溶质运移及其基本微分方程..
【MODFLOW】第二讲 地下水流-热-质(或污染物、示踪剂)迁移数学模型
Dxx
C x
y
Dyy
C y
x
C
ux
y
C uy
I
基本方程
3.含水层中地热迁移规律控制方程
热对流扩散机理
c
T t
x
xx
T x
y
yy
T y
x
cw
wT
ux
y
cwwT uy
f
Fourier定律
基本方程 18
二、溶质运移数学模型：绪论
随着经济的快速发展，地下水被污染的程度日益严 重，并引起了人们的广泛关注，目前仍然存在很多问 题题，迫切需要解决：
在Dupuit 假定下，忽略垂向水流，可以导出潜水二维 流微分方程。考虑一底面边长为dx, dy的潜水含水层柱 体，计算侧向静流入量和垂向补给量，分别有：
X方向流入-流出
(vx (H
Z )y) |x
(vx (H
Z )y) |xx
(vx (H Z )y) x
|
x
y方向流入-流出
(vy (H
Z )x) |y
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
23
二、溶质运移数学模型
1、水动力弥散理论：机械弥散原因
1. 同一空隙中不同部位的流速分布不均匀 2. 不同空隙的流速大小不同 3. 固体骨架导致流速分布的不均匀
（1）
（2）
（3）
地下水质点运动速度的差异是产生水动力弥散的根本原因
x方向流出
( v ) | x (xx, y,z,t) yzt
9
一、地下水运动基本方程
3、三维流基本微分方程（续1）
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子摘要：一、引言1.介绍一维非饱和溶质垂向运移控制方程2.计算例子的目的和意义二、计算例子1.问题描述2.控制方程3.数值方法4.计算结果三、结论1.结果分析2.对实际工程的启示正文：一、引言一维非饱和溶质垂向运移控制方程是地下水污染研究中的一个重要问题。
通过解决这个方程，我们可以了解溶质在地下水中的运移规律，为地下水污染的防治提供科学依据。
本文将通过一个具体的计算例子，介绍如何求解这个方程。
二、计算例子1.问题描述我们考虑一个简单的例子，设有一根长为1m的一维非饱和土壤柱，土壤的初始含水量和初始溶质浓度分别为θ0=0.5和C0=1mg/L。
土壤柱的顶部施加一个浓度为C1=5mg/L、面积为A=1m的溶质源。
我们需要求解在稳态条件下，溶质在土壤柱中的垂向分布。
2.控制方程根据一维非饱和溶质垂向运移的Darcy-Stokes模型，可以得到以下控制方程：(1) 质量守恒方程：θ/t = -K * u(2) 动量守恒方程：u/t = -1/ρ * p - μu(3) 溶质运移方程：C/t = -K * (u * C)其中，θ表示土壤含水量，u表示地下水流速，C表示溶质浓度，K表示土壤的渗透系数，ρ表示地下水的密度，μ表示流体的动力粘度，p表示地下水的压力。
3.数值方法我们采用有限差分法对上述控制方程进行离散，并使用三步迭代法求解线性方程组。
4.计算结果经过计算，我们得到了溶质在土壤柱中的垂向分布。
结果表明，在稳态条件下，溶质在土壤柱中的浓度分布符合预期，且与理论解析解相符。
三、结论通过这个计算例子，我们不仅验证了一维非饱和溶质垂向运移控制方程的数值解法，还了解了溶质在地下水中的运移规律。
一维变密度溶质运移实验及参数推求
第24卷第3期2008年5月水资源保护W ATER RES OURCES PROTECTI ON V ol.24N o.3May 2008 基金项目:国家自然科学基金(50679025);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET Ο04Ο0492);高等学校学科创新引智计划(B08048)作者简介:马建良(1982—),男,山东乐陵人,硕士研究生,研究方向为地下水数值模拟。
E 2mail :maliang @ 一维变密度溶质运移实验及参数推求马建良1,陈 喜1,程勤波2,宋 轩2,鲍振鑫2(1.河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室,江苏南京 210098;2.河海大学水文水资源学院,江苏南京 210098)摘要:通过室内土柱注水实验,观测沙质土壤中氯离子浓度的变化过程。
以变密度水流连续性方程、溶质运移方程和达西方程为基础,运用有限单元法和差分法对这3个方程进行联立求解,建立了一维变密度水流和溶质运移数值模型。
利用实验数据反求变密度渗透系数、弥散系数等水动力参数。
