重庆市巴蜀中学高2020届高三3月质量检测数学(理)试题
2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题Word版含答案
2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A={x|x 2<9},B={-3,-2,-1,0,1,2},则A∩B=A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,–1,0}2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b 是实数,i 为虚数单位,则|3a+bi|=A.2C.3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16,则log 2a 9=A.15B.16C.17D.184.若实数x,y 满足约束条件20,20,240x y x y x y -+⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪+-⎪⎩…„?,则z=x+y 的最小值为A.-8B.-6C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。
这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期。
现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A.35 B.710 C.45 D.9106.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,ABCD 为平行四边形,E,F 分别在线段DB,DD 1上,且112DE DF EB FD ==,G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ,则1CG CC =A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为lm 的⊙C 在t= 0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 关于时间t （0≤t≤l, 单位：s ）的函数的图象大致为8.(()n mx n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x 3的系数为A.40B.30C.20D.10 9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,如果127,(,)1212x x ππ∈，x 1≠x ,且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=A.2-B.12-C.2 D ．1210.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,球O 的半径为4,ΔABC 是边长为6的等边三角形,记ΔABC 的外心为O 1.若三棱锥P-ABC的体积为PO 1=A.B.C.D.11.设双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y 2=a 2与直线bx-ay=0交于坐标原点O 及另一点E ﹐且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切,切点为EF 的中点,则双曲线的离心率为D.3212.函数1ln()(0)()(0)x x x f x xe x -'-<⎧⎪=⎨⎪⎩…，若关于x 的方程f 2(x)-af(x)+a-a 2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是 A. 4(,1]5B.(–∞,-1)∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪{1}D.(-1,0)∪{1}第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°,且(1,3),||a b =-=r r 则a b ⋅=r r ____.14.已知函数f(x)=3|x-a|(a ∈R)满足f(x)=f(4-x),则实数a 的值为____.15.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足222(2)2()0n n S n n S n n -+--+=,n ∈N *,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和T 2020=___.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F,准线为1,弦AB 过点F 且中点为M ﹐过点F,M 分别作AB 的垂线交l 于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|·|MQ|=____.三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足(cos )c b A A =+(I)求角B 的大小;(II)若a=4,且BC求ΔABC 的周长.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E 在AB 上,AE=2EB=2,且DE ⊥AB.以DE 为折痕把ΔADE 折起,使点A 到达点F 的位置,且∠FEB=60°.(I)求证:平面BFC ⊥平面BCDE ﹔(II)若直线DF 与平面BCDE,求二面角E-DF-C 的正弦值.19.(本小题满分12分)为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(I)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(I)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.ΔABF2的周长为,且椭圆的离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(I)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e ax-x-1,且f(x)≥0.(I)求a﹔(IⅡ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x)=k成立?若存在,求出x的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为2x ty t=-+⎧⎪⎨⎪=⎩(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(I)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值; (Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(-2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y-a|恒成立,求a的取值范围.。
2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份) (含答案解析)
2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为( )．A. (1,2)B. (−1,2)C. (2,1)D. (2,−1)2. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={x|2≤x <5,x ∈N}，则A ∩B =( )A. {3,4}B. {3,4，5}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4，5，6}3. 已知非零向量m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 满足|n ⃗ |=4|m ⃗⃗⃗ |，且，则m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角为( ) A. π3B. π2C. 2π3D. 5π64. 已知某随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，且P(0<ξ<1)=0.3，则P(ξ<2)( )A. 0.8B. 0.75C. 0.7D. 0.65. 设函数f(x)=sin(2x +3π4)+cos(2x −π4)，则( ) A. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π4对称 B. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π2对称 C. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π4对称 D. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π2对称6. 若平面α⊥平面β，点A ∈α，则过点A 且垂直于平面β的直线( )A. 只有一条，不一定在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内C. 只有一条，一定在平面α内D. 有无数条，一定在平面α内7. 设a =log 3e ，b =e 1.5，c =log 1314，则( )A. b <a <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b8. 已知sinα−cosα=13,则cos 2(π4−α)= ( )A. 1718B. 19C. √29D. 1189. 已知AB 是圆O ：x 2+y 2=1的任意一条直径，点P 在直线x +2y −a =0(a >0)上运动，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为4，则实数a 的值为( )A. 2B. 4C. 5D. 610.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 6911.已知双曲线x2a2−y2b2=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为()A. y2=4xB. y2=4√2xC. y2=8√2xD. y2=8x12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是()A. 线段CA1的三等分点，且靠近点A1B. 线段CA1的中点C. 线段CA1的三等分点，且靠近点CD. 线段CA1的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则a0+a1+⋯+a6=______ ．14.在△ABC中，若a=bcosC+csinB.则B=______ ．15.有3个本校老师和3个外校老师被安排到高三地理选考考试的3个考场，要求一个试场有一个本校老师和一个外校老师负责监考，且本校老师甲不能监考1号试场，外校老师乙不监考2号试场，则共有______种不同安排方案．16.若函数y=ln x2−x−a(x−1)有3个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)设b n=2n⋅√a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.为便于对某知识竞赛的答卷进行对比研究，组委会抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：(注：试卷满分为100分，成绩≥80分的试卷为“优秀”等级)(Ⅰ)从现有1000名男生和1000名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？(Ⅲ)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们成绩的优劣进行比较，并说明理由．P(K2≥K)0.0500.0250.0100.001 K 3.841 5.024 6.63510.828 (K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，且AD=2BC=2AB=4，AB⊥AD，侧面ABB1A1⊥平面ABCD，且四边形ABB1A1是菱形，∠B1BA=π3，M为A1D的中点．(1)证明：CM//平面AA1B1B；(2)求二面角A1−CD−A的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，其右顶点和上顶点分别为AB原点到直线的距离为2√55(1)求椭圆方程；(2)直线l：y=k(x+2)交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21.已知函数f(x)=45x−ln(1+x2)，求函数f(x)在(0,+∞)上的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知a，b都是大于零的实数．(1)证明：a2b +b2a≥a+b；(2)若a>b，证明：a2+ab3+1a(a−b)>4．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵i(i+2)=−1+2i，∴复数i(i+2)对应的点的坐标为(−1,2)，故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考察了集合概念和集合交集运算，基础题。
