第三章方差分析
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第三章常用试验设计的方差分析
Ⅰ A1B1 Ⅱ A2B3 Ⅲ A3B1
A2B2 A3B2 A2B3
A3B3 A1B2 A3B2
A2B3 A2B1 A3B3
A3B2 A1B3 A2B2
A1B3 A3B1 A1B1
A3B1 A2B2 A1B2
A1B2 A1B1 A2B1
A2B1 A3B3 A1B3
AEDC B DBAE C BACD E
裂区设计
条区设计
剩余 误差
§6 多年、多地点试验的方差分析 ——一组相同试验方案数据的联合分析
为研究作物对多年多点环境的适应性和稳定性 进行的多个 相同方案的试验。叫联合试验， 如区试试验。
常采用随机区组设计，属于多个随机区组试验 的联合分析。
先对各个试验分析，检验各试验误差的同质性， 同质才能进行联合方差分析，不同质不可进行 联合方差分析。
SEAB
(b1)MeSbMeSa br
A1B1 A1B2 A1B3 A1B4 A2B1 A2B2 A2B3 A2B4 A3B1 A3B2 A3B3
5-2-2 三裂式裂区试验的方差分析 为三因素试验，裂区再分裂区。
主误：Ai和区组l的互效 裂误：Bj与区组l的互效
再裂误：AiBj 内的C k
sin1 P 如: si 1n0 .8si 1(n 0 .89 ) 4 6.4 33
si 1n0 .2si 1(n 0 .44 ) 7 2.2 5 67
课堂测验：
根据下图所给排列，写出各资料方差分析时的变异来源及其自由度；
A1B1 A2B2 A3B3 A2B3 A3B2 A1B3 A3B1 A1B2 A2B1
A
1
SST
i
j
k
xi2jk
第03章 方差分析ppt课件
观
测
要素效应(treatment effect)：
值
程度不同引起
不
同
的
原
实验误差：实验过程中偶尔性
因
要素的干扰和丈量误差所致。
;
方差分析的根本思想
因
总
试
素
变
验
效
异
误
应
差
;
方差分析的目的
确定各种缘由在总变异中所占的重要程度。
要素效应 实验误差
相差不大，阐明实验处置对目的影 响不大。
相差较大，即要素效应比实验误差 大得多，阐明实验处置影响是很大 的，不可忽视。
检验P值
当 H 0 为真时，F 的值应在1 的周围动摇； 反之，F的值有增大的趋势。 检验p值为 pPH0(Ff)
f 为由观测数据求得的统计量F的观测值。
;
例1
测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5个地域黄鼬冬季针 毛的长度，每个地域随机抽取4个样本，测定的结果如表， 试比较各地域黄鼬针毛长度差别显著性。
2453.16
贵州 22.3 22.5 22.9 23.7 91.4 22.85
2089.64
合计
530.5 26.53
14258.21
〔1〕首先计算出 x ，及 x2 ，并列于表中。
〔2〕计算出离均差平方和与自在度：
SST 18.76
SSA 173.71
;
40
SE SSTSSA S＝186.7-173.71＝12.99
n-1=(a-1)+(n-a)
;
统计性质
▪ 无偏论 估计H 0；成立与否，SSE/(na)总是 2 的一个无 ▪ H 0为真时，SSA/(a1) 为 2 的一个无偏估计。
第三章 试验的方差分析讲解
设因素A有n个水平，每个水平重复试验m0次，水平Ai的第j次试验
值为yij（i=1,2,…n；j=1,2,…m0），则可将数据以下表形式表达：
yij
i 1
j 1 jm0
m0
Ti yi j j 1
m0
Ri yi2j
j 1
1 m0
yij
m0
yij
j 1
y11 y1 j y1m0
0.003688
SS因
n i 1
(
mi j 1
yij
)2
T
2
mi
N
0.451393
2.7592 17
0.003624
SSe SST SSA 0.000064
18
3.3 双因素试验的方差分析
fT N 1 16 fA n 1 51 4
303.6 4
75.9
Ve
SSe fe
50.0 10
5.0
13
3.2 单因素试验的方差分析
FA
VA Ve
75.9 5.0
15.2
从F分布表中查取临界值
F0.05 (4,10) 3.48, F0.01(4,10) 5.99
因为 FA F0.01(4,10) 5.99
60℃ 65 ℃ 70℃ 75℃ 80 ℃
1
90
97
96
84
84
2
92
93
96
83
86
3
88
92
93
88
82
值为yij（i=1,2,…n；j=1,2,…m0），则可将数据以下表形式表达：
yij
i 1
j 1 jm0
m0
Ti yi j j 1
m0
Ri yi2j
j 1
1 m0
yij
m0
yij
j 1
y11 y1 j y1m0
0.003688
SS因
n i 1
(
mi j 1
yij
)2
T
2
mi
N
0.451393
2.7592 17
0.003624
SSe SST SSA 0.000064
18
3.3 双因素试验的方差分析
