边界元法在断裂力学中综述
计算SIF的分区边界元法
Ｕｉ＝ ａｌ ｒ２ ＋ ａ ｉ ｌ ２ ｒ＋ ａ ｉ ２ ３ｒ
。
Ｉ
性质 ， 如果我们选取合适 的形函数 ， 裂纹尖端
ｔ＝ｂｉ ｊ＋ｂｉ ３ ＋… Ｊ ｉ ｌ— ｒ ２＋ｂｉ
、 （ ７ ， ）
式 中 （） （） 的上脚 标 表示 区域 ， ３ 、４ 中 下脚 标 表
一
ｅｒｅｌ ｏｅｔｓｅｉ ｒｓＢ ｎ ｎｒ１９ ， １） ｌｌ ｏｆａ ｎ ｓ ａ ｏｅＭｉｅ，９０ （ １ ：ｌ ｉ ｂ ｉｕ ｎ ｔ
３ 过帮辅 编译 ． 临床骨 科生物 力学基础 ． ： 上海 远东出
版 社 ，９３ ２ １９ ：１
种 系统性 骨 骼 疾 病 。实验 结 果 表 明 ， 大 给
示 交界 面 ， 图 ｌ 示 ， 交 界 面上 必须 满 足 如 所 在 相 容 条件及 平 衡条 件 ， 即
上式 虽 与 Ｗｉｉ ｓ 式 有 所 不 同 ， 已 ｌａ 公 ｌｍ 但 基本描 述 出 了 裂 纹 尖 端 场 的特 性 ， 比我们 用
普通的形函数描述的好得多。
ｖ ） Ｕ ） ， ） １） ｌ ＝ ｛， ｒ ＝一 ｛ ：
单 元难 以描 述它 的这 种性 质 。 由于在 边 界元
法 中可 以分 别形 成 Ｈ和 Ｇ矩 阵 ， 这样 就 可 以 用不 同的插 值 函数 来描 述 位移 和 面力 的这 种
平衡条件进行求解 ：
删 １ ＝１］ （ 的位移场和应力场可以描述成 ： ） ［ ３ ］ Ｇ ） ） Ｉ 一 ｌ Ｉ ［； ＝ ］ ）４ 。 ” ［ ｛ ， Ｈ｛） ， ｃ ］
由此可 以看 出 ， 在裂纹尖端 应力具有｛
４ｒ
的方法 之 一 便 是将 问题 分成 几 个 区 域 ， 这样 便可 用分 区的 边 界元 法 求 解 ， 时 可 以 分 区 此 形 成 其 Ｈ和 Ｇ矩 阵 ， 然后 再 利 用 相 容 条 件及
工程力学中的非线性分析方法有哪些？
工程力学中的非线性分析方法有哪些？在工程力学领域，非线性问题的研究至关重要。
与线性问题相比，非线性问题更加复杂，需要采用专门的分析方法来准确描述和解决。
下面我们就来探讨一下工程力学中常见的非线性分析方法。
首先要提到的是有限元法。
这是一种非常强大且广泛应用的数值分析方法。
在处理非线性问题时，它能够有效地模拟材料的非线性行为，比如塑性、蠕变等。
通过将复杂的结构离散为有限个单元，并对每个单元进行分析，最终得到整个结构的响应。
对于几何非线性问题，如大变形、大转动等，有限元法能够通过更新坐标和刚度矩阵来准确捕捉结构的变化。
而对于材料非线性，如弹塑性问题，通过定义合适的本构关系，可以精确地模拟材料在不同应力状态下的行为。
再来看看边界元法。
它是另一种有效的数值方法，特别适用于处理无限域或半无限域问题。
在非线性分析中，边界元法可以结合迭代算法来求解非线性边界条件或非线性材料特性。
与有限元法相比，边界元法通常只需要对边界进行离散，从而降低了问题的维数，减少了计算量。
但在处理复杂的非线性问题时，其数学推导和编程实现可能会相对复杂。
还有一种方法是摄动法。
这是一种基于微扰理论的分析方法。
对于弱非线性问题，通过将非线性项视为对线性问题的小扰动，将问题的解表示为一个级数形式。
通过求解这个级数的各项，可以逐步逼近非线性问题的精确解。
摄动法在处理一些简单的非线性问题时非常有效，但对于强非线性问题，其精度可能会受到限制。
接下来是增量法。
在处理非线性问题时，将加载过程或变形过程分成一系列的小增量。
在每个增量步内，将问题近似为线性问题进行求解，然后逐步累加得到最终的结果。
这种方法适用于各种非线性问题，尤其是在考虑加载历史和路径相关性的情况下。
非线性有限差分法也是常用的手段之一。
它直接对控制方程进行离散，通过差分近似来表示导数项。
在处理非线性问题时，可以采用迭代的方式求解离散后的方程组。
这种方法对于简单的几何形状和边界条件的问题较为适用，但对于复杂的结构可能会面临网格划分和精度控制的挑战。
边界元法-详解
边界元法-详解边界元法（boundary element method）目录• 1 什么是边界元法• 2 边界元法的特点• 3 边界元法的发展• 4 相关条目什么是边界元法边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
边界元法的特点边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。
又称边界积分方程-边界元法。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。
在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
流体力学的数学方法偏微分方程边界元法和网格方法等
流体力学的数学方法偏微分方程边界元法和网格方法等流体力学的数学方法：偏微分方程、边界元法和网格方法等流体力学是研究液体和气体运动的科学。
在解决流体流动问题时，数学方法起到了至关重要的作用。
本文将介绍流体力学中常用的数学方法，包括偏微分方程、边界元法和网格方法等。
一、偏微分方程偏微分方程是研究自变量和函数的偏导数之间关系的数学方程。
在流体力学中，我们经常使用偏微分方程来描述流体的运动。
