安徽省江南十校2020届高三第二次联考数学(文科)试题Word版含解析
安徽省江南十校2020届高三数学冲刺联考二模试题文
2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|4}xA y y e ==-+，{|lg[(2)(3)]}B x y x x ==+-，则下列关系正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．AB =∅C ．R R C A C B ⊆D ．R C B A ⊆2.若复数(23)z i i =--（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+3.已知向量a 与b b -也是单位向量，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．45 B ．60 C ．90 D ．1354.已知0.44a =，0.612b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a << 5.下列命题中，真命题的个数是（ ）①已知直线1l ：(1)20mx m y +++=，2l ：(1)(4)30m x m y ++++=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的充要条件；②“若22am bm <，则a b <”的逆否命题为真命题；③命题“若220a b +=，则0a b ==”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 至少有一个不等于0”；④命题p ：[1,)x ∀∈+∞，ln 0x >，则p ⌝：0[1,)x ∃∈+∞，0ln 0x <. A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，22017OA a OB a OC =+且AB d BC =，则2018S （ ）A ．0B ．1009C ．2017D ．20187.已知实数x ，y 满足24010ln 0x y y y x --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则1x y z x ++=的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知实数[0,4]m ∈，则函数21()ln 2f x m x x x=-+在定义域内单调递减的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．589.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．60 10.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1213e e +的最大值为（ ） A ．223B ．233C ．23D ．2211.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．18-B ．18 C ．116- D ．11612.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．2322⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭ B ．32⎫+⎪⎪⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置） 13.下表提供了某学生做题数量x （道）与做题时间y （分钟）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.7y x =+，则表中t 的值等于 ．14.已知双曲线C ：221916x y -=的左右焦点为1F 、2F ，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点M ，则12MF F ∆的面积为 ．15.已知O 为坐标原点，动点P 满足3OP =，M 、N ，则OM ON OP ++的最小值为 ．16.已知函数()f x 的定义域是R ，21,(0)()9ln(2),(0)x mx x f x x x π⎧-++≤=⎨++>⎩（m 为小于0的常数），设12x x <且12'()'()f x f x =，若21x x -的最小值大于6，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2*3()n n a S n n n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2111n n n c a S =+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：5362n T ≤<. 18.距离2018年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考试时学生的紧张程度，对某校500名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：男女总计正常 30 40 70 焦虑 270 160 430 总计300200500（1）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？（2）若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20()P K k ≥0.258 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.63519.如图，三棱锥D ABC -中，2AB =，2AC BC ==，ADB ∆是等边三角形且以AB 为轴转动.（1）求证：AB CD ⊥；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时，求它的表面积.20.如图所示，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线上第一象限的点，直线l 与抛物线相切于点M .（1）过M 作HM 垂直于抛物线的准线于点H ，连接MF ，求证：直线l 平分HMF ∠； （2）若1p =，过点M 且与l 垂直的直线交抛物线于另一点Q ，分别交x 轴、y 轴于A 、B两点，求AB ABAM AQ+的取值范围. 21.