数值分析习题解答4
第四章 数值积分方法与数值微分 (习 题)
1．直接验证梯形公式（1.2）与中矩形公式（1.3）具有1次代数精度，而辛甫生公式（1.4）则具有3次代数精度. 解
梯形公式：
⎰+-≈
b
a
b f a f a
b dx x f )]()([2
)(. 矩形公式： ⎰+-≈b a b
a f a
b dx x f )2
()()(.
以上两求积公式以 ,1)(=x f x 代入公式两边，结果相等，而以2
)(x x f =
代入公式两边，其结果不相等.故梯形公式的代数精度等于1. Simpson 公式：
⎰
+++-≈
b a
b f b
a f a f a
b dx x f )]()2
(4)([6)(. 容易验证：以2
,,1)(x x x f =分别代入Simpson 公式两边，结果相等。
以3
)(x x f =代入 左边=
)(444
13a b dx x b
a
-=⎰
右边=[
]
32
322322332
3
3
3
36246b ab b a a a b b b a a a b +++-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛++- =
).(4
144
a b - Simpson 公式两边，结果相等。
而以4
x 代入Simpson 公式两边，其结果 不相等。
故Simpson 求积公式的代数精度为3. □
3．对于⎰
=h dx x f I 30
)(的数值积分公式⎰
=
h h dx x p I 30
)(，其中)(x p 为对)(x f 在
h h x 2,,0=进行插值的2次多项式.证明：)()0(8
354h O f h I I h +'''⋅=-.
证明： )(x P 为)(x f 于h h x 2,,0=进行插值的二次多项式，则： )()()(x R x P x f += 其中： )2()(!
3)
()(h x h x x f x R --'''=ξ. 求积分公式误差
⎰
⎰-=
h
h
dx x P dx x f f E 3030
)()()(
⎰
--'''=h
dx h x h x x f 30
)2()(!
3)
(ξ
⎰
--'''=
h
dx h x h x x f 30
)2()(!
3)
0( ⎰
--+
h
dx h x h x x f 30
)4()2()(!
3)
(ξη, 其中： h 20<<ξ, )(0)0(8
3
)(54h h f f E +⋅'''=. □
4．证明 中矩形公式的Peano 核误差公式为：
⎰
⎰
''=
-h h dt t f t k h hf dx x f 0
)()()2/()(,
其中 ⎩⎨⎧≤≤-≤
≤=,
,
2/)(,
0,
2/)(2
2
2
2h t t h t t t k h h
并由此导出误差形式
⎰
∈''+⋅=h h f h h f h dx x f 0
3
],0[),
(24
)2/()(ξξ.
解 已知中矩形公式对于一次多项式精确成立，由Taylor 展开： ⎰''-+
'+=+
h
dt t f t x x f f x f 0
)()
()0()0()(
)()(1x R x P +=. ⎰
⋅-=
h h
f h dx x f f E 0
)2
()()(
又： )()()(1R E R P E f E =+= ])()([)(0
⎰
''-=+h
dt t f t x E R E
⎰⎰''-=
+h
h
dx dt t f t x 00
)()(⎰''-⋅-+h
dt t f t h
h 0)()2( ⎰⎰''---=++h h dt t f t h
h dx t x 00)(])2
()([
⎰++-⋅--=h t h h dx t x t K 0)2()()(+---=)2
(2)(2t h h t h ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-≤≤=h
t h t h h
t t 2!2)(20,2
22
. □ )(24
)()()()()(3
00
ξξf h dt t K f dt t f t K f E h
h
''=''=''=⎰⎰
5. 求系数321,A A A 和，使求积公式
⎰
-+-+-≈11
321),3/1()3/1()1()(f A f A f A dx x f
对于次数2≤的一切多项式都是精确成立的.
解：求积公式
⎰
-+-+-≈1
1
321)3
1()31()1()(f A f A f A dx x f
是一个插值型求积公式，令 2
,,1)(x x x f =得： ,2321=++A A A
,031
31321=+--A A A 329
1
91321=++A A A ，
解得： 2
11=A ， 02=A ，233=A
12. 确定参数a 使求积公式的代数精度尽可能地高
)].()0([)]()0([2
)(20
h f f ah h f f h
dx x f h '-'++≈
⎰
(*) 解 令： n
x x f =)( ， 2≥n 得：
11
12
111+++-=+n n n anh h h n , an n -=+2
1
11, )1(21+-=
n n n a (*)
公式
对1)(=x f 、x 精确成立.
