洛必达法则详解一元分析学经典讲义
高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
洛必达法则的理解及其应用
摘要：对洛必达法则的内涵进行剖析、引申及扩展, 通过实例探讨其应用技巧。
关键词：洛必达法则;内涵剖析;应用技巧;洛比达法则内涵丰富, 是高等数学中求函数未定型极限的一种有力工具。
本文将对洛必达法则的内涵进行深入剖析, 引领学生窥其“庐山真面目”。
然后循序渐进地讲解其应用, 从而帮助学生系统、深入地掌握洛必达法则内容。
1洛比达法则[1]定理1: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;定理2: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;二、内涵剖析1. 涵的数学思想方法洛必达法则依据柯西中值定理, 利用求导的方法, 化难为易的数学思想, 将f ( x) /g ( x) 的极限问题转化为f 'x/g' (x) 的极限问题。
2. 几何解释[2]对于定理1, 补充定义, 则参数方程是平面上过原点O的曲线, 记为L, 如图, 则表示曲线上割线OA的斜率, 而为割线斜率的极限, 又割线的极限位置是切线, 即为O点处切线斜率, 另一方面A点处切线的斜率利用参数方程求导为f 'x/g' (x) , 而A处所得切线T随着x→x0的极限位置就是O处的切线OC, 由此表示出OC斜率为从而, 在几何上, 定理1实质上表达了切线的概念, 曲线L的割线OA的极限位置就是过原点的切线OC。
类似可得洛必达法则定理2实质上表达了曲线L上的点A趋于无穷远时, OA的极限位置就是A点处切线的极限位置。
3. 运用法则的关键关键是寻找判断所求极限是否满足三个条件, 有些较难的极限利用洛必达法则可能比较简单, 但若不符合条件时滥用法则, 容易造成错误。
4. 运用法则的一般步骤( 1) 判断所求极限是否可化为法则中的0/0型或∞/∞型, 如0, ∞ - ∞等; ( 2) 判断是否满足条件;( 3) 求, 若存在或为∞ , 则得结果, 若仍为未定式, 则再用法则; 若为循环的情况, 则不可用法则; 若不存在也不为∞ , 则用此法则不可得结果。
高数讲义第二节洛必塔法则
解:分母求导比较麻烦。 先用等价无穷小替换，再用法则。
• 有些未定式也可用其它一些方法来求． 例7 解:
关键:将其它类型未定式化为: 例8 解
步骤:
例9 解
例10 解 例11 解
例12 解
极限不存在
洛必达法则失效，不能说明原极限不存在
注意：当
不存在或不能确定时，
不能说明原极限不存在，需改用其它方法求。
例13 解：这是数列极限，不能直接用洛必达法则
数列极限转化为函数极限
注意：数列没有导数的概念，故对数列未定式的 极限，不能直接用洛必达法则，必须先转化为函 数的极限，再用法则。
三、小结
洛必达法则
使用洛必达法则时的注意事项
（1）所求极限一定要是
（2）可连续使用法则，但每次使用前必须验 证法则的条件。
（3）其它形式的未定式必须先转化为 再用法则。
（4）当法则失效时，不能说明原极限不存在， 要改用其它方法。
（5）注意将法则与其它方法结合使用。 （6）对数列极限使用法则时，必须先转化为函数极限
作业 习题32（P137）：
1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),
解
×
二、其它形式未定式的洛必达法则 （1）x 时，f (x) 0 , F(x) 0. （2）x a 时，f (x) , F(x) . （3）x 时，f (x) , F(x) . 定理2：设
例3 解 例4 解
例5 解
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
第二节 洛必达法则
三、小结
定义
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章 培优点3 洛必达法则
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章培优点3 洛必达法则洛必达法则：若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立.4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.题型一 用洛必达法则处理 型函数若x＝0，则a∈R；若x>0，令h(x)＝2x cos x－2sin x－sin x cos x＋x，h′(x)＝2cos x－2x sin x－2cos x－cos 2x＋1＝－2x sin x－cos 2x＋1＝2sin2x－2x sin x＝2sin x(sin x－x)，因此，当x∈(0，π)时，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上单调递减，且h(0)＝0，故g′(x)<0，所以g(x)在(0，π)上单调递减，另一方面，当x∈[π，＋∞)时，思维升华当x＝1时，不等式恒成立，m∈R；令m(x)＝x2－x2ln x－ln x－1，x>1，令n(x)＝x2－2x2ln x－1，x>1，则n′(x)＝2x－4x ln x－2x＝－4x ln x<0，得n(x)＝x2－2x2ln x－1在(1，＋∞)上单调递减，故n(x)<n(1)＝0，得φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，进而m′(x)＝φ(x)<φ(1)＝0).