已知函数ln ()a xf x x+=，()g x mx =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a =时，()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当1a =时，求证：当1x >时，11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为1sin 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为244x my m =⎧⎨=⎩（m 为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点3,2)P -，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅. 23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式53x x m ++-≥恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式324x x m --≤-.2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学参考答案一、选择题1-5: CDACC 6-10: BBCAD 11、12：BB 二、填空题13. 6 14. 32315. 3 16. (16)-∞ 三、解答题17.解：（1）23n n a S n n +=+，当1n =时，11142a S a +=⇒=， 当2n =时，2122104a a a a ++=⇒=， 又∵{}n a 是等差数列，∴212d a a =-=，∴2(1)22n a n n =+-⨯=； （2）2211111(21)(21)n n n c a S n n n n =+=+-+-+11111221211n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. ∴n T =111111123352121n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1111112231n n ⎛⎫+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭111112211n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭31122(21)1n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. 当*n N ∈且n 逐渐增大时，n T 增大. ∴5362n T ≤<. 18.解：（1）假设该学校学生的考前焦虑与性别无关22500(3016027040)43070300200K ⨯-⨯=⨯⨯⨯30009.967 6.635301=≈>，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关； （2）男生、女生分别抽取3人，4人.记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B ，4B .基本事件为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .满足条件的有：11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .∴186217m P n ===. 19.（1）证明：取AB 的中点H ，连接DH ，CH ，AC BC AB CHADB AB DH CH DH H⎫==⊥⎪∆⇒⊥⎬⎪=⎭是等边三角形AB CDH AB CD CD CDH ⊥⎫⇒⇒⊥⎬⊂⎭平面平面；（2）解：111333ABC hV S h h ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴若V 最大，则h 最大. ∴平面ADB ⊥平面ABC .此时ABC ADB ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆=+++表1=+20.（1）证明：设2(2,2)(0)M pt pt t >则,22p H pt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线HF 的斜率122pt k t p ==--，由22(0)y px p =>得y =， ∴直线l的斜率212k t==， ∴121(2)12k k t t⋅=-⋅=-，∴l HF ⊥. 又由抛物线定义MF MH =，∴l 平分HMF ∠； （2）解：当1p =时，2(2,2)M t t ，AB 的方程：222(2)y t t x t -=--，∴2(12,0)A t +，3(0,24)B t t +.∴3224212B M AB y t t t AM y t+===+，由2222(2)2y t t x t y x⎧-=--⎪⎨=⎪⎩23420ty y t t ⇒+--=， ∴1122Q Q t y y t t t+=-⇒=--，∴342242421212B Q ABy t t t t AQ y t t t++===-++， ∴4222422121AB AB t t t AM AQ t ++=+++22222141(1,)t t t =++=+∈+∞. 21.（1）解：ln ()a xf x x+=的定义域为(0,)+∞， 且221(ln )1ln '()a x x af x x x -+--==. 由'()01ln 0f x x a >⇒-->1ln 10ax a x e -⇒<-⇒<<，∴()f x 在1(0,)ae-单调递增，在1(,)a e -+∞单调递减；（2）解：0a =，ln ()xf x x=， ∴ln ()()x f x g x x ≤⇔2ln xmx m x≤⇔≥， 令2ln ()x u x x =，∴312ln '()xu x x-=，由'()00u x x >⇒<<∴()u x在单调递增，在)+∞单调递减，∴max ln 1()2u x u e e ===，∴12m e ≥； （3）证明：11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++⋅>++. 