关键词:变密度水流;一维对流—弥散方程;土柱实验;海水入侵中图分类号:O351.2 文献标识码:A 文章编号:1004Ο6933(2008)03Ο0008Ο04Identification of hydrodynamic parameters based on one 2dimensional variable density and solute transport numerical modelMA Jian 2liang 1,CHEN Xi 1,CHENG Q ing 2bo 1,SONG Xuan 2,BAO Zhen 2xin 2(1.State K ey Laboratory o f Hydrology 2Water Resources and Hydraulic Engineering ,Hohai Univer sity ,Nanjing 210098,China ;2.College o f Hydrology and Water Resources ,Hohai Univer sity ,Nanjing 210098,China )Abstract :The concentration of chloride ions in sandy s oil was observed through water 2filling s oil column tests in the laboratory.A one 2dimensional numerical m odel for groundwater f1ow of variable density and s olute transport was developed on the basis of equations of variable density groundwater flow and s olute transport as well as Darcy ’s Law.The equations were s olved using the finite element and finite difference methods.The hydrodynamic parameters for variable density flow ,such as infiltration coefficients and dispersion coefficients ,were calibrated against the observed data.K ey w ords :variable density groundwater f1ow ;one 2dimensional convection 2diffusion equation ;s oil column experiment ;seawater intrusion 20世纪70年代以来我国沿海地区陆续出现海水入侵。
溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法-文档资料
故
式子变成
50
mM ml M
对应解为
15
一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源
空间直角坐标系中,取yoz坐标面与面源重合，并设 单位面源瞬时注入质量为mf 的示踪剂 无限面源可以视为无数连 续排列的无限线源组成
mM
16
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
' y 从无限面源中分割出一根平行于z轴，在 处，宽 ' dy 度为 的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处 的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注 ' m dy 入量与前者的 相当，有 f
33
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
通过动坐标以及变换x、y坐标尺度的方法，与基本解 产生联系 令
则
同理 得
34
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
记 引入动坐标 令 套用基本解，有
整理得
35
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
当t与C为定值时，上式为常数，记为-A，并设 X=x-ut，上式变为
为中心坐标（ut，0）,
略去高阶变量
问题写成
5
一、基本解
将m、n合并成新变量m/n，得
根据因次分析中的π定理设
和 对该问题，有两个独立的π参数，依π定理有
π1、π2可有多种组合， 但上述组合可得到最简 单的常微分方程，即
6
一、基本解
（4-11）
7
一、基本解
将定解条件做适当变换
通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分
，流体密度为常数； （3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质； （4）瞬时点源位置为坐标原点；
2
一、基本解
界面流体力学研究中的溶质输运分析
界面流体力学研究中的溶质输运分析引言界面流体力学是研究流体与固体表面（或两种不同流体之间的界面）相互作用的学科，它在多个领域有着广泛的应用，如材料科学、生物医学、化学工程等。
溶质输运是界面流体力学研究中的重要内容之一，它涉及溶质在流体中的传输、扩散和浓度分布等问题。
本文将从理论和实验两个方面，探讨界面流体力学研究中的溶质输运分析方法和应用。
一、理论分析界面流体力学中的溶质输运分析主要依赖于数学模型和数值方法的建立和求解。
以下介绍几种常用的理论分析方法：1. 对流扩散方程模型对流扩散方程是描述溶质在流体中输运和扩散的一种数学模型。
它结合了对流和扩散两个过程，并考虑了溶质浓度随时间和空间的变化。
