高中数学知识点总结专题7解析几何之直线与圆
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何一、直线与圆1.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； < ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；4.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径r=2422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: .若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 7.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22B A CBb Aa d +++=.8.两圆位置关系的判定方法#设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .$二、圆锥曲线1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质&(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2=b 2+c 2，顶点为（a,0）,(0,b),焦点为（c,0）,离心率e=ac ，准线c a 2±=x (X 型). (2)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2+b 2=c 2，顶点为（a,0）,焦点为（c,0）,离心率e=a c （e>1）,渐近线为x ab y ±=. 4.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)共轭双曲线： 12222=-b y ax 与1-2222=a x b y 渐近线一样. (3)等轴双曲线：若双曲线与12222=-by a x 中a=b ，（e=2,渐近线为y=x ±）. 5.抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.准线：x=2p ,离心率为e=1.（点到焦点的距离等于点到准线的距离）.。
数学精品课解析几何中的直线与圆的交点问题
数学精品课解析几何中的直线与圆的交点问题数学精品课：解析几何中的直线与圆的交点问题解析几何是数学中的重要分支，研究了代数与几何的关系。
在解析几何中，直线与圆的交点问题是一个经典而又常见的问题，本文将深入探讨直线与圆的交点问题，并给出解决方案。
一、直线与圆的交点概述直线与圆的交点问题是解析几何中的重点内容之一。
直线有无穷多个点，而圆则由圆心和半径来确定。
当直线与圆相交时，其交点可以有0个、1个或2个。
二、直线与圆相切的情况当直线与圆相切时，交点为1个。
设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
其中，(a, c)为圆心，r为半径。
为了求得直线与圆相切时的交点，我们可以先求得直线的斜率k，再带入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解此方程，可以得到直线与圆相切时的交点坐标。
三、直线与圆相交的情况当直线与圆相交时，交点为2个。
设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
为了求得直线与圆相交时的交点，我们可以将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解此方程，可以得到直线与圆相交时的交点坐标。
四、直线在圆内部或圆外部的情况当直线与圆没有交点时，有两种可能的情况：直线在圆内部或直线在圆外部。
我们可以通过计算直线方程与圆心的距离来判断。
1. 若直线方程与圆心的距离小于圆的半径，则直线在圆内部，无交点。
2. 若直线方程与圆心的距离大于圆的半径，则直线在圆外部，无交点。
五、直线与圆的交点问题的应用举例直线与圆的交点问题在实际生活和工作中有着广泛的应用。
下面以两个具体的例子来说明。
例一：在平面上，有一支普通的铅笔。
如何确定铅笔与纸面的接触点呢？我们可以把纸面看作是一个圆，铅笔在纸上的接触点就是直线与圆的交点。
例二：在道路设计中，常常遇到道路与河流的交叉情况。
高二数学直线与圆知识点
高二数学直线与圆知识点直线与圆是高中数学中的基础知识，也是解析几何的重要内容之一。
掌握直线与圆的性质和关系，对于理解几何图形的性质、解题以及拓展数学思维都有重要意义。
本文将介绍高二数学中与直线与圆相关的知识点。
一、直线的基本性质1. 直线的定义：直线是由无限多个点构成，且任意两点都在这条直线上。
2. 直线的表示方式：直线可以用两个点表示，也可以用方程表示。
3. 直线的斜率：斜率是直线的重要性质之一，可以用来描述直线的倾斜程度。
直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。
二、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离固定的点的轨迹。
定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的表示方式：圆可以用圆心和半径表示。
3. 弧长和扇形面积：圆上的弧长是圆心角所对的弧段的长度，扇形面积是圆心角所对的扇形的面积。
三、直线与圆的关系1. 直线和圆的位置关系：直线可以与圆相切、相离、相交。
相切时，直线只与圆相切于一点；相离时，直线与圆没有公共点；相交时，直线与圆相交于两个点。
2. 切线的性质：切线是与圆相切于一点的直线，切线与半径垂直。
3. 弦的性质：弦是圆上任意两点之间的线段，圆心角等于弦所对的弧的一半。
4. 弦切角的性质：弦切角是弦和切线的夹角，弦切角等于所对弧的圆心角。
四、直线与圆的方程1. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等多种形式表示。
2. 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程是以圆心为原点，半径为r的圆的方程。
五、直线与圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，且切点在切线上。
2. 弦切定理：切线与弦所夹角等于所对的弧的圆心角。
3. 弧切定理：切线与弦所夹的圆心角等于所对的弧的一半。
六、直线与圆的相关应用1. 直线与圆的位置关系的应用：可以根据直线与圆的位置关系求出点的坐标、判断线段的长度等。