令(1)(ln 1)()x x p x x ++=，则2ln '()x xp x x -=，令()ln x x x ϕ=-则11'()1x x x xϕ-=-=，∵1x >，∴'()0x ϕ>，∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()(1)10x ϕϕ>=>，'()0p x >，∴()p x 在(1,)+∞单调递增，∴()(1)2p x p >=，∴()211p x e e >++， 令12()1x x e h x xe -=+，则122(1)'()(1)x x x e e h x xe --=+，∵1x >，∴10xe -<，∴'()0h x <，()h x 在(1,)+∞单调递减， ∴当1x >时，2()(1)1h x h e <=+， ∴()2()11p x h x e e >>++，即11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.解：（1）l10y +-=，C 的普通方程：24x y =；（2）2)P -在l 上，l的参数方程为1222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入C得：21422t ⎛⎫⎫=⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即2440t -+=， ∴1244t t =，∴1244PA PB t t ==.23.解：（1）设()53f x x x =++-，则有22,5()8,5322,3x x f x x x x --<-⎧⎪=-<<⎨⎪+>⎩，根据函数的单调性有8m ≤.即m 的取值范围(,8]-∞；（2）当8m =时，324x x --≤，∴324x x -≤+， 当3x ≥时，原不等式324x x -≤+，7x ≥-，∴3x ≥； 当3x <时，原不等式324x x -≤+，13x ≥-，∴133x -≤<， ∴原不等式解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。
【附加15套高考模拟试卷】安徽省“江南十校”2020届高三联考数学(文)试题含答案
A． 13 B．13 C．10 D． 10
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若实数 满足
，则 的最小值为_____．
14．函数 f (x) sin x 3 cos x ， x 0 ，π 的单调减区间为____．
x y 2 0,
x
2
y
5
0,
15．已知实数 x ， y 满足不等式组 y 2 0, 且 z 2x y 的最大值为 a ，则
a cos2 x dx
0
2 =_____．
16．△ABC
中，内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，若
sin
3 2
B
4
2 2 ，且 a c 2，则
△ABC 的周长的取值范围是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）设函数
f
x
多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）
A．20 种B．30 种C．40 种D．60 种
7．设函数 f (x) sin x cos x ，若对于任意的 x R ，都有 f (2 x) f (x) ，则 sin(2 ) （ ） 3
1
1
3
3
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
20．（12 分）已知数列
an
为等差数列，其中 a2 a3 8, a5 3a2 ．求数列
an
bn
的通项公式；记
2 an an 1
，
设 bn 的前
n
2020届安徽省江淮十校高三第二次联考数学(文)试题(学生版)
江淮十校2020届高三第二次联考数学（文科）一､选择题1.若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ）A. {|14}x x <„B. {|14}x x <<C. {1,2,3}D. {2,3}2.下列说法错误的是（ ）A. 命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B. 命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C. 若命题p 、q ⌝均假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D. 若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件3.已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A. ()()()f b f a f c <<B. ()()()f c f b f a <<C. ()()()f c f a f b <<D. ()()()f a f b f c << 4.等差数列{}n a ，若2586104()6()132a a a a a ++++=，则94a a +=（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12 5.函数2sin 2x y x =-的图象大致是 A. B.C. D.6.已知向量a r ，b r 满足||3a =r ，1b r ||=，且||||a b a b -=+r r r r ，则|2|a b -r r 等于（ ）357 D. 3 7.平面直角坐标系xOy 中，若角α顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为单位圆O 交于点03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos()6πα+=（ ）A. 33410-B. 43310-C. 33410+D. 43310+ 8.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩，则满足(2)(1)0f x f -+->的x 的取值范围是（ ）A. (,3)-∞B. (1,3)-C. (,1)(3,)-∞-+∞UD. (3,)+∞9.长方､堑堵､阳马､鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊椎体的称呼.取一长方，如图长方体1111ABCD A B C D -，按平面11ABC D 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中与矩形为底另有一棱与底面垂直的三棱锥1D ABCD -称为阳马，余下的三棱锥11D BCC -是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑，已知长方体1111ABCD A B C D -中2AB =，3BC =，14AA =，按以上操作得到阳马，则阳马的最长棱长为（ ）A. 25B. 5 29 D. 4210.