数值分析经典例题
数值分析试题集
..数值分析试题集（试卷一）一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值， 判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。
二（ 10 分）由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1－ 1三（ 15 分）设 f ( x)C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ，并证明之。
12四（ 15 分）计算13 dx ，10 2。
x五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。
七（ 10 分）对模型 yy , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（ 15分）求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，10 3。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（ 4*2 分）1 {k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中10 (x)1，则x0 ( x) dx ------------------- ， 1 ( x) ------------------。
2 12 A，则 A1 4----------- ，( A) ----------------- 。
a 1 2 时， A 可作 LU 分解。
3 设 A，当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ，其根 x1* 3 ， x2*1，则求 x1* 的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。
数值分析典型例题
１数值分析典型例题例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。
236.478, 0.00234711,9.000024, 9.000034310⨯.解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310⨯。
注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9是1位有效数字。
例2 指出下列各数具有几位有效数字。
2.0004， -0.00200， -9000， 9310⨯，2310-⨯。
解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程*s 的近似值s=800m ，所需时间*s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。
解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e tss e t t e t v s e s v v e -=∂∂+∂∂≈ 从而05.00469.0358005.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+⨯≤+≤t e t s s e t v e同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e vtt v s e v s s v r r r -=∂∂+∂∂=所以00205.03505.08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。
例4试建立积分20,,1,05=+=n dx x x I nn 的递推关系，并研究它的误差传递。
解：151--=n n I nI ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。
但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可知近似值之间的递推关系为151--=n n I nI ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
典型例题与习题
a
2
b f ( x)dx (b a) f ( a b ) f () (b a)3
a
2
24
9/16
Ex2.复合左矩形求积公式旳求积误差
b a
n1
f ( x)dx h
j0
f (a
h2 jh)
2
n j1
f ( j )
设被积函数在积分区间上旳一阶导数连续,由连续函数
介值定理
1
n
n j 1
N 1
[
n0
f
(
xn
)
4
f
(
xn1/
2
)
f ( xn1 )]
其中, h = (b – a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2,···, N)
13/16
Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:
y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) +·······+ an y = f( x, y, ····, y(n-1))
Gm
(h)
4m
Gm
1
(
h 2
)
Gm
1
(h)
4m 1
f ( x) Gm (h) O(h2(m1) )
练习：二阶中心差商旳外推公式？
6/16
常微分方程初值问题 1. Euler措施
y f ( x, y) x x0
y(
x0
)
y0
y0 yn1
y( x0 ), yn
xn1 xn h hf ( xn , yn ),(n
16/16
N 1
试证明用Euler公式计算成果为 y(b) f (tn )h
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分） 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
数值分析例题1-9
)
1.675 0.3271y 0.03125y 2 0.01302y3
于是有
例2-4 x0 , x1 ,
x* f 1 (0) L3 (0) 1.675
5
证明 (xi x)2 li(x) 0,其中li(x)是关于点 i0
, x5 的插值基函数。
证明
5
5
(xi x)2li(x) (xi2 2xi x x2 )li(x)
设待求插值函数为
H3 ( x) N2 ( x) k( x 0)( x 1)( x 2)
令
H
3
(1)
f (1) 3, 即 4 k 3, 求得 k 1。进而有
H3 ( x) N2 ( x) ( x 0)( x 1)( x 2)
x3 1
例如 设 f(x) 为定义在 [ 27.7，30] 上的函数，在节点 xi(i 1,2,3 ) 上的值如下
En nEn1
(n 1,2,),易得 En （1）n n!E0 ,这说明
I 0 有误差 E0 , I n 就是 E0 的 n! 倍误差。它表明计算公式（A）是数
值不稳定的。
当初值取为I9 0.0684 I 9 （计算方法见书式（3.2））时
法二： （B）
I9
0.0684
I
n1
1 n
(1
xdx 88 135
解：设s1(x) a0 a1x,，0 (x) =1,1(x) =x,故
4
(0 (x),0 (x) ) = i 8 i0
4
(0 (x),1(x) ) =(1(x),0 (x) ) = i xi =22 i0
4
(1(x),1(x) ) = i xi2 =74 i0
4
数值分析课堂例题
Ch1.引论例1分析用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组的计算量。
解计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。
用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组需计算n 1个n 阶行列式，而用定义 计算n 阶行列式需n! n -1次乘法，故总计共需 n • 1 n! n -1[=[n • 1 ! n -1 。
此外，还需n 次除法。
当n =20时，计算量约为n ，1 ! n-1 = 9.7 1020次乘法。
即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。
可见，Cramer 法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。
111 1_ _- -（截断误差）："0.3667 （舍入误差）。
