2019-2020学年河南省郑州市八校高二(上)期中数学试卷(理科)(PDF版 含答案)
有 x2 x 1 0 ，推理对．
故选： A ．
5．已知在 ABC 中内角 ABC 的对边分别为 ab 边 c 上的高为 ab cos C ，ab 2 2 ，则角 C 的 c
一项是符合题目要求的． 1．已知 a 0 ， 1 b 0 ，则有 ( )
A． ab2 ab a
B． a ab ab2
【解答】解： a 0 ， 1 b 0 ，
C． ab b ab2
0 b2 1 ， ab 0 ，
ab2 a ， ab2 ab ， ab a ，
【解答】解：对于选项 A ，由命题 p q 为假命题可知命题 p 和命题 p 至少有一个为假，命 题 p 、 q 均为假命题错误，所以选则 A 项．
对于 B 项，x 1 x2 3x 2 0 ，但是 x2 3x 2 0 x 1 故“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ” 的充分不必要条件，判断对．
C． ab b ab2
2．在 ABC 中， A 45 ， B 60 ， a 2 ，则 b 等于 ( )
D． ab ab2 a
A． 6
B． 2
C． 3
D． 2 6
3．设{an} 是公比为 q 的等比数列，则“ q 1”是“{an} 为递增数列”的 ( )
A．充分而不必要条件
数 a 的取值范围是 ( )
A．
(
，
3 2
][
3 2
，
)
C．
(
，
3][
5 2
，
)
B．
(
，
3][
3 2
，
)
D．
(
，
3 2
][
5 2
，
)
二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填写在答题卡上
13．设数列{an} 满足
a1
1 ，且
分性不成立．
若 an
1(1 )n1 为递增数列，但 q 2
1 2
1 不成立，即必要性不成立，
故“ q 1”是“{an} 为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选： D ． 4．下列有关命题的说法中错误的是 ( )
-5-
A．若 p q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题 B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件 C．命题“若 x2 3 2 0 ，则 x 1 “的逆否命题为：“若 x 1 ，则 x2 3x 2 0 ” D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ，则 p : x R ，均有 x2 x 1 0
-2-
17．设 p ：实数 x 满足 x2 4ax 3a2 0 ， q ：实数 x 满足 | x 3 | 1 ． （1）若 a 1 ，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 a 0 且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
18．已知关于 x 的不等式 kx2 2x 6k 0(k 0) （1）若不等式的解集是{x | x 3 或 x 2} ，求 k 的值； （2）若不等式的解集是 R ，求 k 的取值范围； （3）若不等式的解集为 ，求 k 的取值范围．
2
与
1
关于直线
2x
y
0
对
x 1
称，对于任意的 C 1 ， D 2 ，则 | CD | 的最小值为
．
16．在 ABC 中， ACB 60 ， BC 2 ， AC AB 1 ，当 ABC 的周长最短时， BC 的长
是．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
2
这样的三角形有且只有一个，a 6 或 a 4 3 3 ； 故选： C ． 8．在等差数列 {an} 中， a1 0 ， a2012 a2013 0 ， a2012 a2013 0 ，则使 Sn 0 成立的最大自
6．若 x ， y 满足 1 x 1yx ，则 y 2x 的最大值是 (
)
2
A． 2
B．2
C． 1
D．1
【解答】解：作出实数 x ， y 满足不等式组对应的平面区域如图（阴影部分） :
-6-
令 z 2x y ，则 y 2x z ，由图可知当直线 y 2x 过点 A(2, 2) 时， z 最大， 即 2x y 取最大值为 4 2 2 ， 故选： A ．
2019-2020 学年河南省郑州市八校高二（上）
期中数学试卷（理科）
一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的．
1．已知 a 0 ， 1 b 0 ，则有 ( )
A． ab2 ab a
B． a ab ab2
大小 ( )
A． 1 4
B． 1 6
C． 1 2
D． 3 4
【解答】解：由题意，根据三角形的面积公式，可得： 1 ab sin C 1 c ab cos C ，
2
2c
解得 sin C cos C ，
即 tan C 1 ，
又0C ，
可得 C ． 4
故选： A ．
A． [9 ， 3) 4
B． (9 ， 3) 4
C． (2,3)
D． (1,3)
10．在 ABC 中， A 为锐角， lgb lg(1) lg sin A lg 2 ，则 ABC 为 (
)
c
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
11．已知数列{an} 满足 an1
4,
a2 n1
6Sn
9n
1,
n N* ．各
项均为正数的等比数列 {bn} 满足 b1 a1 ， b3 a2 ．
（1）求证 {an} 为等差数列并求数列{an} 、 {bn} 的通项公式； （2）若 ðn (3n 2)bn ，数列 {ðn}的前 n 项和 Tn ．
①求 Tn ；
an1
an
n
1(n
N*)
，则数列{ 1 } an
的前
10
项的和为
14．在 ABC 中，已知 b 1 ， c 2 ， AD 是 A 的平分线， AD 2 3 ，则 C 3
． ．
x y 3 0
15．设不等式组
x
2y
30
表示的平面区域为
1
，平面区域
D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ，则 p : x R ，均有 x2 x 1 0
5．已知在 ABC 中内角 ABC 的对边分别为 ab 边 c 上的高为 ab cos C ，ab 2 2 ，则角 C 的 c
大小 ( )
A． 1 4
B． 1 6
②若对任意 n 2 ， n N* ，均有 (Tn 5)m 6n2 31n 35 恒成立，求实数 m 的取值范围．
-4-
2019-2020 学年河南省郑州市八校高二（上）
期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有
ab ab2 a ，
故选： D ．
2．在 ABC 中， A 45 ， B 60 ， a 2 ，则 b 等于 ( )
D． ab ab2 a
A． 6
B． 2
【解答】解：由正弦定理可得， a b sin A sin B
b
a sin B sin A
2sin 60 sin 45
3 2
6
2
故选： A ．
C． 3
D． 2 6
3．设{an} 是公比为 q 的等比数列，则“ q 1”是“{an} 为递增数列”的 ( )
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：等比数列 1 ， 2 ， 4 ， ，满足公比 q 2 1 ，但{an} 不是递增数列，充
7．已知在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， A 60 ， b 4 3 ，若 此三角形有且只有一个，则 a 的取值范围是 ( )
A． 0 a 4 3
B． a 6
C． a 4 3 或 a 6 D． 0 a4 3
【解答】解：在 ABC 中， A 60 ， b 4 3 ， 由正弦定理可得 b sin A 4 3 3 6 ；
B．4024
C．4023
D．4022
9．已知函数
f (x)
(3 a)x 3, (x7) ax6 , (x 7)
，若数列 {an} 满足 an
f
(n)(n N ) 且对任意的两个
正整数 m ， n(m n) 都有 (m n)(am an ) 0 ，那么实数 a 的取值范围是 ( )
an
(n
1)cos
n 2Hale Waihona Puke (n 2, n N*)
， Sn
是数列{an} 的前 n 项和，若
S2017
2019-2020学年高二理科数学上学期期中卷(考试版)_PDF压缩
销售量 y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是 yˆ 3.2x 40 ，且
m n 20 ，则其中的 n
A．12
B．11
C．10
D．10.5
6．下列结论错误的是
A．命题“若 x2 3x 2 0 ，则 x 2 ”的逆否命题是“若 x 2 ，则 x2 3x 2 0 ” B．“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的充分不必要条件 C．命题：“ x R ， x2 x 0 ”的否定是“ x R ， x2 x 0 ” D．若“ p q ”为假命题，则 p, q 均为假命题
某学习小组在研究性学习中，对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究，该小组在 4 月份记录了 1 日至 6 日每天昼夜最高、最低温度(如图 1)，以及浸泡的 100 颗绿豆种子当天内的出芽数 (如图 2).