当 2=n 时， 12
1=a ， 3=n 时， 12
1
=a ，4=n 时，40
3
=a ，
故：当取 12
1=a 时，（*）具有3次代精确度. □
13 假定求积公式
⎰
-≈11
002)()(x f A dx x f x
对于1，x 精确成立，试求00,A x 解： 由
⎰-=1
102
A dx x ， ⎰-=1
1003
x A dx x
可得： 323
1130==-x A ，⎰-=112
00
1dx x A x 0= 故： ⎰-≈112
)0(3
2)(f dx x f x . □
14. 建立Gauss 型求积公式：)()()(221110
x f A x f A dx x
x f +≈⎰
.
解： 令：
)()()(211x x x x x f --=， 和 )()()(212x x x x x x f --= 代入 得：
7
6
21=+x x ， 35321=⋅x x
5672731⋅-=
x ， 5
6
72732+=x 6
5
3111+
=A ， 0-+ □
16. 求数值微分公式的余项.
h h x f h x f x f x f 2/))2()(4)(3()(0000+-++-≈'.
解：于 0x ，h x 20+ ，h x +0三点作)(x f 的Lagrange 插值多项式： )(2)
2()()(02
002x f h
h x x h x x x L ----=
)()2()(0
200h x f h h x x x x +----+
)2(2)
()(02
00h x f h h x x x x +---+. )(2322)(02
02
x f h
h
x x x L --=' )()
222(0
2
0h x f h h x x +---+
)2(2)22(020h x f h h x x +--+. 令 0x x = ，得：
)()(02
0x L x f '≈'h h x f h x f x f 2/))2()(4)(3(000+-++-= 余项：因为
)2)()((!
3)
()()()(000)3(2h x x h x x x x f x L x f x R -----=
-=ξ 有
.3
)()()()(2
)3(02
00h f x L x f x R ξ='-'='。
数值方法课后习题答案第4章
解线性方程组迭代法
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习题4-1
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习题4
习题4
习题4
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8.
设A为严格对角优势阵，证明：
习题4
9. A是n阶非奇异阵，B是n阶奇异阵，试求证：
习题4
习题4
P91
P91.
x0
p0 r0
Ap0
x1
r1
p1
Ap1
x2
r2
0
3
7
30/29=
17/29=
1360/841=
1530/841=
14/9=
0.3
P91
1.034482758 0 1 8 10/29= 0.344827586
0.570796875 0.493315839 0.500166165 0.499999398 1.001438281 0.998173633 1.000074653 1.000013383 -0.49943416 -
0.500558834 0.499923587 0.500003961
w=1.03
10 29 a0 =10/29=0.344827586
2890/841=3.436385254 260100/24389=10.66464388 a1 =8381/26010=0.322222222 -289/29= -9.965517218 b0 =289/841=0.343638524
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析课后习题答案
0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自，所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
应用数值分析【研究生课程】课后习题答案04章
应用数值分析【研究生课程】课后习题答案04章第四章习题解答1、 求下列矩阵的满秩分解。
121002123011,04111002514211A A ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦解：因为1A 的秩为2，可求出满秩分解为11110011001001121A B C ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦又因为2A 的秩为2，可求出满秩分解为22210212301041111A B C ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2、 根据定义求下列矩阵的广义逆A +。
1210012011,24100211A A ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦解：（1）先求出1A 的一个满秩分解。
因为1A 的秩为1，可求出满秩分解为[]1111122A B C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦于是有[]11111111111()12511()52T T T T B B B B C C C C +-+-==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦最后得1111212524A C B +++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（2）先求出2A 的一个满秩分解。
因为2A 的秩为2，可求出满秩分解为22210011001001121A B C ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦于是有1222212222111114444()5131144441011()052102T TT T B B B B C C C C +-+-⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦最后得222111144441311888813118888A C B +++⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦3、 证明下述广义逆矩阵的性质，设,m nn m A R A R ⨯+⨯∈∈。
（1）()AA ++=；（2）2()AA AA ++=；（3）2()AA A A ++=。
证明：（1）因为由定义可得,,(),()T T A AA A AA A A A A A A AA AA ++++++++====故由广义逆的定义可知()A A ++=。
数值分析课后习题答案4