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，22a =则ABC ∆面积为（ ）5 B. 62 C. 72 211.关于函数()2sin()16f x x ππ=-+有下述四个结论:正确的有( )个①()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 ②()y f x =的图象关于点7,16⎛⎫⎪⎝⎭对称 ③()f x 的最小正周期为2 ④()f x 的值域为[1,3]-A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数2ln ,0()12,02e x x x f x x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪+-≤⎪⎩(e 为自然对数的底数)，则满足f (x )＝f [f (1)]的x 个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二､填空题13.曲线2()cos f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程为_______________.14.n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =____________.15.函数()cos f x x x =，且对任意实数x 都有()()f x f x θθ-=+()R θ∈，则cos2θ=_______.16.当[0,1]x ∈时，不等式32320ax x x -++>恒成立，则实数a 的取值范围是________.三､解答题17.已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++- （1）若()f x 的最小值是2，求a ；（2）求函数()y f x =，[0,]x π∈的单调递减区间.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a =-.（1）判断数列{}n a 是否为等比数列，并说明理由；（2）设21log n n b n a =-+，求数列{}n b前n 项和n T .19.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=.（1）求()f x ，()g x ，并证明:2(2)[()]2f x g x =+；（2）求函数()(2)2()F x f x g x =-，[1,1]x ∈-的最小值.20.已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+. （1）求角B ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，且BC =AD .21.已知函数32()21f x x ax =-+()a R ∈.（1）若3a =-，求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[]22-,上的最大值､最小值. 22.已知函数2()(1)x f x xe a x =++()a R ∈.（1）若1a =-，求()f x '的单调区间；（2）若0a >，证明()f x 有且仅有两个零点.。
安徽省江淮十校2020届高三上学期第二次联考试题(11月) 数学(文) Word版含答案
江淮十校2020届高三第二次联考数学(文科)2019.11注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z|x 2<16}，B ＝{x|x －1≤0}，则A ∩(U ðB)＝A.{x|1≤x<4}B.{x|1<x<4}C.{1，2，3}D.{2，3}2.下列说法错误的是A.命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题为“x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”B.命题“∀x ∈(0，＋∞)，2x <3x ”是假命题C.若命题p 、⌝q 均为假命题，则命题⌝p ∧q 为真命题D.若f(x)是定义在R 上的函数，则“f(0)＝0”是f(x)是奇函数”的必要不充分条件3.已知函数f(x)＝e －x －e x (e 为自然对数的底数)，若a ＝0.7－0.5，b ＝log 0.50.7，c ＝log 0.75，则A.f(b)<f(a)< f(c)B.f(c)<f(b)< f(a)C.f(c)< f(a)< f(b)D.f(a)< f(b)<f(c)4.等差数列{a n }，若4(a 2＋a 5＋a 8)＋6(a 6＋a 10)＝132，则a 4＋a 9＝A.9B.10C.11 D125.函数y ＝2x －2sinx 的图像大致是6.已知向量a ，b 满足|a ||b |＝1，且|a －b |＝|a ＋b |，则|a －2b |等于D.37.平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点P(35，y 0)，且α∈(－2π，0)，则cos(α＋6π)＝8.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足f(x －2)＋f(－1)>0的x 的取值范围是 A. (－∞，3) B.(－1，3) C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(3，＋∞)9.长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼。
安徽省江淮十校2020届高三第二次联考数学(文)试题Word版含答案
9.“江淮十校” 2018届高三第二次联考数 学(文科)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的。