（1）试预测：高三 6 次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？
1 个，标号为 2 的小球 2 个，从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a ，第 二次取出的小球标号为 b . （1）记事件 A 表示“ a b 2 ”，求事件 A 的概率； （2）在区间[0, 2] 内任取 2 个实数 x, y ，记 (a b)2 的最大值为 M ，求事件“ x2 y2 M ”的概率.
（2）若已知甲、乙两个学生的高二 6 次考试成绩分别由低到高进步的，定义 y 为高三的任意一次考试 后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求 y 的平均值.
20．（本小题满分 12 分）
已知命题 p ： x R ， tx2 x t 0 . （1）若 p 为真命题，求实数 t 的取值范围； （2）命题 q ： x [2,16] ， t log2 x 1 0 ，当 p q 为真命题且 p q 为假命题时，求实数 t 的取值
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．23．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切D ．外切4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1-ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为( )A.12 B ．16 C.13D ．155．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别为AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是( )6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()A.π3 B.π4 C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2π＋12B ．π＋12C ．2π＋24D ．π＋248．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．⎝⎛⎭⎫－22，22 C ．(－3，3)D ．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是( )A ．(5,6)B ．(2,3)C ．(－5,6)D ．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A ．y ＝0B ．x ＝1和y ＝0C ．x ＝2和y ＝0D ．不存在 11．两圆x2＋y2＋4x －4y ＝0与x2＋y2＋2x －12＝0的公共弦长等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．3 2 D ．4 212．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．－6＜k ＜2B ．－16＜k ＜0C ．－16＜k ＜12D ．k ＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
河南省郑州八中2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)
河南省郑州八中2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. √4=( )A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 下列各数：−√3，27，3.14，√643，0.70701，π，2.030030003…(相邻两个3之间依次增加1个0)，其中无理数有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 3. 已知点A(2,−3)到y 轴的距离为( ) A. 2B. −2C. 3D. −3 4. 以下列数组为边长，能构成直角三角形的是( ) A. 2，3，4 B. 1，12，13C. 1，√2，√3D. 0.2，0.5，0.6 5. 已知一次函数y =kx +b 的图象一定不通过第二象限，则系数k ，b 一定满足( ) A. k >0，b >0 B. k >0，b ≤0 C. k <0，b >0 D. k <0，b <06. 下列说法：①5是25的算术平方根；②(−4)3的立方根是−4；③(−2)2的平方根是−2；的平方根与立方根都是−1，其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D.4个 7. 如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为l 的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为( )A. 45B. 85C. 165D. 2458.如图，点A，C的坐标分别为(1,1)、(2,4)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则C′点的坐标为()A. (−2,4)B. (4,0)C. (−2,2)D. (−1,3)9.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，则下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，其中正确的是()A. 只有①B. 只有②C. 只有①和②D. ①②③10.在20km的越野赛中，甲、乙两选手的行程y(单位：km)随时间x(单位：ℎ)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点，其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算：|−√2|=______．12.若m、n为实数，且|2m+n−1|+√m−2n−8=0，则m+n的立方根为________．13. 如图，有一个圆柱，它的高为5cm ，底面半径为12πcm ，在点A 的一只蚂蚁想吃到点B 的食物，爬行的最短路程为______．14. 若点A(1,3)与点B(x,6)之间的距离为5，则x 的值是____________。
2020-2021学年河南省郑州市八所省示范高中高二上学期期中联考试题 数学(理) word版
河南省郑州市八所省示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考试题理科数学考试时间：120分钟分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。
考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡)。
在试题卷上作答无效。
一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.命题“若x>2020，则x>0”的否命题是A.若x>2020，则x≤0B.若x≤0，则x≤2020C.若x≤2020，则x≤0D.若x>0，则x>20202.已知△ABC中，角A、B的对边为a、b，a＝1，b＝3，B＝120°，则A等于A.30°或150°B.60°或120°C.30°D.60°3.已知c>1，则不等式x2－(c＋1c)x＋1>0的解集为A.{x|1c<x<c} B.{x|x>1c，或x>c} C.{x|x<1c，或x>c} D.{x|c<x<1c}4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc。
若sinB·sinC＝sin2A，则△ABC的形状是A.等腰且非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，如表给出了S n的部分数据：那么数列{a n}的第四项a4等于A.8127168B.278C.－8116或8116D.－278或2786.设变量x，y满足约束条件y xx3y4x2≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则x－2y的最大值为A.－1B.2C.－6D.47.下列说法中，一定成立的是A.若a>b，c>d，则ab>cdB.若1a>1b，则a<bC.若a>b，则a2>b2D.若|a|<b，则a＋b>08.若a，b为实数，则“b<1a”是“ab<1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列的通项公式为A.a n＝n，n∈N*B.a n1n+n∈N* C.a n n，n∈N* D.a n＝n2，n∈N*10.给出下列结论：①在△ABC中，sinA>sinB⇔a>b；②常数列既是等差数列又是等比数列；③数列{a n}的通项公式为a n＝n2－kn＋1，若{a n}为递增数列，则k∈(－∞，2]；④△ABC的内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则△ABC为锐角三角形。
河南省郑州市八校2020-2021学年高二第一学期期中联考数学(理)试题解析版
2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤D. 若0x >，则2020x >2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150B. 60或120C. 30D. 603. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y-最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 47. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈Cn a *n N ∈ D. 2n a n =，*n N ∈10. 给出下列结论： ①ABC 中，sin sin A B a b >⇔>；的②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,1⎛+ ⎝⎦B. 1,12⎡⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）的16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m > （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ； （2）若a =ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围； （2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加.工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤ D. 若0x >，则2020x >【答案】C 【解析】 【分析】把命题的条件和结论全否定可得到原命题的否命题 【详解】解：因为命题“若2020x >，则0x >”， 所以其否命题为“若2020x ≤，则0x ≤”，故选：C2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150 B. 60或120C. 30D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理列出 关系式，将a ，b ，sin B 的值代入求出sin A 的值，即可确定出A 的度数． 【详解】解：在ABC 中，1a =，b =120B =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，得：1sin 1sin 2a B A b ===， a b <，A B ∴<，则30A =︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，根据c 的范围，可得1c c >，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】不等式可变形为：1()()0x c x c -->，因为1c >，所以1c c>，所以不等式解集为1{x x c<或}x c >，故选：C4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理可知60A =，再利用边角互化，以及条件证明b c =，从而判断ABC 的形状.