2 6 24 1201x n例3计算I n = [丁dx （n = 0,1,2…,6），并做误差分析 x 十5n n _1 n _1解I n =t 1x +5x -5x亠1dx6 *-dx_—5l n 「, I0==ln —肚 0.1823=x +5nx + 5 5r- *I0 ：0.1823算法1」 * * 1 ， 结果见下表。
I n :-5I d + —-nn n▼ x xnx1 1111 、 又 < 才A - < I n 兰 ----- ,I 6+ 1 = 0.02619=6 x +5 5 '6(n+1)5(n +1) 2>x7 5汉7丿16 =0.02619算法2」*n ；2 例2根据Taylor展式宀1*；! nX H- *八+ n!R n （x ）计算e'（误差小于0.01） 解e 12! 3! 4! 5!R 5(X )0 0.1823 0.1823 0.1823 1 0.0885 0.0884 0.0884 2 0.0575 0.0580 0.0580 3 0.0458 0.0431 0.0431 4 0.0208 0.0344 0.0343 5 0.0958 0.0281 0.0285 6 -0.3125 0.0262 0.0243误差分析：= 5nE °，即在计算过程中误差放大了 5n倍。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
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数值分析经典例题1.y' = y , x [0,1] ,y (0) =1 , h = 0.1。
1求解析解。
2 Eular法3 R-K法○1解析法在MATLAB命令窗口执行clear>> x=0:0.1:1;>> y=exp(x);>> c=[y]'c =1.0000000000000001.1051709180756481.2214027581601701.3498588075760031.4918246976412701.6487212707001281.8221188003905092.0137527074704772.2255409284924682.4596031111569502.718281828459046○2Euler法在Matlab中建立M文件如下：function [x,y]=euler1(dyfun,xspan,y0,h)x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n));endx=x';y=y'在MATLAB命令窗口执行clear>> dyfun=inline('y+0*x');>> [x,y]=euler1(dyfun,[0,1],1,0.1);>> [x,y]得到ans =0 1.0000000000000000.100000000000000 1.1000000000000000.200000000000000 1.2100000000000000.300000000000000 1.3310000000000000.400000000000000 1.4641000000000000.500000000000000 1.6105100000000000.600000000000000 1.7715610000000000.700000000000000 1.9487171000000000.800000000000000 2.1435888100000000.900000000000000 2.3579476910000001.0000000000000002.593742460100000○3R-K法（龙格-库塔法）在本题求解中，采用经典4阶龙格-库塔法首先在Matlab的M文件窗口对4阶龙格-库塔算法进行编程：function [x,y]=RungKutta41(dyfun,x0,y0,h,N)x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x(n)+h;k1=h*feval(dyfun,x(n),y(n));k2=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k1);k3=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k2);k4=h*feval(dyfun,x(n+1)+h,y(n)+k3);y(n+1)=y(n)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;end在MATLAB命令窗口执行clear>> dyfun=inline('y','x','y');>> [x,y]=RungKutta41(dyfun,0,1,0.1,10);>> c=[x;y]'得到c =0 1.0000000000000000.100000000000000 1.1051708333333330.200000000000000 1.2214025708506950.300000000000000 1.3498584970625380.400000000000000 1.4918242400806860.500000000000000 1.6487206385968380.600000000000000 1.8221179620919330.700000000000000 2.0137516265967770.800000000000000 2.2255395632923150.900000000000000 2.4596014137800711.0000000000000002.718279744135166 ○4绘图'解析法','Euler法','R-K法' 绘制如下在MATLAB命令窗口执行clear>> x=0:0.1:1;>> y1=exp(x);>> dyfun=inline('y+0*x');>> [x,y2]=euler1(dyfun,[0,1],1,0.1);>> dyfun=inline('y','x','y');>> [x,y3]=RungKutta41(dyfun,0,1,0.1,10);>> plot(x,y1,'*')hold onplot(x,y2,'g','LineWidth',2)plot(x,y3,'b','LineWidth',2)legend('解析法','Euler法','R-K法')2.一个具有1400kg初始重量的小火箭，带有1040kg的燃料，点燃后垂直向上运动，火箭内的燃料以18kg/s的速率燃烧，提供31000N的推力。
试求燃料燃尽之前火箭的运动规律。
（高度h，速度v，加速度a随时间变化的情况）假定空气阻力D ∝v2, D=k*v2, k=0.3822 N*S2/m2。
解：本题利用Matlab求解过程如下：在MATLAB命令窗口执行>> clear>> a=0;>> v=0;>> h=0;>> aa(1:59)=0;>> vv(1:59)=0;>> hh(1:59)=0;>> for t=0:58aa(t+1)=a;vv(t+1)=v;hh(t+1)=h;l1=(9.8*18*t-0.3822*v^2+31000-1400*9.8)/( 1400-18*t);l2=(9.8*18*(t+0.5)-0.3822*(v+0.5*l1)^2+31000-1400*9.8)/(1400-18*(t+0.5)); l3=(9.8*18*(t+0.5)-0.3822*(v+0.5*l2)^2+31000-1400*9.8)/(1400-18*(t+0.5)); l4=(9.8*18*(t+1)-0.3822*(v+l3)^2+31000-1400*9.8)/( 1400-18*(t+1));h=h+v+(l1+l2+l3)/6;v=v+(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;a=l1;end>> t=0:1:58;○1输入命令>> plot(t, aa,'r','LineWidth',2)得燃料燃尽前火箭飞行加速度变化曲线运行>> [t;aa]'得火箭飞行中加速度具体数据ans =0 01.000000000000000 12.3428571428571432.000000000000000 12.5882391353900853.000000000000000 12.7500563343637684.000000000000000 12.8224167027991375.000000000000000 12.8017614062130046.000000000000000 12.6871474793833887.000000000000000 12.4803824997476558.000000000000000 12.1859927919667659.000000000000000 11.81102349364022110.000000000000000 11.36468637522382411.000000000000000 10.85788687081145212.000000000000000 10.30267294687005013.000000000000000 9.71165369600690214.000000000000000 