北师大版高一数学必修一第3、4章检测题含答案
(完整word版)北师大高一数学必修一单元测试题附标准答案
高一年级数学学科第一单元质量检测试题参赛试卷学校：宝鸡石油中学 命题人：张新会一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．1．集合｛0,1｝地子集有A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2．已知集合2{|10}M x x =-=，则下列式子正确地是A.{1}M -∈B.1 M ⊂C . 1 M ∈－ D. 1 M ∉－3．已知集合M={},0a N={}1,2且M {2}N =，那么=N MA ．{},0,1,2aB ．{}1,0,1,2C ．{}2,0,1,2D ．{}0,1,24.已知集合 A 、B 、C 满足A ⊂B ⊂C ，则下列各式中错误地是A ．()ABC ⊂B ．()A B C ⊂C ．()A C B ⊂D ．()A C B ⊂5.设集合{(,)|46},{(,)|53}A x y y x B x y y x ==-+==-，则B A =A ．{x =1，y =2}B ．{（1，2）}C ．{1，2}D ．（1，2）6．设全集I={16,}x x x N ≤<∈，则满足{1，3，5}∩I B ={1，3，5}地所有集合B 地个数是A. 1B. 4 C. 5 D. 87.设{012},{}B A x x B ==⊆，，则A 与B 地关系是A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A ∈BD ．B ∈A 8.31{|},{|},2m A n Z B m Z A B n +=∈=∈=则 A ．B B ．A C ．φD ．Z 9.已知全集I={0，1，2}则满足(){2}I A B =地集合A 、B 共有 A ．5组 B ．7组 C ．9组D ．11组 10．设集合2{|10}A x x x =+-=,{|10}B x ax =+=，若B A ⊂则实数a 地不同值地个数是A ．0 B. 1 C. 2 D. 311.若2{|10}p m mx mx x R =--<∈,对恒成立，则p =A ．空集B ．{|0}m m <C ．{|40}m m -<<Ｄ．{|40}m m -<≤12.非空集合M 、P 地差集{,}M P x x M x P -=∈∉且，则()M M P --=A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13．已知{}2|2,A y y x x ==+∈R ，则 R A =．【答案】{|2}x x < 14.数集2{2,}a a a +，则a 不可取值地集合为.【答案】{0,1}15.集合A 、B 各含12个元素，A ∩B 含4个元素，则A ∪B 含有个元素.【答案】2016.满足2{1,3,}{1,1}a a a ⊇-+地元素a 构成集合.【答案】{-1，2}17.已知全集{1,3,},,I a A I B I =⊆⊆，且2{1,1}B a a =-+，I B A =,则A =. 【答案】}2{}1{=-=A A 或18.符合条件{a ,b ,c }⊆P ⊆{a ,b ,c ,d ,e }地集合P 有个．【答案】4三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明或演算步骤．19.（15分）若集合2{|210}A x ax x =++=中有且仅有一个元素，求a 地取值．解：当0a =时，方程为210x +=，12x =-只有一个解； 当0a ≠时，方程2210ax x ++=只有一个实数根，所以440a ∆=-=，解得1a =故a 地取值为0或120.（本小题满分15分）已知集合A={-1，1}，B={x |x ∈A},C={y | y ⊆A}（1）用列举法表示集合B 、C ；（2）写出A 、B 、C 三者间地关系.解：（1）∵A={-1，1}∴B={-1，1}，C={{ }, {-1}, {1}, {-1, 1}}（2）A = B ∈C21.（15分）设全集为R ，{}|25A x x =<≤，{}|38B x x =<<，{|12}C x a x a =-<<.（1）求AB 及()R A B ；（2）若()A BC =∅，求实数a 地取值范围.解：（1）AB ={}|35x x <≤ ∵A B ={}|28x x <<∴()R A B ={}|28x x x ≤≥或（2）若()A B C =∅，则有231512a a a a ≤⎧⎪-≥⎨⎪-<⎩得312a -<≤或6a ≥ ∴实数a 地取值范围为{3|12a a -<≤或6a ≥} 22.（本小题满分15分）已知集合22{|0(40)}M x x px q p q =++=->，{13579}A =，，，，，{14710}B =，，，且M A φ=，M B M =，试求p q 、地值．解：M B M =，M B ∴⊂，2240p q ->时，方程20x px q ++=有两个不等地根，且这两个根都在集合B 中， M A φ=，∴ 1,7不是M 地元素，∴4，10是方程20x px q ++=地两个根故14,40p q =-=【试题命制意图分析】考查基本内容：①集合地基本内容包括集合有关概念，集合地三种运算和集合语言和思想地初步应用.②学习中要求能准确理解集合、子集、交集、并集、补集地概念，正确使用各种符号，掌握有关地术语.③对集合地运算要求用文字语言表述.用符号语言做出表示及用图形语言表示做出全面理解.考查重点与难点内容：（1）本节地重点内容是对集合概念地准确理解与应用：①认识集合应从构成集合地元素开始，利用集合中元素地特性（确定性、互异性、无序性）可指导集合地表示.②对集合地三种表示方法（列举、描述、图示法）不仅要求了解不同表示方法地不同要求，还要求能根据不同情况对表示方法进行选择.③求有限集合地子集，应正确运用分类讨论地思想确定子集中元素地选取规律.（2）本节地难点是各种符号地正确理解和使用.正确理解和熟练运用数学符号是提高抽象思维能力地重要途径.数学符号是符号化了地数学概念.以前接触地符号都是有关数、或数与数地关系地，本节中学习地抽象符号是表示元素、集合或集合间关系地，如“∈”，“∉”，“⊆”，“=”等，是全新地一套.对符号地使用不仅要明确其意义，而且还要注意各类符号间不能混用，并能识别和处理用集合中有关符号表述地数学命题.（3）对于集合地应用重点是交并思想在解不等式中地应用，不做过多延伸.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。
新教材高中数学第4章对数运算与对数函数2 1对数的运算性质巩固练习含解析北师大版必修第一册
2.1对数的运算性质课后训练·巩固提升1.log242+log243+log244等于()A.1B.2C.24D.12242+log243+log244=log24(2×3×4)=log2424=1.故选A.2.化简12log612-2log6√2的结果为()A.6√2B.12√2C.log6√3D.12=log6√12-log62=log6√122=log6√3.故选C.3.方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根的积x1x2等于()A.lg 2+lg 3B.lg 2lg 3C.16D.-6lg x1+lg x2=-(lg2+lg3),∴lg(x1x2)=-lg6=lg6-1=lg16,∴x1x2=16.故选C.4.21+12log25的值等于()A.2+√5B.2√5C.2+√52D.1+√521+12log25=2×212log25=2×2log2√5=2√5,选B.5.已知a=log32,那么log38-2log36用a表示为()A.a-2B.5a-2+a)2 D.3a-a2-1log38-2log36=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.6.已知a 23=49(a>0),则lo g23a=.a 23=49,∴a2=64729,∴a=827=(23)3,∴lo g23a=lo g23(23)3=3.7.计算(lg 14-lg25)÷100-12= .14-lg25)÷100-12=(lg 1100)÷10-1=-2×10=-20.208.lg 0.01+log 216的值是 ..01+log 216=lg 1100+log 224=-2+4=2.(lg x )2+lg x 5-6=0.(lg x )2+5lg x-6=0,即(lg x+6)(lg x-1)=0,所以lg x=-6或lg x=1,解得x=10-6或x=10.经检验x=10-6和x=10都是原方程的解,所以原方程的解为x=10-6或x=10.1.计算log 3√2743+lg 25+lg 4+7log 72的值为( ) A.-14B.4C.-154D.154=log 3√274-log 33+lg52+lg22+2=14log 333-1+2lg5+2lg2+2=34-1+2+2=154.2.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=(12)x ;当x<4时,f (x )=f (x+1),则f (2+log 23)=( ) A.124 B.112 C.18 D.382+log 23<2+log 24=4,3+log 23>3+log 22=4,故f (2+log 23)=f (2+log 23+1)=f (3+log 23)=(12)3+log 23=(12)3·12log 23=18×13=124.3.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两个实根,则(lg a b )2的值为( ) A.2B.12C.4D.14a b )2=(lg a-lg b )2=(lg a+lg b )2-4lg a lg b=22-4×12=2.4.若lg 2=a ,lg 3=b ,则用a ,b 表示lg √45= .√45=12lg45=12lg(5×9)=12lg5+12lg9=12(1-lg2)+lg3=-12lg2+lg3+12=-12a+b+12. -12a+b+125.已知2x =9,log 283=y ,则x+2y 的值为 .2x =9,得log 29=x ,所以x+2y=log 29+2log 283=log 29+log 2649=log 264=6.6.求下列各式的值:(1)log 535+2log 5√2-log 515-log 514; (2)〖(1-log 63)2+log 62·log 618〗÷log 64;(3)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg 2√3)2+lg 0.06+lg 16.原式=log 535+log 52-log 515-log 514=log 535×215×14=log 535014=log 525=2. (2)原式=[(log 663)2+log 62·log 6362]÷log 64=〖(log 62)2+log 62(log 636-log 62)〗÷log 64=〖(log 62)2+2log 62-(log 62)2〗÷log 64=2log 62÷log 64=log 64÷log 64=1.(3)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg 6100-lg6=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg6-2-lg6=3·lg5·lg2+3lg5+3·(lg2)2-2=3lg2(lg2+lg5)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=3-2=1. f (x )=x 2+(lg a+2)x+lg b ,f (-1)=-2,方程f (x )=2x 至多有一个实根,求实数a ,b 的值.f (-1)=-2得,1-(lg a+2)+lg b=-2,所以lg b a =-1=lg 110,所以b a =110,即a=10b.又因为方程f (x )=2x 至多有一个实根,即方程x 2+(lg a )x+lg b=0至多有一个实根,所以(lg a )2-4lg b ≤0,即〖lg(10b )〗2-4lg b ≤0,所以(1-lg b )2≤0,所以lg b=1,b=10,从而a=100. 故实数a ,b 的值分别为100,10.a>1,若对于任意的x ∈〖a ,2a 〗,都有y ∈〖a ,a 2〗满足方程log a x+log a y=3,求a 的取值范围.log a x+log a y=3,∴log a (xy )=3.∴xy=a 3.∴y=a 3x . ∵函数y=a 3x (a>1)在(0,+∞)上是减函数,又当x=a 时,y=a 2,当x=2a 时,y=a 32a =a 22,∴[a 22,a 2]⊆〖a ,a 2〗.∴a 22≥a.又a>1,∴a ≥2.∴a的取值范围为〖2,+∞).。
高中数学 第一章 预备知识章末综合测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题
章末综合测评(一) 预备知识(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x ∈R ，使得x 2≥0”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＜0 B ．∀x ∈R ，x 2≤0 C ．∃x ∈R ，x 2≥0D ．∃x ∈R ，x 2＜0D [命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定形式是∃x ∈R ，x 2＜0，故选D.]2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{2，3，4，5}A [图中阴影部分所表示的集合为A ∩(∁UB )，故选A.]3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{1}D ．{1，2，3}A [∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．]4．设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2” 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解不等式x 3＞8，得x ＞2，解不等式|x |＞2，得x ＞2或x ＜－2， 所以“x 3＞8”是“|x |＞2” 的充分而不必要条件．故选A.]5．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1，0} C ．{1，3}D ．{1，5}C [∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}． 故选C.]6．满足条件M ∪{1，2}＝{1，2，3}的集合M 的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1 A [∵M ∪{1，2}＝{1，2，3}，∴3∈M ，且可能含有元素1，2， ∴集合M 的个数为集合{1，2}，子集的个数4.故选A.]7．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，c －b ＝a 2－4a ＋4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞bA [∵c －b ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ； 又b ＋c ＝3a 2－4a ＋6， ∴2b ＝2a 2＋2， ∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －12＋34＞0， ∴b ＞a ， ∴c ≥b ＞a .]8．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m3a ＋b ≤a ＋3b ab 恒成立，则m 的最大值为 ( )A ．4B ．16C ．9D ．3B [m3a ＋b≤a ＋3b ab ，即m ≤（a ＋3b ）（3a ＋b ）ab ；又（a ＋3b ）（3a ＋b ）ab ＝3a b ＋3ba ＋10≥23a b ·3ba＝6＋10＝16，当且仅当a ＝b 时，取等号，∴m ≤16，故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集不可能是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32D ．∅BCD [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D.]10．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中其中假命题的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b >0，c >d ，则ac >bdABD [若a >b ，c <0时，ac <bc ，A 错；B 中，若c ＝0，则有ac 2＝bc 2，B 错；C 正确；D 中，只有c >d >0时，ac >bd ，D 错，故选ABD.]11．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 AB [根据补集的概念，∁R B ＝{x |x ≥2m }． 又∵A ⊆∁R B ，∴2m ≤2.解得m ≤1，故m 的值可以是0，1.]12．设集合A ＝{x |x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，集合A ∪B 中所有元素之和为7，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4ABCD [x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝(x －2)(x －a )＝0，解得x ＝2或x ＝a ，则A ＝{2，a }．x 2－5x ＋4＝(x －1)(x －4)＝0，解得x ＝1或x ＝4，则B ＝{1，4}．当a ＝0时，A ＝{0，2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{0，1，2，4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a ＝1时，A ＝{1，2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a ＝2时，A ＝{2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a ＝4时，A ＝{2，4}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a 的取值集合为{0，1，2，4}．]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上． 13．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集是________. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ＜x ＜1a [原不等式可化为(x －a )(x －1a )＜0，由0＜a ＜1，得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.]14．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值X 围________．(－∞，1][用数轴表示集合A ，B ，若A ∪B ＝R ，则a ≤1，即实数a 的取值X 围是(－∞，1].] 15．“∃x ∈[0，3]，x 2－a ＞0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．