改进灰色模型及其在变形预测中的应用

改进灰色模型及其在变形预测中的应用

文章介绍了常用的变形预测[1]模型：GM （1，1）模型[2]（即灰色模型），考虑背景值[3]对模型精度的影响。对其进行改进，获得PGM（1，1）模型[4]。并通过编程加以实现。且通过实例比较，证明PGM（1，1）模型的预测效果更好。

标签：变形预测；灰色模型；背景值；加权灰色模型

1 概述

变形是指各种荷载作用于变形体，使其形状、大小及位置在时间域或空间域发生的变化。变形预测就是根据对观测数据进行后期处理，来揭示变形监测数据序列的结构与规律，以建立动态预测模型，反映变形特征，推断变化趋势，进而建立起正确的变形预报理论和方法[1]。由于灰色理论解决复杂系统的独特优点，故而灰色模型在变形预测多有应用[5]。

2 改进灰色模型

2.1 GM（1，1）模型的建立

在灰色系统理论[2]中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换（如累加、累减）后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续变化过程或其规律的模型，称为灰色模型，简称GM模型。GM（1，1）模型是1阶的，1个变量的微分方程型模型，是灰色预测的典型模型。GM（1，1）模型具体建立步骤如下：

（1）设有原始等时间的数列，其中n表示观测次序（t=1，2，…，n），对原始数据列中各时刻的数据依次累加，

得新的序列：其中：（1）

累减生成：（2）

累减生成用于根据预测的数列还原出我们所需要的数列。

GM（1，1）模型的微分方程构成形式为：（3）

式中a，b为待识别的模型灰参数，对于变形系统来说，a为发展系数，反映变形发展态势，b为灰作用量。

（2）确定数据矩阵B、Yn：

（4）

（3）求解参数列，可用最小二乘法解算：

（5）

（4）代入（3）得：

（6）

（5）作累減生成得：

（7）

式（6）和（7）即为灰色预测的两个基本模型。当tn时，称■（0）（t）为模型预测值。

2.2 改进后的PGM（1，1）模型

GM（1，1）模型采用紧邻均值生成方法，以Z（1）（t-1）=（x（1）（t+1）+x（1）（t））/2作为背景值，这样有一定的局限性，它不足以显示各种因素对建模原始数据贡献（即影响力）的大小。且认为在短时间？驻t=1内，从变量x（1）（t）到变量x（1）（t+？驻t）之间不会出现突变量，但？驻t只是相对短的时间。因此GM（1，1）模型不能反映短时间内的突变量对变形发展的影响，从而影响了模型的预测精度。且从式（5）、（7）可以看出，GM（1，1）模型的精度依赖于背景值的构造形式。

因此，针对背景值进行改进，引入P值[4]（即权值），赋予数据不同的权重，从而得到一种基于权的PGM（1，1）模型。在该模型中，以x（1）（t+1）和x （1）（t）的加权值作为背景值，即Z（1）（t+1）=px（1）（t+1）+（1-p）x（1）（t）。最佳权值P的取法基于误差理论，即使原始值与模拟值之差的平均相对误差达到最小。见下式：

残差：（8）

文章采用搜索法确定最佳权值：P从0.01开始，每次按照0.01递增（也可以精确到小数点3位以后或更小，如从0.001开始，0.001递增），根据建模过程，依次求出对应的平均相对误差，直至递增至P=0.99，找出最小的平均相对误差及其对应的权值，即为最佳权值。为了实现减少计算量并快速得出最佳权值。文章通过Matlab编制相关程序，限于篇幅原因，具体代码不详细列出。建立模型后，可采用残差、平均相对误差来检验，对模型精度进行评定。

3 实例分析

某高楼因一侧城市道路改造，道路标高下降，楼群因自重和载体使基础出现断裂，对裂纹进行了观测，表1为采集的数据。

表1 原始观测数据

取前6次数据分别建立GM（1，1）预测模型、PGM（1，1）预测模型（依据Matlab相关程序运算，得最佳权值P=0.43而建立的），比较它们的模型精度，并利用这两个模型预测07、08、09月份的变形值，与相应的实际观测值比较分析。

GM（1，1）预测模型：

PGM（1，1）预测模型：

具体结果见表2、表3：

表2 两种预测模型结果对照

表3 两种模型模拟值、预测值的平均相对误差

从表2、表3可以看出PGM（1，1）模型的残差绝对值偏小，平均相对误差更小，PGM（1，1）模型的模型精度、预测精度较GM（1，1）模型更高。证明PGM（1，1）模型较GM（1，1）模型有更好的预测效果。据此，取前9次的观测值建立PGM（1，1）预测模型（最佳权值P=0.39）为：■（1）（t+1）=4.2267e0.1778t-3.6867，在前后两个PGM（1，1）预测模型中，发展系数a均小于0，说明裂纹将扩大，|a|增大，表明裂纹扩大的幅度将增加。根据后一模型预测的11月份变形值为3.4102mm。变形加大，与分析相符，应及早增加防护措施。

4 结束语

数据的可靠性越高，赋予的权重越大，则数据建模中的可信度越大，通过对GM（1，1）模型及PGM（1，1）模型理论分析、实例计算。可以看出，由于PGM（1，1）模型考虑了原始数据波动性的影响，因此不仅模型精度高，而且预测精度也比GM（1，1）模型好。从最佳权值的不同可知，PGM（1，1）模型预测受建模序列长短及其数据随机变化的影响。可以推论，原始数据越多，预测越准确。

参考文献

[1]陈永奇，吴子安，吴中如.变形监测分析与预报[M].北京：测绘出版社.1998.

[2]邓聚龙.灰色系统理论教程[M].华中理工出版社，1985.

[3]谭冠军.GM（1，1）模型的背景值构造方法和应用[J].系统工程理论与实践，2000（9）.

[4]周世健，赖志坤，臧德彦，等.加权灰色预测模型及其计算实现[J].武汉大学学报，2002（10）.

[5]鹿利军，杜子涛.灰色系统理论在建筑物变形分析中的应用[J].测绘与空间地理信息，2006（2）.