重庆市巴蜀中学高三(下)3月月考数学试卷(理.docx
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．22．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=xtanx B．f（x）=xe x C．f（x）=x+2lnx D．f（x）=x﹣sinx4．已知等差数列数列{an }满足an+1+an=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．35．已知实数x，y满足，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．66．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A ．2B ．C ．D ．37．若α∈（，π），且5cos2α=sin （﹣α），则tan α等于（ ） A ．﹣ B ．﹣ C ．﹣ D ．﹣38．过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 与其交于A ，B 两点，若|AF|=4，则|BF|=（ ）A ．2B ．C ．D ．19．已知圆C ：（x ﹣）2+（y ﹣1）2=1和两点A （﹣t ，0），B （t ，0）（t ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则t 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．64πD ．128π11．已知A ，B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB=120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R ），则•的最小值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣112．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f 2（x ）+f （x ）+t=0有三个不同的实根，则t 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，则a 1+a 3+a 5=______．14．函数f （x ）=2sinxcos （x ﹣），x ∈[0，]的最小值为______．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是______．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥AB ，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|=______．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程17．已知数列{a n }中，a 1=，a n+1=（n ∈N *）（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =，求证：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1～50 951～1000合计年级名次近视41 32 73不近视9 18 27合计50 50 100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K2=．n=a+b+c+d．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．20．若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】复数的基本概念．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1﹣i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值．【解答】解：由题意知， ==，∵（a∈R）为纯虚数，∴2﹣a=0，解得a=2．故选D．（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵1≤2x≤8，∴0≤x≤3，∴A=[0，3]，（x2﹣x）＞1，∵log2∴，∴x＞2或x＜﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∴A∩B=（2，3]，故选：A3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A ．f （x ）=xtanxB ．f （x ）=xe xC ．f （x ）=x+2lnxD ．f （x ）=x ﹣sinx【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f （x ）+f （﹣x ）=0，即函数f （x ）为奇函数；②f （x ）存在零点，即函数图象与x 轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，即可得到正确答案．【解答】解：对于A ，f （x ）=xtanx ，不是奇函数，故不满足条件①；对于B ，f （x ）=xe x ，不是奇函数，故不满足条件①；对于C ，f （x ）=x+lnx ，（x ＞0），不是奇函数，故不满足条件①；对于D ，f （x ）=x ﹣sinx 既是奇函数，且函数图象与x 有交点，故f （x ）符合输出的条件． 故选：D ．4．已知等差数列数列{a n }满足a n+1+a n =4n ，则a 1=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据a n+1+a n =4n ，写出a 2+a 1，a 3+a 2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，且a n+1+a n =4n ，∴a 2+a 1=4，a 3+a 2=8，两式相减得a 3﹣a 1=8﹣4=4，∵数列{a n }是等差数列∴2d=4，即d=2，则a 2+a 1=2a 1+d=4=2a 1+2即a 1=1．故选：B ．5．已知实数x ，y 满足，则的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），=2+，其几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2．∵，∴的最小值为4．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．7．若α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣3【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简已知条件，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．【解答】解：α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），可得5（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（cosα﹣sinα），可得：cosα+sinα=．1+2sinαcosα=．，解得：tanα=．故选：A．8．过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与其交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=（）A．2 B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，结合|AF|=4，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，设A（x，y），则|AF|=x+1=4，故x=3，此时y==2，即A（3，2），则AF的斜率k==，则直线AF的方程为y=（x﹣1），代入y2=4x得3x2﹣10x+3=0，解得x=3（舍）或x=，则|BF|=+1=，故选：B9．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可以设圆上一点P（x0，y），由∠APB=90°，可得AP⊥BP，kAP•k BP=﹣1，然后的到关于t的关系式，求解t的最小值．【解答】解：设P点坐标（x0，y），kAP•k BP=，整理得，即=由此可以将求t的最小值问题看做点P到原点的最短距离问题，如图所示，当P点在如图位置时，OP的距离最小，即t取得最小值，A点坐标（，1）易知OA所在直线方程为：y=，联立圆的方程：（x﹣）2+（y﹣1）2=1，可得P点坐标（，）从而|OP|==1，即t=1．故t的最小值为1．故选：D．10．已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．64π D．128π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据已知求出△ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C 在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意可知C在线段AB上，从而得出||的范围，用，，表示出，代入数量积公式得出关于||的式子，根据||的范围得出答案．【解答】解：∵=λ+（1﹣λ），∴点C在线段AB上，即A，B，C三点共线．∵OA=OB=1，∠AOB=120°，∴O到直线AB的距离d=．∴||＜1．∴•=（）•（）=﹣（）+．∵MN是单位圆O的直径，∴=﹣1， =，∴•=﹣1+．∴﹣≤•＜0．则•的最小值为﹣，故选：C．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】利用换元法设m=f （x ），将方程转化为关于m 的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可． 【解答】解：设m=f （x ）， 作出函数f （x ）的图象如图： 则m ≥1时，m=f （x ）有两个根， 当m ＜1时，m=f （x ）有1个根，若关于x 的方程f 2（x ）+f （x ）+t=0有三个不同的实根， 则等价为m 2+m+t=0有2个不同的实根，且m ≥1或m ＜1， 当m=1时，t=﹣2，此时由m 2+m ﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f （x ）=1有两个根，f （x ）=﹣2有1个根，满足条件当m ≠1时，设h （m ）=m 2+m+t ，则h （1）＜0即可，即1+1+t ＜0， 则t ＜﹣2， 综上t ≤﹣2， 故选：A ．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．已知（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，则a 1+a 3+a 5= 1 ． 【考点】二项式定理的应用． 【分析】由（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，令x=0可得：2=a 0+a 1+…+a 5；令x=﹣2可得：0=a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 5．相减即可得出． 【解答】解：由（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5， 令x=0可得：2=a 0+a 1+…+a 5；令x=﹣2可得：0=a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 5． 相减可得：2（a 1+a 3+a 5）=2， 则a 1+a 3+a 5=1． 故答案为：1．14．函数f（x）=2sinxcos（x﹣），x∈[0，]的最小值为0 ．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．【解答】解：f（x）=2sinxcos（x﹣）=2sinx（cosx+sinx）=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，∴当x=0时，2x﹣=﹣，函数f（x）=sin（2x﹣）+最小值为0．故答案为：0．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出恰有一个空盒包含的基本事件个数，由此能求出恰有一个空盒的概率．