2. 直线与圆的方程的应用：可以通过直线和圆的方程求解交点的坐标、判断直线与圆是否相交等。
高中数学的归纳解析几何中的直线与圆
高中数学的归纳解析几何中的直线与圆归纳解析几何是高中数学中的重要内容之一，其中直线与圆的相关知识是基础中的基础。
本文将通过对直线与圆的性质、相交关系、切线等方面进行深入解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、直线与圆的基本性质在归纳解析几何中，直线与圆的基本性质对于问题的解决至关重要。
下面我们来一一介绍。
1. 直线的方程与斜率直线的方程是解析几何中的重要内容，它可以帮助我们描述直线的特征和性质。
在数学中，直线可以通过斜率和截距表示，也可以通过两点之间的关系表示。
学习直线的方程，能够帮助我们快速而准确地确定直线的位置和性质。
2. 圆的方程与性质圆是解析几何中的基本图形，其方程和性质也是我们需要掌握的知识点。
圆的方程可以通过圆心和半径表示，也可以通过两点之间的关系表示。
学习圆的方程和性质，可以帮助我们解决与圆相关的问题，如圆的切线、切点等。
二、直线与圆的相交关系直线与圆的相交关系是归纳解析几何中的重要内容，也是解决问题时常遇到的情况。
根据相交的情况，我们可以分为三种情况：相离、相切和相交。
1. 直线与圆相离当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称它们相离。
直线与圆相离时，我们需要确定直线与圆的位置关系，可以使用距离公式和判别式等方法来判断两者之间的相对位置。
2. 直线与圆相切当一条直线与一个圆恰好有一个公共点时，我们称它们相切。
直线与圆相切时，我们需要确定点的坐标和直线的斜率等信息，通过代入方程求解可以得到相切点的坐标。
3. 直线与圆相交当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称它们相交。
直线与圆相交时，我们需要利用直线和圆的方程进行联立方程求解，从而得到相交点的坐标。
三、直线与圆的切线直线与圆的切线是归纳解析几何中的一个重要概念，解决与切线相关的问题时，我们需要考虑直线与圆的相对位置和切线的特征。
1. 直线与圆的切线存在条件直线与圆的切线存在的条件是直线的斜率与圆的切点处切线的斜率相等。
我们可以通过斜率公式和圆的方程来求解切线存在的条件。
高中数学一轮总复习解析几何重点知识整理
高中数学一轮总复习解析几何重点知识整理解析几何是高中数学中的一门重要的分支，它通过代数方法研究几何问题，是数学与几何相结合的产物。
在高中数学的学习中，解析几何占据着很重要的地位。
本文将为大家总结解析几何的重点知识，并进行整理。
一、直线与圆的方程在解析几何中，直线和圆是最基本的几何图形。
直线的方程可以通过点斜式、两点式、截距式等不同的表达方式来表示。
其中最常用的是点斜式，表示为 y - y₁ = k(x - x₁)。
其中 (x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
圆的方程有两种形式，一是标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中 (a,b) 是圆心坐标，r 是半径；二是一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F= 0。
二、直线与圆的交点直线与圆的交点是解析几何的一个重要概念。
当直线与圆相交时，可以通过解方程的方法求得交点的坐标。
例如，已知直线 L: 2x + y - 3 = 0 和圆 C: x² + y² - 4x - 2y - 8 = 0，求直线 L 与圆 C 的交点坐标。
解：将直线的方程代入圆的方程中，得到 x² + (2x + 3)² - 4x - 2(2x + 3) - 8 = 0。
整理得到 5x² + 10x - 10 = 0，解得 x₁ = 1，x₂ = -2。
将 x 的值代入直线的方程中，得到 y₁ = 1，y₂ = 5。
所以直线 L 和圆 C 的交点坐标为 (1, 1) 和 (-2, 5)。
三、圆与圆的位置关系圆与圆之间的位置关系有三种情况：相离、相切、相交。
当两个圆相离时，它们的半径之和小于两圆之间的距离。
当两个圆相切时，它们的半径之和等于两圆之间的距离。
当两个圆相交时，它们的半径之和大于两圆之间的距离。
四、直线与平面的位置关系直线与平面之间的位置关系有两种情况：平行和相交。
高二《直线与圆》知识点总结
高二《直线与圆》知识点总结直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。
掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。
本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。
一、直线与圆的基本概念和性质：1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。
直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。
2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。
4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。
二、直线与圆的方程和解析几何：1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。
判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。
三、直线与圆的交点和切线：1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。
2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。
若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。
切线方程可以使用直线方程得出。
高一数学重要知识总结解析几何中的直线与圆的性质与应用
高一数学重要知识总结解析几何中的直线与圆的性质与应用高一数学重要知识总结：解析几何中的直线与圆的性质与应用解析几何是高中数学中的重要部分，涉及到直线、圆等几何元素的性质与应用。
掌握解析几何的基本概念和方法，将对我们在数学学习中的思维能力和问题解决能力起到很大的提升作用。
本文将重点总结直线与圆的性质以及在解析几何中的应用。
一、直线的性质在解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。
