1.2复数的有关概念
1.2复数的几种表示形式
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
复数与向量：复数运算和向量分析
复数与向量：复数运算和向量分析复数与向量是数学中重要而常用的概念，它们在代数和几何中都有广泛的应用。
本文将介绍复数的基本运算以及向量的分析性质，并深入探讨它们之间的联系和应用。
一、复数运算1.1 复数的定义和表示方法复数是由实数部分和虚数部分构成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以表示为有序对(a, b)，其中a和b均为实数。
1.2 复数的基本运算复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
1.2.1 加法和减法两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，即(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i。
减法同理，即(a+bi) - (c+di) = (a-c)+(b-d)i。
1.2.2 乘法两个复数相乘时，根据乘法分配律展开，并利用虚数单位i的平方性质，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
1.2.3 除法两个复数相除时，将分子和分母都乘以共轭复数的同一个形式。
即(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]。
1.3 欧拉公式欧拉公式是复数运算中的重要公式，表达了自然对数底e的指数函数与三角函数的关系。
欧拉公式为e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e为自然对数底，i为虚数单位，x为实数。
二、向量分析2.1 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，可以用箭头表示，也可以用坐标表示。
在二维空间中，一个向量可以表示为(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2.2 向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法、数乘和点乘。
2.2.1 加法和减法两个向量相加时，将它们的对应分量相加，即(x1, y1) + (x2, y2) =(x1+x2, y1+y2)。
1.2 复数的有关概念
1．2 复数的有关概念1．两个复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a ＝c ，且b ＝d ．(1)分清两复数的实、虚部．(2)能把复数问题化为实数问题． (3)a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0.(4)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．2．复平面与复数的几何意义(1)复平面的定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面．实轴：x 轴称为实轴． 虚轴：y 轴称为虚轴． (2)复数的几何意义①复数与复平面内的点一一对应，复数a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点(a ，b )表示． ②复数与以原点为起点的向量一一对应，复数a ＋b i 可以用向量OZ →表示，其中O (0，0)，Z (a ，b )．实轴上的点均表示实数，虚轴上的点除原点外均表示纯虚数，不在实轴虚轴上的点均表示非纯虚数．3．复数的模若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2．(1)复数的模为非零实数，可比较大小．(2)两个复数当且仅当都是实数时才能比较大小，否则不能比较大小．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)原点是实轴、虚轴的公共点．( ) (2)虚轴上的点都表示纯虚数．( ) (3)3i>i.( )答案：(1)√ (2)× (3)×若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3解析：选C.复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i.已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选 A.由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A. 如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |<2，那么实数a 的取值范围是________． 解析：由z ＝1＋a i ，|z |<2，a ∈R 得 a 2＋1<2，解得－3<a < 3.答案：(－3，3)1．对复数概念的理解(1)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．(2)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件．2．探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ →之间的关系可用下图表示：复数相等(1)设x ，y ∈R ，且(2x －3y ＋7)＋(x －y )i ＝(3x －2y )i ＋x ＋y .求x ，y .(2)已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．【解】 (1)因为x ，y ∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋7＝x ＋y ，x －y ＝3x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (2)由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.复数相等的充要条件(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．1.(1)若a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝( )A ．0B ．2C ．52D ．5(2)已知x 2＋y 2－6＋(x －y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解：(1)选D.因为a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以a 2＋b 2＝(－1)2＋22＝5.故选D.(2)由复数相等的意义，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6＝0，①x －y －2＝0.②由②得x ＝y ＋2，代入①得y 2＋2y －1＝0. 解得y 1＝－1＋2，y 2＝－1－2， 代入②得x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋2，y 1＝－1＋2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1－2，y 2＝－1－ 2.复数的几何意义已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限．【解】 (1)若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12.本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值．解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2.(1)已知复数z ＝a ＋a 2i(a <0)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i解析：(1)选B.因为a <0，所以复数z ＝a ＋a 2i 对应的点(a ，a 2)位于第二象限． (2)选B.向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.复数的模及其计算在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．【解】 向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示．|z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1， |z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. 点Z 1，Z 3关于实轴对称，且点Z 1，Z 2，Z 3在以原点为圆心的单位圆上．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．3.(1)已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2(2)已知复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点P (x ，y )的轨迹是________． (3)设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z . 解：(1)选A.依题意应有（x －1）2＋（2x －1）2<10，即5x 2－6x ＋2<10，解得－45<x <2，故选A.(2)因为|z |＝3，所以（x ＋1）2＋（y －2）2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点P (x ，y )的轨迹是以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆．故填以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆．(3)因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)． 