流体力学涡旋动力学基础
第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
流体力学中的涡涡动力学
流体力学中的涡旋动力学引言涡旋动力学是流体力学中的一个重要分支，研究流体中旋转性质和涡旋的生成、演化以及相互作用。
涡旋在自然界和工程领域中都具有广泛的应用，如天气系统中的龙卷风、海洋中的涡旋和航空航天领域中的涡轮机等。
本文将介绍涡旋的定义、形成机制以及其在流体力学中的重要性。
涡旋的定义和特性涡旋是一种流体中的局部旋转流动，其特点是流体的速度场在空间上出现剧烈的变化，流动的速度向心性很强。
涡旋通常以旋涡线和旋涡面来描述，旋涡线是指流体中流线的曲线，旋涡面是垂直于旋涡线的一面。
涡旋的旋转方向决定了旋涡线的旋转方向，由外向内的旋转称为正的旋涡，由内向外的旋转称为负的旋涡。
涡旋的核心区域速度较大，称为涡心区；核心区域外围速度逐渐减小，称为边界区；涡旋的周围速度较小、流动相对稳定，称为环境区。
涡旋的大小可以通过核心区域的半径来描述，常用的指标有涡旋半径和涡旋面积。
涡旋的形成机制涡旋的形成和演化是由于流体力学中的各种复杂效应相互作用的结果。
涡旋可以通过以下几种机制形成。
1. 惯性悬浮颗粒聚集机制当流体中含有一定浓度的颗粒时，颗粒的惯性作用会使其在流动中产生集聚现象，形成颗粒聚集区域。
这种集聚区域的速度差异会产生旋转流动，形成涡旋。
2. 旋转物体产生涡旋机制当流体中有旋转物体存在时，旋转物体表面的摩擦力会使流体发生旋转流动，形成涡旋。
例如风车叶片旋转时，周围的气流会产生涡旋。
3. 流体相互作用产生涡旋机制当两个流体相互作用时，由于速度和压力的差异，会形成涡旋。
例如两个不同速度的流体相互接触时，产生的剪切力会形成旋涡。
4. 受力不平衡产生涡旋机制当流体受到的外力不平衡时，会形成旋转流动，形成涡旋。
例如风吹过山峰、建筑物等不规则物体时，流体与障碍物之间的相互作用会产生涡旋。
涡旋的运动方程涡旋的运动可以通过涡量的运动方程来描述。
涡量是流体力学中描述涡旋的重要物理量，表示单位质量流体所围绕某点旋转的程度。
涡量的运动方程可以表示为：$$ \\frac{D\\omega}{Dt} = (\\omega \\cdot \ abla) \\cdot \\mathbf{V} + \ u \ abla^2 \\omega $$其中，$\\omega$是涡量，$\\mathbf{V}$是速度场，u是扩散系数，abla是向量的梯度算子，$\\frac{D\\omega}{Dt}$表示涡量的时间导数。
漩涡的原理及应用
漩涡的原理及应用1. 漩涡的定义漩涡是指在流体中形成的旋转的涡流结构。
它是流体力学中的一种重要现象，广泛存在于自然界和工程实践中。
漩涡由于其独特的运动规律和形态，具有广泛的应用价值。
2. 漩涡的形成原理漩涡的形成和维持是由流体动力学原理决定的。
当流体运动中存在不均匀性时，比如流体速度、密度、温度等的分布不均匀，就会形成涡旋结构，即漩涡。
漩涡的形成可以归因于两种主要机制：黏性与非黏性。
在完全黏性流体中，漩涡的形成归结于黏性效应。
黏性流体中粘滞系数较高的流体层被较低粘滞系数的流体层所替代，形成类似于旋转的涡流结构。
而在非黏性流体中，流体的非线性机制起着决定性作用。
流体运动中的非线性性质使得流体颗粒在运动过程中相互作用，产生局部的涡旋。
这些涡旋之间的相互影响和扩散最终形成了漩涡。
3. 漩涡的应用领域漩涡作为流体力学中重要的现象，在许多领域都有着广泛的应用。
以下是几个常见的领域：3.1 流体力学研究漩涡是流体力学研究中的基础概念之一，深入研究漩涡的形成、演化和行为规律，可以为流体力学领域的发展做出重要的贡献。
3.2 湍流模拟与预测湍流是一种高度复杂的流动状态，在自然界和工程实践中广泛存在。
漩涡作为湍流的基本单元，对湍流的模拟和预测具有重要意义。
通过研究漩涡的形成和演化规律，可以更好地理解和预测流体中的湍流现象。
3.3 漩涡发电技术漩涡在涡动能的转换和利用方面具有巨大的潜力。
漩涡发电技术是一种利用漩涡运动产生能量的新兴技术。
通过合适的装置和系统设计，可以将流体中的涡动能有效转换为电能，实现可持续能源的利用。