fT N 1 16 fA n 1 51 4
303.6 4
75.9
Ve
SSe fe
50.0 10
5.0
13
3.2 单因素试验的方差分析
FA
VA Ve
75.9 5.0
15.2
从F分布表中查取临界值
F0.05 (4,10) 3.48, F0.01(4,10) 5.99
因为 FA F0.01(4,10) 5.99
60℃ 65 ℃ 70℃ 75℃ 80 ℃
1
90
97
96
84
84
2
92
93
96
83
86
3
88
92
93
88
82
第三章正交试验设计中的方差分析2例题分析
第三章_正交试验设计中的方差分析2-例题分析第三章中的例题分析是关于正交试验设计中的方差分析的。
本例题分析主要涉及到两个因素和一个响应变量，通过正交试验设计的方法，对这两个因素的影响进行分析。
首先，我们需要了解正交试验设计的基本原理。
正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择合适的试验因素和水平，使得每个试验条件都能够得到充分的信息，从而降低试验误差，提高试验效率。
在正交试验设计中，试验因素之间是相互独立的，这样可以更好地分析每个因素对响应变量的影响。
在本例题中，我们有两个因素，分别记作因素A和因素B，每个因素有两个水平。
我们还有一个响应变量Y，需要确定因素A、因素B和Y之间的关系。
接下来，我们需要进行方差分析。
方差分析是一种用于比较不同因素对响应变量的影响的统计方法。
在本例题中，我们可以使用两因素方差分析来分析因素A和因素B对响应变量Y的影响。
首先，我们需要计算总平方和（SST），表示响应变量的总变异。
然后，我们需要计算因素A的平方和（SSA），表示因素A对响应变量的影响，以及因素B的平方和（SSB），表示因素B对响应变量的影响。
同时，我们还需要计算交互作用的平方和（SSAB），表示因素A和因素B之间的交互作用对响应变量的影响。
接下来，我们可以计算各个平方和的自由度和均方差，从而得到F值。
F值可以用来判断因素对响应变量的影响是否显著。
如果F值大于临界值，则说明该因素对响应变量的影响是显著的。
最后，我们可以进行多重比较，比较每个因素水平之间的差异。
多重比较可以帮助我们确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
通过以上的分析，我们可以得出因素A、因素B和响应变量Y之间的关系。
同时，我们还可以根据多重比较的结果，确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
总结起来，本例题分析主要涉及到正交试验设计中的方差分析。
通过对两个因素和一个响应变量进行分析，我们可以确定因素对响应变量的影响是否显著，并确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
e e B
σ = ˆ
t 0 .975
132 / 4 = 5.74 ， 。 ( 4 ) = 2 . 7764
μ 3⋅2
的0.95的置信区间是：
68 ± 2.7764 × 5.74 / 1.8 = 68 ± 11.9 = (56.1,79.9)
贡献率分析
当试验指标不服从正态分布时， 进行方差分析的依据就不充分，此 时可以通过比较个因素的“贡献率” 衡量因素作用的大小。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
ˆ ˆ μ = y = 50 ， a3 = T13 − y = 61 − 50 = 11 ，
ˆ c 2 = T32 − y = 57 − 50 = 7 ，
•A3C2 水平组合下指标均值的无偏估计可以取为： ˆ ˆ ˆ ˆ μ 3⋅2 = μ + a3 + c 2 = 50+11+7=68。
区间估计
… Continue
因子水平表 因子 A：反应温度（℃） B：反应时间（分） C：加碱量（%） 水平 一 80 90 5 二 85 120 6 三 90 150 7
试验计划与试验结果
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因子 反应温度 ℃ （1）80 （1）80 （1）80 （2）85 （2）85 （2）85 （3）90 （3）90 （3）90 反应时间 分 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 加碱量 试验结果 y % 转化率(%) （1）5 31 （2）6 54 （3）7 38 （2）6 53 （3）7 49 （1）5 42 （3）7 57 （1）5 62 （2）6 64
σ = ˆ
t 0 .975
132 / 4 = 5.74 ， 。 ( 4 ) = 2 . 7764
μ 3⋅2
的0.95的置信区间是：
68 ± 2.7764 × 5.74 / 1.8 = 68 ± 11.9 = (56.1,79.9)
贡献率分析
