对数与对数的运算(一)
对数及对数运算(1)
知识探究（一）：对数函数的概念
思考1:在上面的问题中，若要使残留的 1 污垢为原来的 ，则要漂洗几次？ 64
4
思考2:在关系式 y log 1 x中，取 x a (a 0) 对应的y的值存在吗？怎样计算？
思考3:函数 y log 1 x 称为对数函数，
4
一般地，什么叫对数函数？
思考4:为什么在对数函数中要求a＞0， 且a≠l？
理论迁移
例1
用logax，logay，logaz表示下列 各式： 2 xy x y (1) log a ; (2) log a 3 . z z
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）； (2) lg5
31log3 2
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log 3 2
2.2.2 第一课时
对数函数及其性质 对数函数的概念与图象
问题提出
1 5730 p 2
t
1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的 衣服，若每次能洗去污垢的四分之三， 试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式.
2. y log 1 x （x>0）是函数吗？若
4
是，这是什么类型的函数？
a N x 指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数 对数式x＝ 对数的底数 真数 对数 logaN
思考4:根据对数定义，logal和logaa和 logaan（a>0，a≠1）的值分别是多少？
设loga1=x, 则ax=1, 所以x=0,得loga1=0 设logaa=x, 则ax=a, 所以x=1,得logaa=1
作业： P68练习：1, 2，3. P74习题2.2A组：3,4,5.
人教版高中数学必修一对数与对数运算对数及对数的性质课件PPT
讲授新课
1.对数的定义： 一般地，如果ax=N ( a > 0 , 且a ≠ 1 )
那么数x叫做以a为底N的对数，记作: 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
注意：限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1
填写学案，题1
讲授新课
练习1：将下列指数式写成对数式：
① 52 = 25
（2）log
1 a
=
0
即：1的．对数是0
（3）log
a a
=
1
即：底数的对数是1
（4）对数恒等式：aloga N = N
（5）对数恒等式：loga an = n
巩固练习
1、指数式b2 = a(b 0,且b 1)相应的对数式是（D）
A log2a = b B log2 b = a
C logab=2
解：(1)64
-
2 3
=
(43
)
-
2 3
= 4-2 =
1
(4) ln e2 = -x
16
1
1
1
e-x = e2
(2)x6 = 8所以x = 86 = (23 )6 = 22 = 2 - x = 2
(3)10 x = 100所以x = 2
x = -2
讲授新课 4.对数的性质 探究活动 1、试求下列各式的值：
。
简记作
。如 loge 9 简记为 ln 9.
填写学案，题4
例题分析
例1．将下列指数式写成对数式：
(1) 54 = 625
(2)
e-6
=
1
b
(3) 10 a = 27 (4) ( 1 )m = 5.73
高中数学必修一《对数与对数运算》教学设计
高中数学必修一《对数与对数运算》教学设计一、教学背景分析：（一）教材地位与作用我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.（二）学情分析学生刚开始接触对数，从指数函数到对数函数的过渡，学生在学习上可能会有些困难，转化能力有待提高。
而且学生学习的主动意识不强，自主探究能力也有待提高。
（三）设计思想教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.注重引导学生通过自己观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握对数式与指数式的互化，积累数学活动的经验。
（四）教法分析和学法指导掌握对数的双基，即对数产生的意义、概念等基础知识，求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握在本课的教学设计中，注重“引、思、探、练”的结合。
引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
在学习方法上，指导学生：通过实例启发学生产生主动运用的意识；通过解题思路的脉络分析，对学生进行解题思路的指导；通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。
（五）教具设备：多媒体课件.二、教学目标（一）知识与能力1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2．理解和掌握对数的性质；3．掌握对数式与指数式的关系。
对数与对数运算第一课时(公开课精品课件).
(1) lg36
1.5562
81 (2)lg 32
0.4034
例6
解法一：
7 计算 ：lg14 2 lg lg 7 lg18 3
解法二：
7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 7 lg(2 7) 2 lg 3 lg 7 lg(2 32 )
1.计算下列各式的值.