【解答】解：把3个不同的球放入3个不同的盒子中，基本事件总数n=33=27，恰有一个空盒包含的基本事件个数m==18，∴恰有一个空盒的概率是p=．故答案为：．16．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|= 2 ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】过C作CE⊥AD交AD延长线于E，利用相似三角形得出DE，即可求出AE，从而得出AC．【解答】解：过C作CE⊥AD交AD延长线于E．则△ABD∽△ECD．∴=．∴DE=，∴AE=AD+DE=．∵∠CAE=∠BAC﹣∠BAD=30°，∴AC==2．故答案为：2．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程 17．已知数列{a n }中，a 1=，a n+1=（n ∈N *）（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =，求证：＜2．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（1）由题意可得﹣1=2（﹣1），即可证明{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式即可，（2）利用错位相减法即可求出前n 项和，再利用放缩法即可证明． 【解答】证明：（1）∵a n+1=，∴2a n+1﹣a n+1a n =a n ， ∴﹣1=2（﹣1），∵a 1=， ∴﹣1=2，∴{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴﹣1=2n ，∴a n =，（2）b n ==n •（）n ，令S n =1•（）1+2•（）2+…+n •（）n ，∴S n =1•（）2+2•（）3+…+（n ﹣1）•（）n +n •（）n+1， ∴S n =+（）2+（）3+…+（）n ﹣n •（）n+1=1﹣，∴Sn=2﹣＜2，故：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1～50 951～1000合计年级名次近视41 32 73不近视9 18 27合计50 50 100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K2=．n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知：分布求得第一到第六组的频数，求得视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，K2≈4.110＞3.841．由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由图可得：前三组的频率分别为：0.03，0.07，0.27，∴第一组有3人，第二组7人，第三组有27人，后四组频数成等差数列，∴后四组的频数27，24，21，18，∴所以视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，所以全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）K2==≈4.110＞3.841．因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）由题意可知9人中年级在1﹣50名给我951﹣1000名的人数分别为3人好6人，∴X的取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，X的分布列为：X 0 1 2 3P∴E（X）=0×+1×+2×+3×=1，E（X）=1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得结论；（Ⅱ）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1，∴BD=，∴∠BDC=45°，又BC=，∴CD=2，∴CD2=BC2+BD2，即BC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（I）可知∠BPC为PC与平面PBD所成的角，∴，∴PB=，PD=1，由=2及CD=2，可得CH=，DH=，以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，则B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），H（0，，0），设平面HPB的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，取y1=﹣3，则=（1，﹣3，﹣2），同理可得平面PBC的法向量为=（1，1，2），又，∴二面角H﹣PB﹣C的余弦值为．20．若椭圆（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点F 内分成了3：1的两段． （1）求椭圆的离心率；（2）过点C （﹣1，0）的直线l 交椭圆于不同两点A 、B ，且，当△AOB 的面积最大时，求直线l 和椭圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【分析】（1）由c+=3（c ﹣），能够求出椭圆的离心率．（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，知2y 2+y 1=0，由，得（k 2+2）y 2﹣2ky+1﹣2b 2=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程． 【解答】解：（1）由题意知，c+=3（c ﹣），… ∴b=c ，∴a 2=2b 2，… ∴e===．…（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵，∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2），即2y 2+y 1=0，①… 由（1）知，a 2=2b 2，∴椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2， 由，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky+1﹣2b 2=0，∴，…②，…③由①②知，，，…∵=，∴S=3•=3•≤3•=，…当且仅当|k|2=2，即k=时取等号，此时直线的方程为x=或x=．…又当|k|2=2时， =﹣=﹣1，∴由，得b2=，∴椭圆方程为．…21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；（2）原式等价于＞，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），根据函数的单调性求出即可．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图示：，可见，若令过原点且切于函数y=lnx 图象的直线斜率为k ，只须0＜a ＜k ． 令切点A （x 0，lnx 0）， 故k=y ′|x=x 0=，又k=，故 =，解得，x 0=e ，故k=，故0＜a ＜；（2）因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx 1+λlnx 2． 由（1）可知x 1，x 2分别是方程lnx ﹣ax=0的两个根， 即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2所以原式等价于1+λ＜ax 1+λax 2=a （x 1+λx 2），因为λ＞0，0＜x 1＜x 2， 所以原式等价于a ＞，又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2作差得，ln =a （x 1﹣x 2），所以原式等价于＞，因为0＜x 1＜x 2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t ∈（0，1），则不等式lnt ＜在t ∈（0，1）上恒成立． 令h （t ）=lnt ﹣，t ∈（0，1），又h ′（t ）=，当λ2≥1时，可见t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=2AD．（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．【解答】（1）证明：连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴，∵AB=2AC，∴BE=2DE．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，从而BE=2AD．（2）解：由条件得AB=2AC=2，设AD=t，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，∴（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，∴（2﹣t）×2=2t•2，解得t=，即AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos （θ+），利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．（Ⅱ）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．2016年9月28日。
巴蜀中学2020届高三数学下学期3月质量检测试题文含解析
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1） (2)
【解析】
【分析】
（1)由已知列式求得等差数列的首项与公差,则通项公式可求;
(2）把数列 的通项公式代入 ，再由裂项相消法求数列 的前n项和 .
【详解】解：（1） ， ①
成等比数列， ，
化简得 ， ， ②
由①②可得， ，
故选：C
【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.
7。函数 的大致图象为( )
A. B。
C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
利用 ,以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案．
【详解】 ，排除，B，C,
当 时, ，
则 时, ， ，排除A，
故选D．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键．
故选A
点睛：充分必要条件中，小范围推大范围，大范围推不出小范围;这是这道题的跟本；
再者，根据图像判断范围大小很直观,快捷，而不是去解不等式;
9。已知 中，角 所对的边分别为 ，若 的面积为 ，则 的周长为（ ）
A. 8B。 12C. 15D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ,解得 ，再由余弦定理得 ，求得 即可。
所以数列的通项公式是 ;
(2）由（1)得
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质,训练了裂项相消法求数列的前 项和,是中档题．
18。如图，四边形 是边长为2的菱形, ， ， 都垂直于平面 ，且 .
（1)证明： 平面 ;
(2）若 ，求三棱锥 的体积。
重庆市直属校(重庆市第八中学等)2020届高三3月月考理科数学试题及参考答案
13
14
15
16
答案
5
2
505
16
2021
9
15．由 题 意 Sn n2 n Sn 2 0 ， 因 为 an 各 项 均 为 正 数 ， 所 以 Sn 0 ， 可 得
Sn
n2
n
，所以 an
2n
．
1 an an 1
1
4nn 1
1 4
1 n
1 ， n 1
所以
T2020
1 4
1
1 2
魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著 中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为
A． 3 5
B． 7 10
C． 4 5
6．如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， ABCD 为平行四边形，
E, F 分别在线段 DB, DD1上，且
02 a 0 a a2 12 a 1 a a2 0 ，解得 1 a 0 ．综上所述，
a 1,01．
高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 1 页 共 6 页
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
三、解答题：（共 70 分） 17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且满足 c b(cos A （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 a 4 ，且 BC 边上的高为 3 ，求 ABC 的周长．
3 sin A).