【详解】根据余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==，因为0180A <<， 所以60A =，根据正弦定理可知22sin sin sin B C A bc a =⇔=， 所以()222220b c a bc bc b c +=+=⇔-=，所以b c =， 则ABC 的形状是等边三角形. 故选：C5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据，可得145,,S S S 的值，即可求得15,a a 的值，根据{}n a 为等比数列，代入公式，即可求得q 的值，根据题中数据，可得0q <，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得111S a ==-，451355,816S S ==-，所以55455138116816a S S =-=--=-， 因为{}n a 为等比数列，所以451a a q ，即481(1)16q -=-⋅，解得32q =±， 又因为110S =-<，41308S =>，所以0q <，所以32q =-， 所以3341327(1)()28a a q ==-⋅-=，故选：B6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数2z x y =-中，z 的几何意义，通过直线平移即可得到z 的最大值．【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩对应的平面区域如图：设2z x y =-，得122z y x =-， 平移直线122z y x =-，当直线122z y x =-， 经过点A 时，直线的在y 轴上的截距最小，此时z 最大，由2x x y =-⎧⎨=⎩，解得(2,2)A --，此时z 的最大值为2222z =-+⨯=， 则2x y -的最大值为：2． 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误； 对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误； 对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法． 8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1b a 则10ab a -<，当0a >时，有1ab <；当0a <，由1ab >； 即由1b a ，不能推出1ab <；反之，由1ab <，也不能推出10ab a -<，即不能推出1b a； 综上，“1b a”是“1ab <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈C. n a =，*n N ∈D. 2n a n =，*n N ∈【答案】C 【解析】 【分析】首先观察得到2211n n a a --=，利用等差数列求通项公式.【详解】由条件可知22211a a -=，22321a a -=， (22)11n n a a --=()2n ≥，∴数列{}2n a 是公差为1，首项为1的等差数列，2n a n ∴=，2n n a n a ∴=⇒=*n N ∈.故选：C10. 给出下列结论：①在ABC 中，sin sin A B a b >⇔>； ②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对于①，在ABC 中，由正弦定理可知有sin :sin :A B a b =，由此可判断；对于②，举反例可判断即可；对于③，利用递增数列的定义可求得k 的取值范围；对于④，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，进而可判断三角形的形状【详解】解：对于①，由正弦定理得，2sin sin a b R A B ==，所以sin ,sin 22a b A B R R==， 因为sin sin A B >，所以22a bR R>，所以a b >，反之也成立，所以①正确； 对于②，常数列0是等差数列，但不是等比数列，所以②错误； 对于③，若{}n a 为递增数列，则10n n a a +->，即221(1)(1)1(1)0n n a a n k n n kn +-=+-++--+>，化简得1210n n a a n k +-=-+>，得21k n <+恒成立， 因为n ∈+N ，所以3k <，所以③错误；对于④，由正弦定理可知，由sin :sin :sin 3:5:7A B C =，得::3:5:7a b c =，设3,5,7a m b m c m ===，则222222925491cos 022352a b c m m m C ab m m +-+-===-<⨯⨯，所以角C 为钝角，所以三角形为钝角三角形，所以④错误， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查数列的单调性，等比数列和等差数列的定义等知识，解题的关键是对所涉及的基本概念和知识要熟悉，属于中档题11. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,12⎛+ ⎝⎦B. 1,122⎡+⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和基本不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再化简sin cos B B +，再利用三角函数的取值范围. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列， ∴2b ac =，∴22221cos 222a cb ac ac B acac +--==，当且仅当a c =取等号，∴0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴124B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查余弦定理和基本不等式，考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项. 【详解】①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确；④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可得数列的通项公式12n n a n +=，进而解12n n+＝712可得n 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，数列32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅…中，其通项公式12n n a n+=，令12n n+＝712，解得6n =，即712是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】 【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）【解析】 【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．【详解】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知sin CE EAC ∠＝sin AC AEC ∠，∴AC sin45°＝20（米），∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝，∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为46＝23（米/秒）．故答案为：23．【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决． 16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．【答案】43+ 【解析】 【分析】先根据条件消掉b ，将14b a =代入原式得18141aa a +--，并用“1”代换法，最后应用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 因此1211a b+--＝121114aa+--， ＝18141a a a +--， ＝12(41)2141a a a -++--， ＝122141a a ++--， ＝12224144a a ⎛⎫++⎪--⎝⎭， ＝()()2124144234144a a a a ⎛⎫⎡⎤+-+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭， ＝2442(41)12234144a a a a --⎡⎤++++⎢⎥--⎣⎦，的(223≥+＝4+3， 当且仅当a“＝”，所以1211a b +--的最小值为43+，故答案为：43+【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<， 又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可. （2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）. 因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=， 解得12q =或13q =-（舍）， 又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6， 故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长．【答案】（1）A 3π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsin2Aπ-=sinAsinB ，化简得到答案.（2）根据面积公式得到bc ＝6，利用余弦定理得到b +c ＝5，得到周长.【详解】（1）2B C bsin asinB +=，∴由正弦定理可得sinBsin 2Aπ-=sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cos 2A =sinA ，即cos 2A =2sin 2A cos 2A，∵2A ∈（0，2π），cos 2A ≠0，∴sin 122A =，∴26A π=，可得A 3π=．（2）a =A 3π=，△ABC 12=bcsinA =bc ，解得bc ＝6， ∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣18，∴解得b +c ＝5，∴△ABC 的周长为5．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R . 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤ 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32， 所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.【答案】（1）0175x <≤；（2）11【解析】【分析】（1）求得从事水果种植农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）. 由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题. 22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）是，22n n a -=；（2）32n n nT -=；（3）2m ≥+或2m ≤-【解析】【分析】（1）由题分析可得12n n a a -=，即得数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列，再写出数列的通项得解； 的（2）求出1682n n n c -=，再利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）设323282n n n n n d T n --=⋅=，求出n d 的最大值即得解. 