1 32 4 1 —— (1). lg lg 8 lg 245 2 2 49 3 2 2 2 (2).lg 5 lg 8 lg 5. lg 20 lg 2 3 3 lg 2 lg 3 lg 10 1 —— (3). 2 lg1.8
1.对数的概念、表示.
• 3、数学思想小结 • 从特殊到一般——归纳法；
普通高中课程标准实验教科书数学必修一 2.2.1 对数
• 4、重点难点小结；
重点 ：（1）对数的概念； （2）对数式与指数式的相 互转化。 难点 ：对数概念的理解。
普通高中课程标准实验教科书数学必修一 2.2.1 对数
（一）必做 1、复习本节课的内容（明天提问） ； 2、课本 P74 习题 2.2 A 组 第 1、 2 题 （写在作业本上明天上交） ； 3、 《创新方案》 53 页变式之作 3， 《创新方案》 54 页课堂强化。
7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 7 2 lg14 lg( ) lg 7 lg18 3 14 7 lg 7 2 ( ) 18 3 lg1 0
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3)
loga 1 0 “1”的对数等于零，即
等价
a 1
0
2.2.1对数与对数运算1
自测自评
1．下列各式中正确的有____4____个．
①log4 16 ＝2；②log16 4 ＝12； ③lg 100＝2；④lg 0.01＝－2.
2．已知
1 logx16
＝－4，则x＝____2____.
3．若logx7 y ＝z，则____B____．
A．y7＝xz
B．y＝x7z
C．y＝7xz
一、选择填空题
1．将下列指数式写成对数式：
(1)2－6＝
1 64
，____________；
(2)___________.
2．将下列对数式写成指数式：
(1)log327＝a，______； (2)lg 0.01＝－2，________.
1．(1)log2614＝－6 (2)log135.73＝m 2．(1)3a＝27 (2)10－2＝0.01
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1 ，∴loga1＝0，即1的对数 为0；
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a ，∴logaa＝1，即底数的 对数为1.
4．对数恒等式
(1)如果把ab＝N中的 b写成logaN，则有：alogaN＝N； (2)如果把x＝logaN中的N 写成ax，则有logaax＝x.
例如：将指数式化为对数式： ①42＝16，________；②102＝100，________； ③4＝2，________； ④10－2＝0.01，________. (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N 简记为lgN； ①log416＝2；②log10100＝2； ③log42＝12；④log100.01＝－2
D．y＝z7x
1．根据需要可将指数式与对数式相互转化，从而实 现化难为易，化繁为简．
2.2.1对数与对数运算
2.2.1对数与对数运算(第一课时)教学目标：（1）掌握对数的概念与指、对数之间的关系； （2）自然对数和常用对数； （3）掌握对数式与指数式的互化； （4）掌握对数的基本运算性质. 教学重点： 对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化. 教学难点： 对数概念的理解． 教学过程 （一）对数的概念若N a x =)1,0(≠>a a ，则x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ）， 记作：N x a log =其中a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =⇔=log ；并解决问题3 ○3 注意对数的书写格式． （二）对数的性质（1）负数和零没有对数；N >0； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N a Na=log；（5）n a n a =log ． （三）两种特殊的对数：常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，并把记作10log lg N N 记为； 自然对数：以无理数2.71828为底的对数叫自然对数，并把e log ln N N 记为； （四）应用举例例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式： （1）54=625; （2）2-6=641; （3）(31)m =5.73; (4)log 2116=-4; (5)lg0.01=-2; (6)ln10=2.303. 例2求下列各式中x 的值:（1） l og 64x=32-; （2）log x 8=6; （3）lg100=x; （4）-lne 2=x. 变式训练：①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5（log 10x ）=1. 例3以下四个命题中,属于真命题的是（ ）（1）若log 5x=3,则x=15 （2）若log 25x=21,则x=5 （3）若log x 5=0,则x=5 （4）若log 5x=－3,则x=1251A.（2）（3）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4） 答案：C例4对于a ＞0,a≠1,下列结论正确的是（ ）（1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M 2=log a N 2,则M=N（4）若M=N,则log a M 2=log a N 2A.（1）（3）B.（2）（4）C.（2）D.（1）（2）（4） 答案：C（五）（做一做）练习： 1.求下列各式的值：51log 25（） 212l o g 16（） 3l g 100（） l g 0.00（4） 2.求下列各式的值15log 15(1) 0.4l o g 1(2) 9l o g 81(3) 2.5log 6.25(4) 7l o g 343(5) 3log 243(6) （七）作业布置书本64页练习1，2，3，4 1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x ＝2;（4）2x ＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a. 3.求下列各式中x 的值:(1)log 8x=32 ; (2)log x 27=43; (3)log 2（log 5x ）=1; (4)log 3（lgx ）=0. 4.计算(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a2m +n的值.第二课时教学目标掌握对数运算的性质 会利用指数运算公式进行推导 会运用运算性质进行化简求值 教学重点对数运算性质 教学难点利用运算性质化简、求值 教学过程（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即log a （MN ）=log a M+log a N ．注：M ＞0，N ＞0；a ＞0且a ≠1．（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．例题 lg20-lg2=？