1.已知全集 U = R ，集合 A = {x|y = ln(1 — x)} , B = {x| x 1 2 — 2x v 0)}，则 A A B = A. (0, 1) B. (0 , 2) C. (1 , 2) D. 1, 2)呻 呻呻呻呻 呻呻 呻2. 若向量a 、b 满足| a| = 5 , b = (1 , — 3), a • b = 5,则a 与b 的夹角为 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°3.已知p : | m + 1| v 1, q ：幕函数y = ( m 2 — m — 1) x m 在(0 ,+^ )上单调递减，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不 必要条件4. 已知等差数列{ a n }的前 n 项和 S n ，若 3( a ? + a 4) + 2( a 6 + a g +) = 12,则 S 11 = A. 6B. 11C. 33D. 485. 下列命题中正确的是A. 命题“ x € 0, 1］，使 x 2 — 1 >0” 的否定为“-x € 0, 1］，都有x 2 — K 0”B. 若命题p 为假命题，命题q 为真命题，则(—p) V ( -q )为假命题C. 命题“若：• b > 0，则a 与b 的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若x 2 + x = 0,则x = 0或x =— 1”的逆否命题为“若 X M 0且X M — 1，则x 2 + X M 0” 6.已知函数f(x) = sin ®x+ ..3COS 3X ( W >0)的图像与x 轴交点的横坐标依次构成一个公差 x 轴向右平移［个单位，得到函数g(x)的图像,61 sin2 C已知△ ABC ，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , b = 2, B = , -S - C = 1,则厶6 1+ COS 2C ABC 的面积为为二的等差数列，把函数2则下列叙述不正确的是 f(x)的图像沿 8.A. g(x)的图像关于点(一 兀，0)对称B. g(x)的图像关于直线 D. g(x)是奇函数x =对称4G 为AB 边上一点，OG 是/ AOB 25OA + mOB ，m€ R ,则EAJ 的值为|OB| A. -2B. 1C.D. 27.在厶AOB 中, C g(x)在4，/上是增函数 的平分线，且OG =奇函数f(x)定义域为(一n 0) U (0 , n ,其导函数是f'(x),当0v x vn 时，有f '(x) sinx—f(x)x > 0，则关于x 的不等式f(x) v 2f 「)sinx 的解集为6A. ( — ■O )U (二，nB.(—O) U (0,二) 6666C. ( — n ， —-)U (二,n6 6D. ( — n,-)U (0 ,) 6 6已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n , 1 n 定义 n i =1S 为数列｛ a n ｝前 n 项的叠加和，若 2016项数列a 1 , a 2, a s ，…，a 2°16的叠加和为 2 2A. 2017B. 2018C. 2017D. 2018填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省江南十校2020届高三第二次联考数学文试题
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
20．（12分）
已知函数 （ 为常数， ）．
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 求实数 的取值范围．
21．（12分）
如图1，在等腰梯形ABCD中， ， ，O是CD中点，将 沿AO折起，使平面 平面ABCO．如图2所示，E，F点分别是AB，CD上的点，且 ．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则有（）
A． B．
C． D．
3．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 （）
A． B． C． D．
则 ，即 ，
∵ ，∴ ．
14．32【解析】由 知等比数列 的公比 ，
则由题知 且 ，
则 ，求得 ， ，
则 ．
15． 【解析】如图，取 ，中点P，连接MP，NP，
由题知MN与BC所成的角即为MN与PN所成的角，
又正方体 的棱长为1，
则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，则 ，
且 ，
故MN与BC所成角的正弦值为 ．
17．（10分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．（12分）已知点 ， ， ，点P为曲线C上任意一点，且满足 ．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l过点M，求直线l被曲线C截得的最短弦长及此时直线l的方程．
安徽省2020届高三上学期第二次联考数学(文)试题Word版含解析
安徽省2020届高三上学期第二次联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，然后求交集即可.【详解】∵，，∴.故选：C【点睛】本题考查集合交集的概念与运算，属于基础题.2.复数，则（）A. B. 8 C. D. 20【答案】C【解析】【分析】利用乘法运算化简复数z，然后求出其模即可.【详解】∵，∴.故选：D【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.在中，，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得到底角大小，结合向量夹角定义得到结果.【详解】∵，，∴，则向量与的夹角为.故选：B【点睛】本题考查向量夹角的求法，解题关键是理解向量夹角的定义，属于易错题.4.设点是图中阴影部分表示的平行四边形区域（含边界）内一点，则的最小值为A. -1B. -2C. -4D. -6【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x﹣2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点时，直线y=的截距最大，此时z最小，代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣8=﹣6．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣6．故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．5.已知向量满足，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】将平方，找到的充要条件即可得结论.【详解】.