【详解】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． 则122n n S a +=①， 当1n =时，11122S a +=， 解得112a =． 当2n ≥时，11122n n S a --+=②， ①-②得122n n n a a a -=-， 整理得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列． 所以121222n n n a --=⋅=， 故22n n a -=．（2）由于22n n a -=，所以2242n n b log a n =-=-， 由于n n n b c a =， 则24216822n n nn n c ---==， 所以1280168222n n n T -=+++①， 2311801682222n n n T +-=+++②， ①-②得：23111111684822222n n n n T +-⎛⎫=-++⋯+- ⎪⎝⎭，21111116822481212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⋅--， 42nn =， 故32n n nT -=．（3）设32328328822n n n n n n n n d T n n ---=⋅=⋅=， 则：()1113123253222n n n n n n n n d d ++++----=-=， 当1n =，2，3时，112d =，21d =，378d =， 当1n >时，15302n n +-<， 故n d 的最大值为1， 不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立， 只需21114m m --≥即可， 故2480m m --≥，解得2m ≥+2m ≤-所以m的取值范围是2m ≥+或2m ≤-【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法.要根据数列的通项的特征灵活选用.。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_29
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B 错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；综上所述，当时，所求不等式的解集为或；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为.【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于基础题.19.已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点直线与抛物线分別交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义列方程求出，写出抛物线的方程即可；（2）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，列方程求出，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）抛物线：（）上一点到的焦点的距离为4，由抛物线的定义，得，解得，所求抛物线的方程为.（Ⅱ）由题意知，直线的斜率一定存在.①当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意.②当直线的斜率不为0时，依题意，设直线：，设点，.点均在轴的上方，，，由（Ⅰ）知抛物线的焦点，则.联立直线的方程与抛物线的方程，即，消去并整理得.由，得（因为），且有，，，解得或，又，，：，直线的方程为.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.20.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数的取值范围是多少？【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意可列出，进而解不等式即可求得的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）由题意，得，整理得，解得，又，，最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元.则由题意，知当时，恒有，整理得在时恒成立.，当且仅当，即时等号成立，，又，，的取值范围是.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.21.数列的前项和为，，且成等差数列．(1)求的值；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】(1);(2)见解析;(3).【解析】【分析】，，又成等差数列，解得，当时，得到，代入化简，即可证得结果由得，代入化简得，讨论的取值并求出结果【详解】（1）在中令，得即，①又②则由①②解得.（2）当时，由，得到则又，则是以为首项，为公比的等比数列，，即.（3）当恒成立时，即（）恒成立设（），当时，恒成立，则满足条件；当时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是.【点睛】本题考查了数列的综合题目，在求通项时可以采用的方法来求解，在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题，然后进行分类讨论求出结果．22.圆：（）过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，试证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆过点以及离心率为，结合，列方程组求解，即可得椭圆方程；（Ⅱ）方法一：先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，对于斜率存在的情况，设直线：，与椭圆交点，，联立直线与椭圆的方程，消去并整理，利用判别式及韦达定理，从而可表示出，然后化简求解即可；方法二：先考虑直线斜率为0情况，再考虑直线斜率不为0时，对于斜率不为0的情况，设直线，后续过程同方法一.【详解】（Ⅰ）椭圆：（）过点，.①又椭圆离心率为，，.②联立①②得，解得，椭圆的方程为.（Ⅱ）方法一：当直线斜率不存在时，则，；当直线斜率存在时，设直线：，与椭圆交点，.联立，消去并整理得.由于，，，，，.综上所述，.方法二：当直线斜率为0时，，则；当直线斜率不为0时，设直线：设与椭圆交点，，联立，消去并整理得.由于，，，.，综上所述，.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的综合应用以及椭圆中的定值问题，考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；。
河南省郑州市八校新学年高二数学上学期期中联考试题理(含解析)
河南省郑州市八校高二数学上学期期中联考试题 理（含解析）A. 充分而不必要条件 C.充分必要条件4.下列有关命题的说法中错误的是（ A. 若为假命题,则p 、q 均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“若，则“的逆否命题为：“若 D. 对于命题p ：,使得,则：，均有 5. 已知在△ ABC 中内角ABC 勺对边分别为C. D. a = 2,则b 等于（）B. D.”是“为递增数列”的 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ）,则”ab 边c 上的高为，ab =2,则角C 的大小（）D.）D. 1b 、c ，/ A=60°, b =4,若此三B. 或 D. 8. 在等差数列｛a n ｝中，8 > 0, 32012+32013> 0, a 2012a 2013< 0,则使S n > 0成立的最大自然数n 是（） 10. 在厶 ABC 中, A 为锐角，lg b +lg （） =lgsin A =- lg ，贝U △ ABC 为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形11. 已知数列｛a n ｝满足，S 是数列｛a n ｝的前n 项和，若 S°17+n =1010，且a 1?m > 0，则的最小值为（ ）A. 2B.C.D.12. 若正数x , y 满足x +2y +4=4xy ，且不等式（x +2y ） a 2+2a +2xy -34>0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C.二、 填空题（本大题共 4小题，共20.0分）13. 设数列｛a n ｝满足a 1=1，且a n+1-a n =n +1 （ n € N ），则数列｛｝的前10项的和为 ____ 14. 在厶 ABC 中，已知 b =1, c =2, AD 是/ A 的平分线，A[=，则/ C = _____ . 15. 设不等式组表示的平面区域为Q 1,平面区域 Q 2与Q 1关于直线2x +y =0对称，对于任意的C €Q 1, D€Q 2,则| CD 的最小值为 __________ .16. 在厶ABC 中, / AC 昏60°,BC> 2 ,AC=AB1,当厶ABC 的周长最短时，BC 的长是 ____ 三、 解答题（本大题共 6小题，共70.0分）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分） 1. 已知 a v 0, -1 v b v 0,则有（ ）A. B. 2.在厶ABC 中，/ A = 45°,/ B= 60°, A. C. 3.设是公比为q 的等比数列，则“ .IA. B. C. 6. 若x , y 满足x +1w y < x ,贝U y -2x 的最大值是（ A.B. 2C.7.已知在△ ABC 中，内角A 、B C 所对的边分别为a 、 角形有且只有一个，则 a 的取值范围是（）A. B.A.4025B.40249.已知函数，若数列｛a n ｝满足a n =f (n ) 都有(mn )( a m -a n )> 0,那么实数A. B.C. 4023D. 4022 （n € N +）且对任意的两个正整数m n （m^ n ） a 的取值范围是（）C. D. D.17.设p：实数x 满足x2-4ax+3a2v 0, q：实数x 满足| x-3| v 1.(1)若a=1，且p A q为真，求实数x的取值范围；(2)若a> 0且「p是「q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式kx2-2x+6k v0 (k丰0)1 )若不等式的解集是{x|x v -3 或x> -2} ，求k 的值；(2) 若不等式的解集是R,求k的取值范围;(3) 若不等式的解集为？，求k的取值范围.19.在厶ABC中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，若a, b, c成等差数列，△ ABC 的周长为15，且c2=a2+b2+ab.(I)求厶ABC的面积；(H)设ABC的重心，求CG勺长.20.已知等差数列｛a n｝与公比为正数的等比数列｛t n｝满足b1=2a1=2, a2+b3=10, a s+b2=7.(1)求｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2)若，求数列｛c n｝的前n项和S.21.郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似的为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界ABA[=4万米，BO6万米, C占2万米.(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD勺面积及线段AC的长；(2)因地理条件的限制，边界AD DC不能变更，而边界AB BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点P,使得棚户区改造的新建筑用地APCD勺面积最大，并求最大值.22.