当试验指标不服从正态分布时， 进行方差分析的依据就不充分，此 时可以通过比较个因素的“贡献率” 衡量因素作用的大小。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
ˆ ˆ μ = y = 50 ， a3 = T13 − y = 61 − 50 = 11 ，
ˆ c 2 = T32 − y = 57 − 50 = 7 ，
•A3C2 水平组合下指标均值的无偏估计可以取为： ˆ ˆ ˆ ˆ μ 3⋅2 = μ + a3 + c 2 = 50+11+7=68。
区间估计
… Continue
因子水平表 因子 A：反应温度（℃） B：反应时间（分） C：加碱量（%） 水平 一 80 90 5 二 85 120 6 三 90 150 7
试验计划与试验结果
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因子 反应温度 ℃ （1）80 （1）80 （1）80 （2）85 （2）85 （2）85 （3）90 （3）90 （3）90 反应时间 分 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 加碱量 试验结果 y % 转化率(%) （1）5 31 （2）6 54 （3）7 38 （2）6 53 （3）7 49 （1）5 42 （3）7 57 （1）5 62 （2）6 64
第三章 单因素方差分析
i 1
j 1
i 1
i 1
a
r
2
a
ri• ( yij / ri• ) 2Ny ri• yi• / N Ny 2
i 1
j 1
i 1
a
Ti • 2
i 1
/ ri•
Ny 2
a
Ti • 2
i 1
/ ri•
T2 N
ar
a
Se ST SA
yij2 Ti•2 / ri•
5
i1 j1
i1
合成物产出量数据表
水平
次数
A1 A2 A3
1
2
3
4
74
69
73
67
79
81
75
78
82
85
80
79
试判断:在显著水平a=0.05下触煤用量对合成物产出量有无显著影响?
8
解: a=3 , r1=r2=r3=r=4, N=ar=12 (1) 方差齐性。由极差均值法：
R1=7 ，R2=6, R3=6
R R1 R2 R3 6.33 3
A
121.5833
Ve
Se
e
8.055556
FA
VA Ve
15.0931
10
(4) 判断.对a=0.05, 查F分布分位数表得:
F0.05( A, e ) F0.05(2,9) 4.26
而
FA
VA Ve
15.0931
所以 FA Fa (2,9).
推断因素A是显著的,即三种触煤用量水平对合成物产出量的影响 是有显著差异的
yij2 71156
i1 j1
a Ti2 71083.5
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿一、引言方差分析是统计学中一种重要的分析方法，用于比较两个或多个样本均数之间的差异。
在实际应用中，我们常常需要比较多组数据的均数，这时就需要运用多组均数间比较的方差分析方法。
本文将详细介绍多组均数间比较的方差分析方法及其应用。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较因素（例如不同的处理组）对应的样本均数的差异来判断这些因素是否具有统计学上的显著性差异。
方差分析的核心概念是组内变异和组间变异。
组内变异是指同一处理组内观测值之间的差异，反映了同一处理组内个体间的差异。
组间变异是指不同处理组之间的观测值之间的差异，反映了不同处理组之间的差异。
方差分析的目标是确定组间变异相对于组内变异的大小，以便评估处理组间的差异是否具有统计学上的显著性。
三、多组均数间比较的方差分析步骤多组均数间比较的方差分析步骤如下：1.明确研究目的：确定需要比较的多个处理组以及需要比较的指标。
2.样本数据收集：收集每个处理组的样本数据。
3.建立假设：建立零假设（处理组均数之间没有显著差异）和备择假设（处理组均数之间存在显著差异）。
4.计算总变异度：计算总平方和（总变异度），表示总的数据变异情况。
5.计算组间变异度：计算组间平方和（组间变异度），表示不同处理组之间的差异情况。
6.计算组内变异度：计算组内平方和（组内变异度），表示同一处理组内个体间的差异情况。
7.计算F值：计算F值，用于检验处理组均数之间的差异是否具有统计学上的显著性。
8.判断显著性：根据计算得到的F值和相应的显著性水平，判断处理组均数之间的差异是否显著。
9.进行多重比较：如果处理组均数之间的差异显著，进一步进行多重比较。
四、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，例如医学、生物学、经济学等。
在医学领域，方差分析可以用于比较不同药物对疾病治疗效果的影响；在生物学领域，方差分析可以用于比较不同肥料对植物生长的影响；在经济学领域，方差分析可以用于比较不同市场策略对销售额的影响等。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第3章 试验的方差分析知识讲解
第3章 试验的方差分析
