因数和倍数, 质数和合数
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因数和倍数质数和合数
整理教师:刘新民
一、基础知识
(一)因数和倍数
1. 因数和倍数的意义。
已知a、b、c均为正整数,且a×b=c,那么c就是a和b的倍数,a和b 就是c的因数,倍数和因数是相互依存的,不能独立存在。
2. 因数和倍数的特征。
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数;一个数既是它本身的因数,又是它本身的倍数。
(二)能被2、3、5整除的数的特征
1. 能被2整除的数的特征:个位上的数字是0,2,4,6,8。
2. 能被3整除的数的特征:各个数位上的数字的和是3的倍数。
3. 能被5整除的数的特征:个位上的数字是0或5。
4. 能同时被2、5整除的数的特征:个位上的数字是0。
(三)奇数和偶数
1. 奇数:在自然数中,不能被2整除的数叫做奇数。
2. 偶数:在自然数中,能被2整除的数叫做偶数。
3. 研究奇数和偶数时包括0,因此自然数不是奇数就是偶数。最小的奇数是1,没有最大的奇数;最小的偶数是0,没有最大的偶数。
(四)质数和合数
1. 质数的意义:一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数),最小的质数是2,2是唯一的偶质数,没有最大的质数。
2. 合数的意义:一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。最小的合数是4,没有最大的合数。
注意:1既不是质数也不是合数。除2以外,所有的质数是奇数,所有的偶数是合数。
3. 判断一个数是质数还是合数的方法。
(1)通过找因数的个数来判断:先找出这个数的因数,再数因数的个数,只有1和它本身两个因数的数就是质数,有三个或三个以上因数的数就是合数。(2)查表法:看质数表里有没有所要查的数,如果有,它是质数,如果没有,它就不是质数。
4. 奇数和偶数的运算性质。
(1)和差的奇偶性
奇数±奇数=偶数(偶数个奇数相加)奇数±奇数=奇数(奇数个奇数相加)
奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数
(2)积的奇偶性
奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数
(五)分解质因数
1. 质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。
2. 分解质因数:把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
3. 分解质因数的方法:把一个合数分解质因数,通常运用短除法。分解质因数时,先用这个合数的质因数(通常从最小的开始)去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式;得出的商如果是合数就用质因数继续去除,直到得出的商是质数为止,然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
(六)最大公因数和最小公倍数
1. 最大公因数:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2. 最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
3. 互质数:公因数只有1的两个数叫做互质数。
4. 求两个数的最大公因数的方法:
(1)列举法;先分别找出每个数的因数,从中找出公因数,再找出最大的一个因数就是它们的最大公因数。
(2)筛选法:先找出两个数中较小数的因数,从中圈较大数的因数,再看哪个因数最大,这个数就是它们的最大公因数。
(3)分解质因数法:先将两个数分别分解质因数,再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数,公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。(4)短除法:把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数,连续去除这两个数,直到得出的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数相乘,所得的积就是这两个数的最大公因数。
5. 求两个数的最小公倍数的方法:
(1)列举法:分别写出两个数各自的倍数,再从其中找出公有的倍数,然后从公倍数中找出最小的一个就是这几个数的最小公倍数。
(2)筛选法:先写出两个数中较大数的倍数,然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小数的倍数,第一个圈出的就是它们的最小公倍数。
(3)分解质因数法:分别把两个数分解质因数,相同的质因数对齐写,独有的质因数单独写,然后相同的质因数取一个,单独的质因数都取出来,把它们连乘,积就是最小公倍数。
(4)短除法:用两个数公有的质因数按从小到大的顺序,依次作为除数连续去除这两个数,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数和最后所得的商连乘起来,就是这两个数的最小公倍数。
6. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况。
(1)如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数,较大数就是较小数的最小公倍数。
(2)如果两个数是互质数,那么它们的最大公因数就是1,最小公倍数就是这两个数的乘积。
(3)两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积。
二、例题精讲
例1、有因数2,又是3和5的倍数的最大三位数是多少?
分析与解答:根据题意,这道题所求的数是同时是2,3,5的倍数的最大三位数。同时是2,3,5的倍数的数的个位上的数字一定是0,其他各位上数字的和是3的倍数。要使其最大,百位上一定是9,十位上也是9,所以这个三位数是990。
例2、(选择)把210分解质因数是()
A. 210=1×2×3×5×7
B. 2×3×5×7=210
C. 210=5×6×7
D. 210=2×3×5×7
分析与解答:分解质因数是把一个合数写成几个质因数相乘的形式,所有的因数必须是质数,所以选项A中,1不是质数;选项C中,6不是质数;分解质因数和乘法算式不同,应该把被分解的合数写在等号的左边,故选项B也不对,那么正确答案是D。
例3、求24和36的最大公因数和最小公倍数。
分析与解答:要求两个数的最大公因数和最小公倍数,应该先分别把这两个数分解质因数:
24=2×2×2×3
36=2×2×3×3
求两个数的最大公因数时,把这两个数公有的因数2、2和3乘起来,即2×2×3=12;求两个数的最小公倍数时,把它们公有的因数2、2、3和各自独立的因数2、3都乘起来,即2×2×3×2×3=72;所以24和36的最大公因数是12,最小公倍数是72。
例4、把长1.36m、宽0.8m的长方形纸裁成同样大小的正方形纸。如果要使正方形纸的面积尽可能大,且裁完没有剩余,可裁出多少张正方形纸?
分析与解答:把长方形纸裁成正方形纸且没有剩余,则正方形纸的边长是长方形纸长与宽的公因数,要使正方形纸的面积尽可能大,正方形纸的边长应是长与宽的最大公因数。先把米化成厘米,即1.36m=136㎝,0.8m=80㎝,因为136和80的最大公因数是8,所以正方形的边长为8㎝,那么长方形在长可以分136÷8=17(段),宽可以分80÷8=10(段),故可裁17×10=170(张)。
例5、一袋糖果,如果平均分给4个小朋友,还剩3块;如果平均分给5个小朋友,还缺1块;如果平均分给6个小朋友,还缺1块。这袋糖果至少有多少块?分析与解答:题中“如果平均分给5个小朋友,还缺1块”可以理解为“如果平均分给5个小朋友,还剩4块;同理