ) 2 ，代之入牵连环流的表达式（6.12），有：
Ce 2 d 2 d 2 ——（6.14）
~ 在赤道面上的投影，即其法线方向与 一致。 其中，
8
（6.14）代回到（*），有相对环流定理（Bjerknes环流定理）：
由于大中尺度运动是准水平的，故水平运动引起的垂直涡度较重要，
●
故有时又称
●
v u 为涡度 ， x y
v u ) 2 sin f x y
Ωsinφ Ω j Ω
φ
k
而绝对涡度～
a
(
——（6.27）
φ Ωcosφ
பைடு நூலகம்11
§6.4 绝对涡度矢量方程，Taylor-Proudman定理
环流与涡度
u V sin a r sin a y v V cos a r cos a x
v u 2
x y
可见垂直涡度等于相应角速度的两倍。
注意：这个结论对于固体是成立的。对于流体，由于整体角速 度不一样，故此处角速度是指面元无限趋于中心的极限值。
4
4.1 涡度
地转涡度
地球自转产生的涡度叫做地转涡度，在北半球纬 度为φ处，因地球自转得到在垂直方向上的角速度 为ωz=Ωsin φ ，与其对应的垂直方向上的涡度为
现在考察一下静止空气时的情况 若空气相对于地球是静止的，且无加速度，运动方程为
p 0, p 0, p g
x y z
因而此时ρ＝ρ(P) (∵ P=P (z) ) 即静止时空气大气状态是正压的。
如果空气相对地面有运动，大气的状态一般是斜压的，虽然在局 部地区、在短时间内可以有正压状态出现。一般来说，如果在起始时刻 是正压的，受扰动后，并不能继续维持正压状态。如果正压状态能继续 维持，则称这种大气为“自动正压”大气。例如，等温面和等压面平行， 并且温度的直减率等于干绝热率，那么在干绝热运动过程中，这种大气 便是自动正压的。
sr
Vh s
sr
srVsrhsssr
nr
nr
n
Vh
sr
Vh n
sr
nr
Vh
sr n
将
sr
s
sr
1 Rs 1
nr nr
代入上式，有
Vh Vh Rs n
n Rn
这就是自然坐标系中的垂直涡度表达形式。
8
4.1 涡度
槽线、脊线处以及气旋 和反气旋中心附近
垂直涡度表达形式 Vh Vh
aa
f1
a f
v u 2
x y
可见垂直涡度等于相应角速度的两倍。
注意：这个结论对于固体是成立的。对于流体，由于整体角速 度不一样，故此处角速度是指面元无限趋于中心的极限值。
4
4.1 涡度
地转涡度
地球自转产生的涡度叫做地转涡度，在北半球纬 度为φ处，因地球自转得到在垂直方向上的角速度 为ωz=Ωsin φ ，与其对应的垂直方向上的涡度为
现在考察一下静止空气时的情况 若空气相对于地球是静止的，且无加速度，运动方程为
p 0, p 0, p g
x y z
因而此时ρ＝ρ(P) (∵ P=P (z) ) 即静止时空气大气状态是正压的。
如果空气相对地面有运动，大气的状态一般是斜压的，虽然在局 部地区、在短时间内可以有正压状态出现。一般来说，如果在起始时刻 是正压的，受扰动后，并不能继续维持正压状态。如果正压状态能继续 维持，则称这种大气为“自动正压”大气。例如，等温面和等压面平行， 并且温度的直减率等于干绝热率，那么在干绝热运动过程中，这种大气 便是自动正压的。
sr
Vh s
sr
srVsrhsssr
nr
nr
n
Vh
sr
Vh n
sr
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Vh
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将
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s
sr
1 Rs 1
nr nr
代入上式，有
Vh Vh Rs n
n Rn
这就是自然坐标系中的垂直涡度表达形式。
8
4.1 涡度
槽线、脊线处以及气旋 和反气旋中心附近
垂直涡度表达形式 Vh Vh
aa
f1
a f
流体力学第五章涡旋动力学基础PPT优选
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约 束关系。而实际上，流体运动中必定出现环流的不 守恒（变化）现象，也即环流的产生和起源，这才 是更普遍条件下的环流变化情况。
方程各项取旋度（ ）：
