中考数学复习专题练习：矩形、菱形、正方形(解析版)

【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形 ABCD ， 再根据图形特点进行判断． ∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形 AFPE 是矩形， ∴EF=AP． ∵M 是 EF 的中点，
∴AM= AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即 AP⊥BC 时，AP 最短，同样 AM 也最短， ∴当 AP⊥BC 时，△ABP∽△CBA，
【分析】①如图，过 H 作 HM⊥BC 于 M，根据角平分线的性质可以得到 DH=HM，而在 Rt△BHM 中 BH＞HM，所以容易判定①是错误的； ② 设 HM=x，那么 DH=x，由于∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，由此得到∠DBC=45°，而 AD ∥CB，由此可以证明△ADB 是等腰直角三 角形，又 CE 平分∠BCD，∠BDC=∠ABC=90°，由此 可以证明△DCH∽△EBC，再利用相似三角形的性质可以推出∠BEH=∠DHC，然后利用 对顶角 相等即可证明∠BHC=∠BEH，接着得到 BH=BE，然后即可用 x 分别表示 BE、EN、CD，又由 EN∥DC 可以得到△DCH∽△NEH，再利用 相似三角形的性质即可结论②； ③利用（2)的结论可以证明△ENH∽△CBE，然后利用相似三角形的性质和三角形的面积公式即 可证明结论③．此题比较复杂，综合性很强，主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质 以及等腰直角三角形的性质． 【答案】B 【考点】等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，梯形 【解析】【解答】∵CA 是∠BCD 的平分线，
A、7 B、10 C、13 D、14
A、①② B、②③ C、①③ D、①②③ 6、如图所示，四边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，CA 是∠BCD 的平分线，且 AB⊥AC，AB=4，
AD=6，则 tanB=（ ）
8、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D ， 交 AB 于点 E ， 且 BE＝BF ， 添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（ ）.
(1)图①，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处，且使 S 四边形 ECBF=3S△EDF ， 求 AE 的长； (2)如图②，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处，且使 MF∥ CA． ①试判断四边形 AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求 EF 的长； (3)如图③，若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N，CN=1，CE= ，求 的值．
AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF 的周长是________cm．
三、解答题（共 2 题；共 15 分）
18、已知：如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E ， DF⊥ BC 于点 F ． 求证：四边形 DEBF 是正方形．
(1)求证：AC2=CD•BC； (2)过 E 作 EG⊥AB，并延长 EG 至点 K，使 EK=EB． ①若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点，点 F 为 AC 的中点，求证：FH⊥GH； ②若∠B=30°，求证：四边形 AKEC 是菱形． 21、如图，已知△ABC 中，AB=AC，把△ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接 BD，
∴
，
∴，Biblioteka ∴AP 最短时，AP=4.8
∴当 AM 最短时，AM=
故选 B．
=2.4．
【分析】先求证四边形 AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 利用相似三角形对应边成比例即可求得 AP 最短时的长，然后即可求出 AM 最短时的长． 【答案】B 【考点】等腰三角形的性质，直角梯形，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】①如图，过 H 作 HM⊥BC 于 M，
【答案】A 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形 【解析】 【解答】∵DE//AB，∠B=70°， ∴∠DEC=∠B=70°． 又∵∠C=40°， ∴∠CDE=70°． ∴CD=CE． ∵AD//BC，DE//AB， ∴四边形 ABED 是平行四边形． ∴BE=AD=3． ∴CD=CE=BC-BE=BC-AD=10-3=7． 故选 A．
A、2 B、2 C、
D、 7、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ， 按如下步骤作图： 第一步，分别以点 A、D 为圆心，以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点 M、N； 第二步，连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F； 第三步，连接 DE、DF ． 若 BD=6，AF=4，CD=3，则 BE 的长是（ ）.