3.4 漩涡在水利工程中的应用在水利工程中，漩涡现象往往会对工程设施产生负面影响。
合理利用漩涡现象，可以在水利工程中进行能量调控、流量控制、河道疏浚等工作，提高水域的可持续利用和环境保护。
3.5 漩涡在气象学中的应用漩涡现象在大气环流中也具有重要作用。
气旋和飓风等大尺度的气象现象都源于漩涡形态。
对漩涡的深入研究可以为气象学提供重要的理论基础，并为天气预测和气候变化研究提供有力支持。
流体力学第五章(涡旋动力学基础)
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
运动的趋势，是标量，但具有
5
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
如取定曲线方向： Γ>0，流体有顺 对应气旋环流）； 运动的趋势，（逆时针为正方向，
l
应反气旋环流）。
Γ<0，流体有逆 l
运动的趋势，（顺时针为负方向，对
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式
流体涡度
(∇ × V ) • n = lim Γ / σ
环流的加速度 = 加速度的环流
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下， 理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理 凯尔文定理。 时间变化，这就是凯尔文定理
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
dΓ 下面来考虑特定条件下的 dt
（1）理想流体
dV 1 = F − ∇p 运动方程（欧拉方程）： dt ρ
（仅受质量力和压力梯度力）； （2）质量力仅为有势力
F = −∇Φ
11
1 dV = F − ∇p dt ρ
环流变化方程： d Γ
F = −∇Φ
dV = ∫l ( ⋅ dl ) dt dt 1
= − ∫l ∇Φ ⋅ dl − ∫l ∇p ⋅ dl ρ 1 = − ∫∫ ∇ × (∇Φ )d σ − ∫l ∇p ⋅ dl σ ρ
dΓ = dt
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
第三章 涡旋运动
dx
+
u y2
y1 y
|x =x2
dy
+
u x1
x2 x
|y =y2
dx
+
u y1
y2 y
|x =x1
dy
u1
0
u2
0
10
2．斯托克斯定理：
A 若某有限封闭周线所包围的区域为单
连通区域，则沿该封闭周线的速度环 z 量等于通过该单连通区域的涡通量。
∫Lur • dLr = ∫AΩr • nrdA
y
x
nr
29
3.4 凯尔文(Kelvin)定理
沿某物质线L的速度环量 通过某物质面S的涡通量
Γ = ∫ ur •dLr
I
=
L
∫
Ωr
•
dSr
S
根据物质线积分随体导数公式和运动方程有
dΓ dt
=
d dt
∫ ur •dLr
L
=
∫
L
dur dt
• dLr
=
∫
L
fr
•
dLr
−
∫
L
1 ρ
∇p
•
dLr
+
∫
L
ν⎜⎛ ⎝
Δur
一点的Ωn = 0保持不变，故恒为涡面。
涡管保持定理 理想、正压流体，质量力有势，则在某一时刻组 成涡管的流体质点在以前或以后的任一时刻也永远组成涡管。
（涡面的特例）
30
涡线保持定理（亥姆霍兹第一定理） 理想、正压流体，质量 力有势，则在某一时刻组成涡线的流体质点在以前或以后的任 一时刻也永远组成涡线。
∂Ω ∂t
+ ux
chap5-涡旋动力学基础
第五章
→
涡旋动力学基础
dV
步骤（1） 对 N—S 变形
dt (1)
=
F − ρ ∇p + 3 ∇(∇ •V ) + ν∇ V
2
→
1
ν
→
→
（ 2.51 ）
(2) (3)
(4)
(5)
（5.17） 下面要对（4） （5）项变形，需要用到下面矢量公式：
∇
2
V
→
= ∇(∇ • V) − ∇ ∧ ∇ ∧ V = ∇D − ∇ ∧ ζ