理科数学试题 第 2 页 共 4 页
n
项和
S
n
2020届重庆市巴蜀中学高三下学期3月质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市巴蜀中学高三下学期3月质量检测数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -【答案】C【解析】先求出复数z,再求zi得解. 【详解】 由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅I ，则实数m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】根据集合,A B 元素所表示的意义，以及集合,A B 关系，即可求解. 【详解】因为A B =∅I ，所以直线20x y +=与 直线10x my ++=平行，所以12m =. 故选:C . 【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题.3．已知两个单位向量12,e e u r u u r ，若()1212-⊥u r u u r u r e e e ，则12,e e u r u u r的夹角为（ ）A ．23π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】由已知可求出12e e ⋅u r u u r，再由向量夹角公式，即可求解.【详解】因为()1212-⊥u r u u r u r e e e ，所以()12102=-⋅u r u u r u r e e e ，所以11222=⋅u r u u r u r e e e ，所以12,cos e e <>=u r u u r 12，又因为[]12,0,e e π<∈>u r u u r ，所以12,e e π3<>=u r u u r .故选:B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与夹角，意在考查逻辑推理，数学运算，属于基础题. 4．随机变量()2~,N ξμσ，若(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，则μ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据正态分布的对称性列方程，解方程求得μ的值. 【详解】由于随机变量()2~,N ξμσ，满足(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，(5)10.30.40.3(1)P P ξξ≥=--==≤，根据正态分布的对称性可知1532μ+==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.5．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+满足88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．0CD ．2【答案】B 【解析】由88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知函数关于x ＝8π对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求ϕ，然后代入即可求解． 【详解】 解：由f （8π﹣x ）＝f （8π+x ）可知函数关于x ＝8π对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知， 1,42k k Z πϕππ+=+∈, 故33,2sin 04844k f k ππππϕππ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．6．已知平面α⊥平面β，直线,m l ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义，即可得出结论. 【详解】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥； 若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥. 故选:C. 【点睛】本题考查命题充要条件的判断，考查空间垂直间的关系，熟记定理是解题的关键，属于基础题. 7．若)233131log ,,a b e c e -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B【解析】由指数函数、对数函数、幂函数的单调性，即可比较,,a b c 的大小. 【详解】)2133221a ==>=，1311331e 2e a c -⎛⎫==> ⎪⎭=⎝，所以1a c <<，33log e log 31b =<=，故c a b >>.故选;B . 【点睛】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题.8．若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2=α（ ）A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或79【答案】D【解析】用诱导公式结合同角间的商的关系，从已知等式可求出sin ,cos αα，即可求解. 【详解】由tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π得sin 23cos cos 2αααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以cos 3cos sin ααα=-，所以cos 0α=或1sin 3α=-，故2cos 22cos 11αα=-=-或2cos21279sin αα=-=. 故选:D . 【点睛】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养，属于基础题.9．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是（ ）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D.【考点】1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.10．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C【解析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.11．已知双曲线22221x y a b-=的右支与抛物线22x py =相交于,A B 两点，记点A 到抛物线焦点的距离为1d ，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为2d ，点B 到抛物线焦点的距离为3d ，且123,,d d d 构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =± B．y = C．y = D．3y x =±【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线焦点为F ，由已知可得2AF BF p +=，根据抛物线定义可得12y y p +=，利用点差法可得()()1212122222y y y y py py a b-+-=，从而可求得渐近线方程． 【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线焦点为F ， 由已知有2AF BF p +=，即12y y p +=，由22112222222211x y a b x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相减得()()2212121222y y y y x x a b -+-=， 即()()1212122222y y y y py py a b -+-=，故2212b a =， ∴渐近线方程为2y x =±， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查双曲线的渐近线，考查推理能力与运算能力，属于中档题．12．已知正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱111,,AA BB CC 分别交于,,M N Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为（ ） AB ．3C．D ．6【答案】B【解析】由题意画出图形，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设(0,1,),),(0,1,)M a N b Q c -，不妨设N 为直角，可得0MN QN ⋅=u u u u r u u u r，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．【详解】以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设(0,1,),),(0,1,)M a N b Q c -，不妨设N 为直角，),1,)MN b a QN b c =-=--u u u u r u u u r ，所以0MN QN ⋅=u u u u r u u u r，()()20b a b c ∴--+=，即()()2b a b c --=1||||2S MN QN ∴=⋅=u u u ur u u u r=()211642()()22b a bc ≥+⨯--+- 11616432=++= 故选：B.【点睛】本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．二、填空题13．已知()525012512x a a x a x a x -=++++L ，则012345a a a a a a -+--+的值为__________. 【答案】243【解析】取1x =-代入即可得到结果. 【详解】令1x =-得：()501234512a a a a a a +=-+-+-，012345243a a a a a a ∴-+-+-=. 故答案为：243. 【点睛】本题考查与二项展开式各项系数和有关的计算，处理此类问题通常采用赋值法来进行求解.14．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()cos sin cos cos ,A C C B -=2,2a c =C 大小为_____.【答案】6π【解析】根据三角形内角和以及诱导公式将B 转化为,A C ，利用两角和公式，可求出A ，再用正弦定理，即可求解.【详解】因为()cos sin cos cos ,A C C B -= 所以()()cos sin cos cos ,A C C A C -=-+所以cos sin sin sin ,A C A C =所以()sin cos sin 0,C A A -= 因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以cos sin A A =， 则tan 1A =，所以4A π=，又sin a A =1sin 2C =， 因为c a <，所以04C π<<，故6C π=.故答案为:6π. 【点睛】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，属于基础题.15．高三年级有四个老师分别为a b c d ,,,，这四位老师要去监考四个班级,,,A B C D ，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求a 老师不能监考A 班，b 老师不能监考B 班，c 老师不能监考C 班，则不同的监考方式有_________种.（用数字作答） 【答案】9【解析】在a 老师监考B 班或C 班和监考D 班两种情况下分别求得监考方式种数，根据分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若a 老师监考B 班或C 班，则共有：1236C =种监考方式； 若a 老师监考D 班，则共有：2213A +=种监考方式；由分类加法计数原理可知，不同的监考方式共有639+=种监考方式. 故答案为：9. 【点睛】本题考查排列组合的计数问题的求解，涉及到分类加法计数原理的应用，关键是能够根据限制条件进行准确分类. 16．函数1()ln||1xf x a x x+=--有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】(,2)(2,)-∞-+∞U【解析】令()0f x =，转化为1ln ,1xy y a x x+==-的图象有两个交点，结合导数与切线，求得a 的取值范围. 【详解】 由101x x +>-解得()f x 的定义域为()1,1-.令()0f x =，得1ln 1xa x x+=-，依题意 1ln ,1x y y a x x +==-的图象有两个交点.令()()1ln 111x g x x x+=-<<-，则()()11ln ln 11x xg x g x x x-+-==-=-+-，所以()g x 是奇函数，且()()122ln ln 111x g x x x --+⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在区间()1,1-上递增，且()00g =.