流体力学第五章(涡旋动力学基础)

Γ ≡ ∫V • dl
l
l
运动的趋势，是标量，但具有
5
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
如取定曲线方向： Γ>0，流体有顺 对应气旋环流）； 运动的趋势，（逆时针为正方向，
l
应反气旋环流）。
Γ<0，流体有逆 l
运动的趋势，（顺时针为负方向，对
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根据环流的定义，应用斯托克斯公式
流体涡度
(∇ × V ) • n = lim Γ / σ
环流的加速度 = 加速度的环流
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凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下， 理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理 凯尔文定理。 时间变化，这就是凯尔文定理
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凯尔文(Kelvin)环流定理
dΓ 下面来考虑特定条件下的 dt
（1）理想流体
dV 1 = F − ∇p 运动方程（欧拉方程）： dt ρ
（仅受质量力和压力梯度力）； （2）质量力仅为有势力
F = −∇Φ
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1 dV = F − ∇p dt ρ
环流变化方程： d Γ
F = −∇Φ
dV = ∫l ( ⋅ dl ) dt dt 1
= − ∫l ∇Φ ⋅ dl − ∫l ∇p ⋅ dl ρ 1 = − ∫∫ ∇ × (∇Φ )d σ − ∫l ∇p ⋅ dl σ ρ
dΓ = dt
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
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说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
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以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约 束关系。而实际上，流体运动中必定出现环流的不 守恒（变化）现象，也即环流的产生和起源，这才 是更普遍条件下的环流变化情况。
∇× V ×ζ
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V 2 ∂V 1 υ + ∇ − V × ζ = − ∇p + g + ∇(∇iV ) + υ∇ 2V ∂t ρ 3 2
）（2） ）（4）（ （1）（ ） （3）（ ）（ ） （6） ）（ ）（ ）（5） ）
（7） ）
1 1 1 （4 ） ∇ × ∇p = ∇ × ∇p = − 2 ∇ρ × ∇p ρ ρ ρ
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一般情况：流体运动可以表示为：
V = V +V ψ ϕ
涡旋运动
无旋运动
★重点讨论涡旋部分的变化特征及其产生的原因
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
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第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质 环线 l （形状大小可变，由 流点组成的闭合曲线）。
l
速度环流的定义 它反映了流体沿曲线 一定的方向性。
σ →0
流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于 单位面积速度环流的极限值 反映了流体涡度与速度环流之间的联系。
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一、凯尔文定理（速度环流的守恒定理）
环流随时间的变化率（环流的加速度）
dΓ d dV d ( dl ) = ( ∫l V ⋅ dl ) = ∫l ( ⋅ dl ) + ∫l [V ⋅ ] dt dt dt dt
梯度取旋度为零
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正压流体：
斜压流体：
ρ = f ( p)
等压面、等密度面、 等温面重合（平行）
ρ = f ( p, T , ⋯)
等压面、等密度面斜 p)
dV ∫l dt ⋅ dl 1 = − ∫∫ ∇( ) × ∇p ⋅ dσ ρ σ =0
(
)
方程的平流项变换：
V 2 V • ∇ V = ∇ − V × ∇ ×V 2 方程变为 ：
(
)
V 2 ∂V 1 υ + ∇ − V × ζ = − ∇p + g + ∇(∇iV ) + υ∇ 2V 3 ∂t ρ 2
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V 2 ∂V 1 υ + ∇ − V × ζ = − ∇p + g + ∇(∇iV ) + υ∇ 2V ∂t ρ 3 2
第五章 涡旋动力学基础
台风
流体的涡旋运动大量存在 于自然界中，如大气中的 气旋、反气旋、龙卷、台 风等，大气中的涡旋运动 对天气系统的形成和发展 有密切的关系。
龙卷
1
大尺度海洋环流
2