答案解析
一、单选题
【答案】D 【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，命题与定理 【解析】【解答】A.两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项错误； B.两条角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误； C.两条对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误； D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项正确； 故选 D. 【分析】解答本题的关键是熟练掌握通过对角线判定四边形是平行四边形或特殊平行四边形，必 需具备互相平分的前提。 【答案】B 【考点】坐标与图形性质，菱形的判定与性质 【解析】【解答】图形如图所示：∵A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2），∴ OA＝OC ， OB＝OD ， ∴四边形 ABCD 为平行四边形，∵BD⊥AC ， ∴四边形 ABCD 为 菱形，故选 B．
∵ = =1， ∴DF=EF=2， 在 Rt△ADF 中，AF= 则 AC=2AF=8 ，
19、如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．
CE 交于点 F．
(1)求证：AD=BC；
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若 AB=2，∠BAC=45°，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长． 22、如图，已知一个直角三角形纸片 ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别是 AC、 AB 边上点，连接 EF．
∵CE 平分∠BCD，BD⊥DC ∴DH=HM， 而在 Rt△BHM 中 BH＞HM， ∴BH＞HD， ∴所以容易判定①是错误的； ②∵CE 平分∠BCD， ∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°， ∴∠BEH=∠DHC， 而∠DHC=∠EHB， ∴∠BEH=∠EHB， ∴BE=BH， 设 HM=x，那么 DH=x， ∵BD⊥DC，BD=DC， ∴∠DBC=∠ABD=45°， ∴BH= x=BE， ∴EN=x， ∴CD=BD=DH+BH=（ +1)x，
A、（3，1） B、（3， ） C、（3， ） D、（3，2）
二、填空题（共 5 题；共 5 分）
13、已知梯形的上底长为 a ， 中位线长为 m ， 那么这个梯形的下底长为________. 14、如图，在等腰梯形 ABCD 中，AC⊥BD，AC=6cm，则等腰梯形 ABCD 的面积为 ________cm2 ．
即 = +1， ∵EN∥DC， ∴△DCH∽△NEH， ∴ ＝ = +1，即 CH=（ +1)EH,正确； ③由②得∠BEH=∠EHB， ∵EN∥DC， ∴∠ENH=∠CDB=90°， ∴∠ENH=∠EBC，
∴△ENH∽△CBE， ∴EH：EC=NH：BE，
而
＝
，
∴
＝
， 正确；
所以正确的只有②③． 故选 B．
【分析】根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=70°，根据三角形的内角和定理，得∠CDE=70°，再 根据等角对等边，得 CD=CE．根据两组对边分别平行，知四边形 ABED 是平行四边形，则 BE=AD=3，从而求解． 【答案】B 【考点】垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】连结 AP，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，
（ ）
12、矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为（3，4），D 是 OA 的中 点，点 E 在 AB 上，当△CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为（ ）
A、②③ B、③④ C、①②④ D、②③④ 11、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点 D 在边 BC 上（与 B、C 不重合），四边形 ADEF 为正方 形，过点 F 作 FG⊥CA，交 CA 的延长线于点 G，连接 FB，交 DE 于点 Q，给出以下结论： ①AC=FG；②S△FAB：S 四边形 CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC， 其中正确的结论的个数是（ ）
中考数学复习专题练习：矩形、菱形、正方形
一、单选题（共 12 题；共 24 分）
1、下列命题中，正确的命题是( ) A、两条对角线相等的四边形是矩形 B、两条角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C、两条对角线相互垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
2、平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A（－3，0）、B（0，2）、C（3， 0）、D（0，－2），四边形 ABCD 是（ ）.
(2)若 E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点，求证：线段 EF 与线段 GH 互相垂直平 分．
17、如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在 E 处，EQ 与 BC 相交于 F．若
四、综合题（共 3 题；共 35 分）
20、如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BCD，AC⊥AB，E 是 BC 的中点，AD⊥AE．
∴∠DCA=∠ACB， 又∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC， 过点 D 作 DE∥AB，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E， ∵AB⊥AC， ∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质）， ∴点 F 是 AC 中点， ∴AF=CF， ∴EF 是△CAB 的中位线， ∴EF= AB=2，