是重力作用下的涡度方程。 若正压：则（5.28）中的（1）为零。 若理想流体：则（5.28）中的（4）为零。 若还有非有势力，则（5.28）中还要加一项。
→
→
→
→
（A） (B)
∇ ∧ (ϕ
f ) = ∇ϕ ∧ f
→
→
+ ϕ∇ ∧
→
f
利用公式（A） （B） ， （5.17）中的第（4） （5）项就变成：
ν
3 ∇(∇ •V ) + ν∇
→ 2
V
→ 4 = ν∇D − ν∇ ∧ ζ 3
（5.15）变成：
dV
→
步骤（2） 对 N—S 变形
dt
=
F
→
−
→ 4 ∇p + ν ( ∇D − ∇ ∧ ζ ) ρ 3
→
→
→
V = Vr + Vϕ
并且有：
→
→
→
（5.3）
→
ζ
→
= ∇ ∧V = ∇ ∧V r
→
→
（5.5）
∇ ∧ Vϕ = 0
所以流体流动状态的变化（从旋转特征的角度讲）可以包括流动中 涡旋特征的变化和无旋流动的变化两部分。 那么涡旋动力学就是研 究流动状态变化中涡旋特征变化的那一部分内容。 所以凡是能引起
流体力学5-漩涡理论
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB
r V
dsr
AB
V
r cos(V
,
dsr
x
y
dp 2d ( x2 y2 )
2
p
2 (
x2
2
y2
)
c
1 2
V2
c
p
p0
1 2
V2
VR2
r R, V VR,
p
pR
p0
1 2
VR2
43
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V 2
旋涡内部压力分布：
p
p0
1 2
V2
或 c ÑcVsds 2nd
n
r
漩涡理论
d
C 16
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
பைடு நூலகம்
d
vx
流体的涡旋
流体的涡旋引言流体是一种特殊的物质，在自然界中广泛存在并发挥着重要的作用。
当流体受到外力作用时，它会产生各种有趣的运动形式，其中之一就是涡旋。
涡旋是指流体中形成的旋涡结构，可以是稳定的、动态的或者是一种局部的湍流现象。
本文将介绍流体的涡旋的基本理论，以及一些常见的涡旋现象。
涡旋的定义涡旋是流体力学中的重要概念，指的是流体中局部的旋转运动。
涡旋通常由涡核和涡旋带组成，其中涡核是其中心最旋转最快的区域，而涡旋带则是围绕涡核形成的旋转流动。
涡旋表现出从小到大的尺度层次性，从微观到宏观都能观察到涡旋结构，如涡旋街、旋涡云等。
涡旋的产生涡旋的产生通常与外界的力场作用有关。
当流体受到垂直于其流动方向的扰动力时，会形成涡旋。
常见的涡旋产生方式有以下几种：1. 涡卷产生涡卷是一种比较常见的涡旋产生方式，它通常发生在流体中的边界层或者是两个不同速度的流体相互接触的界面上。
当两个流体速度差异较大时，较快的流体会向较慢的流体发生卷转，形成涡旋现象。
2. 旋涡引力旋涡引力是一种由流体自身的旋转运动形成的涡旋。
当流体受到外界激励后，会出现局部的旋转运动，这种旋转运动会产生一种引力，吸引周围的流体参与旋涡运动。
随着越来越多的流体被卷入旋涡，旋涡的尺寸也会逐渐增大。
3. 湍流衰减湍流是一种非常复杂的流体运动形式，通常伴随着涡旋的产生。
当流体中的湍流运动逐渐衰减时，湍流中的涡旋也会逐渐减小，最终形成稳定的涡旋。
涡旋的性质涡旋表现出许多有趣的性质，下面列举了一些常见的涡旋性质：1. 自旋性涡旋具有自旋性，即涡旋中的流体呈旋转运动。
涡旋核心的流体速度最快，随着距离核心越远，流体速度逐渐减小。
这种旋转运动使得涡旋呈现出螺旋状的形状。
2. 辐散性涡旋除了具有旋转运动外，还具有向外辐散的特点。
这是由于涡旋中的流体在旋转的同时，也会向外扩散。
这种辐散现象使得涡旋逐渐增大，包围更多的流体。
3. 稳定性涡旋具有一定的稳定性，对外界扰动具有一定的抵抗能力。
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V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7）