其中最常见的方程是纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），它能够描述流体的动量守恒和质量守恒。
纳维-斯托克斯方程是一个非线性偏微分方程组，包括连续方程和动量方程。
连续方程描述了流体的质量守恒，而动量方程描述了流体的动量守恒。
通过求解纳维-斯托克斯方程，我们可以得到流体的速度场和压力场分布。
二、边界元法边界元法是一种数值解法，用于求解偏微分方程的边界条件。
边界元法将求解问题转化为求解边界上的积分方程，从而避免了网格离散化和内部节点的计算。
边界元法广泛应用于流体力学中的流动和结构问题。
边界元法的优点是高效、准确且适用于复杂几何形状。
它能够精确地描述边界上的物理现象，并且不需要求解整个计算域的解。
然而，边界元法在处理壁面边界条件和流体流动相关问题时，可能会受到网格剖分的影响。
三、网格方法网格方法是一种常用的数值求解方法，在流体力学中被广泛应用。
它将计算区域分割成网格单元，并使用离散化方法来近似偏微分方程。
网格方法主要包括有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）。
有限差分法采用离散化的方法来逼近偏微分方程中各项的导数，从而将偏微分方程转化为代数方程组。
它简单易实现，适用于规则网格和简单几何形状的问题。
然而，由于离散化误差和稳定性问题，有限差分法在某些情况下可能不准确。
有限元法是一种更通用的数值方法，它适用于复杂几何形状和非结构化网格。
断裂力学综述
断裂力学概述关键词：断裂力学；现状；阶段性问题；发展趋势中文摘要：本文主要介绍了断裂力学的4个方面，包括对断裂力学的简单介绍，相关的理论和方法，现阶段存在的问题及技术关键，发展趋势。
英文摘要：Four aspects of fracture mechanics are referred in this paper, including brief introduction about fracture mechanics, related theories and methods, problems and key technologies existing at the present stage, and the development.1.引言断裂力学是近几十年才发展起来了的一门新兴学科，主要研究承载体由于含有一条主裂纹发生扩展（包括静载及疲劳载荷下的扩展）而产生失效的条件。
断裂力学应用于各种复杂结构的分析，并从裂纹起裂、扩展到失稳过程都在其分析范围内。
由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。
断裂力学研究的方法是：从弹性力学方程或弹塑性力学方程出发，把裂纹作为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。
2.国内外相关研究现状目前，断裂力学总的研究趋势是：从线弹性到弹塑性；从静态断裂到动态断裂；从宏观微观分离到宏观与微观结合；从确定性方法到概率统计性方法。
所以就断裂力学本身而言，根据研究的具体内容和范围，它又被分为宏观断裂力学（工程断裂力学）和微观断裂力学（属金属物理范畴）。
宏观断裂力学又可分为弹性断裂力学（它包括线性弹性断裂力学和非线性弹性断裂力学）和弹塑性断裂力学（包括小范围屈服断裂力学和大范围屈服断裂力学及全面屈服断裂力学）。
工程断裂力学还包括疲劳断裂、蠕变断裂、腐蚀断裂、腐蚀疲劳断裂及蠕变疲劳断裂等工程中重要方面。
应力强度因子的数值计算方法
应力强度因子的数值计算方法应力强度因子是用来描述裂纹尖端应力场的重要参数，它在研究裂纹扩展、断裂行为等问题中具有重要的应用价值。
本文将介绍应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
一、解析方法解析方法是指通过求解弹性力学方程，得到应力场的解析表达式，进而计算应力强度因子。
常见的解析方法有：1. 爱尔兰函数法：该方法适用于轴对称问题，通过引入爱尔兰函数，将弹性力学方程转化为常微分方程，进而得到应力强度因子的解析表达式。
2. 奇异积分法：该方法适用于不规则裂纹形状或复杂载荷情况。
通过奇异积分的性质，将应力场分解为奇异和非奇异两部分，进而得到应力强度因子的解析表达式。
3. 线性弹性断裂力学方法：该方法通过建立合适的应力强度因子与裂纹尺寸之间的关系，利用裂纹尖端应力场的奇异性，通过分析弹性力学方程的边界条件，得到应力强度因子的解析表达式。
二、数值方法数值方法是指通过数值计算的方式，求解弹性力学方程，得到应力场的数值解，从而计算应力强度因子。
常见的数值方法有：1. 有限元法：有限元法是一种广泛应用的数值方法，通过将结构离散为有限个单元，建立节点间的关系，利用数值方法求解离散方程组，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
2. 边界元法：边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，通过将边界上的应力场表示为边界积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
