【重磅】数值分析习题与答案
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题1. 下列哪个方法不适合用于求解非线性方程的根？A. 二分法B. 牛顿法C. 弦截法D. 正割法2. 当使用二分法求解非线性方程的根时，需要满足的条件是：A. 函数f(x)在区间[a, b]上连续B. 函数f(x)在区间[a, b]上单调递增C. 函数f(x)在区间[a, b]上存在根D. 函数f(x)在区间[a, b]上可导3. 数值积分是通过将定积分转化为求和的方法来近似计算积分值的过程。
下列哪个方法是常用的数值积分方法？A. 矩形法则B. 辛普森规则C. 梯形规则D. 高斯-勒让德法则4. 龙格-库塔法是常用于求解常微分方程的数值解法。
以下哪个选项是描述龙格-库塔法的特点？A. 该方法是一种多步法B. 该方法是一种多项式插值法C. 该方法是一种单步法D. 该方法是一种数值积分法5. 用有限差分法求解偏微分方程时，通常需要进行网格剖分。
以下哪个选项是常用的网格剖分方法？A. 多边形剖分法B. 三角剖分法C. 矩形剖分法D. 圆形剖分法二、解答题1. 将函数f(x) = e^x 在区间[0, 1]上用复化梯形规则进行数值积分，分为6个子区间，求得的近似积分值为多少？解：将区间[0, 1]等分为6个子区间，每个子区间的长度为h = (1-0)/6 = 1/6。
根据复化梯形规则的公式，近似积分值为：I ≈ (1/2) * h * [f(0) + 2f(1/6) + 2f(2/6) + 2f(3/6) + 2f(4/6) + 2f(5/6) +f(1)]≈ (1/2) * (1/6) * [e^0 + 2e^(1/6) + 2e^(2/6) + 2e^(3/6) + 2e^(4/6) +2e^(5/6) + e^1]2. 使用二分法求解方程 x^3 - 3x + 1 = 0 在区间[1, 2]上的根。
要求精确到小数点后三位。
解：首先需要判断方程在区间[1, 2]上是否存在根。
数值分析习题含答案
x1 )
f (x0)
(x
x 0 )( x x0 x1
x1 )
f ' ( x0 )
(x ( x1
x0)
2 2
x0 )
f ( x1 )
R ( x)
其中 R(x) 由以下计算得到： 构造辅助函数：
(t ) f (t ) N 2 (t ) (t (x x0 ) (t x0 ) ( x
2 2
x1 ) x1 )
f [ 2 ,2 ] =-2089 ，
0 1 2 7
0 1 7
f (x)
M ,
x
[ a , b ] ，证明：在任意相邻两节点间
R1 ( x )
1 8
Mh
2
。
x xi x xi M
1
f ( ) R1 i ( x ) 2 M 8 h 2,
h ,
2
x
8 ,n
[ xi , xi
1
]
R1 ( x )
max R1 i ( x )
1 2
s
2
[( x
xi
1
))( x
x
i
1 2
)( x
x i )]
e
4
h
3
[ s( s
1)( s
1)] 24
3 9
e h
4
3
10
6
3!
8
h
1 . 317
则用二次插值的步长应：
h
0 .6585
10
2
2-6 对区间 [a,b] 作步长为 h 的剖分，且 做线性插值，其误差限为 证明：区间上的误差限： 误差限： 2-7 设 f ( x ) 解： 自变量 1 2
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分） 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
数值分析习题（含答案）
数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析-课后习题答案
证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1. (2)A对称正定,ATA=A2, A2=1. A-12=1/n.