又，可得，“”是“”的的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了向量模的运算，考查充分必要条件，属于中等题.6.将偶函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（）A. （）B. （）C. （）D. （）【答案】A【解析】【分析】由为偶函数可得，向右平移个单位长度后可得，令（），可得对称中心.【详解】∵（）为偶函数，∴，∴.∴.令（），得（）.∴曲线的对称中心为（）故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数中的平移变换以及的对称性等，在涉及到三角函数的性质时，大多数要利用辅助角公式要将其化为三角函数的基本形式，在平移过程中掌握“左加右减，上加下减，左右针对，上下针对而言”的原则以及三角函数的对称性是解题的关键.7.若函数的最大值为，则（）A. 2B.C. 3D.【答案】C【解析】【分析】由即可得到原函数的最大值.【详解】，则，.故选：C【点睛】本题考查辅助角三角公式，考查指数函数的单调性，属于基础题.8.的内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则（）A. 4B. 5C.D. 7【答案】B【解析】【分析】由条件及正弦定理可得，利用二倍角余弦公式可得，再利用余弦定理可得值. 【详解】∵.∴，即.∵，∴，则.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角余弦公式，考查了恒等变形能力，属于中9.若函数的值域为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得取到一切的正数，列出不等式，解不等式即可得到所求范围.【详解】依题意可得要取遍所有正数，则，即.故选：B【点睛】本题考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力．10.设是数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用及相邻等式作差可得，从而可得，利用裂项相消法求和即可.【详解】∵当时，，则，即，则，从而，故，.故选:D【点睛】本题考查数列的通项与求和，考查裂项相消法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档11.函数在上的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性可以排除B，D，结合特殊点，即可得出选项．【详解】∵，∴为偶函数，排除B，D．∵，∴排除C，故选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.12.若函数在上为增函数，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得对恒成立，令t=x+1即对恒成立.结合二次函数的图象与性质即可得到结果.【详解】依题意可得对恒成立，令t=x+1即对恒成立.设，.当时，解得.当时，∵，，∴对恒成立.综上，的取值范围为.故选：D【点睛】函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在内，则在上单调递增（减）．（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量，，且，，三点共线，则_______.【答案】【解析】【分析】由向量平行的坐标形式求得m,利用向量的数量积公式即可得到结果.【详解】∵，，三点共线，∴，∴，则，.故答案为：【点睛】涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：（1）若且，则存在实数，使成立；（2）若，且，则.14.某第三方支付平台的会员每天登陆该平台都能得到积分，第一天得1积分，以后只要连续登陆每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登陆两周，则他两周共得__________积分．【答案】【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式即可得到结果.【详解】依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列，故他这两周共得积分.故答案为：105【点睛】本题考查了等差数列的应用问题，解题关键理解好等差数列的定义，把问题归结到等差数列求和上.15.若，且，则__________．【答案】【解析】【分析】将变形为，从而可得进而得到，再利用配凑角得到所求. 【详解】，.又，，==，故答案为.【点睛】本题主要考查“给值求值”：给出某些三角函数式的值，求另外一些三角函数值，解题关键在于“变形”和“变角”，使其角相同或具有某种关系，本题主要利用了二倍角公式、诱导公式及两角和差的正切公式.16.若对恒成立，且存在，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】利用方程思想得到，利用单调性明确函数的最大值即可.【详解】，以代入得，消去得，若，则单调递增，，则.故答案为：【点睛】本题考查了方程思想求函数的解析式，考查了不等式能成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题）17.在数列中，，，设.（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）直接用定义将化简得出定值4便可证明是等比数列，再利用的通项公式去求的通项公式.（2）直接利用等比数列求和公式即可得结果.【详解】（1）∵ ， ∴数列是首项为2，公比为4的等比数列. 从而， 则.（2）解：由（1）知， 所以，. 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断及等比数列求和的公式，是基本知识的考查．18.已知函数的图象关于直线对称．求的最小正周期；求在上的单调递增区间；若，求．【答案】（1）；（2），，；（3） 【解析】【分析】（1）将代入函数，与对称轴对应，再利用的范围可求得的具体取值，进而求得最小正周期；（2）求解出的单调递增区间，然后选择之间的部分；（3）通过两角和差正弦公式展开，再构造出关于的齐次式，从而利用求得齐次式的值。
2020江南十校高三联考数学(文)试题及答案