第一章题12给定节点01x =−，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1）3()432f x x x =−+（2）（2）43()2f x x x =−解（1）(4)()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()()04!f f x p x x x x x x x x x ξ−=−−−−=；（2）(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!f x p x x x x x x x x x −=−−−−(1)(1)(3)(4)x x x x =+−−−.题15证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差01210()()()max ()8x x x x x f x p x f x ≤≤−′′−≤.证由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!f f x p x x x x x ξ′′−=−−，其中01x x ξ≤≤，010101max ()()()()()()()()2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()8x x x x x f x ≤≤−′′≤.题22采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x .解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2123()23p x a a x a x ′=++，代入得方程组001231123010231a a a a a a a a a =⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪++=⎩解之，得01230021a a a a =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=−⎩23()2p x x x ∴=−；（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，可设2()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2()p x x ∴=；再求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ，可设22()(1)p x x bx x =+−，2()22(1)p x x bx x bx ′=+−+∵，代入(1)1p ′=，得1b =−，2223()(1)2p x x x x x x ∴=−−=−.题33设分段多项式323201()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.解由(1)2S =得212b c ++−=，1b c ∴+=；223201()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<′=⎨++<<⎩，由(1)5S ′=得625b c ++=，21b c ∴+=−；联立两方程，得2,3b c =−=，且此时6201()12212x x S x x b x +<<⎧′′=⎨+<<⎩，(1)8(1)S S −+′′′′==，()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.题35用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627x y x y x y x y +=⎧⎪−=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.解记残差的平方和为2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+−+−−++−++−令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37用最小二乘法求形如2y a bx =+的多项式，使与下列数据相拟合：x1925313844y19.032.349.073.397.8解拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，20()x x ϕ=，其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，其中00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，20.97260.05y x ∴=+.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：（2）10120113()(()()424f x dx A f A f A f ≈++∫（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，11000013()(224()11133()()4244x x A l x dx dx −−===−−∫∫，11110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx −−===−−−∫∫，11220011()242()31313()4442x x A l x dx dx −−===−−∫∫，10211123()()()(343234f x dx f f f ∴≈−+∫，当3()f x x =时，有左边＝113001()d d 4f x x x x ==∫∫，右边＝3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边＝右边，当4()f x x =时，有左边＝114001()d d 5f x x x x ==∫∫，右边＝44421112321112337()()()()()()343234343234192f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8已知数据表x 1.11.3 1.5xe3.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1.51.1x e dx∫.解辛甫生法1.51.1xe dx ∫()1.5 1.13.00424 3.66934.4817 1.477546−≈+×+=；复化梯形法1.51.1xe dx ∫()0.23.00422 3.66934.4817 1.482452≈+×+=.题17用三点高斯公式求下列积分值12041dxx π=+∫.解先做变量代换，设)(1+21=t x ，则1204d 1x x +∫＝112112418d d 124(1)1(1)4t t t t −−⋅=++++∫∫()2225888589994014141≈×+×+×++⎛⎞⎞++⎜⎟⎟⎝⎠⎠3.141068=.第三章用欧拉方法求解初值问题y ax b ′=+，(0)0y =：（1）试导出近似解n y的显式表达式；解（1）其显示的Euler 格式为：11111(,)()n n n n n n y y hf x y y h ax b −−−−−=+=+⋅+故122()n n n y y h ax b −−−=+⋅+⋯⋯100()y y h ax b =+⋅+将上组式子左右累加，得0021()n n n y y ah x x x nhb−−=+++++⋯(02(2)(1))ah h h n h n h nhb =+++−+−+⋯2(1)/2ah n n nhb=−+题10选取参数p 、q ，使下列差分格式具有二阶精度：1111(,)n n n n y y hK K f x ph y qhK +=+⎧⎨=++⎩.