（2）、（5）、（6）=0（任意物理量的梯度取旋度为零）
（3） V
V V V V V
V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
（1）（2） （3）（4）（5） （6） （7）
（4） 1 p 1 p12 p
时间变化，这就是凯尔文定理。 作用使涡度重新分布，但不改变整体结果；
凯尔文(Kelvin)环流定理 对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程： 因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律及其物理原因是十分必要的。 流场的非均匀性，引起涡度的重新分布。 二、速度环流的起源—涡度的产生 等压面、等密度面、等温面重合（平行） （仅受质量力和压力梯度力）； 二、速度环流的起源—涡度的产生 考虑流点有散度（有相对体积变化），则辐散使涡度减小，辐合使涡度增大 流体力学第五章涡旋动力学基础 以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约束关系。 若作理想流体假设，且质量力为有势力，则环流定理变为：
它表明了压力—密度变化可以引起流体涡度矢的变化，其物理实质是流体的斜压性。
流体涡度
<0，流体有逆 运动的趋势，（顺时针为负方向，对应反气旋环流）。
皮叶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简单解释
动力气象学第4章环流定理、涡度方程和散度方程
1
的正方形 ABCD 边界的逆时针环流位多大？ABCD 中平均相对涡度是为多大？沿边界位 1000km 的任意正方向边界 A ' B ' C ' D ' 的逆时针环流又是多大？ 解：沿正方形 ABCD 的边 BC 的风速为 u BC ，由题中条件知 DA
10 100 ( u BC 20 ) m / s 500 由于沿 CD、 AB 的切向速度为零， 所以围绕正方形 ABCD 的先对环 流为
57
常值）对局地铅直轴的绝对角动量守恒。
图 4.2 解：绕地轴和局地轴绝对角动量为 M r cos ( u r cos ), M r ( v 1 fr ) 2 正压大气中，绝对环流守恒，即 C 2A 常数。 （1）西风环流 u 常数 , v 0 , w 0 则C
y N y ( z N z ( x N x (
所以
p p ) z z y p p ) x x z p p ) y y x
（2）若大气满足静力平衡条件 p g z 又满足准地转关系， 1 p f V g k 0
L
N d
N 3 ( 3 p ) 3 3 p
定义为力管（或斜压）矢量。试 （1）写出 N 在 i 、 j 、 k 方向的分量 N x 、 N y 、 N z ； （2）证明，若大气满足静力平衡和地转风条件，则有
u g N x N i f z v g N y N j f z f f 2 V g (V g )k N z N k V g 2T T g z 解： （1）由 N 3 3 p ( i j k ) ( p i p j p k ) x y z x y z
的正方形 ABCD 边界的逆时针环流位多大？ABCD 中平均相对涡度是为多大？沿边界位 1000km 的任意正方向边界 A ' B ' C ' D ' 的逆时针环流又是多大？ 解：沿正方形 ABCD 的边 BC 的风速为 u BC ，由题中条件知 DA
10 100 ( u BC 20 ) m / s 500 由于沿 CD、 AB 的切向速度为零， 所以围绕正方形 ABCD 的先对环 流为
57
常值）对局地铅直轴的绝对角动量守恒。
图 4.2 解：绕地轴和局地轴绝对角动量为 M r cos ( u r cos ), M r ( v 1 fr ) 2 正压大气中，绝对环流守恒，即 C 2A 常数。 （1）西风环流 u 常数 , v 0 , w 0 则C
y N y ( z N z ( x N x (
所以
p p ) z z y p p ) x x z p p ) y y x
（2）若大气满足静力平衡条件 p g z 又满足准地转关系， 1 p f V g k 0
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N d