因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡 旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律 及其物理原因是十分必要的。 流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的 一个重要物理量。 整个流体区域内涡度都为零时，流体运动为无旋的 ； 流体区域内有一点涡度不等于零时，则对应流体运 动为有旋的。
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环流方程的进一步讨论（主要是斜压项的讨论及应用） 环流方程的进一步讨论（主要是斜压项的讨论及应用） 若作理想流体假设，且质量力为有势力，则环流定理变为：
1 dΓ = − ∫∫ ∇( ) ×∇p ⋅ dσ dt ρ σ
称为皮叶克尼斯定理，反映了压力-密度项（斜 压性）引起环流的变化。 进一步作正压流体假设，则皮叶克尼斯定理退 化为了Kelvin环流定理：
=
∫ F ⋅ dl − ∫ ρ ∇p ⋅ dl − υ ∫ ∇ × ζ ⋅ dl
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1
dΓ = dt
∫
dV 1 ⋅ dl = ∫ F ⋅ dl − ∫ ∇p ⋅ dl − υ ∫ ∇ × ζ ⋅ dl ρ dt （1） （2） （3）
速度环流的变化，主要由于以下3项所引起： （1）非有势力的作用，例如：柯氏力； （2）压力-密度项（流体的斜压性所引起的）； （3）粘性涡度扩散（与涡度的空间不均匀分布有关）
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涡度方程讨论：
dζ 1 = 2 ∇ρ ×∇p −ζ ∇•V + ζ •∇ V +υ∇2ζ dt ρ
(
) (
)
（1）力管项或斜压项 它表明了压力—密度变化可以引起流体涡度矢的变化，其 物理实质是流体的斜压性。 （2）散度项 它表明了流体在运动过程中体积的收缩或膨胀，将会引起 流体涡度矢的变化。 （3）扭曲项 流场的非均匀性，引起涡度的重新分布。 （4）粘性扩散项 涡度分布的非均匀性引起的。
环流加速度
加速度环流
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dΓ d dV d ( dl ) = ( ∫l V ⋅ dl ) = ∫l ( ⋅ dl ) + ∫l [V ⋅ ] dt dt dt dt
∫V⋅
l
d (dl ) = dt
∫ V ⋅ dV =
l
∫
l
d (V 2 / 2) = 0
dΓ d dV = ( ∫l V ⋅ dl ) = ∫l ( ⋅ dl ) dt dt dt
可得到方程：
∂ζ 1 + (V •∇) ζ − (ζ •∇)V + ζ ( ∇•V ) = 2 ∇ρ ×∇p + υ∇2ζ ∂t ρ
整理合并后，有： dζ 1 = 2 ∇ρ × ∇p − ζ ( ∇ • V ) + (ζ • ∇ ) V + υ∇ 2ζ dt ρ 就是涡度方程，或者称之为弗里德曼—亥姆霍兹方程 。
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第五章小结
（1）速度环流的基本概念 凯尔文速度环流守恒定理 皮叶克尼斯定理的应用 （2）涡度方程及其讨论、涡度变化的原因
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dΓ =0 dt
21
皮叶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简 单解释 白天（夜间）
海洋
陆地
海风（陆风）
山谷风
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第二节 涡度方程
对于粘性流体运动，纳维——斯托可斯方程为：
dV ∂ V 1 υ = + V i∇ V = − ∇p + g + ∇(∇iV ) + υ∇ 2V ∂t ρ dt 3
）（2）（ ）（4）（ （1）（ ）（ ）（ ）（ ） （6） ）（ ）（3）（ ）（5） ） 方程各项取旋度（ ∇ × ）：
（7） ）
（2）、（5）、（6）=0（任意物理量的梯度取旋度为零） ）、（5）、（6 （3 ）
( ) ∇× (V ×ζ ) = (ζ i∇)V − ( ∇iV ) ζ − (V i∇) ζ + ( ∇iζ )V
dV 1 4 = F − ∇p +υ ∇D −∇×ζ ρ dt 3
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dV 1 4 = F − ∇p +υ ∇D −∇×ζ dt ρ 3
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
dV ∫ dt ⋅ dl 1 4υ = ∫ F ⋅ dl − ∫ ∇p ⋅ dl − υ ∫ ∇ × ζ ⋅ dl + ∫ ∇D ⋅ dl ρ 3 1 4υ = ∫ F ⋅ dl − ∫ ∇p ⋅ dl −υ ∫ ∇×ζ ⋅ dl + ∫∫ (∇×∇D)dσ ρ 3 dΓ = dt
梯度取旋度为零
= − ∫l
1
ρ
∇p ⋅ dl
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将线积分转化为面积分
−∫ 1 ∇p ⋅ dl = − ∫∫ ∇× (
σ
∇p
ρ
ρ
) ⋅ dσ
1 1 = − ∫∫ ∇( ) ×∇p + ∇× (∇p) ⋅ dσ ρ ρ σ 1 = −∫∫ ∇( ) ×∇p ⋅ dσ ρ σ
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二、速度环流的起源—涡度的产生
对于粘性可压缩流体，N－S运动方程为：
dV 1 υ 2 = F − ∇p +υ∇ V + ∇ ∇•V dt 3 ρ
(
)
对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将其表示为：