[9，＋∞)[由题意得“∀x ∈[0，3]，x 2－a ≤0”是真命题，即a ≥x 2，所以a ≥(x 2)max ＝9. ] 16．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．20[由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x 的最小值为20.]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁U B).(2)若A∩B＝A，某某数m的取值X围．[解](1)当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，∴B＝{x|x＜3}，∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，则∁U B＝{x|3≤x＜4}，∴A∩(∁U B)＝{x|3≤x＜4}．(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}＝{x|x＜m}，由A∩B＝A得A⊆B，∴m≥4，即实数m的取值X围是[4，＋∞).18．(本小题满分12分)解下列不等式：(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(1＋a)x＋a＜0.[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a＜1时，原不等式的解集为(a，1).19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，当A∪B＝B时，某某数a的取值组成的集合P.[解]由A∪B＝B知A⊆B.又A＝{－4，0}，故此时必有B＝{－4，0}，即－4，0为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是⎩⎪⎨⎪⎧－4＋0＝－2（a ＋1），（－4）×0＝a 2－1，得a ＝1.即P ＝{1}．20．(本小题满分12分)已知a ＞b ＞0，求证：a ＋b ＋3＞ab ＋2a ＋b . [证明]a ＋b ＋3－ab －2a －b ＝12(2a ＋2b －2ab －4a －2b )＋3 ＝12(a －4a ＋b －2b ＋a ＋b －2ab )＋3 ＝12(a －4a ＋4＋b －2b ＋1＋a ＋b －2ab －5)＋3 ＝12[(a －2)2＋(b －1)2＋(a －b )2－5]＋3 ＝12(a －2)2＋12(b －1)2＋12(a －b )2＋12， ∵(a －2)2≥0，(b －1)2≥0，(a －b )2＞0， ∴a ＋b ＋3－ab －2a －b ＞0， ∴a ＋b ＋3＞ab ＋2a ＋b .21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0，3]，某某数m 的值； (2)若A ⊆∁U B ，某某数m 的取值X 围．[解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁U B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∵A ⊆∁U B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1， 即m ＞5或m ＜－3.22．(本小题满分12分)已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x 使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，请说明理由.[解] 要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数y ＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数y ＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，其图象需满足开口向下且与x 轴没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m （1－m ）＜0，不等式组的解集为空集，即m 不存在． 综上可知，不存在这样的实数m 使不等式恒成立．。
高中北师大版数学必修1第1章至第四章学业质量标准检测
第一章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( A )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|－2<x<－1}，故选A．2．下列集合中表示同一集合的是( B )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}[解析]A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．3．设集合A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则( D )A．B∈A B．B AC．A∉B D．A＝B[解析]由已知可得B＝{a，b}，∴A＝B4．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝( B )A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}[解析]易得∁U B＝{x|x≤1}，故A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．5．(2019·全国卷Ⅱ理，1)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( A )A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)[解析]∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故选A．6．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的范围是( C )A．a≤－1 B．a≥1C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1[解析]∵P＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P，∴a∈P.即－1≤a≤1.7．设集合A ＝{x|x≤13}，a ＝11，那么( D ) A ．a A B ．a ∉A C ．{a}∉AD ．{a} A[解析] A 是集合，a 是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a}与A 是包含与否的关系，据此，A 、C 显然不对．而11<13，所以a 是A 的一个元素，{a}是A 的一个子集．故选D ．8．设全集U ＝{x ∈N|x≥2}，集合A ＝{x ∈N|x 2≥5}，则∁U A ＝( B ) A ．∅ B ．{2} C ．{5}D ．{2,5}[解析] 本题考查集合的运算．A ＝{x ∈N|x 2≥5}＝{x ∈N|x≥5}，故∁U A ＝{x ∈N|2≤x<5}＝{2}．选B ．9．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A 等于( D ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9}D ．{3,9}[解析] 因为A∩B＝{3}，所以集合A 中必有元素3.因为(∁U B)∩A＝{9}，所以属于集合A 不属于集合B 的元素只有9.综上可得A ＝{3,9}．10．已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，且B≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围为( D )A ．－3≤m≤4B ．－2<m<4C ．2<m<4D ．2<m≤4[解析] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ． 又因为B≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，所以2<m≤4.11．已知集合A ＝{x|x<3或x≥7}，B ＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a 的取值范围为( A ) A ．a>3 B ．a≥3 C ．a≥7D ．a>7[解析] 因为A ＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A ＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.12．下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}有两个元素；④集合{x ∈Q|6x∈N}是有限集．其中正确命题的个数是( D )A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] ①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集， ∴①不正确．②当a ＝0时，0∈N ，∴②不正确． ③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1， ∴{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}＝{1}， ∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时6x ∈N ，∴{x ∈Q|6x ∈N}是无限集，∴④不正确．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知集合A ＝{x|x －2>0}，若a ∈A ，则集合B ＝{x|x 2－ax ＋1＝0}中元素的个数为2.[解析] ∵A ＝{x|x －2>0}，a ∈A ，∴a －2>0，即a>2，∴a 2－4>0，则方程x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的实数根．故集合B 中元素的个数为2.14．设集合A ＝{x||x|<2}，B ＝{x|x>a}，全集U ＝R ，若A ⊆∁U B ，则a 的取值范围是a≥2. [解析] ∵|x|<2，∴－2<x<2，∴A ＝{x|－2<x<2}．而∁U B ＝{x|x≤a}，故当A ⊆∁U B 时，a≥2. 15．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N|1≤x≤10}，B ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，则图中阴影表示的集合为{－3}.[解析] 如图阴影部分为(∁U A)∩B．∵A ＝{x ∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4，…，9,10}， B ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}， ∴(∁U A)∩B＝{－3}．16．集合M ＝{x|x ＝3k －2，k ∈Z}，P ＝{y|y ＝3l ＋1，l ∈Z}，S ＝{z|z ＝6m ＋1，m ∈Z}之间的关系是SP ＝M.[解析] M 、P 是被3除余1的数构成的集合，则P ＝M ，S 是被6除余1的数，则S P. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x ∈Z|－6≤x≤6}，B ＝{1,2,3}，C ＝{3,4,5,6}．求： (1)A ∪(B∩C)； (2)A∩[∁A (B ∪C)]．[解析] 由题意知A ＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}． (1)易知B∩C＝{3}，故A ∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)∵B ∪C ＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A (B ∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}， ∴A∩[∁A (B ∪C)]＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．18．(本小题满分12分)已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a 的值． [解析] ∵M∩N＝{3}，∴3∈M ； ∴a 2－3a －1＝3，即a 2－3a －4＝0， 解得a ＝－1或4.但当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾； 当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.19．(本小题满分12分)已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|mx －2＝0}且A ∪B ＝A ，求实数m 组成的集合C ．[解析] 由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，因此B 有可能等于空集． ①当B ＝∅时，此时方程mx －2＝0无解， 即m ＝0符合题意．②当B≠∅时，即m≠0，此时A ＝{1,2}，B ＝{2m }，∵B ⊆A ．∴2m ＝1或2m ＝2，∴m ＝2或m ＝1.因此，实数m 组成的集合C 为{0,1,2}．20．(本小题满分12分)集合A ＝{x|－2<x<4}，集合B ＝{x|x －m<0}. (1)若m ＝3，求A∩B，A ∪B ；(2)若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B＝A ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＝3时，B ＝{x|x<3}． 又A ＝{x|－2<x<4}，∴A∩B＝{x|－2<x<4}∩{x|x<3}＝{x|－2<x<3}， A ∪B ＝{x|－2<x<4}∪{x|x<3}＝{x|x<4}． (2)∵A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}，又A∩B＝∅， ∴m≤－2，即m 的取值范围是{m|m≤－2}． (3)∵A∩B＝A ，∴A ⊆B ．又A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}， ∴m≥4，即m 的取值范围是{m|m≥4}．21．(本小题满分12分)已知M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，N ＝{x|ax ＝12}，若N ⊆M ，求实数a 所构成的集合A ，并写出A 的所有非空真子集.[解析]∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．∵N⊆M，∴N为∅或{2}或{3}．当N＝∅时，即ax＝12无解，此时a＝0；当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.所以A＝{0,4,6}，从而A的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．22．(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析](1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．第二章 学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x ＋1＋12－x 的定义域为( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)[解析] 要使x ＋1有意义，须满足x ＋1≥0，即x≥－1；要使12－x 有意义，须满足2－x≠0，即x≠2，所以函数f(x)的定义域为{x|x≥－1，且x≠2}，用区间可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( D )A ．2B ．1C ．0D ．－2[解析] ∵f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋11)＝－2.3．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( B )[解析] 选项B 中，当x 取某一个值时，y 可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．4．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( C ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值．5．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A→B，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( A )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5[解析]由题意，得n2＋n＝20，∴n2＋n－20＝0，∴(n＋5)(n－4)＝0，∴n＝－5或n＝4.∵n∈N，∴n＝4，故选A．6．(2019·山东烟台高一期中测试)已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：则f[f(4)]＝(A．－1 B．－2C．－3 D．3[解析]由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.7．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x 的取值范围是( D )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3][解析]∵f(x)为R上的奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D．8．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上是( B )A．增函数且最小值是－1 B．增函数且最大值是－1C．减函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1[解析]∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．9．定义在[1＋a,2]上的偶函数f(x)＝ax2＋bx－2在区间[1,2]上是( B )A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．先减后增函数[解析]∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0.定义域为[1＋a,2]，则1＋a＝－2，∴a＝－3.又二次函数f(x)＝－3x2－2的图像开口向下，对称轴为y轴，则在区间[1,2]上是减函数．10．若函数y＝kx＋5kx2＋4kx＋3的定义域为R，则实数k的取值范围为( D )A ．(0，34)B ．(34，＋∞)C ．(－∞，0)D ．