解将1K 在点(,)n n x y 处作一次泰勒展开，得11(,)n n K f x ph y qhK =++21(,)(,)(,)()n n x n n y n n f x y phf x y qhK f x y O h =+++()221(,)(,)(,)(,)(,)()(,)()n n x n n n n x n n y n n y n n f x y phf x y qh f x y phf x y qhK f x y O h f x y O h =++++++2(,)(,)(,)(,)()n n x n n n n y n n f x y phf x y qhf x y f x y O h =+++代入，得()21(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y h f x y phf x y qhf x y f x y O h +=++++2231(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y hf x y ph f x y qh f x y f x y O h +=++++而231()()()()()()2n n n n n h y x y x h y x hy x y x O h +′′′=+=+++23()(,())(,())(,())(,())()2n n n x n n n n y n n h y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h ⎡⎤=++++⎣⎦考虑其局部截断误差，设()n n y y x =，比较上两式，当12p =，12q =时，311()()n n y x y O h ++−=.第四章题2证明方程1cos 2x x=有且仅有一实根；试确定这样的区间[,]a b ，使迭代过程11cos 2k kx x +=对一切0[,]x a b ∈均收敛.解设1()cos 2f x x x=−，则()f x 在区间(,)−∞+∞上连续，且11(0)cos 0022f =−=−<，1(cos 022222f ππππ=−=>，所以()f x 在[0,]2π上至少有一根；又1()1sin 02f x x ′=+>，所以()f x 单调递增，故()f x 在[0,]2π上仅有一根.迭代过程11cos 2k k x x +=，其迭代函数为1()cos 2g x x=，[0,]2x π∀∈，110()cos 222g x x π≤=≤≤，()[0,]2g x π∴∈；1()sin 2g x x ′=−，1()12g x ′≤<，由压缩映像原理知0[0,2x π∀∈，11cos 2k kx x +=均收敛.注这里取[,]a b 为区间[0,]2π，也可取[,]a b 为区间(,)−∞+∞等.题5考察求解方程1232cos 0x x −+=的迭代法124cos 3k kx x +=+（１）（１）证明它对于任意初值0x 均收敛；（２）证明它具有线性收敛性；证（1）迭代函数为2()4cos 3g x x=+，(,)x ∀∈−∞+∞，()(,)g x ∈−∞+∞；又22()sin 133g x x ′=−≤<，由压缩映像原理知0x ∀，124cos 3k k x x +=+均收敛；（2）***1*2lim ()sin 03k k k x x g x x x x +→∞−′==−≠−（否则，若*sin 0x =，则*,x m m Z π=∈，不满足方程），所以迭代124cos 3k kx x +=+具有线性收敛速度；题7求方程3210x x −−=在0 1.5x =附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛：（１）（１）改写方程为211x x =+，相应的迭代公式为1211k k x x +=+；（２）（２）改写方程为321x x =+，相应的迭代公式为1k x +=解（1）3232211011x x x x x x −−=⇔=+⇔=+，迭代公式为1211k k x x +=+，其迭代函数为21()1g x x =+[1.3,1.6]x ∀∈，2221111.3 1.3906111 1.5917 1.61.6 1.3x ≤≈+≤+≤+≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又32()g x x ′=−，333222-0.9103==-0.48831.3 1.6x −−−≤≤，()0.91031g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1211k k x x +=+均收敛；（2）3232101x x x x x −−=⇔=+⇔=1k x +=其迭代函数为()g x =[1.3,1.6]x ∀∈，1.3 1.3908 1.5269 1.6≤≈≤≤≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又()g x ′=，00.4912≤≤≤=，()0.49121g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1k x +=均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：1231231235325242511x x x x x x x x x +−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=−⎩（2）其雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组）12312312323553476335x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解（2）对其增广矩阵进行列主元消元得23553476347634763476235501/31/3105/32/331335133505/32/3301/31/31⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠347605/32/33001/52/5⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠回代求解上三角方程组1232333476523331255x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得321214x x x =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，所以412x −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.。
数值分析第四版课后习题答案
第一章习题解答1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。
3.14,7/100)4(143.0,7/1)2(0031.0,1000/)3(1.3,)1(========x a x a x a x a ππ试估计x 的绝对误差和相对误差。
解：（1）0132.00416.01.3≈=≈−=−=aee x a e r π （2）0011.00143.0143.07/1≈=≈−=−=a ee x a e r （3）0127.000004.00031.01000/≈=≈−=−=aee x a e r π （4）001.00143.03.147/100≈=≈−=−=aee x a e r2、已知四个数：001.0,25.134,0250.0,3.264321====x x x x 。
试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算3211x x x =μ和1431/x x x =μ的相对误差限。