当0a =时，()1ln,01xg x y x+==-，只有一个交点()0,0，不符合题意. 当0a >时，画出图象如下图所示，()()()()'11ln 1ln 1,11g x x x g x x x=+--=++-，所以()'11021010g =+=+-，即()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =.要使()1ln ,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a >. 同理，当0a <时，()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =，要使()1ln,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a <-. 综上所述，实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞U . 故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞U【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（1）2n b n =；（2）1244323n n n ++-- 【解析】（1）根据等差数列的定义，可得{}n b 是等差数列，进而求出通项公式； （2）由已知求出{}n c 的通项公式，根据通项公式的特征分组求和，转化为求等差数列和等比数列的前n 项和. 【详解】方法一：（1）因为nn a b n=且()()1121n n na n a n n +-+=+， 所以1121n nn n a a b b n n++-=-=+， 又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=.（2）由（1）及题设得，224n n n c n n =-=-，所以数列{}n c 的前n 项和()()()1241424nn S n =-+-+⋅⋅⋅+-()()1244412n n =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1444142n n n +-⨯=-- 1244323n n n ++=--. 方法二：（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， 又因为()()1121n n na n a n n +-+=+， 所以()()()11121n n n n b n nb n n ++-+=+， 即12n n b b +-=， 又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=. （2）略，同方法一. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，注意辅助数列的应用，属于中档题. 18．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. ()20P K k … 0.050.01 0.005 0.0010k3.8416.6357.879 10.828【答案】（1）0.025a =，74.5分；（2）表格见解析，有【解析】（1）根据频率和为1，求出a ，按照平均数公式，即可求解；（2）由频率直方图求出，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的人数，补全列联表，求出2K 的观测值，结合提供数据，即可得出结论. 【详解】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， 解得0.025a =.因为450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74=， 所以估计这100名学生的平均成绩为74.5分（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：∵2K的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”. 【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养，属于基础题.19．在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A C O A BD O =⊥I 平面1A BD .（1）证明：1B C P 平面1A BD ； （2）求二面角1B AA D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）437【解析】（1）由已知可证11B C A D ∥，即可证明结论；（2）根据已知可证1A O ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，求出1,,,A A B D 坐标，进而求出平面1A AB 和平面1A AD 的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】方法一：（1）依题意，11//,A B AB 且//,AB CD ∴11//A B CD ， ∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11B C A D ∥， ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ， ∴1B C P 平面1A BD .（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥，∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO BD O =I ， ∴1A O ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OA OB OA u u u r u u u r u u u r为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则)A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，∴()()()1,0,1,0,AB AA AD ===-u u u r u u u r u u u r设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =r，则1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，∴0z y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则(n =r .设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z =u r，则1n AA n AD ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，∴0z y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，则(1,m =u r .∴1cos ,7m n m n m n⋅<>===⋅u r ru r r ur r ， 设二面角1B AA D --的平面角为α，则sin α==，∴二面角1B AA D --的正弦值为7. 方法二：（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，因为四边形11A B BA 为平行四边形，所以Q 为1AB 中点， 又因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点， ∴在1AB C V 中，1,OQ B C ∥且112OQ B C =， ∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， ∴1B C P 平面1A BD （2）略，同方法一. 【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)的离心率为3，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切. （1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >.已知l 上存在点P ，使得PMN V 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1- 【解析】（1）由C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切求出b ，再由离心率和,,a b c 关系，可求出椭圆标准方程；（2）将直线y x m =+与椭圆方程联立，消元整理，由根与系数关系，得到12,,x x m 的两个关系式，再从已知条件寻找12,,x x m 第三个等量关系，根据已知结合平面图形，可得NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，得()12,Q x y ，进而有()1222,P x x y -，代入直线l 方程，得到12,,x x m 等量关系，求解关于12,,x x m 方程组，即可求出m . 【详解】（1）依题意，1b ==，因为离心率3c e aa ===，=，解得a =所以C 的标准方程为2213x y +=.（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒， 且PMN V 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点， 所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -，所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=.所以223648480m m ∆=-+>，解得22m -<<， 所以1232x xm +=-，② ()212314x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-.综上，m 的值为1-.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查数学运算和逻辑推理，属于中档题.21．已知函数()()2ln f x x x ax a R =-∈.（1）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()()g x f x x =-两个极值点12,x x ，试判断12x x +与12x x ⋅的大小关系并证明. 【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1212x x x x +<，证明见解析【解析】（1）利用函数有两个极值点可知()0f x '=在()0,∞+上有两个不等实根，将问题转化为2y ax =与()ln 1g x x =+在()0,∞+有两个不同的交点的问题，通过数形结合的方式确定相切为临界状态，进而利用过某点处切线的求解方法可求得结果；（2）根据12,x x 为()0g x '=的两根可得到1122ln 2ln 2x ax x ax =⎧⎨=⎩，设12x x >，则121x t x =>，由方程组可求得ln 12t t x e-=，将12x x +与12x x ⋅的大小比较问题转化为比较1211,1x x +的大小关系，进一步将问题化为比较()()1ln 1ln ,0t t t t -+-大小关系，设()()()1ln 1ln m t t t t t =-+-，利用导数可求得()0m t <，进而得到结论.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()ln 12f x x ax '=+-，()f x Q 有两个极值点，()0f x '∴=在()0,∞+上有两个不等实根，令()ln 1g x x =+，则2y ax =与()g x 在()0,∞+有两个不同的交点，当y kx =与()g x 相切时，设切点为()00,ln 1x x +， 则()0000ln 11x g x k x x +'===，解得：011x k =⎧⎨=⎩， 则当021a <<时，2y ax =与()g x 在()0,∞+有两个不同的交点，10,2a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有两个极值点.