2020年安徽省“江南十校”高三联考数 学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数22ii+-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．45 C ．35i D ．45i2、设集合{}ln ,1y y x x A ==>，集合{}24x y x B ==-，则()RAB =（ ）A ．∅B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．()(),22,-∞-+∞3、设命题:p ()3,1a =，(),2b m =，且//a b ；命题:q 关于x 的函数()255x y m m a =--（0a >且1a ≠）是指数函数，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ） A ．0 B ．1 C ．212+D ．12+ 5、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32S =，66S =，则131415a a a ++的值是（ ） A ．18 B ．28 C ．32 D ．1446、若函数21x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点(),m n P ，且过点()Q 1,m n -的直线l 被圆C:222270x y x y ++--=截得的弦长为32，则直线l 的斜率为（ ） A ．1-或7- B ．7-或43 C ．0或43D ．0或1- 7、已知点()0,1A 、()2,3B -、()C 1,2-、()D 1,5，则向量C A 在D B 方向上的投影为（ ） AB．D． 8、已知函数()1sin 1cos 22f x a x a x ⎛⎫⎛=++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，将()f x 图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若对任意R x ∈，都有()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．29、已知函数()()()()12010x x f x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =++在R 上恰有两个相异零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．(),0-∞D ．(],1-∞ 10、在正方体1111CD C D AB -A B 中，①经过点A 垂直于平面1D A B 的直线也垂直于平面11D C B ； ②设O 为C A 和D B 的交点，则异面直线1AB 与1C O 所成的角是6π； ③若正方体的棱长为2，则经过棱11D C 、11C B 、1BB中点的正方体的截面面积为④若点P 是正方形CD AB 内（包括边界）的动点，点Q 在对角线1C A 上，且满足1Q C P ⊥A ，Q PA =P ，则点P 的轨迹是线段．以上命题正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、命题：“存在R x ∈0=”的否定是 ． 12、()30log 2sin 330213++= ．13、若实数x ，y 满足约束条件430260x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则21y x +的取值范围为 ．14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：O →()11,0A →()21,1A -→()30,1A -→()41,1A --→()51,0A -→()61,1A -→()70,1A →()81,1A →()92,1A →⋅⋅⋅→()122,2A -→⋅⋅⋅→()162,2A --→⋅⋅⋅→()202,2A -→⋅⋅⋅→()253,2A →⋅⋅⋅，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为 ．15、若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离”直线l ．在下列曲线中，“远离”直线:l 2y x =的曲线有 ．（写出所有符合条件的曲线C 的编号）①曲线C:250x y -+=；②曲线C:2924y x x =-+-；③曲线C:()2251x y +-=；④曲线C:1x y e =+； ⑤曲线C:ln 2y x =-．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()4sin cos 16f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．()I 求函数()f x 的最小正周期；()II 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，3a =，C 3S ∆AB =求22b c +的值．17、（本小题满分12分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，现已知成绩落在[]90,100的有5人．()I 求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；()II 根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；()III 现要从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率．18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足22124n n n n n a a a a a ++++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．()I 证明：数列{}n a 是等差数列；()II 设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．19、（本小题满分13分）如图，圆柱1OO 的底面圆半径为2，CD AB 为经过圆柱轴1OO 的截面，点P 在AB 上且13AP =APB ，Q 为D P 上任意一点．()I 求证：Q A ⊥PB ；()II 若直线D P 与面CD AB 所成的角为30，求圆柱1OO 的体积．20、（本小题满分13分）已知函数()()1ln 1a x f x a x x +=-+，其中0a ≥．()I 当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；()II 讨论()f x 在其定义域上的单调性．