精选课件
12
三.习题3 (第75页)
3-2.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收
计算结果如下:
x x 1 2 ( (k k 1 1 ) ) 3 2 1 2 .x 5 2 (x k ) 1 (k 1 )
k
J法x1(k)
0
1.01
1
0.98
2
2.03
3
1.94
4
5.09
5
4.82
6
14.27
J法x2(k) 1.01 0.485 0.53 -1.045 -0.91 -5.635精选课件 -5.23
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
6
0.518889
3 4精1选 课件
1
1
5
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
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第一章绪论习题一1.设R>0,RR的相对误差为δ，求f(R)=lnR的误差限。
解：求lnR的误差极限就是求f(R)=lnR的误差限，由公式(1.2.4)有已知RR的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数RR=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2.在-4≤R≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3.若，求和.解：由均差与导数关系于是4.若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(R)=1.0067R+0.08367R(R-0.2)+0.17400R(R-0.2)(R-0.3 )由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7.给定f(R)=cosR的函数表用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(R),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
此处可先造使它满足，显然，再令p(R)=R2(2-R)+AR2(R-1)2由p(2)=1求出A＝，于是9.令称为第二类ChebRshev多项式，试求的表达式，并证明是［-1,1］上带权的正交多项式序列。
解：因10.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为11.填空题(1)满足条件的插值多项式p(R)=( ).(2),则f［1,2,3,4］=( )，f［1,2,3,4,5］=( ).(3)设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝( )，＝( ).(4)设是区间［0,1］上权函数为ρ(R)=R的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝( )，＝( )答：（1）（2）（3）（4）第4章数值积分与数值微分习题41.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.解本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson 公式（6.13）直接计算即可。
对，取n=8,在分点处计算f(R)的值构造函数表。
按式（6.11）求出，按式（6.13）求得，积分2.用Simpson公式求积分，并估计误差解：直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估计误差，因，故3.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。
（1）令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3次代数精确度。
（2）令代入公式两端使其相等，得解出得而对不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。
（3）令代入公式精确成立，得解得，得求积公式对故求积公式具有2次代数精确度。
4.计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?解：由Simpson公式余项及得即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过对梯形公式同样，由余项公式得即取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5.用Romberg求积算法求积分，取解：本题只要对积分使用Romberg算法（6.20），计算到K＝3，结果如下表所示。
于是积分，积分准确值为0.7132726．用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.7．解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。
由于区间为，所以先做变换于是本题精确值8．用三点Gauss-ChebRshev求积公式计算积分解：本题直接用Gauss-ChebRshev求积公式计算即于是，因n=2,即为三点公式，于是，即故8.试确定常数A，B，C，及α，使求积公式有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令对公式精确成立，得到由（2）（4）得A=C，这两个方程不独立。
故可令，得（5）由（3）（5）解得，代入（1）得则有求积公式令公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。
三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。
第五章解线性方程组的直接法习题五1.用Gauss消去法求解下列方程组.解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
故2.用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值解：先选列主元，2行与1行交换得消元3行与2行交换消元回代得解行列式得3.用Doolittle分解法求的解.解：由矩阵乘法得再由求得由解得4.下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?解：A中，若A能分解，一步分解后，，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B，显然，但它仍可分解为分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。
C可分解，且唯一。
5.用追赶法解三对角方程组AR=b，其中解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得6.用平方根法解方程组解：用分解直接算得由及求得7.设，证明解：即，另一方面故9．设计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数解：故10．设为上任一种范数，是非奇异的，定义，证明证明：根据矩阵算子定义和定义，得令，因P非奇异，故R与R为一对一，于是10.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.，即，即解：记则的解，而的解故而由（3.12）的误差估计得表明估计略大，是符合实际的。
11.是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：题目中（1）若A对称正定,,则是上的一种向量范数（）（2）定义是一种范数矩阵（）（3）定义是一种范数矩阵（）（4）只要，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（）（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解（）（6）若A对称正定,则A可分解为，其中L为对角元素为正的下三角阵（）（7）对任何都有（）（8）若A为正交矩阵，则（）答案：（1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）第六章解线性方程组的迭代法习题六1.证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵解：由于而故2.方程组(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止解：因为具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。
（2）J法得迭代公式是取，迭代到18次有GS迭代法计算公式为取3.设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解：Jacobi迭代为其迭代矩阵，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为其迭代矩阵，其谱半径为由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。
4.下列两个方程组AR=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?解：Jacobi法的迭代矩阵是即，故，J法收敛、GS法的迭代矩阵为故，解此方程组的GS法不收敛。
5.设，detA≠0，用,b表示解方程组AR=f 的J法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为，故J法收敛的充要条件是。
GS法迭代矩阵为由得GS法收敛得充要条件是6.用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)精确解，要求当时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为取，当时，迭代5次达到要求若取，迭代6次得7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次? 解：J法的迭代矩阵为，故，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子J法收敛速度由于，故若要求，于是迭代次数对于J法，取K＝15对于GS法，取K＝8对于SOR法，取K＝58.填空题(1)要使应满足（）.(2)已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.(3)设方程组AR=b,其中其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.(4)用GS法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.(5)给定方程组,a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.答:(1)(2)J法是收敛的，(3)J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵(4)满足(5)满足第七章非线性方程求根习题七1.用二分法求方程的正根，使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间。
本题f(R)=R2-R-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。
另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。
用二分法计算各次迭代值如表。
其误差2.求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.(1)，迭代公式.(2),迭代公式.(3)，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根解：（1）取区间且，在且，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。
（2），在中，且，在中有，故迭代收敛。
（3），在附近，故迭代法发散。
在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。