则|z －1|＝|b i －1|＝ 1＋b 2.又|－1＋i|＝2，由已知|z －1|＝|－1＋i|，得 1＋b 2＝2，解得b ＝±1，所以z ＝±i.规范解答利用复数在复平面内对应的点求参数的范围(本题满分12分)设复数z ＝log 2(1＋m )＋i log 12(3－m )(m ∈R )， (1)若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若复数z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．【解】(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1＋m ）<0，log 12（3－m ）<0，1＋m >0，3－m >0，(2分)解得－1<m <0，故不等式组的解集为{m |－1<m <0}， (5分)所以m 的取值范围是－1<m <0.(6分)(2)由已知得点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，(8分)所以log 2[(1＋m )(3－m )]＝1， 所以(1＋m )(3－m )＝2， 即m 2－2m －1＝0， 所以m ＝1±2，(10分)且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，3－m >0， 所以m ＝1±2.(12分)(1)处忽视对数式中真数大于零这个条件，则会导致第(1)问的结果错误，造成失分． (2)处漏掉对方程根的验证，则会导致本例的解题步骤不完整，造成失分． (3)处理此类问题，复数的相关概念及结论必须牢记准确．1．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：选A.由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.2．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选A.因为1>0，2－sin θ>0， 所以复数对应的点在第一象限．3．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________． 解析：复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0， 解得m ＝2，所以z ＝3i ， 所以|z |＝3.答案：34．若方程x 2＋(m ＋2i)x ＋(2＋m i)＝0至少有一个实数根，试求实数m 的值． 解：方程化为(x 2＋mx ＋2)＋(2x ＋m )i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋mx ＋2＝0，2x ＋m ＝0，所以x ＝－m 2，m 24－m 22＋2＝0.所以m 2＝8.所以m ＝±2 2.[A 基础达标]1．满足x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3 D ．x ＝3且y ＝0解析：选A.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，故选A.2．下列复数模大于3，且对应的点位于第三象限的为( ) A ．z ＝－2－i B ．z ＝2－3i C ．z ＝3＋2i D ．z ＝－3－2i解析：选D.选项B 和C 中的复数对应的点分别为(2，－3)，(3，2)，都不在第三象限，选项A 中的复数对应的点为(－2，－1)，在第三象限，但它的模为5<3，故选D.3．向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i解析：选C.因为向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ→1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选B.因为点A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2，1)，所以OB →对应的复数为－2＋i ，故选B.5．已知复数z 满足|z |2－3|z |＋2＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两点 D ．线段解析：选B.由|z |2－3|z |＋2＝0，得(|z |－1)·(|z |－2)＝0，所以|z |＝1或|z |＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆．6．复数z ＝sin 40°＋isin 230°的模等于________． 解析：|z |＝sin 240°＋sin 2230°＝sin 240°＋sin 250°＝sin 240°＋cos 240°＝1.答案：17．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9，m ＝1(舍去)．答案：9 8．使⎪⎪⎪⎪log 12x －4i ≥|3＋4i|成立的实数x 的取值范围是________．解析：由已知，得⎝⎛⎭⎫log 12x 2＋（－4）2≥32＋42，所以⎝⎛⎭⎫log 12x 2≥9，即log 12x ≤－3或log 12x ≥3，解得x ≥8或0<x ≤18.答案：⎝⎛⎦⎤0，18∪[8，＋∞) 9．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：由①，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.代入②，得(5＋4a )－(10－4＋b )i ＝9－8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，解得⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38.[B 能力提升]11．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i解析：选D.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i.于是⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1.解得a ＝34，b ＝1.所以z ＝34＋i.故选D. 12．已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是( )A ．5B ．2C ．7D ．3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.13．已知复数z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，求当θ为何值时，(1)z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称；(2)|z 2|< 2.解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ⇒ ⎩⎨⎧θ＝k π＋π6，θ＝2k π＋76π或2k π＋116π或k π＋π2(k ∈Z )， 所以θ＝2k π＋76π(k ∈Z )． (2)由|z 2|<2，得（3sin θ）2＋cos 2θ<2， 即3sin 2θ＋cos 2θ<2，所以sin 2θ<12， 所以k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )． 14．(选做题)设全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，若z ∈A ∩(∁U B )，求复数z 在复平面内对应的点的轨迹．解：因为z ∈C ，所以|z |∈R ，所以1－|z |∈R ，由||z |－1|＝1－|z |得1－|z |≥0，即|z |≤1，所以A ＝{z ||z |≤1，z ∈C }．又因为B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，所以∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }．因为z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A ，且z ∈∁U B ，所以⎩⎨⎧|z |≤1，|z |≥1⇒|z |＝1，由复数模的几何意义知，复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆．。
复数的模的平方
复数的模的平方一、复数的定义和表示1.1 复数的概念复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
1.2 复数的表示复数可以用直角坐标系中的点来表示。
实数部分对应于x轴，虚数部分对应于y轴，复数对应于平面上的一个点。
二、复数的模的定义2.1 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，也可以理解为复数的绝对值。
复数z=a+bi的模记作|z|，它的计算公式为：|z| = √(a² + b²)2.2 复数的模的性质复数的模具有以下性质： - |z| ≥ 0，即模的值非负 - |z| = 0 当且仅当 z = 0，即模为0的复数只有0本身 - |z₁z₂| = |z₁| |z₂|，即复数乘积的模等于各因子模的乘积 - |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|，即复数和的模小于等于各复数模的和三、复数模的平方3.1 复数模的平方复数模的平方是指复数的模的平方值，记作|z|²。
复数z=a+bi的模的平方可以通过以下方式计算：|z|² = (a² + b²)3.2 复数模的平方的意义复数模的平方在某些问题中具有重要的意义，例如： - 在物理学中，复数模的平方可以表示电磁场的强度。
- 在概率论中，复数模的平方可以表示概率的大小。
四、复数模的平方的应用4.1 电磁场的强度在电磁学中，复数模的平方可以表示电磁场的强度。
电磁场的强度与复数模的平方成正比，即强度越大，复数模的平方值越大。
4.2 概率的大小在概率论中，复数模的平方可以表示概率的大小。
概率的大小与复数模的平方成正比，即概率越大，复数模的平方值越大。
五、复数模的平方的计算方法5.1 直接计算可以直接使用复数的实部和虚部的值，通过计算公式|z|² = (a² + b²)来计算复数模的平方。