例1 计算：（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即log a （N ）n =n ·log a N ．（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即总结:对数的运算性质：如果0,0,10>>≠>N M a a 且则 （1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M N Ma a alog log log -=（3）N n N a n a log )(log ⋅=例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：解：（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．） 例3 计算：解：（生板书）（1）log 2（47×25）=log 247+log 225=7log 24+5log 22=7×2+5×1=19．第三课时教学目标掌握换底公式的内容，会对换底公式进行推导 教学重点换底公式及其应用 教学难点换底公式的递推公式 教学过程 换底公式:a b a log Nlog N (a,b 0,a,b 1,N 0)log b=>≠> 1. 证明：abb c c a log log log =（由脱对数→取对数引导学生证明） 证明：设x b a =l o g ，则b a x =两边取c 为底的对数，得：b a x b ac c c x c log log log log =⇒= a b x c c log log =∴，即abb c c a l o g l o g l o g =注：公式成立的条件：1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ； 2. 由换底公式可推出下面两个常用公式：（1）ab b a log 1log =（2）b n m b a m a n log log =例题解析例题1：求32log 9log 278⋅的值； 分析：利用换底公式统一底数； 解法（1）：原式=9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅ 解法（2）：原式=9103log 3533log 227log 32log 8log 9log 222222=⋅=⋅ 例题2：求证：z z y x y x log log log =⋅分析（1）：注意到等式右边是以x 为底数的对数，故将z y log 化成以x 为底的对数；证明：z yzy z y x x x x y x log log log log log log =⋅=⋅ 分析（2）：换成常用对数注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如：z xzx log lg lg =就是换底公式的逆用； 例题3.已知518,9log 18==b a ，求45log 36的值（用a ，b 表示）分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；解：b a ==5log ,9log 1818 ，一定要求a -=12log 18aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 强化练习（1）50lg 2lg 5lg 2⋅+（2）91log 81log 251log 532⋅⋅ （3）)8log 4log 2)(log 5log 25log 125(log 125255842++++ （4）已知a =27log 12，试用a 表示16log 6； 归纳小结，强化思想1.对数运算性质2.换底公式：abb c c a log log log = 3.两个常用公式：（1）ab b a log 1log =（2）b n m b a m a n log log =作业布置 1、补充：（1）12527lg81lg 6log 2+⋅ （2）41log3log 8log 2914+- （3）已知514,7log 14==b a ，求28log 35 巩固提高练习2.计算下列各式的值 例2.已知lg2=a ,lg3=b ,请用a ,b 表示下列各式的值()252log 4⋅()31log 6()32log 5()8271log 9log 32⋅。
2.2.1对数与对数运算(一)
2.2.1对数与对数运算（一）教学目标（一） 教学知识点1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？()x %81+=2⇒x =?也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容：定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b=，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．b N N a a b =⇔=log例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；2421= ⇔212log 4=； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 探究：1。
是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ）2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ；∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b= 中的 b 写成 N a log , 则有 N aNa =log ．⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN ． 例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN ． 例如：3log e 简记作ln3； 10log e 简记作ln10．（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞． 三、讲解范例：例1．将下列指数式写成对数式：（1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（ 解：（1）5log 625=4； （2）2log 641=-6； （3）3log 27=a ； （4）m =73.5log 31． 例2． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．解：（1）16)21(4=- （2）72=128； （3）210-=0.01； （4）303.2e =10．例3．求下列各式中的x 的值： （1）32log 64-=x ； （2）68log =x （3）x =100lg （4）x e =-2ln 例4．计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345．解法一：⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x, ∴23=x ⑵设 =x 81log 43 则()8134=x, 4433=x , ∴16=x⑶令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -++, ∴()()13232-+=+x, ∴1-=x⑷令 =x 625log 345, ∴()625534=x, 43455=x , ∴3=x解法二：⑴239log 3log 27log 239399===； ⑵16)3(log 81log 1643344== ⑶()()32log 32-+=()()132log 132-=+-+;⑷3)5(log 625log 334553434==四、练习：(书P64`)1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８； （２）52＝32 ； （３）12-＝21； （４）312731=-．