各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和为S,且满足•各项均为正数的等比数列｛b n ｝满足b i=a i, b3=a2.(1)求证｛a n｝为等差数列并求数列｛a n｝、｛b n｝的通项公式；(2)若C n= ( 3n-2 )?b n，数列｛C n｝的前n 项和T,.①求T n；②若对任意n》2, n€ N*，均有恒成立，求实数m的取值范围.答案和解析1. 【答案】D【解析】解：••• a v 0, -1 v b v 0,2••• 0v b v 1, ab>0,2 2•ab > a, ab v ab, ab> a,•ab> ab2> a,故选：D．根据不等式的性质,逐一分析四个答案的真假,可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了不等式的基本性质,难度不大,属于基础题．2. 【答案】A【解析】解：由正弦定理可得,• ===故选A由正弦定理可得,,代入可求本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题3. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,考查等比数列的函数性质,属于基础题．根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：设数列的首项为,若为递增数列,则对恒成立,即或,所以由为递增数列,由为递增数列,故“q>1”是“ {a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D．4. 【答案】A【解析】解：对于选项A,由命题p A q为假命题可知命题p和命题p至少有一个为假，命题p、q均为假命题错误，所以选择A项.对于B 项，x=1? X2-3X+2=0，但是X2-3X+2=0^> x=1 故“ x=1” 是“ x2-3x+2=0” 的充分不必要条件,判断对.对于C项，由逆否命题的概念可知C项中的命题是真命题，判断对，对于D项，有特称命题的否定是全称命题可知选项D中的命题的否命题是？p：? x€ R 均有X2+X+1>0,推理对.故选：A.本选择题可以逐一判断，显然对于A选项p A q为假命题可知p、q —假一真或者均为假命题，因此A的结论错误，选择A项即可.对于B项，X=1?X2-3X+2=0,反之无法推出，所以“ X=1”是“ X2-3X+2=0”的充分不必要条件.对于C项条件，结论否定且互换，正确•特称命题的否定是全称命题，由？x€ R,使得X2+X+1 v 0对应的全称命题是：？x € R 均有x2+x+1>0,可知D判断正确.本题考查复合命题的真假判断问题，充要条件，命题的否定，全称命题以及特称命题的概念.5. 【答案】A【解析】解：由题意，根据三角形的面积公式，可得：ab sin C=c?,解得sin C=cos C,即tan C=1,又0v C<n,可得C=.故选：A.根据三角形的面积公式，解得sin C=cos C，即tan C=1,即可求解C的大小；本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，合理选择正、余弦定理求解，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6. 【答案】A【解析】解：作出实数x, y满足不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)令z=-2 x+y，贝U y=2x+z，由图可知当直线y=2x过点A (2, 2)时，z最大，即-2 x+y取最大值为-4+2=-2 ,故选：A.作出x, y满足的可行域，利用z的几何意义即可解答.本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用结合数形结合是解决本题的关键.属于基础题.7. 【答案】C【解析】解：•••在△ ABC中，/ A=60°, b=4,•••由正弦定理可得b sin A=4X =6;故选：c.根据题意求出c sin A=6，然后数形结合可得a的范围.本题考查正弦定理的应用，考查三角形解得情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.8. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，当等差数列中有奇数项时，前n项和等于中间项乘以项数，属于基础题.由题意可得a2012 > 0 , a2013< 0 ,再根据S4024= =2012 ( a2012 + a2013 ) > 0，而So25=4O25a2O13< 0 , 由此可得S>0成立的最大自然数n的值.【解答】解：•.•等差数列｛a n｝，首项a i>0, 82012+82013〉0, 8201282013V 0,•I 82012 > 0 , 82013V 0 .(假设82012V 0 V 82013,则d> 0，而81 > 0，可得82012=81+2011d> 0,矛盾，故不可能.)再根据S i024==2012 (82012+82013 ) > 0,而$025=402582013V 0 ,因此使前n项和S>0成立的最大自然数n为4024.故选B.9. 【答案】C【解析】解：T对任意的两个正整数m n (n)都有(mn)( 8n-8n)> 0,•••数列｛8n｝是递增数列，又••• f (x)=,8n=f ( n)( n € N),•1V 8V 3 且f ( 7)V f (8)2--7 (3- 8) -3 V 8解得8V -9，或8>2故实数8的取值范围是(2, 3) 故选C.由函数f (x)=，数列8n满足8n=f (n) (n€ N),且对任意的两个正整数m n (m5 n)都有(mn)( 8m-8n)> 0,我们得函数f (x)=为增函数，根据分段函数的性质，我们得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得8> 1,且3-8> 0,且f ( 7 )V f (8),由此构造一个关于参数8的不等式组，解不等式组即可得到结论.本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n€ N时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且 f (7)V f (8),从而构造出关于变量8 的不等式是解答本题的关键．10. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则，得到=sin A=，结合A为锐角得到再利用余弦定理表示a2的式子，化简整理得a=b,由此得到厶ABC为以c为斜边的等腰直角三角形.本题给出含有对数的三角形的边角关系式，判断三角形的形状，着重考查了对数的运算法则和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于基础题．【解答】解：T lg b+lg () =lgsin A=-lg , A为锐角，/• =sin A=,艮卩c=K A=,根据余弦定理，得2 2 2 2 2 2a =b +c -2 bc cos=b +2 b -2 b x b x= b ,••• a=b=c，可得△ ABC是以c为斜边的等腰直角三角形.故选：D11. 【答案】A【解析】【分析】本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘 1 法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题.由S2oi7-a i= (a2+a3)+ (a4+a5)+…+ (酝代+阪仃)，结合余弦函数值求和，再由S2oi7+m=1O1O, 可得a i+m=2，由a i?mt>0,可得a i>0, rm>0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值.【解答】解：数列{a n} 满足,得a2+a3=3cos n= -3 ,a4+a5=5cos2 n =5,a6+a7=7cos3 n= -7 ,…，a2016+a2°17=2017cos1008 冗=2017,则S2017-a1=( a2+a3) +( a4+a5) +… +( a2016+a2017)=-3+5-7+9-…+2017=1008,又S2017+m=1010，所以a1+m=2，由a1?m> 0，可得a1> 0，m> 0，则=( a1+m)()=(2++)>( 2+2) =2,当且仅当a1=m=1 时，取得最小值2，故选A.12. 【答案】C【解析】解：T正实数x, y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy-4 ,2•不等式(x+2y) a +2a+2xy- 34 >0 恒成立，即(4xy-4 ) a2+2a+2xy-34>0 恒成立，22变形可得2xy(2a2+1)>4a2-2a+34 恒成立,即xy >恒成立，T x>0, y >0,「. x+2y >2,• 4xy=x+2y+4> 4+2，即2 () 2-?-2>0,解不等式可得》，或w -(舍负)可得xy>2,要使xy》恒成立，只需2》恒成立，化简可得2a2+a-15>0,即(a+3)( 2a-5 )>0,解得a w -3 或a>, 故答案为：(-R, -3] U [, +R).故选：C．原不等式恒成立可化为xy>恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy>2,故只需2》恒成立，解关于a 的不等式可得．本题考查基本不等式的应用, 涉及恒成立问题, 变形并求出需要的最小值是解决问题的关键,属中档题．13. 【答案】【解析】【分析】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题．数列｛a n｝满足a i=1，且a n+i-a n=n+1 (n€ N),禾U用“累加求和”可得a n=.再利用“裂项求和”即可得出.【解答】解：T数列｛a n｝满足a i=1，且a n+i-a n=n+1 (n€ N),••当n时，a n= (a n- a n-i) + …+ (a2- a i) + a i=n+…+2+i = .当n=i 时,上式也成立,•a n=.• =2.•数列｛｝的前n项的和$=•数列｛｝的前i0 项的和为.故答案为：.i4. 【答案】90°【解析】解：因为AD是/ A的平分线，所以=,不妨设BD=2x, CD=x,结合已知得cos / BAD cos / CAD在厶ABD中由余弦定理得BD=AB+AD^2 ABAO ios / BAD即：4X2=4+-2X COS/ BAD …①在厶ACC中，由余弦定理可得CD=AC+AD-2AC?AC cos / CAD即：x2=i+-2X cos/ BAD•②①-②X 2,可得：2x2=2-=，解得：x2=.在厶ADC则，cosC===0./ C=90°.故答案为：90°.根据角平线的性质，可设BD=2X,C DX，然后结合余弦定理列方程解X,然后利用余弦定理求解C 即可.本题考查了解三角形的有关知识和方法， 解题的关键是角平分线的性质以及利用两个角相等结合余弦定理列出方程求解. 15. 【答案】点到直线的距离公式求得答案. 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题. 16. 【答案】2【解析】解：设 A, B , C 所对的边a , b , c , 根据余弦定理可得 a 2+b 2- c 2=2ab cos C=ab ,将b =c +1代入上式，可得 a +2c +1=ac +a , 化简可得c =,所以△ ABC 的周长 L =a +b +c =a +2c +1 =a +1+2?设 a -2= t (t > 0),贝U a =t +2, 可得 L =t +3+2?=3t ++9> 2+9=9+6 当且仅当3t = ,即t =,此时a =2+时， 可得周长的最小值为 9+6. BC 的长是2+. 故答案为：2+. 设A,B, C 所对的边a , b, c ,根据余弦定理可得 a 2+b 2- c 2=ab ,以及b =c +1可得c ,再利用均值不等式即可求出答案.本题考查余弦定理和均值不等式的应用，以及化简变形、运算能力，属于中档题. 17. 【答案】解：(1 )由 x 2-4 ax +3a 2< 0 得(x -3 a )( x - a )< 0当a =1时，1 < x < 3,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x < 3. 