所以m(x)在(1，＋∞)上单调递减，可得m(x)<m(1)＝0，故h′(x)<0，题型二 用洛必达法则处理 型函数例2 已知函数f(x)＝ax－a－x ln x.若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.依题意，ax－a－x ln x≥0恒成立，即a(x－1)≥x ln x恒成立，令g(x)＝x－1－ln x，x∈(0,1)，∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)>g(1)＝0，∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上单调递增.∴φ(x)>0，故a≤0，综上，实数a的取值范围是(－∞，0].思维升华跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围.当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，即2ax3＋x>x3－a恒成立，即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，能力提升1.已知函数f(x)＝x(e x－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.当x≥0时，f(x)≥0，即x(e x－1)≥ax2.当x＝0时，a∈R；记h(x)＝(x－1)e x＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝x e x>0，因此h(x)＝(x－1)e x＋1在(0，＋∞)上单调递增，即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立.2.若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围.当x＝0时，a∈R；所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)<h(0)＝0，即g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，本课结束。
一文讲透洛必达法则
洛必达法则，一个富二代用钱买来的数学定理。
有句谚语“遇事不决洛必达”，说明它非常好用。
其实它非常好理解，甚至相比于泰勒展开它简单太多，它只不过是一阶泰勒展开。
本施篇文章从背景介绍内容介绍使用限制直观解释严格推导极限可以取到无穷远5个维度去彻底认识洛必法则，关于泰勒展开的文章参见之所以很多考试题目禁止使用洛必达法则是因为直接使用结论就跳过了出题人要考察的思想。
如果我们做题时推导过程把洛必达法则的思想也简单体现出来，而不是直接使用结论那就不会被禁止了。
因为这相当于没有使用洛必达法则，而是你自己直接悟出了这种思想，正所谓“英雄所见略同”。
但前提是得遇到明智的阅卷老师，否则他会因为不懂而误以为你不是“精金”，而是“秽土”。
1. 背景介绍在严格解释与认证之前，我们先介绍一下背景。
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定原分式极限的方法，其实这是由瑞士数学家伯努力发现的，只不过当时洛必达买走了伯努力的知识产权，后来以洛必达命名。
洛必达是法国中世纪的王公贵族，他喜欢并且酷爱数学，后拜伯努利为师学习数学。
但洛必达法则并非洛必达本人研究。
实际上，洛必达法则是洛必达的老师伯努利的学术论文，由于当时伯努利境遇困顿，生活困难，而学生洛必达又是王公贵族，洛必达表示愿意用财物换取伯努利的学术论文，伯努利也欣然接受。
此篇论文即为影响数学界的洛必达法则。
在洛必达死后，伯努利宣称洛必达法则是自己的研究成果，但欧洲的数学家并不认可，他们认为洛必达的行为是正常的物物交换，因此否认了伯努利的说法。
事实上，科研成果本来就可以买卖，洛必达也确实是个有天分的数学学习者，只是比伯努利等人稍逊一筹。
洛必达花费了大量的时间精力整理这些买来的和自己研究出来的成果，编著出世界上第一本微积分教科书，使数学广为传播。
并且他在此书前言中向莱布尼兹和伯努利郑重致谢，特别是约翰·伯努利。
这是一个值得尊敬的学者和传播者，他为这项事业贡献了自己的一生。
(参考资料)洛必达法则详解
sec x
1
正解：
lim lim 1 x tan x x sin x
2
2
18
信息学院 罗捍东
4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
步骤:
0 0 0,
1
0
或
0
1
0
.