（2）1212x x x x +<，证明如下：由题意得：()1ln 21ln 2g x x ax x ax '=+--=-， 12,x x 为()0g x '=的两个根，不妨设12x x >，则121x t x =>， 则11122212ln ln 2ln ln 2ln ln ln x t x ax x x ax x x t⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎩，解得：ln 122ln ln 1t t t x x e t -=⇒=-，要考虑1212,x x x x +大小关系即考虑1211,1x x +的大小关系， 即考虑211,1t x t +⨯的大小关系即考虑ln 11,1t t t e t--+⨯的大小关系，即考虑ln 1+ln ,01t tt t+--的大小关系即()()1ln 1ln ,0t t t t -+-的大小关系， 令()()()1ln 1ln m t t t t t =-+-， 则()()212ln 1ln ln 111m t t t t t t ⎛⎫'=+--=+- ⎪++⎝⎭， 由()ln 1x x ≤+知：()()121011t m t t t t t -'≤-=<++， ()m t ∴在()1,+∞上单调递减，()()10m t m ∴<=，即12111x x +<， 1212x x x x ∴+<.【点睛】本题考查根据导数极值点的个数求解参数范围和比较大小的问题；构造函数比较大小的关键是能够通过引入第三变量，将双变量问题转化为单变量问题，进而通过构造函数将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数求解函数的最值得到大小关系. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α=【解析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值. 【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-= ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-= ∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ= （2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=.∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-. ∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α= ∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-= ∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.23．已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=. （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++≥.【答案】（1）7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）由条件等式将b c +用a 表示，再从0,0,0a b c ＞＞＞，进一步求出a 的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明149()36a b c a b c++++≥，利用基本不等式即可得证.【详解】（1）依题意，20a b c -=+＞，故02a ＜＜. 所以()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以()22722244a b c +++-=≤＜，即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （2）因为0,0,0a b c ＞＞＞，所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭14+≥，1436+==当且仅当12,,133a b c ===时，等号成立， 又因为2a b c ++=， 所以14918a b c++≥. 【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.。
重庆市巴蜀中学高三3月月考理数试题01
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．如果复数)(12R a iai∈+-为纯虚数，则=a （ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D考点：复数的运算及复数的概念.2．若集合{}821≤≤=xx A ，{}1)(log 22>-=x x x B ，则=B A （ ）A ．]3,2(B ．]3,2[C ．]2,0()0,( -∞D ．]3,0[)1,( --∞ 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得{}{}12803x A x x x =≤≤=≤≤，{}{}22log ()112B x x x x x x =->=<->或，所以{|23}A B x x x =<≤，故选A.考点：集合的运算.3．某流程图如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．x x x f tan )(=B ．xxe x f =)( C ．x x x f ln 2)(+= D ．x x x f sin )(-=【答案】D考点：程序框图及函数的性质.4．已知等差数列{}n a 满足n a a n n 41=++，则=1a （ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，等差数列{}n a 满足n a a n n 41=++，令1n =，则214a a +=；令2n =，则328a a +=，两式相减，得3142a a d -=⇒=，即等差数列的公差2d =，又214a a +=，即11141a d a a ++=⇒=，故选B. 考点：等差数列的通项公式.5．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥>0620y x x y x ，则x y x 22++的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6 【答案】C考点：线性规划求最值.6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x 的值为（ ） A ．2 B ．25 C ．3 D ．23【答案】C 【解析】试题分析：根据给定的按时图可判断原几何体为一个四棱锥，其中底面是上底边长为1，下底边长为2，高为2的直角梯形；设四棱锥的高为x ，所以体积为11(12)2332V x =⨯+⨯⨯=，解得3x =，故选C.考点：空间几何体的三视图．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，可根据三视图得到原几何体为四棱锥，设四棱锥的高为x ，利用体积公式，列出方程求解高x ．7．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α等于（ ）A ．43-B ．13-C ．34- D ．3-【答案】A考点：三角函数的化简求值.8．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线l 与其交于B A ,两点，若4=AF ，则=BF （ ） A ．2 B ．34 C ．32D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则14AF x =+=，解得3x =，此时y =，即(3,)A ，则直线AF 的直线方程1)y x =-，联立方程组21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得13x =，所以423p BF x =+=，故选B.考点：抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系.9．已知圆1)1()3(:22=-+-y x C 和两点)0)(0,(),0,(>-t t B t A ，若圆C 上存在点P ，使得90=∠APB ，则t 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D考点：圆的性质；圆与圆的位置关系.10．已知三棱锥ABC P -中，4=PA ，32==AC AB ，6=BC ，ABC PA 面⊥，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π32C ．π64D ．π128 【答案】C 【解析】试题分析：在ABC ∆中，,6A B A B C ==，由余弦定理2221cos2A ==-，则s i n A =，所以ABC ∆的外接圆的半径为2sinar RA===⇒=，所以棱锥外接球的半径为222()42PAR r=+=，所以球的表面积为2464S Rππ==，故选C.考点：球的组合体及球的表面积的计算.11．已知BA,是单位圆上的两点，O为圆心，且120=∠AOB，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足)()1(R∈-+=λλλ，则⋅的最小值为（）A．21- B．41- C．43- D．1-【答案】C考点：平面向量的运算.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的三角形法则和平面向量的数量积、向量的共线定理，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法和数形结合思想的应用，本题的解答中由题意得可得点C在线段AB上，且1[,1)2OC∈，再根据向量的运算可得21CM CN OC⋅=-+，进而求得向量CM CN⋅的取值范围，得到最小值.12．已知实数⎩⎨⎧<-≥=,0),lg(,0,)(xxxexfx若关于x的方程0)()(2=++txfxf有三个不同的实根，则t的取值范围为（）A．]2,(--∞ B．),1[+∞ C．]1,2[- D．),1[]2,(+∞--∞【答案】A【解析】试题分析：设()m f x =，作出函数()f x 的图象如图，则1m ≥时，()m f x =有两个根；当1m <时，()m f x =有一个根，若关于x 的方程0)()(2=++t x f x f 有三个不同的实根，则等价为20m m t ++=有2个不同的实根，且1m ≥或1m <，当1m =时，2t =-，此时20m m t ++=得1m =或2m =-，满足()1f x =有两个根，()2f x =-有一个根，满足条件，当1m ≠时，设()2h m m m t =++，饿()10h <即可，即110t ++<，则2t ≤-，故选A.考点：函数的图象即根的存性与根的个数的判断.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象、付出根的个数的问题，利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解答本题的关键，同时着重考查了数形结合思想和换元思想的应用，属于中档试题，本题的解答中利用换元法，设()m f x =，将方程转化为关于m 的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求解即可.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知55104)1()1()1)(2(++⋅⋅⋅+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ______.【答案】1考点：赋值法的应用.14．函数]43,0[),3cos(sin 2)(ππ∈-=x x x x f 的最小值为______. 【答案】0 【解析】 试题分析：由题意得21()2sin cos()2sin (cos )sin cos 32f x x x x x x x x x π=-=+=+11cos 2sin 2sin(2)2232x x x π-=+=-+，又3[0,]4x π∈，则112[,]336x πππ-∈-，当0x =时，此时函数取得最小值()sin(20)032f x π=⨯-+=. 考点：三角函数的图象与性质.15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是_____. 【答案】23考点：古典概型及其概率的计算.【方法点晴】本题主要考查了古典概型及其概率的计算、相互独立事件的概率乘法公式的应用，解答时要注意题目中多个小球可以放在同一个盒子中，是解答此类问题的一个关键和易错点，本题的解答中，先计算出将3个大小形状完全相同但颜色不同的小球放入3个盒子中的情况总数，再算出恰有个盒子是空盒子的个数，代入古典概型概率公式计算即可.16．如图，在ABC ∆中，120=∠BAC ，AB AD ⊥，BD BC 3=，1=AD ，则=AC _____.【答案】2 【解析】试题分析：在ABC ∆中，又正弦定理可得sin sin AC BCB BAC=∠，可得sin sin AC BAC BC B ∠=，又因为2BAC DAC π∠=+∠，所以cos sin DAC BAC ∠=∠，所以cos AC AD AC AD DAC ⋅=⋅∠sin sin ADAC BAC BC B BC BD=⋅∠==⋅=9030DAC BAC ∠=∠-=， cos30AC AD AC AD ⋅=⋅3cos30AC AD AC =⋅=，即3AC =，解得2AC =.考点：平面向量的运算及向量在集合中应用.