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA） 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性
试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数
因素（experimental factor） 影响试验指标的条件 可控因素（controllable factor）
④计算均方
MS A
SS A df A
SS A r 1
MSB
SSB df B
SSB s 1
MSe
SSe dfe
(r
SSe 1)(s 1)
⑤F检验
FA
MS A MSe
FB
MSB MSe
FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布；
FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布；
对于给定的显著性水平 ，查F分布表：
下的试验结果服从正态分布 在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验 判断因素A对试验结果是否有显著影响
（3） 单因素试验数据表
试验次数 A1
A2
…
1
x11
x21
…
2
x12
x22
…
…
…
…
…jBiblioteka x1jx2j…
…
…
…
…
ni
x1n1
x2n2
…
Ai
…
Ar
xi1
…
xr1
xi2
…
xr2
… ……
xij
1 r s
x rs
i 1
xij
j 1
Ai水平时 ：
xi•
1 s
s
xij
j 1
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA） 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性
试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数
因素（experimental factor） 影响试验指标的条件 可控因素（controllable factor）
④计算均方
MS A
SS A df A
SS A r 1
MSB
SSB df B
SSB s 1
MSe
SSe dfe
(r
SSe 1)(s 1)
⑤F检验
FA
MS A MSe
FB
MSB MSe
FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布；
FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布；
对于给定的显著性水平 ，查F分布表：
下的试验结果服从正态分布 在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验 判断因素A对试验结果是否有显著影响
（3） 单因素试验数据表
试验次数 A1
A2
…
1
x11
x21
…
2
x12
x22
…
…
…
…
…jBiblioteka x1jx2j…
…
…
…
…
ni
x1n1
x2n2
…
Ai
…
Ar
xi1
…
xr1
xi2
…
xr2
… ……
xij
1 r s
x rs
i 1
xij
j 1
Ai水平时 ：
xi•
1 s
s
xij
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3、比较两部分离差平方和的相对大小。若两部分相 比接近1，则水平的变化对指标影响不显著，反之， 水平的变化对指标的影响则是非常显著的。
4、选择统计量F，做出结论。
2021/2/22
10
H0：μ1= μ2=……= μs
SS总=SS组内+SS组间=SSe+SSA
fe=N-1=nmn_k-1 ,mn
设 H0:i j
选择q分布的随机变量
m axxixj ij
q
Se/ n
~q(k,fe)
Rmax 2021/2/22 xi xj 称为极差
19
例1 为考察工艺对花粉中的氨基酸百分含量的影 响，某药厂用四种不同工艺对花粉进行处理，测 得氨基酸百分含量如表。试判断四种不同工艺处 解: 理间的氨基酸百分含量有无显著性差异？若有差 异，试对中四个工艺下花粉氨基酸百分含量作两 两多重比较。
溶出 度
Levene Statistic
1.645
df1 3
df2 16
Sig. .219
溶出 度
Between Groups Within Groups Total 2021/2/22
Sum of S qu ar es
.729 .310 1.039
A NOVA
df 3
16 19
Mean Square .243 .019
F 12.560
Sig. .000
18
三、两两间多重比较的检验法
上面介绍的方差分析,如果各水平间无显著异, 则不需要做进一步统计处理,如果各水平间均数至 少有两个差异显著,但是哪些水平间的差异显著, 哪些不显著,方差分析不能作结论.这就需要做多 重比较.