[0，34)[解析] ∵函数的定义域为R ，∴kx 2＋4kx ＋3恒不为零，则k ＝0时，成立； k≠0时，Δ<0，也成立．∴0≤k<34.11．函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过点(－1,0)，则a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b的值是( A ) A ．－1 B ．1 C ．12D ．－12[解析] ∵函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过(－1,0)点，则有a ＋b ＋c ＝0，即a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b. ∴a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b＝－1. 12．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( B )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 因为y ＝f(x)，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x ＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m 2＝m ，当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m ，因此选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是y ＝x 2＋4x ＋2.[解析] y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2 ＝x 2＋4x ＋2.14．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f(x)＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是{x|x≤2且x≠－1}. [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x≥0x ＋1≠0，解得x≤2且x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．15．已知函数f(x)＝x 2－|x|，若f(－m 2－1)<f(2)，则实数m 的取值范围是(－1,1).[解析] 因为f(x)＝x 2－|x|＝|x|2－|x|＝(|x|－12)2－14，所以f(x)为偶函数，且在区间(12，＋∞)上为增函数．又f(－m 2－1)＝f(m 2＋1)<f(2)， 所以m 2＋1<2.所以m 2<1，即－1<m<1.16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；②y ＝2x 2＋1，x ∈{2}；③y ＝2x 2＋1，x ∈{－2,2}．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有3个．[解析] 根据定义，满足函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2}；y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，0，2}共3个．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x≤－1)x 2(－1<x<2)2x (x≥2).(1)求f{f[f(3)]}的值； (2)求f(a)＝3，求a 的值； (3)画出函数的图像．[解析] (1)∵－1<3<2，∴f(3)＝(3)2＝3. 又 3≥2，∴f[f(3)]＝f(3)＝2×3＝6. 又6≥2，∴f{f[f(3)]}＝f(6)＝2×6＝12.(2)当a≤－1时，f(a)＝a ＋2.若f(a)＝3，则a ＋2＝3， ∴a ＝1(舍去)．当－1<a<2时，f(a)＝a 2.若f(a)＝3，则a 2＝3， ∴a ＝3，或a ＝－3(舍去)．当a≥2时，f(a)＝2a.若f(a)＝3，则2a ＝3， ∴a ＝32(舍去)．综上可知，a ＝ 3.(3)函数f(x)的图像如图所示，18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－3,3]． (1)当a ＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－5时，f(x)＝x 2＋10x ＋2＝(x ＋5)2－23，x ∈[－3,3]， 又因为二次函数开口向上，且对称轴为x ＝－5，所以当x ＝－3时，f(x)min ＝－19，当x ＝3时，f(x)max ＝41.(2)函数f(x)＝(x －a)2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝a ，因为f(x)在[－3,3]上是单调函数， 所以a≤－3或a≥3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1a －1x (a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2. 则f(x 1)－f(x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2. ∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0. ∴x 1－x 2x 1x 2<0.∴f(x 1)<f(x 2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f(x)在[12，2]上是增加的，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (12)＝12f (2)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2.∴a ＝25.20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f(x)＝x －2m2－m ＋3，其中m ∈{x|－2<x<2，x ∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x ∈[0,3]时f(x)的值域． [解析] 由{x|－2<x<2，x ∈Z}＝{－1,0,1}． (1)由－2m 2－m ＋3>0，∴2m 2＋m －3<0，∴－32<m<1，∴m ＝－1或0.由(2)知f(x)是奇函数．当m ＝－1时，f(x)＝x 2为偶函数，舍去． 当m ＝0时，f(x)＝x 3为奇函数． ∴f(x)＝x 3.当x ∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数， ∴f(x)的值域为[0,27]．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x 2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (3)求函数的值域．[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x≥0时，f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－2，x≥0(x ＋1)2－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数， 在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2. 当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2,2]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(2)若a ，b ∈R ，且a ＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小． [解析] (1)函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数， 证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 31)－(x 2＋x 32)＝(x 1－x 2)＋(x 31－x 32)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0.所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数． (2)由a ＋b>0，得a>－b ，由(1)知f(a)>f(－b)， 因为f(x)的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称， 又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x －x 3＝－(x ＋x 3)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数．于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.第三章 学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·山东潍坊高一期末测试)函数f(x)＝ln (x ＋1)x －2的定义域是( B )A ．(－1，＋∞)B ．(－1,2)∪(2，＋∞)C ．(－1,2)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)[解析] 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －2≠0，∴x>－1且x≠2，故函数f(x)的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)． 2．下列计算正确的是( B ) A ．log 26－log 23＝log 23 B ．log 26－log 23＝1 C ．log 39＝3D ．log 3(－4)2＝2log 3(－4)[解析] 在B 选项中，log 26－log 23＝log 263＝log 22＝1，故该选项正确．3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x>0)3x(x≤0)，则f[f(14)]的值是( B )A ．9B ．19 C ．－19D ．－9[解析] ∵x>0时，f(x)＝log 2x ， ∴f(14)＝log 214＝log 22－2＝－2，又∵x<0时，f(x)＝3x ，∴f(－2)＝3－2＝19.∴f[f(14)]＝f(－2)＝19.4．(2019·山东潍坊高一期末测试)已知x ＝log 512，y ＝(12)0.1，z ＝213 ，则( A )A ．x<y<zB ．x<z<yC ．y<x<zD ．z<x<y[解析] log 512<log 51＝0，∴x<0；(12)0.1<(12)0＝1，∴0<y<1；213 >20＝1，∴z>1，∴x<y<z.5．函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是( A )[解析] 排除法：∵函数y ＝－log a x 中x>0，故排除B ；当a>1时，函数y ＝a x为增函数，函数y ＝－log a x 为减函数，故排除C ；当0<a<1时，函数y ＝a x 为减函数，函数y ＝－log a x 为增函数，故排除D ，所以选A ． 6．(2019·北京文，3)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( A ) A ．y ＝x 12 B ．2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x[解析] 函数y ＝x 12＝x ，在(0，＋∞)上单调递增，函数y ＝2－x＝(12)x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 在(0，＋∞)上都是单调递减的，故选A ．7．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax 2－x(a ∈R)．若f[g(1)]＝1，则a ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－1[解析] 由已知条件可知：f[g(1)]＝f(a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A ．8．给出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x (x≥4)f (x ＋1)(x<4)，则f(log 23)的值等于( D )A ．－238B ．111C ．119D ．124[解析] 因为log 23∈(1,2)， 所以f(log 23)＝f(log 23＋1)＝f(log 26)＝f(log 26＋1) ＝f(log 212)＝f(log 212＋1) ＝f(log 224)＝12log 224＝124.9．若a>b>0,0<c<1，则( B ) A ．log a c<log b c B ．log c a<log c b C ．a c<b cD ．c a>c b[解析] 对于选项A ：log a c ＝lgc lga ，log b c ＝lgclgb，∵0<c<1，∴lgc<0，而a>b>0，所以lga>lgb ，但不能确定lga 、lgb 的正负，所以它们的大小不能确定； 对于选项B ：log c a ＝lga lgc ，log c b ＝lgb lgc ，而lga>lgb ，两边同乘以一个负数1lgc 改变不等号方向所以选项B 正确；对于选项C ：利用y ＝x c在第一象限内是增函数即可得到a c>b c，所以C 错误；对于选项D ：利用y ＝c x在R 上为减函数易得为错误．所以本题选B ．10．设函数f(x)＝x 2－4x ＋3，g(x)＝3x－2，集合M ＝{x ∈R|f[g(x)]>0}，N ＝{x ∈R|g(x)<2}，则M∩N ＝( D )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)[解析] ∵f[g(x)]>0，∴g 2(x)－4g(x)＋3>0. ∴g(x)>3或g(x)<1， ∴M∩N＝{x|g(x)<1}．∴3x－2<1,3x<3，∴x<1.故选D ．11．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，－log 2(x ＋1)，x≤1，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( A )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[解析] 由已知条件可得函数图像：故f(a)＝－3＝－log 2(a ＋1)，可得a ＝7； f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.故本题正确答案为A ．12．已知f(x)＝log 12(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－4,4)B ．[－4,4)C ．(－4,4]D ．[－4,4][解析] 要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数，则需g(x)＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上递增且恒大于零． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2g (2)＝22－2a ＋3a>0，解得－4<a≤4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·大连市高一期末测试)已知16a＝4，lg x ＝a ，则x ＝10. [解析] ∵16a＝4，∴a ＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012＝10，∴x ＝10.14．(2019·安徽安庆二中高一期中测试)计算：(49)12 ＋(12)log23＋lne ＝2.[解析] 原式＝23＋12log 23＋1＝23＋13＋1＝2. 15．(2019·全国卷Ⅱ理，14)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln2)＝8，则a －3.[解析] 解法一：设x>0，则－x<0， ∴f(－x)＝－e－ax，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－e －ax，∴f(x)＝e－ax＝1eax ＝1(e x )a ， ∵ln2>0，∴f(ln2)＝1(e ln2)a ＝12a ＝8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.解法二：∵ln2>0，∴－ln2<0， 又∵当x<0时，f(x)＝－e ax， ∴f(－ln2)＝－e －aln2＝－1e aln2＝－1(e ln2)a＝－12a ，又∵f(x)为奇函数，∴f(－ln2)＝－f(ln2) ＝－8， ∴－12a ＝－8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.16．关于函数y ＝2x2－2x －3有以下4个结论：①定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)； ②递增区间为[1，＋∞)； ③是非奇非偶函数； ④值域是(116，＋∞)．则正确的结论是②③.(填序号即可)[解析] ①不正确，因为y ＝2x 2－2x －3的定义域为R ； ④不正确，因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴2x2－2x －3≥2－4＝116，即值域为[116，＋∞)；②正确，因为y ＝2u为增函数，u ＝x 2－2x －3在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，所以y ＝2x2－2x －3的递增区间为[1，＋∞)；③正确，因为f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2019·安徽太和中学高一期中测试)计算下列各式的值： (1)(12)－2＋(12)0－2713 ＋38；(2)log 327－log 33＋lg25＋2lg2＋lne 2. [解析] (1)原式＝22＋1－(33) 13 ＋323＝4＋1－3＋2＝4.(2)原式＝log 3332 －log 3312 ＋lg25＋lg4＋2＝32－12＋lg100＋2 ＝32－12＋2＋2＝5. 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)． (1)求g(x)的解析式及定义域； (2)求函数g(x)的最大值和最小值． [解析] (1)∵f(x)＝2x， ∴g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)＝22x－2x ＋2.∵f(x)的定义域是[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤30≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.∴g(x)的定义域是[0,1]． (2)g(x)＝(2x )2－4×2x＝(2x－2)2－4. ∵x ∈[0,1]， ∴2x ∈[1,2]．