3. 区域积分法：区域积分法是一种基于区域积分方程的数值方法，通过将应力场表示为积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
以上介绍了应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
解析方法适用于问题简单、载荷条件规则的情况，可以得到解析表达式并具有较高的精度；数值方法适用于问题复杂、载荷条件不规则的情况，通过数值计算可以得到应力场的数值解，并利用数值解计算应力强度因子。
弹性力学问题的边界元法
弹性力学问题的边界元法
边界元法是一种被广泛应用于弹性力学问题的数值方法，它可以解决复杂、不可均匀结构的振动和弹性结构的动力学变形问题，具有计算准确、实现方便的优点，在力学中的应用越来越普遍。
边界元法的基本思想是将原来的弹性力学问题通过重新定义结构边界定义的特征变量转换为多边形表示的有限元问题。
它以节点和边为基本模型建立，采用有限单元法来描述边界上的物体、力和应力的变化，从而使得整个模型可以用有限元法实现数值求解。
边界元法的如此流行，主要是因为它具有容易计算、准确度高的优点，它能很好地求解复杂不确定状态下的弹性结构，而且它还可以解决柔性结构的受力变化。
此外，它还可以应用于多种时间和空间刻度，可为工程应用提供准确、简便的计算方法。
总之，边界元法在弹性力学研究领域有其重要价值，是弹性结构分析的最佳选择之一。
边界元法的广泛应用与先进的数值技术息息相关，能极大提高设计工程的效率和准确性。
未来，边界元法在弹性力学领域的发展将参考更多的研究成果。
边界元在热压电断裂力学分析中的应用
Fracture analysis of cracked thermopiezoelectric materials by BEM
3 BEM for thermopiezoelectric problem
Consider a two-dimensional thermoelectroelastic solid inside of which there are a number of cracks. The numerical approach to such a thermoelectroelastic problem will involve two steps: (1) solve a heat transfer problem first to obtain the steady-state T field; (2) calculate the SED caused by the T field, then derive an isothermal solution to satisfy the corresponding mechanical and electric boundary conditions, and finally, solve the modified problem for the EDEP and SED fields. The details are as follows.
Qing-Hua Qin
Department of Mechanics, Tianjin University, Tianjin, 30ail: Qhqin@ Abstract
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边界元法在断裂力学中的研究综述摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。
本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。
关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法
引言
在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。
边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。
另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。
这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。
本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。
1．边界元法在断裂力学中研究现状
断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（sif）。
应力强度因子(sif)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。
用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步
骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。
要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。