1、q检验法(SNK检验法):适用于样本容量相等
一般地，先确定这个因素的若干等级（称之为水 平），然后在每一个等级里做若干个重复试验，以 确定该因素对实验结果的影响程度。
这种试验方法统计学称为单因素试验。
2021/2/22
7
单方差分析的基本思想
方差分析的基本思想是把所有观察值之间的变异分解 成两个部分。
由于事先作了设计，因此，每一部分都反映了研究工 作中特定的内容：因素水平变化的作用，随机误差的 作用。
Std. Dev iation 3.18897 2.51784 .95019 .13784 3.05573
Std. Error 1.20532 .95165 .35914 .05627 .58807
95% Confidence Interv al for Mean
Lower Bound Upper Bound
H 0.
11
为了简明起见，常常将方差分析的结果用表格（方差分 析表）表示。
方差分析表
变 异 来 源离 关 平 方 和自 由 度方 差 F值
组 内 SSe 组 间 SSA
N-m SSe/(N-m) SA S/m (1) m-1 SSA/(m-1) SeS/(Nm)
临 界 值 显 著 性 Fa
总 和 SS总
20
Descriptives
含量
1 2 3 4 T otal
95% Confidence Interval for Mean
N
MeaSntd. DeviaS titodn. ErLroowr er BoUupnpder BouMnid nimuMmaximum
44.62400 .06175.8030879 4.52573 4.72227 4.545 4.695
B 2.82 2.76 2.43 2.73
C 2.91 3.02 3.28 3.18
D 3.92 3.02 3.30 3.04
2021/2/22
15
血流 量
Between Groups Within Groups Total
Sum of S qu ar es
138.208 104.566 242.774
第三章方差分析
1
2021/2/22
第五章 方差分析
方差分析又称作变异分析analysis of variance.
方差分析是由英国统计学家R. A. Fisher于 1928年首先提出的一种统计方法，当时用的 统计量是Z ,后来由G.W.Sendecor 转换成了 更易于运用另一个统计量。
为了纪念Fisher， G.W.Sendecor把此统计量 命名为F，有人把方差分析称为简称为F检验
2021/2/22
2
方差分析的适用范围
在生产和科学实验中，影响一个事物的因素往往是很多。 例如：在药物合成中，有原料的用量、反应温度、压力、
机器设备和操作人员的技术水平等因素，其中每个因素 改变都有可能影响产品的数量和质量，有的影响大一些， 有的影响小一些。
我们常需要知道哪几个因素对产品的数量和质量有显著 的影响，并且还想知道起作用的因素在怎样的一个的水 平上是最好的影响。
3.3936
9.2922
-.0715
4.5858
.5784
2.3359
.2053
.4947
1.4764
3.8940
Minimum 1.00 .30 .50 .20 .20
Maximum 12.00 6.40 3.20 .50 12.00
Test of Homogeneity of Variances
平均值 x1 x2
2021/2/22
A3
x31 x32 x33 …… x3n x3
……
…… …… …… …… …… ……
As
xs1 xs2 xs3 ……
xsn xs
9
方差分析的一般步骤
1、作出假设H0：因素各水平的变化对指标无影响。 即H0：μ1= μ2=……= μs
2、将总的离差平方和分解成两部分：组内离差平方 和（随机误差和）与组间离差平方和（随机误差和 与水平差异和）。
方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各因素对试 验结果影响程度的一种有效的统计方法。
2021/2/22
3
例1：某医院用三种不同疗法治疗同种疾病，以体温降 至正常所需要的天数为指标，15例患者体温降至正常 所需要的天数资料如下，试问:治疗方法的不同对患者 体温的疗效是否有显著影响?
例数 1 2 3 4 5
Lower Bound Upper Bound
.9000
1.3040
.3421
.8059
.6757
.8603
.7525
1.0075
.7216
.9404
Minimum .91 .31 .66 .77 .31
Maximum 1.28 .81 .82 .98 1.28
Test of Homogeneity of Variances
fA( =m m-n 1x ij ) 2
SS 总
( x ij x ) 2
x
2 ij
i1 j1
i1 j1
i1 j1
nm
ni
mn
_
mn
(
m
x ij ) 2
SS e
( x ij x i ) 2
x
2 ij
i1 j1
i1 j1
i1
j1
ni
ni
mn
mn
_
_
(
m
x ij ) 2 (
把反映各种作用的观察值之间的变异——离均差平方 和分解成上述两部分之和。然后相互作比较作出统计 检验。
通过这样的分析，研究者就可以按需要作出相应的统 计判断。
2021/2/22
8
单因素的试验模式
因素 No.