N 3 ( 3 p ) 3 3 p
定义为力管（或斜压）矢量。试 （1）写出 N 在 i 、 j 、 k 方向的分量 N x 、 N y 、 N z ； （2）证明，若大气满足静力平衡和地转风条件，则有
u g N x N i f z v g N y N j f z f f 2 V g (V g )k N z N k V g 2T T g z 解： （1）由 N 3 3 p ( i j k ) ( p i p j p k ) x y z x y z
环流定理和涡度方程
dr d 0 13pdrdpdp
daCa dp
dt
3 p dr A3 (3 p)ndA A3 3 pndA A3 3 pndA A3 3 pndA
1）“任取定”——拉格朗日观点：任意选取一物质 环线，此环线上的质点是确定的，环线的形状位置是 变化。
2）物质环线是闭合的，“环流” 表示流体随闭合环 线运动的趋势，描述了涡旋的强度。 是积分量。
• 环线方向有正负之分，沿环线走，积分区域在左 侧，则为正方向。
• 单联通区域：以逆时针方向为正 环流大于0，称为气旋式环流； 环流小于0，称为反气旋式环流。
地，高层风由陆地吹向海洋。
相对环流定理
绝对环流等于相对环流与牵连环流之和。
牵连环流
C 323 e v (( v n v ( d Arvr )) r nv) d Ad r 3 r A ( 3 ( 3 ) r r ) 2 n dA
大气涡旋运动
大气运动具有明显的涡旋运动特征。如龙卷、台 风、气旋、反气旋等。
（一）环流、涡度 1．对涡旋系统强度进行度量的物理量有 ：
环流 涡度
2.“环流”的定义：
任取定一有向物质环线
l
，定义：
（速度沿 l 的线积分），为环流。
C V dl |V | cosdl
3 2
P-2
P
1
冷
P-1
暖
P0
解释白天海陆风的形成
• 白天，低层由海洋吹向陆地 • 晚上，低层由陆地吹向海洋 • 白天，陆地升温快，陆地温度高于海洋，根据静
力平衡方程，等压面向冷区倾斜； 同一等压面上高温处比容大，低温比容小，等比容 面向暖区倾斜。 转向为逆时针，环流为正，形成气旋式环流。所以 热空气上升，冷空气下沉，低层风由海洋吹向陆
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.
15
1）刚体的运动形式有：平动，转动；流体的运动形式有：平动，转动 和形变，涡度表示的是流体涡旋运动的强度。
2）“涡度”是欧拉观点下的，是微分量。
3）可证：
?
?
?
2??
（涡度＝2倍角速度）。
例：地球在垂直向的牵连涡度为：
f ? 2? sin ?
.
16
.
17
?
?
.
18
环流与涡度的比较
对涡旋系统强度进行度量的物理量有 ： 环流与涡度 1）“环流” — 拉氏观点：任意选取一物质环线，此环 线上的质点是确定的，环线的形状位置是变化。
?
A
3?
??
3 pn?dA?
?
A
?
3
?
?
3
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?
A
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? 3 pndA
上 和式实右际端环称线为 的力 方管 向项 相。 同若 时，?力?管3 p项为转正向，? ?反3之? 为的负方。向
对于正压大气而言，等压面和等容面重合，压容管 项为零。
.
7
力管项：
?? ? ?? P
正压流体： 等压面平行于等容面，力管项为0 斜压流体： 等压面与等容面相交，力管项不为 0
? 2? dAsin ?
? 2 ? d Ae
dAe 为环线在赤道平面上的投影面积
.
13
C ? Ca ? Ce ? Ca ? 2? Ae 力管项
惯性项：地球旋转
? ? dC
dt
?
?
?
dp
?
? 2?
dAe dt
对相对环流的作用
C2 ? C1 ? ? 2? ( A2 sin 2 ? A1 sin 1)
相对环流的变化取
地，高层风由陆地吹向海洋 。
.
10
.
11
.
12
相对环流定理
绝对环流等于相对环流与牵连环流之和。
牵连环流
???C323e???v?((??v??n?v(d????Arvr??))?r??nv)d???Ad?r?