19
信息学院 罗捍东
例11: 求 lim x2e x . x
3. 1 ,00 ,0 型
步骤:
1
ln1
00
取对数
0 ln 0
0
0 ln
0 .
23
信息学院 罗捍东
1
例13: 求 lim x1 x . x1
( 1 )
e 1
1 ln x
解: lim x1x lim e1x
x1
x1
limln x x11 x
1
e
lim x
x1 1 e1 .
24
罗捍东
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
29
其它型的未定式还有： 0 , ,1 ,00,0
1
信息学院 罗捍东
4.2.1 0 型未定式 0
定理：洛必达法则 设:(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xa
xa
(2) f (x), g(x)在a点的某去心邻域内可导,且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
数论洛必达法则
数论洛必达法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:数论洛必达法则是数学中一个重要的定理，它在解决极限计算问题中扮演着重要的角色。
洛必达法则主要用于解决形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}的不定式极限问题。
这个法则的提出和应用，极大地简化了求解极限的复杂程度，成为数学分析中的重要工具。
在本文中，我们将对洛必达法则进行详细的介绍，包括其概念、应用和意义。
我们将深入探讨这一定理在数论领域中的重要性，以及它在数学研究和实际问题中的应用。
同时，我们也会对洛必达法则的局限性进行探讨，以及未来在这一领域中的发展展望。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解数论洛必达法则，并对数学研究中的极限问题有更深入的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为引言、正文和结论三部分进行阐述。
引言部分将从概述、文章结构和目的三方面介绍数论洛必达法则的重要性和意义。
正文部分将详细介绍洛必达法则的概念、应用和意义，包括其在数论领域的具体运用和影响。
结论部分将对洛必达法则进行总结，并讨论其局限性和未来的发展方向，以展望洛必达法则在数论研究中的潜力。
每个部分将以清晰的逻辑顺序和详细的论证来展现洛必达法则在数论领域的重要性和价值。
1.3 目的本文旨在深入探讨数论中的洛必达法则，并分析其概念、应用和意义。
通过对洛必达法则进行系统性的介绍和解读，旨在帮助读者更好地理解这一重要的数学原理，并且探讨洛必达法则在数论领域中的具体运用。
同时，本文也将对洛必达法则的局限性进行深入分析，并展望未来在数论研究中的潜在应用。
通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解洛必达法则在数论领域中的重要性和意义，以及未来可能的发展方向。
2.正文2.1 洛必达法则的概念洛必达法则是数学中的一个重要概念，通常用于解决极限计算中的不定式形式。
它最初由意大利数学家洛必达（L'Hôpital）在17世纪提出，并在微积分学中得到广泛应用。
第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ， 所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分学中值定理 二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理 定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得
f()0
lim2x3
xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns
in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0
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?
lim e 2x ? 1 x? 0 2x
?
lim 2e2x x? 0 2
? 1.
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二、0 ?? ,? ? ? ,00 ,1? ,? 0型未定式解法
关键 :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ? ) .
0?
1. 0 ?? 型
步骤: 0 ?? ? 1 ?? , 或 0 ?? ? 0 ?1 .
f ?(? ) (?在x与a之间) F ?(? )
当x ?
a时,? ?
a,
? lim f ?( x ) ? A, x? a F ?( x )
? lim f ?(? ) ? A, ? ? a F ?(? )
? lim f ( x ) ? lim f ?(? ) ? A. x ? a F ( x ) ? ? a F ?(? )
?
0
例7 求 lim x ? 2e x .
x ? ??
解
原式 ?
lim
x ? ??
ex x2
( 0 ?? )
? lim e x ? lim e x ? ?? . x ? ?? 2 x 2 x ? ??
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例8 求 lim x ln x . ( 0 ?? )
x? 0?
解
原式 ?
lim
x? 0
2
?
3. 2
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? ? arctan x
例3 求 lim 2 x ? ??
1
.
(0) 0
x
1
解
原式 ?
lim
x? ??
? 1? x2 1
? x2
?
lim
x ? ??
x2 1? x2
? 1.
例4
求 lim ln sin ax . (a ? 0, b ? 0) x? 0? ln sin bx
(? ) ?