解：(1)2log ８＝３ (2) 2log 32＝５ (3) 2log 21＝－１ (4) 27log 31＝－312.把下列对数式写成指数式(1) 3log ９＝２ ⑵5log １２５＝３ ⑶2log 41＝－２ ⑷3log 811＝－４ 解：(1)23＝９ (2)35＝１２５ (3)22-＝41 (4) 43-＝811 3.求下列各式的值(1) 5log 25 ⑵2log 161⑶lg 100 ⑷lg 0.01 ⑸lg 10000 ⑹lg 0.0001 解：(1) 5log 25＝5log 25＝２ (2) 2log 161＝－４ (3) lg 100＝２ (4) lg 0.01＝－２ (5) lg 10000＝４ (6) lg 0.0001＝－４ 4.求下列各式的值(1) 15log 15 ⑵4.0log 1 ⑶9log 81 ⑷5..2log 6.25 ⑸7log 343 ⑹3log 243 解：(1) 15log 15＝１ (2) 4.0log 1＝０ (3) 9log 81＝２ (4) 5..2log 6.25＝２ (5) 7log 343＝３ (6) 3log 243＝５ 五、课堂小结⑴对数的定义； ⑵指数式与对数式互换； ⑶求对数式的值．2.2.1对数与对数运算（二）教学目标（三） 教学知识点对数的运算性质． （四） 能力训练要求1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程； 3．熟悉对数运算性质的内容； 4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值； 5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题．教学重点证明对数的运算性质．教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．教学过程一、复习引入：1．对数的定义 b N a =l o g 其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ,0(+∞∈N 2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，log =a a⑶对数恒等式N aNa =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m aa R n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容：1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =pa ，N =qa ． ∴MN = pa qa =qp a+ ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =pa ，N =qa ．∴q p q pa aa N M -== ∴p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =pa ,∴nM ＝npa ∴a log nM =np ， 即证得a log nM =n a log M ．说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式． ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+． ③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的． )10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的． ④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zyx zxya a ． 解：（1）zxyalog =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）32log zyx a=a log （2x3log )z y a -= a log 2x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-．例2． 计算（1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg 解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0．（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19．（4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg214lg -+- 说明：此例题可讲练结合.解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2； (3)解法一：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．解法二：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 例4．已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求45lg例5．课本P66面例5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)； (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).3．课堂练习：教材第68页练习题1、2、3题． 4．课堂小结对数的运算法则，公式的逆向使用．=n a a log n2.2.1对数与对数运算（三）教学目标（五） 教学知识点1． 了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题。
2.2.1 对数与对数运算(7011854)
2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0．当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log464；log525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式a．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是()A．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log39＝2→32＝9或129＝3→log93＝12．故选C．答案：C【例1－2】解析：(1)103＝1 000(2)log210＝x⇔2x＝10．(3)e3＝x⇔ln x＝3．答案：(1)lg 1 000＝3；(2)2x＝10；(3)ln x＝3．【例1－3】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3．∴x＝103＝1 000．(3)∵log x27＝34，∴34x＝27．