9.09743453012283315.000000000000000 8.47210933379155216.000000000000000 7.84683954413271617.000000000000000 7.23153787358350718.000000000000000 6.63466226065696419.000000000000000 6.06311518646046620.000000000000000 5.52223569746864621.000000000000000 5.01586667252432222.000000000000000 4.54647789380093923.000000000000000 4.11532581499936424.000000000000000 3.72263289340209025.000000000000000 3.36777228575659226.000000000000000 3.04944701534642927.000000000000000 2.76585595755594228.000000000000000 2.51484187625120129.000000000000000 2.29401912245700430.000000000000000 2.10088043498854631.000000000000000 1.93288358686951732.000000000000000 1.78751947040075033.000000000000000 1.66236369478680034.000000000000000 1.55511397232646135.000000000000000 1.46361557331463936.000000000000000 1.38587700395899337.000000000000000 1.32007785928313838.000000000000000 1.26457056388743739.000000000000000 1.21787746534880840.000000000000000 1.17868450607912341.000000000000000 1.14583248035056042.000000000000000 1.11830668929079343.000000000000000 1.09522563961762444.000000000000000 1.07582929101099345.000000000000000 1.05946724020834746.000000000000000 1.04558713435446347.000000000000000 1.03372352881725748.000000000000000 1.02348734264703549.000000000000000 1.01455601541566350.000000000000000 1.00666442996568051.000000000000000 0.99959663463942352.000000000000000 0.99317837421125853.000000000000000 0.98727041970092754.000000000000000 0.98176267247720355.000000000000000 0.97656900677018056.000000000000000 0.97162280629547257.000000000000000 0.96687314469179458.000000000000000 0.962281555544803 ○2输入命令plot(t, vv,'g','LineWidth',2)得燃料燃尽前火箭飞行速度变化曲线运行>> [t;vv]'得火箭飞行中速度具体数据ans =0 01 12.47221033291382 25.14859865803973 37.94247477466464 50.76239405614845 63.51464315701586 76.10593656299687 88.44616545539628 100.451030111789 112.04439422860810 123.16022350210111 133.7440082908212 143.75361596642313 153.15956644632514 161.94476842077215 170.10378919257316 177.64175495809617 184.57298992609918 190.91950284240219 196.70942048350120 201.97545237231521 206.75345230015122 211.0811********23 214.99689048355324 218.53896445078725 221.74457738991926 224.64939977519627 227.28711136337228 229.68911067400429 231.88434170507530 233.89921726903931 235.75761953723932 237.48096024095133 239.08828517202934 240.59640991767735 242.020*********36 243.37211856489437 244.66363889223138 245.90417600157539 247.10187370470240 248.26363998409441 249.39529677733742 250.50171889061843 251.58696134821244 252.65437492945345 253.70670998331346 254.74620886322247 255.77468750774548 256.79360682026449 257.80413458414750 258.80719869830651 259.80353253892152 260.79371325234953 261.7781937666954 262.75732927884255 263.73139893347756 264.70062336266657 265.66517870215258 266.625207644371 ○3输入命令>> plot(t, hh,'b','LineWidth',2)得燃料燃尽前火箭飞行高度时间变化曲线运行>> [t;hh]'得火箭飞行过程中高度具体数据ans =0 01 6.215658520407712 25.01258223286623 56.55209543058494 100.9062607015555 158.0543438047046 227.8818819853917 310.182********8 404.66236384119710 628.59189496914611 757.0903********12 895.88845811881713 1044.3963050495414 1202.0006618702415 1368.0771*******16 1542.0012728424917 1723.158482871218 1910.9524599680419 2104.8120991452720 2304.1968382571821 2508.6005113101622 2717.5538316988823 2930.6256637048224 3147.4232604062425 3367.5916517920926 3590.8123616153527 3816.8016185809628 4045.3082097125229 4276.1111035555730 4509.0169500850931 4743.8575440999832 4980.4873203651333 5218.7809322900334 5458.6309517211735 5699.9457154829236 5942.6473345075837 6186.6698735498838 6431.9577033482939 6678.4640224283240 6926.1495423027741 7174.9813273933742 7424.9317793819743 7675.9777547316244 7928.0998*******45 8181.2815187518346 8435.50898170547 8690.7702969745248 8947.0552*******49 9204.3547433037750 9462.6610118392951 9721.9669252538552 9982.266053650854 10505.820688321655 10769.065479724356 11033.281902896557 11298.465204156458 11564.6107884638。