∴当2x ＝1，即x ＝0时，g(x)取得最大值－3； 当2x＝2，即x ＝1时，g(x)取得最小值－4.19．(本小题满分12分)已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(12)＝0，求不等式f(log 4x)>0的解集．[解析] 因为f(x)是偶函数， 所以f(－12)＝f(12)＝0，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(x)在(－∞，0)上是减函数． 所以f(log 4x)>0⇒log 4x>12或log 4x<－12，解得：x>2或0<x<12，则不等式f(log 4x)>0的解集是 {x|x>2，或0<x<12}．20．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a x ，x ∈[2,4]的值域为[m ，m ＋1]，求a 的值．[解析] 当a>1时，f(x)＝log a x ，在[2,4]上是增加的，∴x ＝2时，f(x)取最小值；x ＝4时，f(x)取最大值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m log a 4＝m ＋1，∴2log a 2＝log a 2＋1.∴log a 2＝1，得a ＝2 当0<a<1时，f(x)＝log a x 在[2,4]上是减少的，∴当x ＝2时，f(x)取最大值；x ＝4时，f(x)取最小值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m ＋1log a 4＝m ，∴log a 2＝2log a 2＋1，∴log a 2＝－1.∴a ＝12.综上所述，a ＝2或a ＝12.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(12x －1＋12)·x 3.(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0.[解析] (1)因为要使题中函数有意义，需2x－1≠0，即x≠0， 所以所求定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)因为f(x)＝2＋(2x－1)2(2x－1)·x 3＝2x＋12(2x －1)·x 3， 又f(－x)＝2－x＋12(2－x －1)·(－x)3＝1＋2x2(1－2x )·(－x 3)＝2x＋12(2x－1)·x 3， 所以f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． (3)证明：因为x>0时，2x>1，所以2x－1>0. 又因为x 3>0，所以f(x)>0；因为x<0时，0<2x<1，所以－1<2x－1<0. 又因为x 3<0，所以f(x)>0.所以当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f(x)>0.22．(本小题满分12分)某商品的市场日需求量Q 1和日产量Q 2均为价格P 的函数，且Q 1＝144·(12)P ＋12，Q 2＝6×2P ，日总成本C 关于日产量Q 2的关系式为：C ＝10＋13Q 2.(1)Q 1＝Q 2时的价格为均衡价格，求此均衡价格P 0；(2)当P ＝P 0时，求日利润L 的大小．[解析] 均衡价格即供需相等时所对应的价格，利润＝收益－成本，列出方程即可求解． (1)根据题意有Q 1＝Q 2， 144·(12)P ＋12＝6×2P，即(2P )2－2·2P－24＝0. 解得2P＝6,2P＝－4(舍去)． ∴P ＝log 26，故P 0＝P ＝log 26. 即均衡价格为log 26元． (2)由于利润＝收益－成本，故L ＝Q 1P －C ＝36log 26－(10＋13×36)＝36log 26－22，故P ＝P 0时，利润为(36log 26－22)元．第四章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是( D )A．0 B．1C．2 D．3[解析]因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．2．函数y＝x的零点是( A )A．0 B．(0,0)C．(1,0) D．1[解析]函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A．3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是( B )A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,4)[解析]若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B．4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为( D )A．1 B．2C．3 D．4[解析]因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( C ) A．0 B．2C．4 D．无法判断[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．∴x1＋x2＝4.6．下图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．在下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( B )A ．[－2，－1]B ．[1,2]C ．[4,5]D ．[5,6][解析] 在区间[1,2]上的零点为不变号零点，故不能用二分法求．7．夏季高山温度从山脚起每升高100m ，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为( C )A ．1 750mB ．1 730mC ．1 700mD ．1 680m[解析] 设从山脚起每升高x 百米时，温度为y 摄氏度，根据题意得y ＝26－0.7x ，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x ＝17(百米)，∴山的相对高度是1 700m.8．函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( B ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] ∵f(x)＝2x＋3x ，∴f(－1)＝－52<0，f(0)＝1>0，故选B ．9．若方程lnx ＋x －4＝0在区间(a ，b)(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设f(x)＝lnx ＋x －4，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)f(3)<0， ∴根在区间(2,3)内，∴a ＝2.故选B ．10．若方程x 2＋(m －2)x ＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( A ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4][解析] 考查函数f(x)＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧－m －22>2f 2＝m ＋5>0m －22－45－m≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m<－2m>－5m≥4或m≤－4，∴－5<m≤－4.故选A ．11．已知函数f(x)在区间[0，a]中有唯一的变号零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[0，a 2]，[0，a 4]，[0，a8]，则下列说法正确的是( D )A ．函数f(x)在区间[0，a16]中有零点B ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a8]中有零点C ．函数f(x)在区间[a16，a]中无零点D ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a 8]中有零点，或零点是a16[解析] 由二分法的定义可知，只有D 正确．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( D )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[解析] 令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x 2＋3x ， 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x ， ∴f(x)＝－x 2－3x(x<0)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x≥0－x 2－3x x<0.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x≥0－x 2－4x ＋3x<0.当x≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝(x 2－3)(x 2－2x －3)的零点为±3，3，－1 . [解析] 令f(x)＝0，得x ＝±3，或x ＝3，或x ＝－1.14．用一根长为12m 的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9m 2. [解析] 设框架的一边长为xm ，则另一边长为(6－x)m.设框架面积为ym 2，则y ＝x(6－x)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9(0<x<6)，y max ＝9(m 2)．15．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2012个，则f(x)的零点的个数为4_025.[解析] 因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2 012个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2 012个零点，又x ∈R ，所以f(0)＝0，因此共4 025个零点．16．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x≤02x －6＋lnx x>0的零点个数是2.[解析] 当x≤2，令x 2－2＝0，得x ＝－2； 当x>0时，令2x －6＋lnx ＝0， 即lnx ＝6－2x ，在同一坐标系中，画出函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像如图所示．由图像可知，当x>0时，函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点． 综上可知，函数f(x)有2个零点．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数y ＝x 3－7x ＋6的零点． [解析] ∵x 3－7x ＋6＝(x 3－x)－(6x －6) ＝x(x 2－1)－6(x －1) ＝x(x ＋1)(x －1)－6(x －1) ＝(x －1)(x 2＋x －6) ＝(x －1)(x －2)(x ＋3)，∴由x 3－7x ＋6＝0即(x －1)(x －2)(x ＋3)＝0得x 1＝－3，x 2＝1，x 3＝2. ∴函数y ＝x 3－7x ＋6的零点为－3,1,2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－x ＋m 的零点都在区间(0,2)内，求实数m 的范围．[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f 0>0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4m≥0m>04－2＋m>0，解得0<m≤14.所以实数m 的取值范围是(0，14]．19．(本小题满分12分)(济南一中月考，有改动)判断方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内实数根的个数．[解析] 设f(x)＝x 3－4x －2，则f(x)的图像是连续曲线，而f(－2)＝－2<0，f(0)＝－2<0，若取区间[－2,0]内一点－1，得f(－1)＝1>0，取x ＝3，得f(3)＝13>0，因此函数f(x)满足f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(3)<0，∴f(x)分别在[－2，－1)，(－1,0)，(0,3)内至少存在一个零点， 又∵x 3－4x －2＝0最多有3个根，∴方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内有2个实数根．20．(本小题满分12分)某公司从2009年的年产值100万元，增加到10年后2019年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30)[解析] 设每年年增长率为x ， 则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5， 两边取常用对数，得 10·lg(1＋x)＝lg5，∴lg(1＋x)＝lg510＝110(lg10－lg2)＝0.710.又∵lg(1＋x)＝ln1＋xln10，∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴ln(1＋x)＝0.710×ln10＝0.710×2.30＝0.161＝16.1%.又由已知条件ln(1＋x)≈x 得x≈16.1%. 故每年的平均增长率约为16.1%.21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．[解析] 若实数a 满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．f(－1)f(3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a)(5a ＋1)≤0，所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时a ＝1，所以f(x)＝x 2＋x. 令f(x)＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1. (2)当f(3)＝0时a ＝－15，此时f(x)＝x 2－135x －65.令f(x)＝0，即x 2－135x －65＝0.解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．[解析] 如图所示，设计长方形公寓分三种情况：(1)当一顶点在BC 上时，只有在B 点时长方形BCDB 1面积最大， ∴S 1＝SBCDB 1＝5 600m 2.(2)当一顶点在EA 边上时，只有在A 点时长方形AA 1DE 的面积最大， ∴S 2＝SAA 1DE ＝6 000m 2.(3)当一顶点在AB 边上时，设该点为M ，则可构造长方形MNDP ，并补出长方形OCDE. 设MQ ＝x(0≤x≤20)，∴MP ＝PQ －MQ ＝80－x. 又OA ＝20，OB ＝30，则OA OB ＝MQ QB ，∴23＝x QB ，∴QB ＝32x ，∴MN ＝QC ＝QB ＋BC ＝32x ＋70，∴S 3＝S MNDP ＝MN·MP＝(70＋32x)·(80－x)＝－32(x －503)2＋18 0503，当x ＝503时，S 3＝18 0503.比较S 1，S 2，S 3，得S 3最大，此时MQ ＝503m ，BM ＝25 133m ，故当长方形一顶点落在AB 边上离B 点25133m 处时公寓占地面积最大，最大面积为18 0503m 2.。
数学试题-北师大版必修1-第四章小节练习
第四章 4.1.1A 级 基础巩固1．函数y ＝x 2－5x ＋6的零点是( A ) A ．2,3 B ．－2，－3 C ．1,6D ．－1，－6[解析] 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或3，所以y ＝x 2－5x ＋6的零点是2,3，故选A ． 2．函数f(x)＝x 3＋x －1的零点所在的区间是( C ) A ．(32，2)B ．(1，32)C ．(12，1)D ．(0，12)[解析] 因为f(12)·f(1)＝－38×1＝－38<0，且函数f(x)在R 上连续，所以函数f(x)＝x 3＋x －1的零点所在区间是(12，1)．3．若方程2ax 2－x －1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是( D ) A ．a<－1 B ．－1<a<1 C ．0≤a<1D ．a>1[解析] 令f(x)＝2ax 2－x －1，因为方程f(x)＝0在区间(0,1)内恰有一解，所以函数f(x)在区间(0,1)内恰有一个零点． 所以f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0. 所以a>1.故选D ．4．函数f(x)＝x 3－2x 2＋2x 的零点个数为( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] ∵f(x)＝x 3－2x 2＋2x ＝x(x 2－2x ＋2)， 又x 2－2x ＋2＝0，Δ＝4－8<0，∴x 2－2x ＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B ．5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3(x≤0)－2＋x 2(x>0)的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 令f(x)＝0，则x 2＋2x －3＝0(x≤0)或x 2－2＝0(x>0)， 解得：x ＝－3或x ＝2符合题意，故选B ．6．(2019·山东临沂高一期末测试)函数f(x)＝lnx ＋12x －2有零点的一个区间是( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] f(1)＝12－2＝－32<0，f(2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0， f(3)＝ln3＋32－2＝ln3－12>0.∴f(2)·f(3)<0，故选C ．7．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f(x)＝c(c ∈R)有两个实根m ，m ＋6，则实数c 的值为9.[解析] 由函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)知方程x 2＋ax ＋b ＝0有两相等实根，从而Δ＝a 2－4b ＝0，①，方程f(x)＝c 可化为x 2＋ax ＋b －c ＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－am (m －6)＝b －c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2m －6b ＝m 2－6m ＋c，代入①，得(－2m －6)2－4(m 2－6m ＋c)＝0， 整理，得c ＝9.8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x≤0)2 (x>0)，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数是3.