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及平面向量在几何中的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想和数形结合思想的应用，解答此类问题应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形相关的向量的综合问题，本题的解答中根据平面向量的数量积的运算和利用解三角形的知识，表示AC AD ⋅，即可根据相等，求解AC 的值. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，311=a ，)(21*+∈-=N n a a a n n n . （1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求{}n a 通项公式n a ； （2）设n nn a na b -=1，求证：21<∑=ni i b .【答案】（1）121+=nn a ；（2）证明见解析.(2) 12n n n n na nb a ==-， 令212222n n n S =++⋅⋅⋅+，∴2311122222n n nS +=++⋅⋅⋅+， 相减得231111121212222222n n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅+-=-，∴2222<+-=nn n S . 考点：等比数列的定义域通项公式；数列的求和. 18．（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在0.5以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否具有相关性，对年级名次在501-名和1000951-名的学生进行了调查，得到下表中的数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过05.0的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查队他们的良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1-50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，d c b a n +++=【答案】（1）820；（2）在犯错误的概率不超过05.0的前提下认为视力与学习成绩有关系；（3）分布列见解析，1)(=X E .考点：独立性检验；频率直方图的应用；随机变量的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，⊥PD 底面ABCD ，CD AB ∥，CD AD ⊥，1==AB AD ，2=BC .（1）求证：面⊥PBD 面PBC ；（2）设H 为CD 上一点，满足HD CH 2=，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为36，求二面 角C PB H --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）721.则⎩⎨⎧=+-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00022222y x z y x BC m ，取)2,1,1(=m ，所以721,cos -=<，所以二面角C PB H --余弦值为721.考点：线面位置的关系的判定；二面角的计算.20.（本小题满分12分）若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 内分成了1:3的两段. （1）求椭圆的离心率；（2）过点)0,1(-C 的直线l 交椭圆于不同两点B A ,，且2=，当AOB ∆的面积最大时，求直线l 和 椭圆的方程.【答案】（1）2；（2）125522=+y x .考点：椭圆的标准方程及及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线位置关系的应用，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力，本题的解答中，设出直线方程1:-=ky x l ，把直线方程代入椭圆方程，利用根与系数的关系，表示三角形的面积，利用基本不等式求解最值，确定k 的值，从而得直线的方程和椭圆的标准方程，其中认真、准确计算是解答的关键.21．（本小题满分12分）已知函数)(2ln )(2R a a x x a x x x f ∈+--=在其定义域内有两个不同的 极值点.（1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点为21,x x ，且21x x <，已知0>λ，若不等式λλ+>⋅121e x x 恒成立，求λ的取值范围.【答案】(1) ea 10<<；(2) 1≥λ. 【解析】试题分析：(1)把函数在定义域内有两个不同极值点，转化0)(='x f 在),0(+∞上有两个不同的解，即方程λλ+>⋅121e x x 等价于21ln ln 1x x λλ+<+，因为21,x x 为方程0ln =-ax x 的两根，11ln ax x =，22ln ax x =，所以)(ln ln 1212121x x a ax ax x x λλλλ+=+=+<+，因为210,0x x <<>λ， 所以原式等价于211x x a λλ++>.又11ln ax x =，22ln ax x =，作差得21212121ln)(ln x x x x a x x a x x -=⇒-=，所以原式等价于212121212121))(1(ln 1lnx x x x x x x x x x x x λλλλ+-+<⇔++>-恒成立， 令)1,0(,21∈=t x x t ，上式等价于λλ+-+<t t t )1)(1(ln 在)1,0(∈t 上恒成立， 令λλ+-+-=t t t t h )1)(1(ln )(，所以22)())(1()(λλ+--='t t t t t h ，所以①当1≥λ时，0)(>'t h ，所以)(t h 在)1,0(上单增，因此0)1()(=<h t h ，满足条件； ②当10<<λ时，)(t h 在),0(2λ上单增，在)1,(2λ上单减， 又0)1(=h ，所以)(t h 在)1,0(上不能恒小于零. 综上：1≥λ.考点：导数在函数中的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了利用研究函数的单调性及利用导数研究函数的极值（最值）的应用，着重考查了转化与化归思想、构造新函数和分类讨论数学思想的应用，试题难度较大，属于难题，本题的解答中，第（1）中，把函数在定义域内有两个不同极值点，转化0)(='x f 在),0(+∞上有两个不同的解，利用0ln =-ax x 在),0(+∞上有两个不同的解，构造新函数，利用函数的性质求解；第（2）中把λλ+>⋅121e x x 等价于21ln ln 1x x λλ+<+，转化为原式等价于112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立，充分体现了转化的思想方法. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，且AB=2AC. （1）求证：AD BE 2=；（2）当1=AC ，2=BC 时，求AD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）32=AD .∴BCA BDE ∠=∠，又CBA BDE ∠=∠，∴BCA BDE ∆∆~,∴CADEBA BE =， ∵AC AB 2=，∴DE BE 2=，又CD 是ACB ∠的平分线， ∴DE AD =，∴AD BE 2=.（2）由已知得22==AC AB ，设t AD =，由割线定理得32222)2(=⇒⋅=⋅-⇒⋅=⋅t t t BC BE BA BD 即32=AD . 考点：圆的性质与判定. 23．（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线)0(cos 2:>=a a C θρ，23)3cos(:=-πθρl ，C 与l 有且只有一个公共点. （1）求a ；（2）O 为极点，B A ,为C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OB OA +的最大值.【答案】（1）1a =；（2）32.考点：简单的极坐标方程的应用. 24．（本小题满分10分） 设函数313)(++-=ax x x f . （1）若1=a ，解不等式5)(≤x f ；（2）若函数)(x f 有最小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4321≤≤-x ；（2）33≤≤-a .考点：绝对值不等式的解法；函数的值域.。
重庆市巴蜀中学2020届高三下学期期中测试理科数学(word版含答案)
巴蜀中学2020届高三下学期期中测试理科数学(满分：150分考试时间：120分钟)、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给岀的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1.设复数z=(a+i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数A.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件为f(x)的零点:且 f(x)| f( ) I 恒成立，f(x)在( ，)4412 24区间上有最小值无最大值，则0的最大值是8.图1是某县橙子辅导参加 2020年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 、A 2L A °(如A 2表示身高(单位:cm)在［150, 155)内的人数］.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数A. -1B.1C. 2D. ..32.质地均匀的骰子六个面分别刻有 到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件23.已知函数 f(x) x ax b(a 0,b 0)有两个不同的零点 .x 1, x 2 , -2和X |, X 2三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数 f(x)的解析式为2A. f (x) x 5x 4B. f(X ) 5x 4C. f (x) x 2 5x 4D. f(X )x 2 5x 44.若l,m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 1〃 的t” A.11 B.13 C.15 D.17a 的值是C.充分必要条件5.已知函数f(x)2x 2x,x |log 2x|,xX 2 X 3 X 4,且 f (为)f(X 2)f(X 3) f(X 4)。
现有结论：①X iX 2 2,②X 3X 4 1,X 4 2,④0x 1x 2x 3x 4 1.这四个结论中正确的个数有A.1B.2C.3D.46.已知抛物线C :2px(p0)的焦点为 F,点M (X 0,2 I 2)( X 0 卫)时抛物线C.上的一点，以点M 为圆2心与直线x —交于2E , G 两点若sin MFG1,则抛物线C 的方程是 3A. y 2 xB. y 2 2xC. y 2 4xD. y 2 8xB.必要而不充分条件 7.已知函数f(x)=sin(C.2 .232的一个算法流程图。
2020届重庆市高考数学三模试卷(理科)(有答案)(加精)