∴x＝()3427＝34＝81．(4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝23．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m ＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a＞0，且a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log a(xy)＝log a x·log a y；④logloglogaaax xy y=；⑤(log a x)n＝log a x n；⑥1 log loga axx=-；⑦loglogaaxn=其中式子成立的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5解析：答案：A辨误区应用对数的运算性质常见的错误常见的错误有：log a(M±N)＝log a M±log a N；log a(M·N)＝log a M·log a N；logloglogaaaMMN N=；log a M n＝(log a M)n．【例2－2】计算：(1)2log122＋log123；(2)lg 500－lg 5；(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求解：(1)原式＝log22＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1．(2)原式＝＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2．(3)∵＝1211lg 45lg 45lg(59)22==⨯＝12(lg 5＋lg 9)＝2110lg lg322⎛⎫+⎪⎝⎭＝12(1－lg 2＋2lg 3)，又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，∴12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6．析规律对数的运算性质的作用(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b＝loglogccba(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．(2)公式推导：设log log c c bx a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ，∴b ＝a x ．∴x ＝log a b ．∴log log c c ba＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a N N a=，ln log ln a NN a =，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值．(4)换底公式的三个推论：①log log m na a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b ＝1log b a(a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a m a N n N nN a m m==．②log a b ＝log 1log log b b b b a a=． ③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ． 【例3－1】82log 9log 3的值是( )A ．23B ．32C ．1D ．2解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即82lg 9log 92lg 3lg 22lg8lg 3log 33lg 2lg 33lg 2==⋅=． (思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即2822222log 9log 9log 82log 32log 3log 33log 33===． 答案：A【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．12B ．9C ．18D ．27 解析：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416， ∴lg 4lg8lg lg 3lg 4lg8m⋅⋅＝log 442＝2，化简得 lg m ＝2lg 3＝lg 9．∴m ＝9． 答案：B4．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N是正实数，即>0, >0,1, Naa⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是__________．解析：根据对数的定义，得2>0, 1>0, 11, aaa+⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得－2＜a＜0或0＜a＜1．答案：(－2,0) (0,1)【例4－2】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝__________．解析：由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3．验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0不合题意，应舍去．所以x＝－3．答案：x＝－35．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log5＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log5＋log35＝39log55⎛⎫⨯⎪⎝⎭＝log39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N，lg 2＋lg 5＝1，log a b·log b a＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log32－332log9＋log38－5log35；(4)log2(1)＋log2(1．分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用．解：(1)原式＝4325lg15⨯＝lg 104＝4．(2)原式＝2124257521357751log 2(2log 3)log 2log 73212log 3log 2log 3log 223-⋅⋅=⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭＝－3log 32×log 23＝－3．(3)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝5log 32－(5log 32－2log 33)－3＝－1．(4)原式＝log 2[(1)(1－3)]＝log 2[(12－3]＝log 2(3＋3)＝233log 222=．【例5－2】计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算．观察底数的特点，化成以2或以3为底的对数．