[解析] 由已知⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝24－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 (x≤0)2 (x>0)，作图像如图所示．由图像可知f(x)＝x 的解的个数为3.9．若函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点． [解析] 由已知方程得x 2－ax －b ＝0的两根为2和3.∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a 2×3＝－b，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g(x)＝－6x 2－5x －1.令－6x 2－5x －1＝0得6x 2＋5x ＋1＝0， ∴x ＝－12或x ＝－13.∴函数g(x)＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.10．已知二次函数f(x)＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5. (1)当函数f(x)有两个不同零点时，求k 的取值范围； (2)若－1和－3是函数的两个零点，求k 的值．[解析] (1)令f(x)＝0，得x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0. 由Δ＝(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)＝－3k 2－16k －16>0， 知3k 2＋16k ＋16<0，即(3k ＋4)(k ＋4)<0，∴－4<k<－43.∴当函数有两个不同零点时，k 的取值范围为(－4，－43)．(2)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2(－1)×(－3)＝k 2＋3k ＋5，解之得k ＝－2.B 级 素养提升1．已知函数f(x)＝6x－log 2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析] 因为f(1)＝6－log 21＝6>0，f(2)＝3－log 22＝2>0，f(4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C ．2．若函数f(x)＝a x－x －a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a 的范围是( A ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(2，＋∞)D ．(0,1)∪(1,2)[解析] 令y 1＝a x ，y 2＝x ＋a ，则f(x)＝a x－x －a 有两个零点，即函数y 1＝a x与y 2＝x ＋a 有两个交点． (1)当a>1时，y 1＝a x过(0,1)点，而y 2＝x ＋a 过(0，a)点，而(0，a)点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．(2)当0<a<1时，(0，a)点在(0,1)点下方，由图像知只有一个交点．∴a 的取值范围为a>1.3．关于x 的方程mx 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根，则m 的范围为m≤1. [解析] ①m ＝0时，x ＝－12适合题意．②m≠0时，应有m<0或⎩⎪⎨⎪⎧m>0－22m <0，Δ≥0解得m<0或0<m≤1.综合①②可得，m≤1.4．方程lgx ＋x ＝0的实数解的存在区间为(110，1).[解析] 令f(x)＝lgx ＋x ，则f(110)＝lg 110＋110＝－910<0，f(1)＝lg1＋1＝1>0.∴f(110)f(1)<0.而f(x)＝lgx ＋x 在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)仅有一个零点，且在(110，1)内．5．设函数f(x)＝ax ＋2a ＋1(a≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围． [解析] 因为函数f(x)在[－1,1]上存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0f (1)≥0.即f(－1)·f(1)≤0.所以(－a ＋2a ＋1)·(a＋2a ＋1)≤0， 即(a ＋1)(3a ＋1)≤0.解得－1≤a≤－13.6．讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由． [解析] 令f(x)＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x －15在[1,2]上都为增函数． ∴f(x)＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f(x)＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解．C 级 能力拔高求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点． [解析] (1)当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2； (2)当a≠0时，令y ＝0得x ＝1a 或x ＝－2.①当a ＝－12时，函数的零点为－2；②当a≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：当a ＝0或－12时，零点为－2；当a≠0且a≠－12时，零点为1a ，－2.第四章 4.1.2A级基础巩固1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上( B )A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点[解析]∵f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故选B．2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是不间断的，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在该区间上( D ) A．只有一个零点B．有二个零点C．不一定有零点D．至少有一个零点[解析]若y＝f(x)在[a，b]上单调，f(a)·f(b)<0说明只有一个零点且为变号零点．若不单调，零点个数有可能多于一个．故选D．3．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上( C )A．有3个零点B．有2个零点C．有1个零点D．没有零点[解析]∵f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一个零点．4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( C )[解析]A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像，故选C．5．已知连续函数y＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(a<b)，则y＝f(x)( B )A．在区间[a，b]中可能没有零点B．在区间[a，b]中至少有一个零点C．在区间[a，b]中零点的个数为奇数D．在区间[a，b]中零点的个数为偶数[解析] 因为f(a)·f(b)<0，所以由函数零点的性质判断，得f(x)在区间[a ，b]中至少存在一个零点．6．设f(x)＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0，在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( A )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定[解析] ∵f(1.5)>0，f(1.25)<0， ∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A ．7. 若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是(－∞，－18).[解析] 当m ＝0时，函数有零点，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m≠0Δ＝1＋8m<0，解得m<－18.8．已知函数f(2x)＝3x 2＋1，则f(x ＋5)有0个零点． [解析] ∵f(2x)＝3x 2＋1，∴f(x)＝3x24＋1，∴y ＝f(x ＋5)＝3x ＋524＋1，令y ＝0，方程无解． 即f(x ＋5)无零点．9．求证：方程5x 2－7x －1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上． [解析] 设f(x)＝5x 2－7x －1， 则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0， f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0. 而二次函数f(x)＝5x 2－7x －1是连续的， ∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x 2－7x －1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上． 10．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图像． [解析] ∵x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x －2)(x ＋2)，∴函数y ＝x 3－4x 的零点为0，－2,2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这4个区间内，取x 的一些值(包括零点)．列出这个函数的对应值表： x … －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1 2 2.5 … y…－5.62531.875－1.875－35.625…B级素养提升1．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋2)＝0(e≈2.7)的一个根所在的区间是( C )x －1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.09x＋2 1 2 3 4 5A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)[解析]判断e x－(x＋2)＝0的一个根所在的区间转化为f(x)＝e x－(x＋2)零点的位置，∵f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝7.39－4>0.∴零点在(1,2)内．2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( C )A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点[解析]如图，若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)如图(1)或图(2)所示，可知A错，若如图(3)所示，可知B错、D错，C对．3．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的对应值表：x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 则下列判断正确的是(1)(2)(3).(1)函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点；(2)函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点；(3)函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点；(4)函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．[解析]观察对应值表，不难得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)，(2,3)，(5,6)内至少各有一个零点．而(－1,7)内至少有三个零点．故应填(1)(2)(3)．4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a x ＜14x －ax －2a x≥1.①若a ＝1，则f(x)的最小值为－1；②若f(x)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是12≤a<1或a≥2.[解析] ①a ＝1时f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1x<14x －1x －2x≥1.函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，函数值大于1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞为增函数，当x＝32时，f(x)取得最小值为－1. ②若函数f(x)＝2x－a 在x<1时与x 轴有一个交点，则a>0，并且当x ＝1时，f(1)＝2－a>0，则0<a<2，函数f(x)＝4(x －a)(x －2a)与x 轴有一个交点，所以2a≥1且a<1⇒12≤a<1；若函数f(x)＝2x－a 与x 轴无交点，则函数f(x)＝4(x －a)(x －2a)与x 轴两个交点，当a≤0时f(x)与x 轴无交点，f(x)＝4(x －a)(x －2a)在x≥1与x 轴无交点，不合题意；当f(1)＝2－a≥0时，a≥2，f(x)与x 轴有两个交点，x ＝a 和x ＝2a ，由于a≥2，两交点横坐标均满足x≥1；综上所述a 的取值范围12≤a<1或a≥2.5．图像连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x)148－2273－2－18试判断函数[解析] ∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，函数f(x)图像又是连续不间断的， ∴一定存在x 0∈(2,3)，使f(x 0)＝0， 即f(x)在(2,3)内有零点．同理，f(x)在区间(3,4)，(6,7)，(8,9)上也有零点，而且是变号零点．6．中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？[解析] 取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．C级能力拔高求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)．[解析]由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：为1.3.第四章 4.2A 级 基础巩固1．一段导线，在0℃时的电阻为2Ω，温度每增加1℃，电阻增加0.008Ω，那么电阻R(Ω)表示为温度t(℃)的函数关系式为( B )A ．R ＝0.008tB ．R ＝2＋0.008tC ．R ＝2.008tD ．R ＝2t ＋0.008[解析] 由题意知电阻R 与温度t 构成一次函数关系，故选B ．2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A ) A ．3 B ．4 C ．6D ．12[解析] 设隔墙的长为x ，则矩形的长为24－4x 2.由24－4x 2＝12－2x>0，得0<x<6.设矩形面积为y ，则y ＝x·24－4x2＝2x(6－x)，0<x<6. 由y ＝2x(6－x)＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，知当x ＝3时，y 最大且y max ＝18.3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m ，则从2018年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是( A )A ．y ＝0.95x50 ·m B ．y ＝(1－0.05x50 )·m C ．y ＝0.9550－x·mD ．y ＝(1－0.0550－x)·m[解析] 设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.95，∴q%＝0.95150 ， 即x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y ＝0.95x50 ·m.4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( C ) A ．14 400亩 B ．172 800亩 C ．17 280亩D ．20 736亩[解析] 因为年增长率为20%，所以第四年造林为10 000×(1＋20%)3＝17 280(亩)，故选C ．5．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：A ．y ＝log 2(x ＋1)B ．y ＝2x－1 C ．y ＝2x －1D ．y ＝(x －1)2＋1[解析] 代入数值检验，把x ＝2代入可排除A 、B 、C ，把x ＝1,2,3 代入D 选项，符合题意． 6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( B )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年[解析] 设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg2－lg1.3lg1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年，选B ．7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密函数为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是4.[解析] 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6， 故6＝a 3－2，解得a ＝2， 所以加密函数为y ＝2x－2， 因此当y ＝14时，由14＝2x－2， 解得x ＝4.8．已知气压p(hPa)与海拔高度h(m)的关系式为p ＝1 000×(7100)h3000 ，则海拔6 000m 处的气压为4.9hPa.[解析] 把h ＝6 000代入p ＝1 000(7100)h 3000 ，得p ＝4.9.9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本)[解析] (1)当0<x≤100时，P ＝60；当100<x≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x50.所以P ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60(0<x≤100)62－x50(100<x≤500)(x ∈N ＋)．