目前的解决方法有两种:直接法和特殊单元法。
1.1直接法
直接法可以利用常规边界元程序，通过在裂纹尖端附近区域细分单元，然后用位移(或应力)外推法得到应力强度因子。
但此法要求密布单元，不太经济。
汪冬华，龚朴，谭运猛[3]由位移边界积分方程和面力边界积分方程, 推导出对偶边界积分方程在一般裂纹问题中的具体表达式。
利用对偶边界元法, 计算了含裂纹构件的应力强度因子。
孙雁，韩震,刘正兴[4]将裂纹应力计算问题导向哈密顿体系,利用分离变量法及本征函数向量展开等方法,推导出裂纹尖端的应力奇性解的计算公式。
结合变分原理,提出一种解决应力奇性计算的奇点分析单元。
将此分析单元与有限元法相结合,可
以进行某些断裂力学或复合材料等应力奇性问题的计算及分析。
roberto brighenti[5]应用无网格的边界元法(efg)研究弹性断裂问题的三维问题。
余会琴,陈梦成[6]建立以裂纹表面位移为未知函数的超奇异积分方程,利用有限部积分原理和边界元法来求解该方程. 运用该方法计算出矩形裂纹的i型应力强度因子。
b.aour,o.rahmani,m.nait-abdelaziz[7]利用边界元和有限元的各自优点，把它们耦合起来能在更少自由度更精确的计算断裂力学中的裂纹问题的应力强度因子。
1.2特殊单元法
特殊单元法是在裂纹尖端附近区域布置特殊单元，用特殊单元模拟裂尖位移场和应力场。
特殊单元法较之直接法可以减少单元数目，提高计算效率。
国内外许多断裂力学工作者提出了各种类型的特殊单元。
比较有代表性的如:barsoum.r.s提出的1/4节点奇异等参元；tracey.d.m,wilson.w.k等人用各种插值多项式部分模拟裂纹尖端位移场中存在的奇异性构造单元都属这类单元；
pian.t.h,atluri.s.n和国内的一些学者提出的应力杂交奇异元、位移杂交奇异元、杂交混合奇异元等也属这类单元；
luchi,rizzuti[8,9]利用边界元法解决三维断裂力学裂纹问题，提出了三维特殊裂尖单元；portela,aliabadi[10]采用二次非协调元技术分析二维和三维一般裂纹问题，使双重边界元法逐步进入实用阶段，并进一步应用于分析二维和三维裂纹扩展问题；
s.h.lo,c.y.dong,y.k.cheung[11]用8节点的1/4面单元能更好地
模拟三维问题的裂纹表面,计算出的三维断裂弹性问题裂纹尖端处的应力强度因子。
柯黎，王乘，詹福良[12,13]提出一种新的边界单元:单节点二次元. 利用这种单元,位移及其沿边界的切向导数
在正规单元端点的连续条件自然得到满足. 单节点二次元能很好
地模拟角点处面力多值条件. 特殊裂纹尖端单节点二次单元包括
近裂纹尖端位移近似级数展开第二项. 由于每个单元只有一个节点,计算程序大大简化. 对直裂纹、圆弧裂纹和边裂纹进行了计算；肖洪天，岳中琦[14]利用层状材料的广义klevin基本解, 建立了计算三维层状材料中的裂纹边界元方法。
采用边界元方法中的多区域方法和能反映均匀介质中裂纹尖端应力场和位移场特征的面力
奇异单元。
裂纹的应力强度因子由裂纹面上的位移经插值计算得到；闫相桥[15]提出了一种简单而有效的平面弹性裂纹应力强度因子的边界元计算法。
该方法由crouch与starfield建立的常位移不连续单元和他自己提出的裂尖位移不连续单元构成。
在该边界元方法的实施过程中,左、右裂尖位移不连续单元分别置于裂纹的左、右裂尖处,而常位移不连续单元则分布于除了裂尖位移不连续单元占据的位置之外的整个裂纹面及其它边界。
2．边界元法研究断裂力学的关键问题
虽然通过在裂纹尖端附近区域布置特殊单元，能够较好的模拟边界条件，求得精度较高的应力强度因子，但是由于断裂力学裂纹问题本身复杂性和边界元法这一数值方法自身存在一些缺陷，故还存在很多待研究的关键问题。
1）奇异性问题
对含裂纹的问题,常采用超奇异边界积分方程，在边界的奇异点,位移切向导数不存在或不连续，导致超奇异边界积分方程中出现的hadamard主值积分对连续性的要求得不到满足；portela等采用间断元来克服这种困难,但在这些奇异点位移的连续性也一同丧失[12];最近提出了一种边界轮廓法(boundary contour method)，它是由以mukherjee为首的研究小组提出的。
mukherjee的学生lutz 在研究奇异积分的计算进程中，发现laplac问题和弹性力学问题的直接法边界积分方程中，当表示成矢量函数积分的形式时，被积矢量函数具有散度为零的特性，基于这种特性，他提出了轮廓积分的概念。
nagarajan等将这一思想进一步发展应用于弹性力学问题，提出一种新型的边界元法，即边界轮廓法。
它避免了以上提到的在奇异边界点上存在的困难,且在单元的边界上位移是连续的,但这
种方法的形函数的形成非常麻烦[16]。
2）角点问题
在边界元法中处理弹性体角点处面力的多值性是一个困难的问题. 若与某角点相连的所有单元的边界条件都为位移给定,则从边界积分方程离散得到的线性代数方程组不足以解决问题,还需要补充一组代数方程早期的边界元法中,剪应力张量的对称性(σij =σji ) ,被当作可用的补充方程之一,但根据弹性力学,剪应力张量的对称性仅在弹性体内部成立,在弹性体的边界上并不一定成立,正
确的补充方程需从应力应变关系中寻找。