1-2复变函数基本概念
§1.2 复数函数授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。
难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。
内点、外点和边界点：设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内”，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。
区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都属于该点集。
闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。
练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域.例子： ||z r <代表一个圆内区域||z r <代表一个圆外区域12||r z r <<代表一个圆环区域将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。
注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念2、复变函数定义：形式和实变函数一样，()w f z =复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）：变量：z x iy =+函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化）极限：设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即0lim ()z z f z A →=对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是：当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散举例：（1）222()()xy f z i x y x y=+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222lim 22(,)010kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在.（2）实变函数例子1()f x x= 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x xf x -→=-∞ 连续：00lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。
1.2.11.1.2复平面及复数的几何意义
二、复数向量表示法
y
1 点表示法
y
复数 z x i y 可以由复平面上
的点(x , y)表示。
O
2 向量表示法
y
复数 z x i y 还可以由
y
从原点指向点P 的向量 OP 表示。
O
z xiy
x, y
x
x
z xiy
P x, y
x
x
三、复数的模与辐角
1.模
若 z x i y 是一个不为0 y
1 复平面的定义 2 复数的表示法 3 复数的模与辐角
一、复平面的定义
一个复数 z x i y 由一个有序实数对(x , y)唯一确定，
而有序实数对与平面上的点一一对应。
因此，一个建立了直角坐标系的平面可以用来 表示全体复数，横轴上的点表示实数，称为实轴； 虚轴上的点表示纯虚数，称为虚轴，该坐标平面 称为复平面或 z 平面。
y
z2
z1
z1
O
x
O
x
z1 z2
显然，z1 z2 表示两点 z1和z2 z2 之间的距离。
三、复数的模与辐角
2. 辐角
y
以正实轴为始边，以向量 y
OP 为终边的角的弧度数
叫做 z 的辐角x, y
x
x
三、复数的模与辐角
2. 辐角
说明：
① 复数的辐角有无穷多个值；
x 0, y 0 x 0, y 0
其中 π arctan y π .
2
x2
的复数，将其所对应的向量 y
OP 的长度称为 z 的模，
z r
z xiy
P x, y
记作 z x2 y2 .
O
x
复变函数与场论简明教程：复数与复变函数
n
n
则1的n次方根分别为1, ω， ω2， …， ωn－1。
［例3］ 求 解 因为
6
3+i 1 i
复数与复变函数
3
i
2
cos
π 6
i
sin
π 6
2e
πi 6
1i
2cosຫໍສະໝຸດ π 4isin
π 4
πi
2e 4
复数与复变函数
所以
3i 1i
πi
2e 6 i
2e 4
5πi
2e 12
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。 由于辐角的多值
性， 复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。 复数 的各种表示法可以互相转换， 以适应在讨论不同问题时的
需要。
复数与复变函数 ［例2］ 将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数
解 先求出z的模r和辐角主值arg z:
1
cos
1
π 2
1
arctg
2
sin
π 4
1 2
cos
2
cos2
π 4
π 4 1 2
1 2
π 4
1 2
于是z的三角表示式为
复数与复变函数
z
2
cos
π 4
1 2
cos
π 4
1 2
i
sin
π 4
1 2
z的指数表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
ei
π 4
1 2
复数与复变函数
3π 2(m n)π π 2kπ
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虚数的起源
虚数要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。
我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。
有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。
无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。
无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。
根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。
而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。
不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。
西亚他们已经发现了无理数这个问题，但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了，甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里，方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”。
“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。
后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。
人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。
像x²+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。
12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。
他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。
这等于不承认方程的负数平方根的存在。
到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中，把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号。
但他认为这仅仅是个形式表示而已。
1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式：
形如：x3+ax+b=0的三次方程解如下：
x={(-b/2)+[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3+{(-b/2)-[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3
当卡丹试图用该公式解方程x3-15x-4=0时他的解是：
x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)
在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。
因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4。
容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释(-121)1/2的出现。
认为是“不可捉摸而无用的东西”。
直到19世纪初，高斯系统地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。
笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。
”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。
对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。
”
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。
后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。
现在，
复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。
i的性质
i 的高次方会不断作以下的循环：
i1 = i
i2= - 1
i3 = - i
i4 = 1。