(2)设销售商一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元， 则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x (0<x≤100)22x －x250(100<x≤500)(x ∈N ＋)．当x ＝450时，L ＝5 850，因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)[解析] 解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.依题意，得2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫237＝1282 187>120，⎝ ⎛⎭⎪⎫238＝2566 561<120，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 解法2：接解法1：(23)n ≤120，则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)， 即n≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，又n ∈N ＋，∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．B 级 素养提升1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m 2)与时间t(月)的关系：y ＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2； ③浮萍从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m 2、4m 2、8m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3. 其中正确的是( D ) A ．①② B ．①②③④ C ．②③④⑤D ．①②⑤[解析] 设此指数函数为y ＝a x(a>0且a≠1)， 由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得： a ＝2，∴y ＝2x，故①正确． 当x ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确．当y ＝4时，x ＝2，当y ＝12时，x ＝log 212>log 2272 ，从而可知浮萍从4m 2蔓延到12m 2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．把y ＝2,4,8代入y ＝2t分别得t 1＝1，t 2＝2，t 3＝3，故⑤正确．因此选D ． 2．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192h ，在22℃的保鲜时间是48h ，则该食品在33℃的保鲜时间是( C )A ．16hB ．20hC ．24hD ．21h[解析] 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧192＝eb48＝e22k ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b12＝e 11k.于是当x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝(12)3×192＝24(h)．3．日本东京为成功举办2020年奥运会，决定从2016年底到2019年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2017年底已更新现有总车辆数的百分比约为30.2%(保留3位有效数字)．[解析] 设现有车辆总数为a,2017年底更新了现有总车辆数的百分比为x ，则a·x＋a·x(1＋10%)＋ax(1＋10%)2＝a.∴x(1＋1.1＋1.12)＝1.∴x≈30.2%.4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg 以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室．[解析] 由图像可知，当0≤t<0.1时，y ＝10t ；当t ＝0.1时，由1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，得a ＝0.1，∴当t ＞0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t-110 .5．某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p 元)，并将商品A 的年产销量减少了10p 万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p 的取值范围； (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p 的值．[解析] 由题意知，当开发费是商品A 的销售金额的p%时，销售量为(80－10p)万件，此时销售金额为80×(80－10p)万元，新产品开发金额f(p)＝80×(80－10p)×p%(万元)．(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧80×(80－10p )×p%≥96，0<p<8，解得2≤p≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p 的取值范围为2≤p≤6. (2)当0<p<8时，f(p)＝80×(80－10p)×p% ＝－8(p －4)2＋128. ∴当p ＝4时，f(p)max ＝128.即当p ＝4时，开发金额最多，可达到128万元．6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？[解析] 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，则窗框总长l ＝πx2＋x ＋2y ，y ＝2l －(2＋π)x 4，由y>0，得x ∈(0，2l π＋2)．S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋2l －(2＋π)x4·x＝－4＋π8(x －2l 4＋π)2＋l 22(4＋π)，x ∈(0，2l π＋2)．当x ＝2l 4＋π时，S max ＝l 22(4＋π)，此时，y ＝l 4＋π＝x 2.答：窗户中的矩形高为l 4＋π，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．C 级 能力拔高某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y ＝a·b x＋c(其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．[解析] 设两个函数y 1＝f(x)＝px 2＋qx ＋r(p≠0)；y 2＝g(x)＝a·b x＋c.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05q ＝0.35r ＝0.7.∴y 1＝f(x)＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f(4)＝1.3(万件)，依题意，也有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1g (2)＝ab 2＋c ＝1.2g (3)＝ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8b ＝0.5c ＝1.4.∴y 2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4， g(4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．经比较可知，g(4)＝1.35(万件)，比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选用y 2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．。
新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 检测(1)
第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=√2x-1的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:要使f(x)=√2x-1有意义,需2x-1≥0,故x∈[0,+∞).答案:B2若a>1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:y=a x+b(a>1,b<-1)的图像如图.故选B.答案:B3设集合M={y |y =(12)x,x ∈[0,+∞)},N={y|y=log 2x ,x ∈(0,1]},则集合M ∪N 等于( )A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1) 答案:C4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=√1+x 2 B.y=x+1x C.y=2x +12xD.y=x+e x解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=√1+x 2,y=2x +12x 为偶函数,y=x+1x 为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D. 答案:D5函数y=log 2(1-x )的图像是( )解析:∵1-x>0,∴x<1.这样可排除选项A,D .∵y=log 2(1-x )在定义域上是减函数, ∴B 选项正确. 答案:B6log 89log 23的值为( )A.23B.32C.2D.3解析:log 89log 23=lg9lg8·lg2lg3=2lg33lg2·lg2lg3=23. 答案:A7设函数f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212-1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.答案:C8已知函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 12)-f (x 22)等于( )A.2B.1C.12D.log a 2解析:f (x 12)-f (x 22)=log a x 12-log a x 22=2log a x 1-2log a x 2=2[f (x 1)-f (x 2)]=2. 答案:A9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a答案:B10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()A.f(x)=3xB.f(x)=log2xC.f(x)=xα(α≠1)D.f(x)=kx(k≠0)解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.答案:C11函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A.14B.12C.2D.4解析:函数f(x)=a x+log a(x+1),令y1=a x,y2=log a(x+1),显然在[0,1]上,y1=a x与y2=log a(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+log a2+1+0=a,解得a=12.答案:B12设偶函数f (x )=log a |x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f (b-2)与f (a+1)的大小关系为( )A.f (b-2)=f (a+1)B.f (b-2)>f (a+1)C.f (b-2)<f (a+1)D.不能确定 解析:∵函数f (x )是偶函数,∴b=0,此时f (x )=log a |x|.当a>1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是增加的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2);当0<a<1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是减少的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2). 综上可知,f (b-2)<f (a+1). 答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上) 13lg 52+2lg 2-(12)-1= .解析:根据对数的运算法则知,lg 52+2lg 2-(12)-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1. 答案:-114若函数f (x )=x ln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . 解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-1)=f (1).又f (-1)=-ln(-1+√a +1)=ln√a+1+1a ,f (1)=ln(1+√a +1),因此ln(√a +1+1)-ln a=ln(√a +1+1), 于是ln a=0,∴a=1. 答案:115若a=log 43,则2a +2-a = .解析:由a=log 43,知2a +2-a=2log 43+2-log 43=2log 2√3+2log 2√33=√3+√33=4√33. 答案:4√3316设函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 018)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 2 0182)的值等于 . 答案:16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10分)化简求值:(1)2(√23×√3)6+(√2√2)43-4(1649)-12−√24×80.25+(-2 016)0;(2)lg5·lg8 000+(lg2√3)2lg600-12lg0.36.解(1)原式=2(213×312)6+(212×214)43-4×74−214×234+1=2×22×33+2-7-2+1=210.(2)∵lg 5·lg 8 000+(lg 2√3)2=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3, lg 600-12lg 0.36=(lg 6+2)-lg √36100=lg 6+2-lg 610=3,∴原式=33=1.18(12分)已知函数f (x )=14x -1-a.(1)求函数f (x )的定义域; (2)若f (x )为奇函数,求a 的值. 解(1)∵4x -1≠0,∴4x ≠1.∴x ≠0.∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ). ∴14-x -1-a=-14x -1+a. ∴2a=4x1-4x +14x -1=1-4x4x -1=-1. ∴a=-12.19(12分)(1)已知x+x -1=3(x>0),求x 32+x -32的值; (2)已知log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),求实数x 的值. 解(1)∵(x 12+x -12)2=x+x -1+2=5,∴x 12+x -12=√5.∴x 32+x -32=(x 12+x -12)(x+x -1-1) =√5(3-1)=2√5.(2)∵log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),∴log 4(3x-1)=log 4[(x-1)(3+x )]. ∴3x-1=(x-1)(3+x ),且x>1.∴x=2.20(12分)已知函数f (x )={(12)x -1,x >1,x 2,x ≤1.(1)画出函数f (x )的图像,并根据图像写出该函数的递减区间; (2)求不等式f (x )>14的解集. 解(1)作函数f (x )的图像如下,函数的递减区间为(-∞,0],[1,+∞). (2)令f (x )=14,解得x=±12或x=3, 结合图像可知,f (x )>14的解集为 {x |x <-12或12<x <3}.21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图). (1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为f (x )=k 1x (k 1≠0,x ≥0),投资股票等风险型产品的收益g (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为g (x )=k 2√x (k 2≠0,x ≥0),则f (1)=0.125=k 1,g (1)=0.5=k 2, 则k 1=0.125=18,k 2=0.5=12, 故f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12√x (x ≥0).(2)设投资债券类产品x 万元,则投资股票类产品(20-x )万元,依题意得,获得的总收益y=f (x )+g (20-x )=x8+12√20-x (0≤x ≤20).令t=√20-x (0≤t ≤2√5),则y=20-t 28+12t=-18(t-2)2+3,当t=2时,y max =3,故当x=16万元时,y max =3万元.所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.22(12分)已知函数f (x )=a x -1a x +1(a>1). (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明:f (x )是R 上的增函数. (1)解函数的定义域为R ,f (-x )+f (x )=a -x -1a -x +1+a x -1a x +1 =1-a x1+a x +a x -1a x +1=0,∴函数f (x )为奇函数. (2)解∵f (x )=a x -1a x +1=1-2a x +1(a>1),设t=a x,则t>0,y=1-2t+1的值域为(-1,1), ∴该函数的值域为(-1,1).(3)证明任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a x1-1a x1+1−a x2-1a x2+1=2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1).∵a>1,x1,x2∈R,且x1<x2,∴a x1−a x2<0,a x1+1>0,a x2+1>0.∴2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1)<0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).∴f(x)是R上的增函数.。
2024-2025年北师大版数学必修第一册第一章单元质量评估卷(带答案)