1 2 3 ……
A1 A2
x12 x13 x14 ……
x21 x22 x23 ……
n
x1n x2n
146.06888 .60229.5150574 3.74793 4.38982 3.343 4.728
因为 而
Test of Homogeneity of V ariances
含量
Lev ene Stat ist ic
.0 57
d f1 3
d f2 12
S ig. .9 81
A NOVA
含量
Sum of Squares Between G5r.o3u9p9s
34.56925 .06237.7031189 3.46999 3.66851 3.507 3.651
44.66975 .05431.0027155 4.58333 4.75617 4.604 4.728
34.41250 .05988.0029940 3.31722 3.50778 3.343 3.474
平均得率
90
2021/2/22
65oC 70oC
97
96
93
96
92
93
94
95
75oC
84 83 88 85
80oC
84 86 82 84
5
基本概念
一、实验指标（观察指标）：试验需要考核的目标。
说明指标的数值就是指标值。
二、因素：影响实验指标的各种原因和条件。一般 地，所要考察的因素都是可以控制的因素。
血流 量
Levene Statistic
2.564
df1 3
df2 23
Sig. .079
2021/2/22
14
例：用四种不同的饲料喂养大白鼠，每组4只， 然后测其肝重占体重的比值（%），数据如下， 试比较四组比值的均数有无显著差异？
饲 料 种 类 肝 重 比 值
A 2.62 2.23 2.36 2.40
x ij ) 2
SS A
(xi x)2
i1 j1
4、选择统计量F，做出结论。
2021/2/22
10
H0：μ1= μ2=……= μs
SS总=SS组内+SS组间=SSe+SSA
fe=N-1=nmn_k-1 ,mn
设 H0:i j
选择q分布的随机变量
m axxixj ij
q
Se/ n
~q(k,fe)
Rmax 2021/2/22 xi xj 称为极差
19
例1 为考察工艺对花粉中的氨基酸百分含量的影 响，某药厂用四种不同工艺对花粉进行处理，测 得氨基酸百分含量如表。试判断四种不同工艺处 解: 理间的氨基酸百分含量有无显著性差异？若有差 异，试对中四个工艺下花粉氨基酸百分含量作两 两多重比较。
溶出 度
Levene Statistic
1.645
df1 3
df2 16
Sig. .219
溶出 度
Between Groups Within Groups Total 2021/2/22
Sum of S qu ar es
.729 .310 1.039
A NOVA
df 3
16 19
Mean Square .243 .019
F 12.560
Sig. .000
18
三、两两间多重比较的检验法
上面介绍的方差分析,如果各水平间无显著异, 则不需要做进一步统计处理,如果各水平间均数至 少有两个差异显著,但是哪些水平间的差异显著, 哪些不显著,方差分析不能作结论.这就需要做多 重比较.
1、q检验法(SNK检验法):适用于样本容量相等
一般地，先确定这个因素的若干等级（称之为水 平），然后在每一个等级里做若干个重复试验，以 确定该因素对实验结果的影响程度。
这种试验方法统计学称为单因素试验。
2021/2/22
7
单方差分析的基本思想
方差分析的基本思想是把所有观察值之间的变异分解 成两个部分。
由于事先作了设计，因此，每一部分都反映了研究工 作中特定的内容：因素水平变化的作用，随机误差的 作用。
Std. Dev iation 3.18897 2.51784 .95019 .13784 3.05573
Std. Error 1.20532 .95165 .35914 .05627 .58807
95% Confidence Interv al for Mean
Lower Bound Upper Bound
H 0.
11
为了简明起见，常常将方差分析的结果用表格（方差分 析表）表示。
方差分析表
变 异 来 源离 关 平 方 和自 由 度方 差 F值
组 内 SSe 组 间 SSA
N-m SSe/(N-m) SA S/m (1) m-1 SSA/(m-1) SeS/(Nm)
临 界 值 显 著 性 Fa
总 和 SS总
20
Descriptives
含量
1 2 3 4 T otal
95% Confidence Interval for Mean
N
MeaSntd. DeviaS titodn. ErLroowr er BoUupnpder BouMnid nimuMmaximum
44.62400 .06175.8030879 4.52573 4.72227 4.545 4.695
B 2.82 2.76 2.43 2.73
C 2.91 3.02 3.28 3.18
D 3.92 3.02 3.30 3.04
2021/2/22
15
血流 量
Between Groups Within Groups Total
Sum of S qu ar es
138.208 104.566 242.774
第三章方差分析
1
2021/2/22
第五章 方差分析
方差分析又称作变异分析analysis of variance.