方程各项取旋度（ ）：
（2）、（5）、（6）=0（任意物理量的梯度取旋度为零）
（3） V
V V V V V
t
2
整理合并后，有：
d d t 1 2 p • V • V 2
就是涡度方程，或者称之为弗里德曼—亥姆霍兹方程 。
25
涡度方程讨论：
d d t 1 2 p • V • V 2
（1）力管项或斜压项 它表明了压力—密度变化可以引起流体涡度矢的变化，其 物理实质是流体的斜压性。 （2）散度项 它表明了流体在运动过程中体积的收缩或膨胀，将会引起 流体涡度矢的变化。 （3）扭曲项 流场的非均匀性，引起涡度的重新分布。 （4）粘性扩散项 涡度分布的非均匀性引起的。
dt
3
对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将其表示为： 2 V ( V ) ( V ) D
将其代入运动方程，整理后可得到：
d d V t F 1 p 3 4 D
18
d d V t F 1 p 3 4 D
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
白天（夜间）
海洋
陆地
海风（陆风）
山谷风
22
第二节 涡度方程
对于粘性流体运动，纳维——斯托可斯方程为：
d V V ( V • ) V 1 P g 2 V ( • V )
d t t
3
方程的平流项变换：
方程变为 ：V•V V 22 V V
V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
整个流体区域内涡度都为零时，流体运动为无旋的 ；
流体区域内有一点涡度不等于零时，则对应流体运 动为有旋的。
3
一般情况：流体运动可以表示为：
VV V 无旋运动
涡旋运动 ★重点讨论涡旋部分的变化特征及其产生的原因
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
4
第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质
26
涡度方程讨论：
d d t 1 2 p • V • V 2
（1）力管项或斜压项 当流体是斜压时，等密度面与等压面不平行，是斜交的。 在三维图中构成了管状分布，称之为力管（当流体的等密 度面与等压面斜交时，以相邻等密度面与相邻等压面为周 界，可以构成一条管道，称之为力管） 当流体正压时，等密度面与等压面平行，力管项为零
dd t ddV t dl Fdl1pdldl43Ddl
F d l 1 pd l d l4 3 ( D )d
F d l 1 p d l d l
19
d d t d d V t d l F d l 1 p d l d l
（1） （2）
（3）
速度环流的变化，主要由于以下3项所引起： （1）非有势力的作用，例如：柯氏力； （2）压力-密度项（流体的斜压性所引起的）； （3）粘性涡度扩散（与涡度的空间不均匀分布有关）
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式 流体涡度
( V )• n l i 0 m /
流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于 单位面积速度环流的极限值
反映了流体涡度与速度环流之间的联系。
7
一、凯尔文定理（速度环流的守恒定理）
环流随时间的变化率（环流的加速度）
d d t d d t ( l V d l ) l ( d d V t d l ) l [ V d ( d d t l ) ]
29
d 1
d l t F • d l l P • d l l( ) d l
非有势力
斜压作用
粘性扩散项
d ( 1 ) P ( • V ) ( • ) V 2 dt
斜压作用
பைடு நூலகம்
散度项
扭曲项 粘性扩散项
30
第五章小结
（1）速度环流的基本概念 凯尔文速度环流守恒定理 皮叶克尼斯定理的应用
（2）涡度方程及其讨论、涡度变化的原因
31
环流的加速度 = 加速度的环流