第一章 单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x|x 2－1＝0}，则下列结论错误．．的是( ) A ．1∈A B ．{－1} A C ．∅⊇A D ．{－1，1}＝A2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”(人在阵地在，人不在阵地在不在不知道)，由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3．已知集合M ＝{x|x(x －2)<0}，N ＝{x|x －1<0}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x|1≤x<2}的是( )4．已知命题p ：∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ＝3，则( ) A.p 是假命题，p 否定是∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 B.p 是假命题，p 否定是∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 C.p 是真命题，p 否定是∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 D.p 是真命题，p 否定是∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 5．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则( ) A.－a ＜ab ＜0 B ．－a ＞ab ＞0C.a ＞ab ＞ab 2 D ．ab ＞a ＞ab 26．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0 ，则A ∩(∁R B )＝( ) A.(－1，2) B ．(－1，1) C.(－1，2] D ．(－1，1]7．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”的一个必要不充分条件是( )A.0＜a ＜1 B ．0＜a ＜13C.0≤a ≤1 D．a ＜0或a ＞138．若正数a ，b 满足2a ＋1b ＝1，则2a＋b 的最小值为( )A.42 B ．82 C.8 D ．9二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．有下列命题中，真命题有( )A.∃x ∈N *，使x 为29的约数B.∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0C.存在锐角α，sin α＝1.5D.已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3m }，则对于任意的n ，m ∈N *，都有A ∩B ＝∅10．已知1a ＜1b＜0，下列结论中正确的是( )A.a ＜b B ．a ＋b ＜ab C.|a |＞|b | D ．ab ＜b 211．若对任意x ∈A ，1x∈A ，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是( )A.{－1，1} B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2 C.{}x |x 2>1 D ．{x |x >0}12．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是( )A.2a ＋b ＝0B.4a －2b ＋c ＜0C.b 2－4ac ＞0D.当y ＜0时，x ＜－1或x ＞4第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为________．14．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．15．若1a ＋1b ＝12(a ＞0，b ＞0)，则4a ＋b ＋1的最小值为________.16．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6，7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)若集合A 中只有1个元素，则A ＝________；(2)若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对(A ，B )叫作有序集合对，则有序集合对(A ，B )的个数是________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |m －2<x <2m }． (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若________，求实数m 的取值范围．请从①∀x ∈A 且x ∉B ；②“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；这两个条件中选择一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)18．(本小题满分12分)已知p ：x 2－3x －4≤0；q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分条件，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，a ∈(0，1).(1)若f (1)＝2，求1a ＋4b的最小值；(2)若f (1)＝－1，求关于x 的不等式f (x )＋1>0的解集．20．(本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝x 2－40x ＋1 600，x ∈[30，50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x ||x ＋2|＞3}，C ＝{x |x2－2mx ＋m 2－1＜0，m ∈R }．(1)若A ∩C ＝∅，求实数m 的取值范围． (2)若(A ∩B )⊆C ，求实数m 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知x >0，y >0，2xy ＝x ＋4y ＋a . (1)当a ＝16时，求xy 的最小值；(2)当a ＝0时，求x ＋y ＋2x ＋12y的最小值．第一章 单元质量评估卷1．答案：C解析：因为A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，所以选项A ，B ，D 均正确，C 不正确． 2．答案：A解析：因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，结合选项，可得A 正确．3．答案：B解析：x (x －2)<0⇒0<x <2，x －1<0⇒x <1，选项A 中Venn 图中阴影部分表示M ∩N ＝(0，1)，不符合题意；选项B 中Venn 图中阴影部分表示∁M (M ∩N )＝[1，2)，符合题意；选项C 中Venn 图中阴影部分表示∁N (M ∩N )＝(－∞，0]，不符合题意；选项D 中Venn 图中阴影部分表示M ∪N ＝(－∞，2)，不符合题意．故选B.4．答案：A解析：由于x ，y 是整数，2x ＋4y 是偶数，所以p 是假命题．原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以p 的否定是“∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3”．故选A.5．答案：B解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，a ＜ab 2＜0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B.6．答案：D解析：由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1，∴A ＝[－2，1].由x ＋1x －2≥0，得x ≤－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞).则∁R B ＝(－1，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－1，1].故选D.7．答案：C解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，所以函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的图象始终落在x 轴的上方，即Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0，1)是对应集合的真子集，故选C.8．答案：D解析：∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋1b ＝1，则2a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2ab＋2ab ≥5＋4＝9，当且仅当2ab ＝2ab 即a ＝13，b ＝3时取等号，故选D.9．答案：AB解析：A 中命题为真命题．当x ＝1时，x 为29的约数成立；B 中命题是真命题．x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋74 ＞0恒成立；C 中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0＜sin α＜1；D 中命题为假命题．易知6∈A ，6∈B ，故A ∩B ≠∅.10．答案：BD解析：因为1a ＜1b＜0，所以b ＜a ＜0，故A 错误；因为b ＜a ＜0，所以a ＋b ＜0，ab ＞0，所以a ＋b ＜ab ，故B 正确；因为b ＜a ＜0，所以|a |＞|b |不成立，故C 错误；ab －b 2＝b (a －b )，因为b ＜a ＜0，所以a －b ＞0，即ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以ab ＜b 2成立，故D正确．故选BD.11．答案：ABD解析：根据“影子关系”集合的定义，可知{－1，1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2 ，{x |x >0}为“影子关系”集合，由{x |x 2>1}，得{x |x <－1或x >1}，当x ＝2时，12 ∉{x |x 2>1}，故不是“影子关系”集合．故选ABD.12．答案：ABC解析：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴为x ＝1，∴－b2a ＝1，得2a ＋b＝0，故A 正确；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故C 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)，∴点A 的坐标为(3，0)，∴当y ＜0时，x ＜－1或x ＞3，故D 错误．故选ABC.13．答案：(2，4)(或写成{x |2＜x ＜4}) 解析：原不等式等价于x 2－6x ＋8＜0， 即(x －2)(x －4)＜0，得2＜x ＜4. 14．答案：20解析：把一月份至十月份的销售额相加求和，列出不等式，求解． 七月份：500(1＋x %)，八月份：500(1＋x %)2. 所以一月份至十月份的销售总额为：3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－2.2(舍)或1＋x %≥1.2，所以x min ＝20. 15．答案：19解析：由1a ＋1b ＝12 ，得2a ＋2b＝1，4a ＋b ＋1＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋1＝8＋2＋8a b ＋2b a＋1≥11＋28a b ·2ba＝19.当且仅当8a b ＝2ba，即a ＝3，b ＝6时，4a ＋b ＋1取得最小值19.16．答案：(1){6} (2)32解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，所以6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1，2，3，4，5，7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B ，2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A中有3个元素时，4∉B ，3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B ，4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B ，5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1，2，3，4，5，7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上，可知有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.17．解析：(1)当m ＝2时，B ＝{x |0<x <4}, 所以A ∩B ＝{x |1<x <2}． (2)若选择条件①，由∀x ∈A 且x ∉B 得：A ∩B ＝∅， 当B ＝∅时，m －2≥2m ，即m ≤－2； 当B ≠∅时，m －2<2m ，即m >－2m －2≥2或2m ≤1，即m ≥4或m ≤12 ， 所以m ≥4或－2<m ≤12，综上所述：m 的取值范围为：m ≥4或m ≤12.若选择条件②，由“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件得：A ⊆B,即⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤12m ≥2 ，所以1≤m ≤3. 18．解析：由x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 由x 2－6x ＋9－m 2≤0，可得[x －(3＋m )][x －(3－m )]≤0，① 当m ＝0时，①式的解集为{x |x ＝3}；当m ＜0时，①式的解集为{x |3＋m ≤x ≤3－m }； 当m ＞0时，①式的解集为{x |3－m ≤x ≤3＋m }；若p 是q 的充分条件，则集合{x |－1≤x ≤4}是①式解集的子集．可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3＋m ≤－1，3－m ≥4 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.故m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞). 19．解析：(1)由f (1)＝2可得：a ＋b ＝2， 因为a ∈(0，1)，所以2－b ∈(0，1)⇒1<b <2，所以1a ＋4b ＝12 ×(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋b a ＋4a b ≥12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当b a ＝4a b 时取等号，即当且仅当a ＝23 ，b ＝43 时取得最小值为92.(2)由f (1)＝－1可得：a ＋b ＝－1， 则f (x )＋1>0化为：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)>0，因为0<a <1，所以1a>1，则解不等式可得x >1a或x <1，则不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1a或x <1 .20．解析：(1)当x ∈[30，50]时，设该工厂获利为S 万元，则S ＝20x －(x 2－40x ＋1 600)＝－(x －30)2－700，所以当x ∈[30，50]时，S 的最大值为－700，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P ＝y x＝x ＋1 600x－40，x ∈[30，50]，当x ∈[30，50]时，P ＝x ＋1 600x－40≥2x ·1 600x－40＝40，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．21．解析：(1)由已知可得A ＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋1}．若A ∩C ＝∅，则m －1≥2或m ＋1≤－4， 解得m ≥3或m ≤－5.所以实数m 的取值范围为{m |m ≤－5或m ≥3}． (2)结合(1)可得A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．若(A ∩B )⊆C ，即{x |1＜x ＜2}⊆{x |m －1＜x ＜m ＋1}， 则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值范围为{m |1≤m ≤2}．22．解析：(1)当a ＝16时，2xy ＝x ＋4y ＋16≥2x ·4y ＋16＝4xy ＋16， 即2xy ≥4xy ＋16， 即(xy ＋2)(xy －4)≥0， 所以xy ≥4，即xy ≥16，当且仅当x ＝4y ＝8时等号成立， 所以xy 的最小值为16.(2)当a ＝0时，2xy ＝x ＋4y ，即12y ＋2x＝1，所以x＋y＋2x＋12y＝x＋y＋1＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫2x＋12y＋1＝72＋2yx＋x2y≥72＋22yx·x2y＝112，当且仅当2yx＝x2y，即x＝3，y＝32时等号成立，所以x＋y＋2x＋12y的最小值为112.。
新教材北师大版高中数学必修第一册练习-换底公式答案含解析
第四章 对数运算与对数函数§2 对数的运算2.2 换底公式知识点 对数的换底公式1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)log 29·log 34=( )。
A.14 B.12C.2D.4 答案：D解析：原式=log 232·log 322=4log 23·log 32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。
故选D 。
2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)log 849log 27的值是( )。
A.2B.32C.1D.23答案：D 解析：log 849log 27=log 272log 223÷log 27=23。
故选D 。
3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若log 2x ·log 34·log 59=8,则x 等于( )。
A.8 B.25 C.16 D.4 答案：B解析：因为log 2x ·log 34·log 59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgx lg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x =2lg 5=lg 25,所以x =25。
故选B 。
4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:log 212+log 223+log 234+…+log 21516等于( )。