由 | x -3| < 1,得-1 < x -3 < 1,得 2< x < 4 即q 为真时实数x 的取值范围是2< x < 4, 若p A q 为真，则p 真且q 真， •••实数x 的取值范围是2< x < 3. (2)由 x -4 ax +3a < 0 得(x -3 a )( x - a )< 0,则Q 冲的点B 与 | AB 的最小值等于 故答案为：. 由题意作出可行域， 到直线 Q i 内的点A 的距离的最小值为 2X =.2x +y =0的距离最小，A 到直线2x +y =0的距离的2倍.数形结合得到的平面区域是Q i 内到直线2x +y =0距离最小的点，由若「p是「q的充分不必要条件，则「p?「4，且「q?「p,设A={x|「p} , B={x|「q}，贝U A?B, 又A={ x|「p}={ x| x w a 或x >3 a}, B={x|「q}={ x| x>4 或x< 2},则O v a w2,且3a>4•••实数a的取值范围是.【解析】(1 )若a=1，根据p A q为真，则p, q同时为真，即可求实数x的取值范围；(2)根据」p是」q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围.本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力．18. 【答案】解：(1 )•••不等式kx2-2x+6k v 0的解集是{x|x v -3或x > -2}，•k v 0，且-3和-2是方程kx2-2x+6k=0的实数根，由根与系数的关系，得( -3) +(-2) =，•k=- ；( 2)不等式的解集是R，2•△ =4-24k2v 0，且k v 0，解得k v -，(3)不等式的解集为？，得△ =4-24 k2w 0,且k>0，解得k>．【解析】( 1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出k 的值；2(2)跟你就题意△ =4-24 k v 0，且k v 0，解得即可，(3)根据题意，得Awo 且k>0，由此求出k的取值范围本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的问题，是综合性题目．19. 【答案】解：(I)设a=x，b=x+d，c=x+2d，由，△ABC的周长为15，可得：x+d=5, 222•c =a +b +ab，•( x+2d) 2=x2+( x+d) 2+x( x+d)，将d=5-x 代入到上式中，解得：x=3，d=2，•a=3，b=5，c=7，•由余弦定理可得：cos C==-，•••由C€( 0,n)，可得C=,• S A AB(=ab sin C==(H)延长CG交AB于F点，贝U F为AB的中点，• =( +)，.•.2= ( +) 2= (2+2+2?) =[3 2+52+2X ]=,•CF=，•CG=CF=．【解析】本题主要考查了数列，余弦定理以及平面向量在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(I)设a=x, b=x+d, c=x+2d,由厶ABC的周长为15,可得：x+d=5,进而由c2=a2+b2+ab, 可得x=3, d=2,解得a=3, b=5, c=7,由余弦定理可得cos C=-,结合范围C€( 0, n) 可得C的值，根据三角形面积公式即可计算得解.(H)延长CG交AB于F点，则F为AB的中点，由=(+),可求CF的值，利用重心的性质可求CG=CF=．20. 【答案】解（1）由题意a1=1，b2=2．设公差为d,公比为q,则，解得．故a n=a1+（n-1 ）d=n；．（2）因为,所以=,故=．【解析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论,进一步利用裂项相消法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用, 裂项相消法在数列求和中的应用, 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．21. 【答案】解：（1 ）•••四边形ABC呐接于圆，•••/ ABC/ ADC180。
河南省郑州市八校2019-2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
对边所成的两条线段与该角的两边对应成比例，利用此结论并结合余弦定理可得到三角形的
为止边长，然后在根据要求解题即可．
x y 3 0,
{x 2 y 3 0,
15.设不等式组 x 1
表示的平面区域为 1 ，平面区域 2 与 1 关于直线
2x y 0 对称，对于任意的 C 1, D 2 ，则 CD 的最小值为__________．
【答案】A 【解析】 【分析】 根据命题的真假,充分与必要条件的关系以及命题之间的关系,特称命题的否定为全称命题等 逐一判断即可. 【详解】本选择题可以逐一判断,显然对于 A 选项 p q 为假命题可知 p、q 一假一真或者均 为假命题,因此 A 的结论错误,选择 A 项即可．
对于 B 项, x 1 可得 x2 3x 2 0 ,反之无法推出,所以“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”
又0 C
C
,可得
=
4
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目
时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,要抓住能够利用某个定理的信息,合理选择正、余弦
定理求解,着重考查了运算与求解能力,属于基础题．
6.若
x，y
满足
1 2
x
1
y
x
,则
y
2x
的最大值是（
）
1 n 1
2n n 1
．∴数列
的前 项的和为 ．故答案为： ．
考点：（1）数列递推式；（2）数列求和.
14.在
ABC
中，已知
b
1, c
2,
AD
是
A
的平分线，
AD
2
2019-2020学年高二上学期期中考试数学理科试卷 Word版含解析
数学理工类本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.考生作答时，须将★答案★答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将★答案★标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.2.填空题和解答题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知直线1:l y x =，若直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为（ ） A.4π B. ()4k k Z ππ+∈C.34π D.3()4k k Z ππ+∈ 【★答案★】C 【解析】 【分析】根据直线垂直，则可求得2l 的斜率，再根据斜率求得倾斜角，即可选择. 【详解】因为直线1:l y x =，直线21l l ⊥，故可得21l k =-. 设直线2l 倾斜角为θ，则1tan θ=-，又[)0,θπ∈，故可得34πθ=. 故选：C.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，以及由斜率求解倾斜角，属综合基础题.2. 如图是某学生在七次周考测试中某学科所得分数的茎叶图，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）7983463793A. 84，86B. 84，84C. 83，86D. 83，84【★答案★】D 【解析】 【分析】根据茎叶图将数据一一列举，即可得到众数和中位数；【详解】解：由茎叶图可得，这几个数据分别是79,83,83,84,86,87,93； 故众数为83，中位数为84； 故选：D【点睛】本题考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，确定众数与中位数是关键，属于基础题． 3. 准线方程为2x =的抛物线的标准方程为（ ） A. 24y x =- B. 28y x =-C. 24y x =D. 28y x =【★答案★】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线28y x =-，可得4p =，且开口向左，其准线方程为2x =. 故选B ．考点：抛物线的几何性质．4. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） A. 123p p p =< B. 231p p p =< C. 132p p p =< D. 123p p p ==【★答案★】D 【解析】试题分析：根据随机抽样的原理可得，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3.注意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的. 考点：随机抽样5. 如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列描述中不正确．．．的是（ ）A. 与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元【★答案★】C【解析】【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.【详解】由2018年第一季度五省GDP情况图，知：在A中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，A正确；在B中，2018年第一季度GDP增速由髙到低排位第5的是浙江省，故B正确；在C中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故C不正确；在D中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故D正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.6. 已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的渐近线上，则E的离心率等于A.32B. 52C. 5D. 52或5【★答案★】B 【解析】由题意得：点()2,1在直线by x a=上， 则12b a = 2252a b e a +∴==故选B7. 从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. B 与C 互斥 B. 任何两个均互斥 C. A 与C 互斥 D. 任何两个均不互斥【★答案★】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判断出结果.【详解】事件C 包含事件B ，故A 、B 错误； 事件A 与事件C 没有相同的事件，故C 正确，D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查互斥事件的判断，属于基础题.8. 在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A.14B.12C.23D.34【★答案★】B 【解析】 【分析】这是一个几何概型长度类型，先得到直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交时的k 的范围，再由k 是取自区间[1,1]-上的一个数，代入公式求解. 【详解】若直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交， 则圆心到直线的距离小于半径， 即2511<+k k，解得1122k -<<， 又因为在区间[1,1]-上随机取一个数k ，所以直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为()11122112⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--p . 