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
下面来考虑特定条件下的 d dt
（1）理想流体
运动方程（欧拉方程）： ddV tF 1p
（仅受质量力和压力梯度力）； （2）质量力仅为有势力
环线 l （形状大小可变，由
流点组成的闭合曲线）。
l
速度环流的定义 V•dl l
它反映了流体沿曲线 l 运动的趋势，是标量，但具有
一定的方向性。
5
lV•dl
l
如取定曲线方向：
>0，流体有顺
对应气旋环流）；
l
运动的趋势，（逆时针为正方向，
<0，流体有逆 l 运动的趋势，（顺时针为负方向，对
应反气旋环流）。
20
环流方程的进一步讨论（主要是斜压项的讨论及应用）
若作理想流体假设，且质量力为有势力，则环流定理变为：
dd t (1)pd
称为皮叶克尼斯定理，反映了压力-密度项（斜 压性）引起环流的变化。
进一步作正压流体假设，则皮叶克尼斯定理退 化为了Kelvin环流定理：
d 0 dt
21
皮叶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简 单解释
环流加速度
加速度环流
8
d d t d d t ( l V d l ) l ( d d V t d l ) l [ V d ( d d t l ) ]
V d ( d l ) V d V d ( V 2 / 2 ) 0
l d t l
l
d d t d d t(lV d l) l(d d V td l)
16
以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约 束关系。而实际上，流体运动中必定出现环流的不 守恒（变化）现象，也即环流的产生和起源，这才 是更普遍条件下的环流变化情况。
17
二、速度环流的起源—涡度的产生
对于粘性可压缩流体，N－S运动方程为：
d V F 1 p 2 V • V
27
涡度方程讨论：
d d t 1 2 p • V • V 2
（2）散度项 考虑流点有散度（有相对体积变化），则辐散使涡度减小 ，辐合使涡度增大
28
进一步讨论：
1.当不考虑流体粘性时，粘性扩散项不出现 2.散度项和扭曲项对个别流点可引起其涡度变化，但对 流体整体而言，这两项不会引起流体整体涡度的变化 （流体中辐合辐散共存，其作用使涡度重新分布，但不 改变整体结果；扭曲项也是使涡度重新分配） 3.真正直接引起流点涡度矢变化的是流体的斜压性
斜压流体：
f(p ,T , )
等压面、等密度面斜交
14
（3）假设流体是正压的 f(p)
d dt
l
dV dt
dl
(
1
)
p
d
0
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
24
V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
（1）（2） （3）（4）（5） （6） （7）
（4） 1 p 1 p 1 2 p
可得到方程：
V • • V • V 1 p 2
F
11
ddV tF 1p
F
环流变化方程：
d dt
l
(
dV dt
dl
)
l
dl
l
1
p
dl
( )d
梯度取旋度为零
l
1
p
dl
l
1pdl
12
将线积分转化为面积分
1pdl
(p)d
(1)p1(p)d
(1)pd
梯度取旋度为零
13
正压流体：
f(p)
等压面、等密度面、 等温面重合（平行）
第五章 涡旋动力学基础
流体的涡旋运动大量存在 于自然界中，如大气中的 气旋、反气旋、龙卷、台 风等，大气中的涡旋运动 对天气系统的形成和发展 有密切的关系。
台风
龙卷
1
大尺度海洋环流
2
因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡 旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律 及其物理原因是十分必要的。
流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的 一个重要物理量。