对流扩散方程的一般形式如下：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t} = D\\frac{\\partial^2 c}{\\partial x^2} +v\\frac{\\partial c}{\\partial x}$$其中，c是溶质的浓度，t是时间，x是空间位置，D是扩散系数，v是流体速度。
通过求解对流扩散方程，可以得到溶质的浓度分布随时间和空间的变化规律，从而分析溶质在流体中的输运行为。
2. 边界元方法边界元方法是一种数值求解偏微分方程的方法，它通过将问题的边界条件表示为问题的解在边界上的积分形式，从而减少了问题的维数。
在界面流体力学中，边界元方法可以用于建立数学模型和求解溶质输运问题。
通过将流体运动方程和扩散方程表示为边界积分形式，可以得到离散化后的方程组，再通过数值求解方法求解得到溶质的浓度分布。
3. 多尺度模拟在界面流体力学研究中，由于界面的特殊性质和微观尺度的存在，常常需要进行多尺度模拟。
多尺度模拟是将系统分为不同的尺度层次，通过在各个尺度上建立数学模型和求解方案，最后通过耦合和协调各个尺度的结果得到系统整体的行为。
在溶质输运分析中，可以利用多尺度模拟方法，从分子尺度到宏观尺度，逐层分析溶质在界面流体中的传输过程。
溶质运移及其基本微分方程
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
Ds ( ) D0
或
Ds 取决于土壤含
Ds ( ) D0 ae
b
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
3. 溶质的机械弥散 c 由机械弥散引起的溶质通量： J h Dh (v)
z
Dh (v) v ，为渗透速度的线性函数。
式中：λ为与土壤质地、结构有关的经验常数。 分子扩散与机械弥散同时存在，机理不同，表 达式相似，但难于区分。因此，将二者综合 水动力弥散。
c J Dsh (v, ) qc z
根据质量守恒定律，在z方向流入和流出单 元体的溶质通量之差为：
J x y z t z
单元体内溶质的质量变化率为：
( c) x y z t t
若忽略x、y两方向的溶质质量变化，则
( c) J t z
c s RTk w g
c
（cm）
式中： 为以mol表示的溶质浓度 (mol cm3 ) µ 为溶质的摩尔质量（g/mol）数值上＝分 子量；c为单位体积溶液中含有的溶质质量 （g/cm3）；R＝8.31*106Pa· cm3/(mol· K)
当只考虑一维垂直流动时，土壤水分通量
第五节 溶质运移问题的简单解析解
第五节 溶质运移问题的简单解析解由第二节的对流弥散方程可知，溶质运移问题比地下水运动问题更复杂，更难求得解析解。
只有当含水层为均质各向同性，而且计算区域几何形状简单时，才有可能求得解析解。
下面介绍几种简单的解析解。
一. 一维问题简单的解析解实验室中的土柱试验就是一个简单的一维问题。
一个土柱中装满砂，用水饱和并且让水以固定的速度向下流动。
水中的示踪剂浓度为0。
试验开始时土柱上部换装示踪剂浓度为C 0的溶液，一直保持到试验结束。
如果不考虑吸附、化学反应和放射性衰变，取流向为x 轴，则对流弥散方程（6-91）简化为x c u xc D t c x L ∂∂-∂∂=∂∂22 （6-184） 初始条件00)0,(≥=x x c边界条件⎩⎨⎧≥=∞≥=00),(0),0(0t t c t c t c 该问题的解为（Ogata 和Banks ，1961）：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2()exp(22),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-185） 式中 )(e r f c—余误差函数； )e x p (—指数。
在天然情况下，一维运动往往出现在有一段平直的被污染的河流或渠道，河水渗漏补给地下水，地下水以固定速度u 作一维流动，如图6—25图6—25渠道渗漏作为一个线源引起的地下水污染Sauty （1980）求得该情况下的解为⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢+--=)2()exp()2(2),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-186） （6—185）式和（6—186）式在第二项前面符号不同。
当Peclet 数Lx D xu Pe = 相当大时，上二式第二项比第一项小得多，故近似有)2(2),(0t D t u x erfc c t x c L x -=（6-187） 公式（6—187）适用10≥Pe 的情况。
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程-精选文档
Fick定律
8
五、流体参数
流体的密度
d m d m dm 1 dV dV dV 1 1
N N N
多相分流体速度
N N
组分流速
1 N
C C x ,y , z , 0 0 x ,y , z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向