( L' Hospital ' s rule )洛必达法则
一、0 型及 ? 型未定式解法
0
?
二、0 ?? , ? ? ? ,00 ,1? , ? 0型未定式解法
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结束
一、0 型及 ? 型未定式解法
0
?
( L ' Hospital )洛必达法则
定义 如果当 x ? a时, 两个函数 f ( x )与
x ? 0 tan 2 x ?( 1 ? x 2 ? 1)
(0) 0
x4
解
原式 ?
lim
x? 0
x
2
2 ?x
2
?
lim 1 ? 1.
x? 0
( 因式 e x ?
1)
2
例
求
lim
x? 0
x2
e2x ? 1 ?(e x ?
? 2x 1? 2x
)
.
(0) 0
解
原式 ?
e2x ? 1?
lim
x? 0
2x2
2x
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例1 求 lim tan x .
(0)
x? 0 x
0
解
原式
?
lim (tan
x )? ?
sec2 lim
x
?
1.
x? 0 ( x )?
x? 0 1
例2
求
lim
x? 1
x
x3 3?
? x
3x 2?
? x
2 ?
. 1
(0) 0
解
原式
?
3x2 ? 3
lim
x? 1
3x2
?
2x
?
? 1
6x lim x? 1 6x ?
F ( x )都趋于零或都趋于无穷 大, 那末极限
lim f ( x ) 称为 0 或 ? 型未定式 .
x? a F (x)
0?
例如, lim tan x , ( 0 )
x? 0 x
0
ln sin x
lim
,
(?
)
x? 0? ln sin x ?
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定理 设(1) 当 x ? a时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零
x? 0
x ? sin x2
x
?
1 ? cos x lim x? 0 2x
? lim x 2 / 2 ? lim x ? 0.
x? 0 2x
x? 0 4
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解
原式 ?
lim
a cos ax ?si bx
?
1.
x? 0? b cos bx ?sin ax x? 0? cos ax
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例5 求 lim tan x . x? ? tan 3 x
2
(? ) ?
解
原式
?
lim
x? ?
sec2 x 3sec2 3 x
1 cos2 3 x
例6
求
lim
x? 0
tan x2
x? tan
x x
.
解
原式
?
tan x ?
lim
x? 0
x3
x
?
lim
x? 0
sec 2 3
x? x2
1
2sec2 x tan x 1 tan x 1
? lim
? lim
?.
x? 0
6x
3 x? 0 x
3
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例 求 lim e x (1 ? cos x 2 ) .
x?a
F1( x )
?
? F ( x ),
? ?
0,
x?a ,
x?a
在 N 0(a,? )内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件, 则有
f (x) ? F(x)
f1(x) ? F1( x ) ?
f1(a) F1( a )
?
f1?(? ) ? F1?(? )
?
lim 3 x? ?
cos2 x
2
2
? 1 lim ? 6cos 3x sin 3x ? lim sin 6x
3 x? ? ? 2cos x sin x 2
x? ? sin 2 x 2
? lim 6cos6x ? 3. x? ? 2cos 2x
2
法则可多次使用
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好 .比如 等价替换、非 0极限先求等.
若x ? a 换为其它 极限过程, 比如 x ? ? 时, 其它条件 作相应变动， 该法则仍然成立 .
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则 .
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证 仅证 0 情形. 定义辅助函数 0
f1( x )
?
? ? ?
f
( x ), 0,
x?a ,
或都趋于无穷大 ;
(2) 在 a 点的某去心邻域内 , f ?( x ) 及 F ?( x ) 都存在且 F ?( x ) ? 0; (3) lim f ?( x ) ? A (有限或无穷大 );
x ? a F ?( x ) 那末 lim f ( x ) ? lim f ?( x ) (? A).
x? a F ( x ) x ? a F ?( x )
ln x x?1
?
lim
x? 0
x?1 ? x?2
?
?
lim x ?
x? 0
0
2. ? ? ? 型
步骤 :
? ?? ?
1? 1? 00
0? 0. 0 ?0
例8
求 lim ( 1 ? 1 ). x? 0 sin x x
(? ?? )
解
原式 ?
lim x ? sin x x? 0 x ?sin x
?
lim