重庆市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．13．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．244．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．465．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．2169．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．重庆市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【分析】首先化简集合A和B，然后根据V enn图求出结果．【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}图中的阴影部分表示集合N去掉集合M∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}故选：B．2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，然后利用复数单位的幂运算求解即可．【解答】解：复数z=1+=1+=i．1+z+z2+…+z2016=1+i+i2+…+i2016=1．故选：D．3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．24【考点】二项式系数的性质．【分析】由于|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1，即可求得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值．【解答】解：由题意（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得，|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=45=1024，故选：A．4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．46【考点】程序框图．【分析】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n﹣1，然后判断p＞2016是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n﹣1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于2016时，输出n的值．【解答】解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，执行n=1+1=2，p=1+（2×2﹣1）=1+3=4；判断4＞2016不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3﹣1）=1+3+5=9；判断9＞2016不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4﹣1）=1+3+5+7=16；…由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，由p=＞2016，且n∈N*，得n=45．故选：C．5．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故为假命题，故错误；②若x，y∈R，当“x≥2或y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，当“x2+y2≥4”时，“x≥2或y≥2”不一定成立，故“x ≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故正确；③当x=0时，y=log a（x+1）+1=1恒成立，故函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1），故正确；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1，故错误；故选：C6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，进而可得其侧视图的面积．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，分2步讨论，首先分析甲，因为甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外1人参加同一个社团，2种情况讨论，由加法原理，可得第二步的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A44=24种情况，若甲是1个人参加一个社团，则有C42•A33=36种情况，则除甲外的4人有24+36=60种情况；故不同的参加方法的种数为3×60=180种；故选C．9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos （β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】解：根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|F1A|﹣|F2A|=2a，而|F1A|+|F2A|=2c，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|=2a，得（x+c）﹣（c﹣x）=2a，解得x=a，∵|OA|=a，∴在△F1CF2中，OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）==a，∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．故选：A．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】二次函数的性质．【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，当x=1时，使F（1）=≠0；当x≠1时，解得a=，∴a′==0，得x=2或x=，（＜1，舍去），x （1，2） 2 （2，4）a′+0 ﹣a ↗最大值↘∴当x=2时，a最大==，所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=9．【考点】等差数列的性质；定积分的简单应用．【分析】先利用定积分求得，再根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵=（x2+x）|02=5，∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为8千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【分析】利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程y=bx+a，通过x=2，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由题意知，n=10，==8，=y i=2，b===0.3，a=﹣b=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴线性回归方程为y=0.3x﹣0.4，当y=2时，x=8，故答案为：8．16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，可得公共弦的方程为（2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，即（﹣2a）x+（﹣2•ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣a），当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，即：2ax+2by=a2+8．O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9 ①．令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）把A+3C=B代入A+B+C=π得B=+C，可得sinB=cosC＞0，由条件和正弦定理化简后，利用平方关系求出cosC的值；（2）由条件求出边c的值，由（1）和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA 的值，代入三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意得A+3C=B，则A=B﹣3C，代入A+B+C=π得，B=+C，所以sinB=cosC＞0，∵，∴由正弦定理得，，则，①又sin2C+cos2C=1，②由①②得，cos2C=，则cosC=；（2）∵，b=3，∴c=，由（1）知sinB=cosC=，且B=+C，∴cosB=﹣=﹣，同理可得sinC=，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+（﹣）×=∴△ABC的面积S===．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈=…．（Ⅱ）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100…．K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM是二面角Q﹣BD ﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PDC，图1所示．∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD．∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），从而得到满足题意的定点只能是（，0），设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此得到BP恒过定点（，0）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，∴由题设，得，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），当A（1，），B（1，﹣）时，P（4，），直线BP：y=x﹣，当A（1，﹣），B（1，）时，P（4，﹣），直线BP：y=﹣x+，∴满足题意的定点只能是（，0），设为D点，下面证明P、B、D三点共线．设A（x1，y1），B（x2，y2），∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y1）在直线BD上，由，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，∵△=144（1+m2）＞0，∴，，①∵k DB﹣k DP=﹣=﹣==，①式代入上式，得k DB﹣k DP=0，∴k DB=k DP，∴点P（4，y1）恒在直线BD上，从而P、B、D三点共线，即BP恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF 的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．【解答】证明：（1）连接OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AD．…∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，∴AM•MB=DF•DA…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．把代入上述方程即可化为直角坐标方程．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2=4x．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）f（x）=|x﹣4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）+（x+5）|=|2x+1|，当且仅当（x﹣4）（x+5）≥0，即x≤﹣5或x≥4时取等号．所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[4，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）﹣（x+5）|=9，所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，即a的取值范围是（9，+∞）．。
2020届重庆市巴蜀中学高三上学期月考(三)数学(理)试题(解析版)
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
19．为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将举行“歌唱祖国，喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》，《精忠报国》，《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班级就该班是否选择《精忠报国》作为本班参赛曲目进行投票表决，投票情况如下表.
【详解】
解：由 ，得 ， ，即曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题．
14．若 ，则 ______.
【答案】
【解析】利用微积分定理及奇函数的性质可得 ，结合诱导公式可得结果.
【详解】
，
∴ ，
【解析】（1）求出导函数 ，解不等式得到单调区间；
（2）令 ，则 恒成立，研究函数的最值即可.
【详解】
解：（1） ，
由 ，得 的单调增区间为 ， ；
由 ，得 的单调减区间为 .
（2）令 ，则 恒成立，
，
∵ ，∴ .
令 ，则 在 上单调递增，且 ，
∴当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增；
，
∴二面角 的余弦值为 .
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及空间向量法的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18．已知函数 ， ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 （2）
【详解】