某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C
~
R 1 d
b
n
K d
只是用 R d 去除以水动力弥散系数 D 和流速u，由于Rd 1 ，因 ~ 1 此吸附作用产生的后果，相对于 D 和 u 均减小 R ，起到减缓
d
弥散的作用。所以把 R d 称为：减缓因子。
26
七、源汇项：抽水与注水
如果含水层当中有抽水或注水井，含水层中示踪剂
七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
水
吸附
解吸 (源)
离子交换 (源、汇)
多相流体可混溶流体石油污染物在水体或含水层中的运移不可混溶流体不同性质溶体之间无明显的突变界不同性质溶体之间有明显的突变界惰性示踪剂理想示踪剂两种或不与地下水发生化学反应不与多孔介质发生反应天然示踪剂天然水中的环境同位素人工示踪剂离子化合物有机染料放射性同位素水动力弥散现象多孔介质中当存在两种或两种以上可混溶的流体时在流体运动作用下期间发生过渡带并使浓度区域平均化的现象水动力弥散分子扩散机械弥散由浓度高的方向向浓度底的方向运动趋于均一由于微观多孔介质中流速分布的不均一而引起的示踪剂水质点浓度在地下水含水层中不均匀分布的现象
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
式中 f0 称为选择系数或渗透有效系数。 ∴严格地讲，土壤水分运动和溶质运移是耦 合的。但为了实际应用方便，在 f0 0时，常 独立求解，即先解水分运动方程，将渗流场代 入溶质运移方程，然后求解溶质分布。
c J Dsh (v, ) qc z
根据质量守恒定律，在z方向流入和流出单 元体的溶质通量之差为：
J x y z t z
单元体内溶质的质量变化率为：
( c) x y z t t
若忽略x、y两方向的溶质质量变化，则
( c) J t z
2. 溶质的分子扩散———Fick定律
1）自由水中：分子扩散通量 c （在自由水中） 0 J d D0
z
式中：D0为溶质在自由水体中的扩散系数
c 2） 土壤溶液中： J d Ds z
式中：Ds为溶质在土壤溶液中的扩散系数； J d 为分子扩散通量。
3） Ds 的经验公式：
Ds ( ) D0
或
Ds 取决于土壤含
Ds ( ) D0 ae
b
水率θ和D0，与c 无机械弥散 c 由机械弥散引起的溶质通量： J h Dh (v)
z
Dh (v) v ，为渗透速度的线性函数。
式中：λ为与土壤质地、结构有关的经验常数。 分子扩散与机械弥散同时存在，机理不同，表 达式相似，但难于区分。因此，将二者综合 水动力弥散。
§2-3 非饱和带溶质运移 及其基本微分方程
● 溶质运移现象 ● 溶质运移的对流和水动力弥散
● 溶质运移基本方程
● 土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移现象（十分复杂） 土壤水携带着溶质一起运移→对流
溶质在自身浓度作用下由高浓度处向低浓度运 移→分子扩散 溶质在流动过程中从一个大孔隙进入小孔隙→ 次小→小，不断被分散并占有越来越大的渗流 区，且每个细孔中运动速度的大小和方向均不 同（→机械弥散）。
式中 ： Se为单位时间、单位体积土壤中生 成或消失的溶质质量。
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
水动力 弥散
( c) c (qc) [ Dsh (v, ) ] t z z z
对流
该式称为溶质运移的一维对流－弥散型方程。 若考虑介质中溶质的化学、生物变化，则加 入源汇项Se。
( c) c (qc ) [ Dsh (v, ) ] Se t z z z
一、溶质运移的对流和水动力弥散
1.溶质的对流运移 1）溶质浓度c：单位体积土壤水溶液中所含 有的溶质质量。 2）溶质通量Jc：单位时间内通过土壤单位截 面积的溶质质量。设土壤水分的通量为q， Jc q c 则： 若以 v q 表示土壤水的平均孔隙流速，
为体积含水率，则 Jc v c
c s RTk w g
c
（cm）
式中： 为以mol表示的溶质浓度 (mol cm3 ) µ 为溶质的摩尔质量（g/mol）数值上＝分 子量；c为单位体积溶液中含有的溶质质量 （g/cm3）；R＝8.31*106Pa· cm3/(mol· K)
当只考虑一维垂直流动时，土壤水分通量
m s q k ( )( f0 1) z z
DD Dh (v) Ds ( )＝Dsh (v, )
4. 水动力弥散 溶质通量
JD
c Dsh (v, ) z
水动力弥散系数既和水的渗透速度有关，又 与土壤含水率有关。其值常需实验确定，或用 经验公式表示之。
二、溶质运移基本方程
由前面的分析可知，溶质总通量为对流通量 与水动力弥散通量之和。即 ：
分子扩散和水动力弥散机理不同，但同时存在， 很难区分，二者综合称为水动力弥散。 土壤中的吸附 解析； 溶质的溶解 沉淀
化合 分解 离子交换 植物的吸收、释放 微生物的分解
∴土壤中的溶液处在一个物理、化学、生物
的相互联系、连续变化的系统中。由于化学和
生物作用的复杂性，目前多数情况只考虑溶质
迁移过程的物理作用，即 对流+水动力弥散 分子扩散 机械弥散