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的x 等于（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【★答案★】C 【解析】执行程序框图，x 1,y 2==-；2,3x y ==；4,1x y ==；8,x = 结束循环，输出8,x =故选C. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 设12,F F 为椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在此椭圆上，且122PF PF ⋅=-，则12PF F △的面积为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 2【★答案★】C 【解析】 【分析】 由122PF PF ⋅=-，可得1212cos 2PF PF F PF ⋅∠=-，再由124PF PF +=及余弦定理计算可得121cos 2F PF ∠=-，再根据同角三角函数的基本关系，可得123sin 2F PF ∠=，最后由面积公式计算可得；【详解】解：因为2214x y +=，所以124PF PF +=，1223F F =因为122PF PF ⋅=-，所以1212cos 2PF PF F PF ⋅∠=-在12F PF △中由余弦定理可得222121212122cos F F F P PF F P PF F PF =+-⋅∠， 即()22121222F P PF =+-⨯-又221212216FP PF F P PF ++⋅=， 即22128F P PF +=，124F P PF ⋅=所以121cos 2F PF ∠=-，再由221212sin cos 1F PF F PF ∠+∠= 所以123sin 2F PF ∠=所以121212113sin 43222PF F S PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯=△ 故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的应用、椭圆的简单性质和椭圆的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．11. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点O 为坐标原点，点P 在双曲线左支上，12PF F △内切圆的圆心为Q ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则||OB 为（ ） A. aB. bC.2a b+ D. ab【★答案★】A 【解析】 【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把12||||2PF PF a -=，转化为12||||2AF AF a -=，从而求得点A 的横坐标．再在三角形2PCF 中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△12F CF 中，利用中位线定理得出OB ，从而解决问题．【详解】解：根据题意得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设12PF F △的内切圆分别与1PF ，2PF 切于点1A ，1B ，与12F F 切于点A ， 则11||||PA PB =，111||||F A F A =，212||||F B F A =， 又点P 在双曲线右支上，12||||2PF PF a ∴-=，12||||2F A F A a ∴-=，而12||||2F A F A c +=，设A 点坐标为(,0)x ， 则由12||||2F A F A a -=， 得()()2x c c x a +--=， 解得x a =，||OA a =，∴在△12F CF 中， 1111()22OB CF PF PC ==-1211()222PF PF a a =-=⨯=， ||OB ∴的长度为a ．故选：A ．【点睛】本题考查两条线段长的求法，解题时要熟练掌握双曲线简单性质的灵活运用，属于中档题． 12. 下列说法正确的个数是（ ）①设某大学的女生体重(kg)y 与身高(cm)x 具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,3,,)i i x y i n =，用最小二乘法建立的线性回归方程为0.8585.71y x =- ，则若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；②关于x 的方程210(2)x mx m -+=>的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；④已知F是椭圆221 43x y+=的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于3，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是3333(,)(,)282-∞-.A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】C【解析】【分析】根据回归方程的意义判断①；先推出方程的一根大于1 , 一根大于0小于1,结合椭圆与双曲线离心率定义可判断②；利用参数法求出动点P的轨迹可判断③；由题意画出图形，得到满足直线FP 的斜率大于3的P所在的位置，求出直线OP的斜率的取值范围可判断④.【详解】①根据回归方程的意义，结合回归方程为0.85 5.1ˆ87y x=-，可得该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；②关于x的方程210(2)x mx m-+=>的两根之和大于2 , 两根之积等于1, 故两根中，一根大于1 , 一根大于0小于1,可分别作为椭圆和双曲线的离心率,正确；③设定圆C的方程为()()222x a x b r-+-=，定点()00,A x y，设()cos,B a r b rsinθθ++，(),P x y，由()12OP OA OB=+，得cos22x a rxy b rsinyθθ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，消去参数θ，得()()2220022x x a y y b r--+--=，即动点P的轨迹为圆，③错误.④由22143x y+=，得22224,3,1a b c a b===-=，则()1,0F-，如图：过F 作垂直于x 轴的直线，交椭圆于331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过F 斜率为3的直线与椭圆交于()8330,3,,55M N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，当P 在椭圆弧上,AM BN 上时，符合题意， 又32OA k =-，32OB k =，338ON k =，当P 在椭圆弧AM 上时，直线OP 的斜率的取值范围是 3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，当P 在椭圆弧BN 上时， 直线OP 的斜率的取值范围是333,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，即满足直线FP 的斜率大于3，直线OP 的斜率的取值范围是3333,,282⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确，综上可知正确命题个数为3，故选C. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查回归方程的意义、椭圆与双曲线的离心率、动点的轨迹以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13. 我国古代数学算经十书之一《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人.凡三乡，发役五百人，则北乡遣___________人.【★答案★】180 【解析】 【分析】根据分层抽样原理计算抽样比例，从而求出北乡应遣人数． 【详解】解：根据分层抽样原理，抽样比例为500181007488691245=++，∴北乡应遣1810018045⨯=（人)． 故★答案★为：180．【点睛】本题考查了分层抽样方法应用问题，属于基础题．14. 双曲线224160x y -+=的渐近线方程为_________.【★答案★】2y x =± 【解析】 【分析】首先将双曲线方程化为标准式，再只需要令其右边为0即可求双曲线的渐近线方程．【详解】解：因为224160x y -+=，所以221164y x -=所以220164y x -=，解得2y x =±故双曲线的渐近线方程为2y x =± 故★答案★为：2y x =±【点睛】本题考查双曲线的简单性质，利用方程右边为0得渐近线方程是解题的关键，属于基础题．15. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，且||||AF BF >，若||2||BC BF =，则||AF =_________. 【★答案★】4 【解析】 【分析】分别过A 、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将A 、B 到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知即可得到||AF .【详解】作AM 、BN 垂直准线于点M 、N ， 则BN BF =，又||2||BC BF =，得||2||BC BN =23BN p ∴= ，43BN ∴=，83BC =， 48433CF ∴=+=， BC p AM CA =， 244AF AF∴=+，解得4AF =. 故★答案★为：4【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，掌握定义是解题的关键，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，过点(2,0)Q a -且斜率为11(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，点M 关于原点的对称点为N ，设直线PN 的斜率为2k ，则12k k 的值为_________. 【★答案★】12- 【解析】 【分析】设()11,P x y ，()22,M x y ，则()22,N x y --，求得12112y y k x x -=-，12212y y k x x +=+，由题意可得22a b c ==，则椭圆的方程可化为22222x y b +=，采用点差法即可求得★答案★．【详解】解：设()11,P x y ，()22,M x y ，则()22,N x y --，∴12112y y k x x -=-，12212y y k x x +=+，∵椭圆的离心率22c e a ==， ∴2a c =，又222a b c =+， ∴22a b c ==，∴椭圆的方程可化为22222x y b +=， ∵直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，∴2221122x y b +=，2222222x y b +=，作差得()()2222121220x x y y -+-=，即()()222212122x x y y -=--，∴12121212122122221212y y y y y x y k k x x x x x -+=⋅-=--=-+， 故★答案★为：12-． 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，考查点差法求斜率，考查计算能力，属于中档题． 三、解答题：(17题10分，其余每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为,a b . （1）设向量(,)m a b =，(2,1)n =-，求1m n ⋅=的概率；（2）求在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2的概率.【★答案★】（1）112；（2）12【解析】 【分析】首先求出先后抛掷一枚骰子两次包含的基本事件个数.（1）利用向量数量积的坐标运算可得21a b -=，再求出满足条件的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）列出点数,a b 之和不大于5的基本事件个数，再列出,a b 中至少有一个为2的基本事件个数，利用条件概率计算公式即可求解. 