解：21111121101901.0,1021,3,10263.06.23−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ22214212102.0,1021,3,10250.00250.0−−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ 43332333103724.0,1021,5,1013425.025.134−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ 5.0,1021,1,101.0001.04443424==⨯==⨯==−−x x x x n x r δδδ 由相对误差限公式：i r ini n in ni i ir x x fx x f x x x f x x f u δδδ∂∂=∂∂=∑∑==1111),,(),,()(所以有：232123113211103938.0)(1)(−⨯≈++=x x x x x x x x x r δδδμμδ4971.0)(1)(4133141214311≈++−=x x x x x x x x x x r δδδμμδ 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。
李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)
第4章
复习与思考题
习题 1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。
(1)
1 0
4
x x2
dx,
n
8
梯形公式
n6
Tn
h[ 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
n8
,所以 xk
k 8
,k
0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8
f (x0 ) 0 f (x1) 0.0311 f (x2 ) 0.0615 f (x3) 0.0906 f (x4 ) 0.1176 f (x5 ) 0.1423 f (x6 ) 0.1644 f (x7 ) 0.1836 f (x8 ) 0.200
使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小，针对这类问题的算法技巧是在不同区间上 预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。就是自动求积的一般步骤。
12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分
基本原则：累次积分。
多重积分的辛普森公式：
bd
a c f (x, y)dydx
k[ 6
h n1
n1
n1
S2
6
[f
k 0
(a) 4
k 0
f
(xk1/2 ) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2.在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3.若，求和.解：由均差与导数关系于是4.若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7.给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析课后答案（4）
数值分析课后答案（4）习题四1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差解：线形插值：取02.0x = 00.6931y = 12.2x = 10.7885y = 22.3x = 20.8329y = 110 2.1 2.3 2.1 2.0(0)(1)0.69310.832901102.0 2.32.3 2.0x x x x L f x f x x x x x ----=+=+----=0.7410抛物线插值：12200102()()()()x x x x l x x x x --=-- 02211012()()()()x x x x l x x x x --=-- 01222021()()()()x x x x l x x x x --=--2200211222L l y l y l y =++=0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值解：解：取00x = 12x = 23x = 35x = 12330010203()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 023********()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---01332202123()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 01233303132()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---3300311322333L l y l y l y l y =+++=1156261310323++-x x x3.设函数f(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f(a)=f(b)=0, 求证:2"1m ax |()|()m ax |()|8a x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤≤-解：取01;x a x b ==，1()()0x a x b L f a f b a bb a--=+=--''''211()()()|()()||()()|||||224f f b a R f x L x x a x b εε-=-≤--≤∴''21()()|()||()|||||24f b a f x L x ε-≤+''1()|()||||()|8f L x b a ε=+-|||8)("|a b f -=ε4.证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足∑==ni ki n ki x x l x 0,)(, n k ≤≤0解：取()kf x x = 则n 0()nki i Ln lx x ==∑(1)()()()!n nii fx f x Ln Rn x x n +=-==-∑(1)0()()!k n nii x x x n +==-∑=0所以()()f x Ln x = 即证 5.证明 )(')()()(,xi x x x x l n i n i n ωω-=证明：、01110111()()()()()ln ()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x x x i x x x x x x x x x x -+-+-----= -----01110111()()()()()()()()()()i i ni i ii i i i i nix x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+------=------取 0111()()()()()()n i ii n x x xx xxxx x x x x ω-+=------则 '1020111011()()()())()()()()()()()()()n nn i in n x x x x x x x x x x x x x xx xx x x x x x x x x xxω-+-=--+---+-----++--- （'0111()()()()()()n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x x ω-+=-----所以，'()ln ()()n i n i x i x x x ωω=-6.设nn x a x a a x f ++=10)(有n 个不同的实根.,,21n x x x证明:=-=∑11,0)('n ni i kia x f x证明：取()kx x ?= 1()()n n x x xx ω=-- 而，0()nn f x a a x =++ 有n 个不同的实根。