直线可以通过确定两个点来定义，也可以用解析式表示。
下面是直线的主要性质：1. 两点确定一条直线：直线可以通过确定两个不重合的点来确定。
2. 两直线相交于一点或平行：两直线相交于一点时，称其为交点；两直线不相交时，称其为平行。
3. 直线的斜率：直线的斜率用k表示，斜率表示了直线的倾斜程度。
设直线上两点为A（x₁，y₁）和B（x₂， y₂），则直线的斜率k等于∆y/∆x=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
4. 垂直直线的斜率之积为-1：垂直的两条直线斜率之积为-1，即k₁x k₂ = -1。
二、圆的性质圆是解析几何中的另一个重要几何元素。
圆可以通过确定圆心和半径来定义，也可以用解析式表示。
下面是圆的主要性质：1. 圆的标准方程：圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
2. 弦和弧：弦是圆上两点间的线段，弧是弦所对应的圆上的一段路径。
弧可以通过角度或弧长来度量。
3. 切线与法线：切线是与圆相切于一点的直线，与圆的切点处切线垂直于半径。
法线是切线的垂直线。
4. 直径与半径：直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径等于半径的两倍。
三、直线与圆的应用直线与圆的性质可以应用于解析几何中的许多问题，例如：1. 确定直线与圆的位置关系：通过判断直线与圆的交点数来确定直线与圆的位置关系。
如果直线与圆相交于两个不同的点，则直线与圆相交；如果直线与圆相交于一个点，则直线与圆相切；如果直线与圆没有交点，则直线与圆相离。
直线与圆知识点总结
直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______（答：2,13-） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
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高考数学专题七解析几何
高考数学-解析几何之直线与圆的方程
一、直线
• 1.直线的方程
（1）直线I的倾斜角的取值范围是0 ;平面内的任意一条直线都有唯一确定的倾斜角（2）直线|的斜率k tan （0 ,且一）。
2
变化情况如下：
斜率的计算公式：若斜率为k的直线过点R（X" yj与P2（x2,y2），则k更_ （人x2）
（3）直线方程的五种形式
• 2.两条直线位置关系
(1)设两条直线 h ：y k i x bi 和L ：y k 2X th ，则有下列结论:
l i / /l 2
A B 2 A ?B i
0 且 BQ 2
B ?
C i 0 或 A i B 2 A j B i 0 且 AC 2 A2G 0 ；
l i 12
A| A 2 B i B 2 0 o
(3) 求两条直线交点的坐标：解两条直线方程所组成的二元一次方程组而得解。
(4) 与直线Ax By C 0平行的直线一般可设为 Ax By m 0 ；
与直线Ax By C 0垂直的直线一般可设为
Bx Ay n 0。
(5) 过两条已知直线 A i x B i y C i 0,A 2X By C 2 0交点的直线系：
Ax B i y C i (Ax
By C 2) 0(其中不包括直线 A 2X B ?y C 2 0)
•3.中点公式：
平面内两点R(x i ,y i )、P(X 2,y 2)，则P i ,P 2两点的中点P(x, y)为x 生产，V 也步 • •两点间的距离公式：
平面内两点P i (x i , y i )， P 2(X 2, y 2)，则P,P 2两点间的距离为： PP 2 J(x i X 2)2 (y i 点
•5•点到直线的距离公式：
平面内点P(X i , yj 到直线Ax By C 0的距离为：d |A [ B 1戸。
VA 2 B 2
设平面两条平行线 h ：Ax By C 0,l 2:Ax By D 0,C D ，
则l 与L 的距离为d ―C 2 D . o
VA 2 B 2
论:
h//l 2 k 1 k 2且 b 1 b 2 ；
l i I 2 (2)设两条直线b ：Ax B i y C i
0（A i , B i 不全为 0）和 l 2：A e X B 2y C 2 0 (A, B 2，不全为0)，则有下列结 k i
二、对称问题
•.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标 公式的应用问题。
设P(x o , y °)，对称中心为 A(a, b)，则P 关于A 的对称点为P (2a x °, 2b y °)
•2.点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” 就可求岀对顶点的坐标.一般情形如下:
可求岀x , y
P(x o ,2b y o )。
•3.曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可 选特殊点，也可选任意点实施转化)。
一般结论如下：
(1) 曲线f (x, y) o 关于已知点 A(a, b)的对称曲线的方程是 f(2a x, 2b y) 0。
(2) 曲线f (x, y) O 关于直线y kx b 的对称曲线的求法：
设曲线f (x, y) O 上任意一点为 P(x o , y o )，P 点关于直线y kx b 的对称点为P (x, y)，则由(2)知，P 与
f(x, y) o 关于直线y kx b 的对称曲线方程。
两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： (1 )点(x, y)关于x 轴的对称点为(x, y)；
(2) 点(x, y)关于y 轴的对称点为(x, y)； (3)
点(x, y)关于原点的对称点为 (x, y)；
(4) 点(x, y)关于x y o 的对称点为(y, x)； (5 )点(x, y)关于直线x y o 的对称点为(y, x)
.利用“垂直” “平分”这两个条件建立方程组,
设点P(x o , y o )关于直线y kx b 的对称点为P (x, y)，则有
y y o k 1, x x o
y y o .x x o . k b,
2 2
特殊地，点 P(x o , y o )关于直线 x a 的对称点为
P (2a X o , y o )；点 P(x o , y o )关于直线 y b 的对称点为
P 的坐标满足
Jk 1
x x o y o y 2
x o x 2 ，从中解出
b
X o 、 y o ,代入已知曲线
f (x, y) o ，应有 f(x o ,y °) o 。
利用坐
标代换法就可求岀曲线。