解：原式＝5422332111log 3log 3log 2log 2log 2232⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝2323535535log 3log 2log 3log 2624624⨯+=⨯⨯⨯+ ＝555442+=． 6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x ＝log 23，求332222x x x x ----的值时，我们可由x ＝log 23，求出2x＝3,2－x ＝13，然后将它们代入332222x xx x----，可得33331322913122933x x x x --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--．【例6】已知3a ＝4b ＝36，求21a b+的值．解：(方法一)由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436． 故342121log 36log 36a b +=+＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364 ＝log 3636＝1．(方法二)由3a ＝4b ＝36，得log 63a ＝log 64b ＝log 636， 即a log 63＝b log 64＝2． 于是2a ＝log 63，1b ＝log 62，21a b+＝log 63＋log 62＝log 66＝1． 析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x 和log b y 等表示其他对数时，首先仔细观察a ，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a ，b ．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log aMN ＝log a M －log a N ； log a M n＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a + B ．a bb + C ．a a b + D ．b a b+解析：由换底公式得 log 36＝lg 6lg(23)lg 2lg 3lg 3lg 3lg 3a bb⨯++===． 答案：B【例7－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b ＝5化成log 185＝b ，再利用换底公式，将log 3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可．解：(方法一)∵log 189＝a,18b ＝5， ∴log 185＝b ．于是log 3645＝18181818181818181818log 45log (95)log 9log 5log 9log 518log 36log (182)1log 21log 9⨯++===⨯++ ＝181818log 9log 52log 92a b a++=--． (方法二)∵log 189＝a ，且18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18． ∴log 3645＝2lg 45lg(95)lg 9lg 5lg18lg1818lg 362lg18lg 92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++====---．8．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b (x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值． 解：由已知，可得lg(xy )＝lg(x －2y )2，从而有xy ＝(x －2y )2，整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0．从而可得x ＝y 或x ＝4y ．但由x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，可得x ＞2y ＞0，于是x ＝y 应舍去．故x ＝4y ，即4xy=．因此4xy==＝4． 辨误区 解对数方程易出现的错误 在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误．例如，本题若不注意“真数大于零”，则会出现两个结果：4和0．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0． 解：原方程可化为lg 2x －2lg x －3＝0．设lg x ＝t ，则有t 2－2t －3＝0，解得t ＝－1或t ＝3，于是lg x ＝－1或3，解得110x =或1 000． 经检验110x =，1 000均符合题意， 因此原方程的根是110x =，或x ＝1 000．辨误区 lg 2x 与lg x 2的区别 本题中，易混淆lg 2x 和lg x 2的区别，lg 2x 表示lg x 的平方，即lg 2x ＝(lg x )2，而lg x 2＝2lg x ．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a (1－60%)n ＜0.1%a (设原先容器中的空气体积为a )，即0.4n ＜0.001， 两边取常用对数得n ·lg 0.4＜lg 0.001，所以n ＞lg 0.0013lg 0.42lg 21=-≈7.5． 故至少需要抽8次．点技巧 求数值较大的指数的方法 利用对数计算是常用的方法，一般的方法是对等式(或不等式)两边取常用对数或自然对数，再用计算器或计算机进行对数的计算．。
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2.2.1对数与对数运算（一）
一．【自主学习过程】
少？
知识提炼——对数的概念：
___________________________________________________________________________ 指数式与对数的比较
合作探究：试探究对数式 log a N b =中各字母的取值范围。
知识提炼——常用对数、自然对数
_________________________________________，为了方便起见，对数10log N ，简记为__________；
以e 为底的对数称为_______，其中 2.71828
e =是一个____________，正数N 的自然对数log e N 一般简记为___________。
二．【典例分析】
（一）自主学习P63例1
1.将下列指数式写成对数式：
(1)45625=； (2)612
64
-=； (3)327a =； (4) 1000103=
2.将下列对数式改写成指数式： 4811log )1(3-=、 2-4
1log )2(2=、 3001.0lg )3(-=、 303.210ln )4(=、
（二）自主完成例2：求下列各式中x 的值
（1）32log 64-
=x ； （2）68log =x
（3）x 100lg = （4）x e =-2ln
变式：求下列各式中x 的值
（1）32log 8-
=x （2）4
327log =x
（3）x =-1000lg （4）x e =4ln
三．课堂训练：
1.根据对数的定义，写出下列各对数的值 100log )1(10、 5log )2(5、 5log )3(25、 5log )4(25、 27log )5(3、
1log )6(2、
2、两个重要公式
=1log a ， =a a log .
四．小结。