【详解】解：先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别记为,a b ”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个. （1）记“向量(,)m a b =，(2,1)n =-，且1m n ⋅=”为事件A ， 由1m n ⋅=得：21a b -=，从而事件B 包含(1,1),(2,3),(3,5)共3个基本事件， 故31()3612P A ==. （2）设“点数,a b 之和不大于5”为事件B ，包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件； 设“,a b 中至少有一个为2”为事件C ，包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件， 故“在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2” 的概率：()51()102n BC P n B ===. 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、条件概率计算公式、列举法求基本事件个数，属于基础题.18. 已知圆221240C x y x y m ++=：－－，（1）求实数m 的取值范围；（2）若直线240l x y +=：－与圆C 相交于M N 、两点，且OM ON ⊥，求m 的值.【★答案★】（1）5m <；（2）85【解析】 【分析】（1）将圆配凑成标准方程，利用20R >，解出即可．（2）设出直线，联立方程，利用韦达定理求出12y y ，再计算出12x x ，由OM ON ⊥，即12120x x y y +=，解出即可．【详解】解：（1）配方得22(1)(2)5x y m -+-=-,所以50m ->,即5m <.（2）设()()1122,,M x y N x y 、，OM ON ⊥，所以12120x x y y +=，由22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩得251680y y m -++=， 因为直线与圆相交于M N 、两点,所以()2162080m ∆=-+>,即245m <. 易得1212168,55m y y y y ++==， ()()12124242x x y y ∴=-⋅-()12121684y y y y =-++，从而由12120x x y y +=得8416055m m +-+=， 解得85m =，满足5m <且245m <，所以m 的值为85. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理及运算能力，属于基础题．19. 已知高中学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，在一次考试中某班7名学生的数学成绩与物理成绩如下表： 数学成绩()x8883 117 92 108 100 112物理成绩()y 94 91 108 96 104 101 106（1）求这7名学生的数学成绩的极差和物理成绩的平均数；（2）求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程；若某位学生的数学成绩为110分，试预测他的物理成绩是多少？ 下列公式与数据可供参考：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式：1221ˆni ii nii x ynx y b xn x==-⋅=-⋅∑∑，ˆˆa y bx =-⋅； 222222288831179210810011270994++++++=，222222294911089610410110670250++++++=，88948391117108929610810410010111210670497⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【★答案★】（1）极差是34分，平均数为100分；（2）1ˆ502yx =+，105分 【解析】 【分析】（1）根据极差和平均值的定义计算可得★答案★；（2）根据公式计算出ˆb和ˆa ，代入ˆˆˆy bx a =+即可得到回归方程，将110x =代入回归方程可得★答案★.【详解】（1）7名学生的数学成绩的最大值为117分，最小值为83分，所以7名学生的数学成绩的极差是11783-=34分； 7名学生的物理成绩的平均数为9491108961041011067++++++=100分.（2）∵数学成绩的平均分为100x =，物理成绩的平均分为100y =∴27049771001001ˆ7099471002b-⨯⨯==-⨯，从而1ˆ100100502a =-⨯= ∴y 关于x 的线性回归方程为1ˆ502y x =+ 当110x =时，105y =，即当他数学成绩为110分时，预测他物理成绩为105分. 【点睛】本题考查了求极差、平均数，回归直线方程，属于基础题.20. 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3w =时，估计该市居民该月的人均水费．【★答案★】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元. 【解析】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过3立方米的居民占0085，所以w 至少定为3；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可. 试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[](](](](]0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占0085，用水量不超过2立方米的居民占0450．依题意，w 至少定为3（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 12345678分组 []2,4 (]4,6 (]6,8 (]8,10 (]10,12 (]12,17 (]17,22 (]22,27频率 0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 考点：1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.21. 在平面直角坐标系内，已知点()2,0A，圆B 的方程为()22216x y ++=，点P 是圆B 上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线BP 相交于点Q .（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）过点()1,1M -能否作一条直线m ，与点Q 的轨迹交于,C D 两点，且点M 为线段CD 的中点？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.【★答案★】（1）22142x y +=；（2）能，230x y -+=. 【解析】 【分析】（1）由题意4QA QB QP QB BP +=+==，224BA BP =<=.由椭圆的定义可得Q 的轨迹方程；（2）当直线m 的斜率不存在时，不符合题意. 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为()11y k x -=+，代入Q 的轨迹方程. 设点()()1122,,,C x y D x y ，由点M 为线段CD 的中点，可得122x x +=-，可求k ，即求直线m 的方程. 【详解】（1）连接QA ，由题意QA QP =，||||||||4QA QB QP QB BP ∴+=+==. 又点A 在圆内，224BA BP ∴=<=.根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,B A 为焦点，4为实轴长的椭圆. 其中222,24c a ==，2,2c a ∴==，2222b a c ∴=-=，所以Q 的轨迹方程为22142x y +=.（2）易知当直线m 的斜率不存在时，不符合题意.设经过点(1,1)M -的直线m 的方程为()11y k x -=+，即1y kx k =++把1y kx k =++代入轨迹方程22142x y+=，得222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +++++-= ()*设点()()1122,,,C x y D x y ，则()12241212k k x x k++=-=-+，解得12k = 此时()*方程为23610x x ++=，方程根的判别式为3612240∆=-=>，所以()*方程有实数解.所以直线m 的方程为230x y -+=.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.22. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且||8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）点P 是抛物线C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 与抛物线C 的准线分别交于点M 、N ，求证：FM FN ⋅为定值.【★答案★】（1）24y x =；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线:2AB pl y x =-，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义，由128AB AF BF x x p =+=++=求解.（2）设00(,)P x y ，得到直线101110:()y y PA y y x x x x --=--，令1x =-，得到011010(1)(1)y x y x y x x +-+=-，再根据点,,A B P 均在抛物线2:4C y x =上 ，将2004y x =，2114y x =，代入化简得到01014M y y y y y -=+，同理可得点N 的纵坐标为02024N y y y y y -=+，然后由数量积坐标运算求解.【详解】（1）由题意知(,0)2p F ，则直线:2AB pl y x =-， 代入抛物线2:2(0)C y px p =>，化简得22304p x px -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212123,4p x x p x x +==，因抛物线C 的准线方程为2p x =-， 由抛物线的定义得128AB AF BF x x p =+=++=，∴382p p p +=⇒=，故抛物线C 的方程为24y x =.（2）设00(,)P x y ，则直线101110:()y y PA y y x x x x --=--， 当1x =-时，101011011010()(1)(1)(1)y y x y x y x y y x x x x ---+-+=+=--，∵点,,A B P 均在抛物线2:4C y x =上∴2004y x =，2114y x =∴22010101220101(1)(1)44444y y y y y y y y y y y +-+-==+-， 即点M 的纵坐标为01014M y y y y y -=+，同理可得点N 的纵坐标为02024N y y y y y -=+，∴2010********010*******444()16()M N y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---++⋅=⋅=+++++， 由（1）知121212124,44y y x x p y y x x +=+-==-=-， ∴4M N y y ⋅=- ∴(2,)(2,)40M N M N FM FNy y y y ⋅=⋅=+=，为定值.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，焦点弦以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。