A.5 B.4 C.-5 D.-4 答案：D解析：原式=log 2(12×23×34×…×1516)=log 2116=-4。
故选D 。
5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若log 34·log 8m =log 416,则m 等于( )。
A.3 B.9 C.18 D.27 答案：D解析：原式可化为log 8m =2log 34,所以13log 2m =2log 43,所以m 13=3,m =27。
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高一数学必修一第三章检测题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．log 32＋log 392的值为( )A ．2B ．－2C ．9D ．log 3132解析： 原式：log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2×92＝log 39＝2.故选A. 答案： A2．化简a 23·b 12·(－3a 12·b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16·b 56的结果为( ) A ．6a B ．－a C ．－9a D ．9a解析： a 23·b 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 12·b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16·b 56 ＝－3a 23＋12·b 12＋13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16·b 56 ＝－9a 23＋12－16·b 12＋13－56＝－9a . 答案： C3．0.32，log 20.3,20.3三个数的大小关系为( ) A ．0.32<20.3<log 20.3 B ．0.32<log 20.3<20.3 C ．log 20.3<0.32<20.3 D ．log 20.3<20.3<0.32 解析： 0<0.32<1，log 20.3<0,20.3>1， ∴20.3>0.32>log 20.3. 答案： C4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，(x >0)2x ，(x ≤0).若f (a )＝12，则实数a ＝( )A ．－1B ．－1或 2C. 2D ．1或－ 2 解析： 由log 2a ＝12得a ＝2>0，合适；由2a ＝12得a ＝log 212＝－1<0，合适， 故a ＝－1或 2. 答案： B5．函数f (x )＝lg 1－xx －4的定义域为( )A ．[1,4)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，1]∪(4，＋∞)解析： 由题意知1－xx －4>0，∴1<x <4.故选B. 答案： B6．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．不单调的函数解析： 由于x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，所以a >1.因而f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．答案： A7．已知函数y ＝f (x )＝log a (x ＋b )的图像如右图所示，则f (6)的值为( ) A ．3 B ．6 C ．5 D ．4解析： 把(－2,0)和(0,2)代入y ＝log a (x ＋b )得：⎩⎨⎧0＝log a (－2＋b )，2＝log ab ，∴⎩⎨⎧a ＝3，b ＝3.∴f (6)＝log 3(6＋3)＝4. 答案： D 8．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝3·a x －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.32解析： 由于函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝3·2x －1在[0,1]上是单调递增函数，最大值当x ＝1时取到，即为3.答案： C9．若log a －1(2x －1)>log a －1(x －1)，则有( ) A ．a >1，x >0 B ．a >1，x >1 C ．a >2，x >0 D ．a >2，x >1解析： 由题意知⎩⎨⎧2x －1>0x －1>0，即x >1.因为当x >1时，2x －1>x －1，由对数函数的性质知a －1>1，即a >2.答案： D10．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图像是( )解析： 由f (x )是奇函数得，f (－x )＝－f (x )， 即(k －1)a －x －a x ＝(1－k )a x ＋a －x ，∴k ＝2，∴f (x )＝a x －1a x ，又∵f (x )是R 上的减函数，∴0<a <1，则g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上递减，且过(－1,0)，故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．23＋log 0.54＝________.解析： 23＋log 0.54＝23·2log 0.54＝8·2log ⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝8·2－log 24＝8·2log 214＝8×14＝2.答案： 212．函数y ＝2x 2＋x ＋1(x ≥1)的值域是________． 解析： ∵x ≥1，∴x 2＋x ＋1≥3. ∴2x 2＋x ＋1≥8. 答案： [8，＋∞)13．函数f (x )＝－a 2x －1＋2恒过定点的坐标是________．解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－a 0＋2＝1，∴f (x )过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114．设f (x )＝⎩⎨⎧2－x x ∈(－∞，1]log 81x x ∈(1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x 的值为________．解析： ∵当x ≤1时，2－x ≥12，∴由f (x )＝14知x >1， ∴log 81x ＝14，∴x ＝8114＝3.答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)计算下列各式的值：(1)(32×3)6＋(2×2)43－(－2 008)0； (2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 3312)2＋ln e －lg 1.解析： (1)原式＝(213×312)6＋(2×212)12×43－1＝213×6×312×6＋232×12×43－1 ＝22×33＋21－1＝4×27＋2－1 ＝109.(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2 ＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2 ＝(lg 5＋lg 2)2＝1.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＋14＋12－0 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＋34 ＝54＋34＝2.16．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析： (1)由⎩⎨⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得：a ＝12. 17．(12分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3a －4x 的定义域为[0,1]． (1)求函数g (x )的解析式； (2)判断函数g (x )的单调性．解析： (1)∵f (x )＝3x ，∴f (a ＋2)＝3a ＋2＝18，∴3a ＝2. ∴g (x )＝2－4x (x ∈[0,1])．(2)设x 1，x 2为区间[0,1]上任意两个值，且x 1<x 2，则g (x 2)－g (x 1)＝2－4x 2－2＋4x 1＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2)， ∵0≤x 1<x 2≤1，∴2x 2>2x 1>1， ∴g (x 2)<g (x 1)．所以，函数g (x )在[0,1]上是减函数．18．(14分)已知f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x，(1)求f (x )的定义域；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012；(3)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(－1,1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．解析： (1)由1－x 1＋x >0得x －1x ＋1<0 ∴⎩⎨⎧ x －1>0x ＋1<0或⎩⎨⎧x －1<0x ＋1>0， ∴－1<x <1，即f (x )的定义域为(－1,1)．(2)对x ∈(－1,1)有f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x1－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 012＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝0. (3)设－1<x 1<x 2<1， 则1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝2(x 2－x 1)(1＋x 1)(1＋x 2). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，(1＋x 1)(1＋x 2)>0， ∴1－x 11＋x 1>1－x 21＋x 2. ∴函数y ＝1－x1＋x在(－1,1)上是减函数．从而得f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1,1)上也是减函数．又a ∈(－1,1)，∴当x ∈(－a ，a ]时，f (x )有最小值，且最小值为f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a .高一数学必修一第四章检测题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中在[1,2]内有零点的是( )A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5B ．f (x )＝x 3－5x －5C ．f (x )＝ln x －3x －6D ．f (x )＝e x ＋3x －6 解析： 对于A 、B 、C 中的函数f (1)·f (2)>0，只有D 项中f (1)·f (2)<0.故选D.答案： D2．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点解析： 对于A 选项，可能存在；对于B 选项，必存在但不一定唯一；对于D 选项，根据函数的零点的存在性定理知一定存在．故选C.答案： C3．下列各函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )解析： B 中函数零点左右两边函数值同号，故不能用二分法求解． 答案： B4．函数f (x )＝x 2＋1x ，x ∈(0，＋∞)的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析： 由于x 2＞0，1x >0，∴f (x )>0，因此不存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )＝x 2＋1x ＝0，因此函数没有零点．答案： A5．图中所给的4个图像中，与所给的3个事件吻合最好的顺序为( ) a ．我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去学校；b ．我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；c ．我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A ．(1)(2)(4)B ．(4)(2)(3)C ．(1)(2)(3)D ．(4)(1)(2)解析： 事件a 与(4)吻合，事件b 与(1)吻合，事件c 与(2)吻合．答案： D6．若函数f(x)＝2ax2－x＋1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值为() A．a>0 B．a<0C．－1<a≤0 D．0≤a≤1解析：f(0)＝1，f(1)＝2a，由零点存在性定理得f(0)·f(1)＝2a<0，∴a<0.故选B.答案： B7．下列给出的四个函数f(x)的图像中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()解析：把y＝f(x)的图像向下平移1个单位后，只有C图中图像与x轴无交点．故选C.答案： C8．函数f(x)＝|x|＋k有两个零点，则()A．k<0 B．k>0C．0≤k<1 D．k＝0解析：f(x)有两个零点，即|x|＝－k有两个不等实根，∴－k>0，k<0.答案： A9．设方程3x＝|lg(－x)|的两个根为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1解析：作函数y＝3x和y＝|lg(－x)|的图像如图x1<－1，x2∈(－1,0)．∵x2>x2′∴x1x2<x1x2′.又∵x1x2′＝1，∴0<x1x2<1.答案： D10．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如右图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：结合图形，可得：x20＝24－y16，y＝24－45x，矩形面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫24－45x ＝－45x 2＋24x ，所以当x ＝－242×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15时，S 最大，则y ＝24－45×15＝12.故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析： 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，112．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其部分图像如图所示，则这个函数的零点至少有________个．解析： 由图知在x >0时，f (x )至少有3个零点，又f (x )是偶函数，∴x <0时，f (x )也至少有3个零点，故至少有6个零点．答案： 613．某类产品按质量可分10个档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，生产最低档次，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件产品，则生产第________档次的产品，所获利润最大．解析： 设生产第x 档次的产品，1≤x ≤10， 则y ＝[60－3(x －1)][2(x －1)＋8] ＝(63－3x )(2x ＋6) ＝6(－x 2＋18x ＋63) ＝6[－(x －9)2＋144]．当x ＝9时，y 取到最大值，即生产第9档次的产品获利最大． 答案： 914．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥2(x －1)3，x <2，若函数y ＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析： 画出分段函数f (x )的图像如图所示．结合图像可以看出，函数y＝f(x)－k有两个零点．即y＝f(x)与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．解析：(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－1 4.综上，当a＝0和－14时函数只有一个零点．16．(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图像在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度结论：_____________________________________________________________________ ___.区间中点m f(m)的符号区间长度(1,2) 1.5＋ 1(1,1.5) 1.25＋0.5(1,1.25) 1.125－0.25(1.125,1.25) 1.187 5＋0.125(1.125,1.187 5)0.062 5∵|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，∴原方程的近似解可取为1.187 5.17．(12分)已知函数f(x)＝x－1＋12x2－2，试利用基本初等函数的图像，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间．(各区间长度不超过1)解析： 由f (x )＝0，得x －1＝－12x 2＋2.令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图像(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x 轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y 1与y 2的图像有3个交点，从而函数f (x )有3个零点．18．(14分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65元时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解析： (1)∵y 与x －0.4成反比例，∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，解得k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2.即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%) 整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0. 解得x 1＝0.5或x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5或x 2＝0.6都是方程的根． 因x 的取值范围在0.55～0.75之间， ∴x ＝0.6，答：电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.。