3??r?? ??A
? ?3 (?
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.
20
.
21
3．大尺度运动是准水平无辐散运动的特点， －－准涡旋运动。
标征涡旋运动强度的物理量，如涡度代表天 气系统的强度。
4. 涡度正负： 气旋式旋转（低压）
反气旋式旋转（高压）
正涡度（>0） 负涡度（<0）
.
22
流函数与速度势
? 流函数：无辐散
? ? ?u / ?x ? ?v/ ?y ? 0
.
23
二、涡度方程
?
?? ? ? ? ? ? ?t?
?V ? ? ? ? ?
对运动方程两边作 ? ?
?t
?
? ? ? (?V ? ? ? ? ? )
? ?（eq.）
?t
?
?
?
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?
?
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.
24
涡度方程垂直向分量：
d?
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?
? V ?? ?
dt ?t
?
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? ?V ?
df
第四章 环流定理与涡度方程
王树舟 南京信息工程大学大气科学学院
.
1
大气涡旋运动
大气运动具有明显的涡旋运动特征。如龙卷、台 风、气旋、反气旋等。
（一）环流、涡度 1．对涡旋系统强度进行度量的物理量有 ：
? 环流
? ?
涡度
.
Байду номын сангаас
2
2.“环流”的定义：
任取定一有向物质环线
? l
，定义：
? （速度沿 l 的线积分），为环流。
dVa ?dr? ? ? dt
1 ? 3 p ?dr? ? ? 3? ?dr?
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? ? ?v ? ?u
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.
25
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① ? (? ? f )? ?V 散度项
? ? ? f? ?V
?＝ ?v ? ?u ? V ? 10 ?5 s ?1 ?? f ? 10 ?4 s ?1
决于环线所包围的
面积和纬度。
环线包围的面积与
辐合辐散有关；纬
度改变和南北运动
有关。
.
14
3．“涡度”的定义
??
?
?
?
? V
速度的旋度
??? i jk ?? ? ? ?x ?y ?z
u vw
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?y ?z ?z ?x ?x ?y
2）物质环线是闭合的，“环流” 表示流体随闭合环线 运动的趋势，描述了涡旋的强度。是积分量。
3）“涡度”是欧氏观点。是微分量。
.
19
（二）大尺度大气涡旋运动
1．涡大度尺度?? 大主气要运是动在是垂准直水方平向运上动，，即所：以
?
??
?
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?x ?y
2．绝对涡度 ＝相对涡度＋牵连涡度：
.
???
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8
海陆风环流
dC a dt
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3?
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? 3 pn dA
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冷
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P0
9
解释白天海陆风的形成
? 白天，低层由海洋吹向陆地 ? 晚上，低层由陆地吹向海洋 ? 白天，陆地升温快，陆地温度高于海洋，根据静
力平衡方程，等压面向冷区倾斜； 同一等压面上高温处比容大，低温比容小，等比容 面向暖区倾斜。 转向为逆时针，环流为正，形成气旋式环流。 所以 热空气上升，冷空气下沉，低层风由海洋吹向陆
? 单联通区域：以逆时针方向为正 环流大于 0，称为气旋式环流； 环流小于 0，称为反气旋式环流。
D
G
.
5
绝对环流定理
? Ca ?
? Va
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? ? daCa ? d
dt dt
? Va
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?
? daVa ?dr?
dt
?
不计摩擦力的运动方程
d aVa dt
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1
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3p??
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? ? ? ? ? ? 势函数：无旋转 ? V??
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u ? ? / ?x v ? ? / ?y
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C ? ?V ?dl ? ?|V | cos? dl
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3
1）“任取定”——拉格朗日观点：任意选取一物质 环线，此环线上的质点是确定的，环线的形状位置是 变化。
2）物质环线是闭合的，“环流” 表示流体随闭合环 线运动的趋势，描述了涡旋的强度。 是积分量。
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4
? 环线方向有正负之分，沿环线走，积分区域在左 侧，则为正方向。