方差分析是由英国统计学家R. A. Fisher于 1928年首先提出的一种统计方法，当时用的 统计量是Z ,后来由G.W.Sendecor 转换成了 更易于运用另一个统计量。
为了纪念Fisher， G.W.Sendecor把此统计量 命名为F，有人把方差分析称为简称为F检验
2021/2/22
2
方差分析的适用范围
在生产和科学实验中，影响一个事物的因素往往是很多。 例如：在药物合成中，有原料的用量、反应温度、压力、
机器设备和操作人员的技术水平等因素，其中每个因素 改变都有可能影响产品的数量和质量，有的影响大一些， 有的影响小一些。
我们常需要知道哪几个因素对产品的数量和质量有显著 的影响，并且还想知道起作用的因素在怎样的一个的水 平上是最好的影响。
3.3936
9.2922
-.0715
4.5858
.5784
2.3359
.2053
.4947
1.4764
3.8940
Minimum 1.00 .30 .50 .20 .20
Maximum 12.00 6.40 3.20 .50 12.00
Test of Homogeneity of Variances
平均值 x1 x2
2021/2/22
A3
x31 x32 x33 …… x3n x3
……
…… …… …… …… …… ……
As
xs1 xs2 xs3 ……
xsn xs
9
方差分析的一般步骤
1、作出假设H0：因素各水平的变化对指标无影响。 即H0：μ1= μ2=……= μs
2、将总的离差平方和分解成两部分：组内离差平方 和（随机误差和）与组间离差平方和（随机误差和 与水平差异和）。
方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各因素对试 验结果影响程度的一种有效的统计方法。
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例1：某医院用三种不同疗法治疗同种疾病，以体温降 至正常所需要的天数为指标，15例患者体温降至正常 所需要的天数资料如下，试问:治疗方法的不同对患者 体温的疗效是否有显著影响?
例数 1 2 3 4 5
Lower Bound Upper Bound
.9000
1.3040
.3421
.8059
.6757
.8603
.7525
1.0075
.7216
.9404
Minimum .91 .31 .66 .77 .31
Maximum 1.28 .81 .82 .98 1.28
Test of Homogeneity of Variances
fA( =m m-n 1x ij ) 2
SS 总
( x ij x ) 2
x
2 ij
i1 j1
i1 j1
i1 j1
nm
ni
mn
_
mn
(
m
x ij ) 2
SS e
( x ij x i ) 2
x
2 ij
i1 j1
i1 j1
i1
j1
ni
ni
mn
mn
_
_
(
m
x ij ) 2 (
把反映各种作用的观察值之间的变异——离均差平方 和分解成上述两部分之和。然后相互作比较作出统计 检验。
通过这样的分析，研究者就可以按需要作出相应的统 计判断。
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单因素的试验模式
因素 No.
1 2 3 ……
A1 A2
x12 x13 x14 ……
x21 x22 x23 ……
n
x1n x2n
146.06888 .60229.5150574 3.74793 4.38982 3.343 4.728
因为 而
Test of Homogeneity of V ariances
含量
Lev ene Stat ist ic
.0 57
d f1 3
d f2 12
S ig. .9 81
A NOVA
含量
Sum of Squares Between G5r.o3u9p9s
34.56925 .06237.7031189 3.46999 3.66851 3.507 3.651
44.66975 .05431.0027155 4.58333 4.75617 4.604 4.728
34.41250 .05988.0029940 3.31722 3.50778 3.343 3.474
平均得率
90
2021/2/22
65oC 70oC
97
96
93
96
92
93
94
95
75oC
84 83 88 85
80oC
84 86 82 84
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基本概念
一、实验指标（观察指标）：试验需要考核的目标。
说明指标的数值就是指标值。
二、因素：影响实验指标的各种原因和条件。一般 地，所要考察的因素都是可以控制的因素。
血流 量
Levene Statistic
2.564
df1 3
df2 23
Sig. .079
2021/2/22
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例：用四种不同的饲料喂养大白鼠，每组4只， 然后测其肝重占体重的比值（%），数据如下， 试比较四组比值的均数有无显著差异？
饲 料 种 类 肝 重 比 值
A 2.62 2.23 2.36 2.40
x ij ) 2
SS A
(xi x)2
i1 j1