21、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，它的左焦点为()F ,0c -，直线1:l y x c =-与椭圆C 交于A ，B 两点，F ∆AB 的周长为3a ．()I 求椭圆C 的方程；()II 若点P 是直线2:l 3y x c =-上的一个动点，过点P 作椭圆C 的两条切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点，求证：直线MN 过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上一点()00,x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=）参考答案1.B ．22(2)342(2)(2)55i i i i i i ++==+--+，故选B 2.C ．{}{}0,22A x x B x x =>=-≤≤，{}=2x 2,R C B x x ><-或{}=2,R A C B x x ∴⋂> 故选C3.A ．命题:320,6p m m ⨯-==；命题2:55116q m m m --==-由得或，故选A4.A ．由程序框图可知，最后输出的215sinsin sin0444p πππ=+++=，故选A 5.C ．由等比数列性质可知363961291512,S S S S S S S S S ----，，，也成等比，易求出131415151232a a a S S ++=-=, 故选C6.A ．(22),(12)P Q ，，,设2(1),20l y k x kx y k -=--+-=：即，圆C ：22(1)(1)9x y ++-=，圆心-1,1C （）到l 的距离d ==2870k k ∴++=，17,k =--或故选A7.D ．(11),(32),AC BD =-=∴，，AC 在BD 方向上的投影为13AC BD BD -⨯==13=-,故选D 8. D ．1()sin cos cos 22f x a x a x x x =++=sin()2cos()33a x x ππ+++ ()()sin 2cos 3g x f x a x x π∴=-=+，由题意得(g x ）图象关于直线4x π=对称， ()(0),22g g a π∴=∴=，故选D9B ．()0()g x f x x a =⇔=--，当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，()(1)f x f x =+=，故把y =[)0,1上的部分向左平移1个单位得到()f x 在[)1,0-上的图象，再把()f x 在[)1,0-上的图象每次向左平移1个单位连续平移就得到()f x 在R 上的图象，再作出y x a =--的图象，由图象可得1a -<，1a >-，故选B10.D ．易证1//A BD 面11B D C 选，∴①正确；11//A B D C ，1OC D ∠就是异面直线1AB 与1OC 所成的角．1,BD OC BD CC ⊥⊥，BD ∴⊥面1OCC ，1BD OC ∴⊥，又11122OD BD C D ==，16OC D π∴∠=，∴②正确；设棱111111,,,,,B D B C BB AB AD DD 的中点分别为,,,,,E F G H M N ，则过点,,E F G 的正方形截面就是正六边形EFGHMN ，26S ==，∴③正确；连结1A P ，易证1AA AP ⊥，又1PQ A C ⊥，11,PA PQ PA PA ==，1111,Rt A PA Rt A PQ A A AQ ∴∆≅∆=，∴Q 为1A C 上定点，又PA PQ =，点P 在线段AQ 的中垂面上，∴点P 在AQ 的中垂面与正方形ABCD 的交线上，∴④正确；故选D11.对任意x R ∈0≠．12.52 原式15sin(30)12322=-++=-+=．13.4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21y x +可看作点()1,0P -与点(),x y 连线斜率的2倍，画出可行域，由4260x x y =⎧⎨+-=⎩ 得()4,2A -,由30260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,4B ,2,2,5PA PB k k =-=∴21yx +的取值范围为4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 14.()1,9-以O 为中心，边长为2的正方形上共有格点18a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()1,1以O 为中心，边长为4的正方形上共有格点216a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()2,2以O 为中心，边长为6的正方形上共有格点324a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()3,3………以O 为中心，边长为2n 的正方形上共有格点8n a n =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为(),n n ，由前n 个正方形上格点的总数123n S a a a =+++…81624n a +=+++ (88)83502n n n ++=≥得9n ≥．当9n =时，前9个正方形上格点的总数99(872)3602S +==，且蚂蚁在第9个正方形（边长为18）上爬过的最后一个格点为()3609,9A ，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为()1,9-． 15.②③⑤ 对①：2512d ==，∴不合题意；对②：设直线1:2l y x b =+与曲线29:24C y x x =-+-相切，把2y x b =+代入2924y x x =-+-得2904x b ++=，由90404b ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭，得94b =-，此时直线1l 与l的距离91d ==>，符合题意；对③：圆心()0,5C到直线l的距离d ==∴圆C 上的点到l 距离的最小11>，符合题意；对④：设曲线C 上斜率为2的切线的切点为()00,P x y ，'x y e =，00'2,x x x k y e =∴===0ln 2x ∴=，()ln 2,3P ∴，切线：()32ln 2y x -=-，即：232ln 20x y -+-=，∴切线与C的距离d ==，()ln 41,2∈，()3ln 41,2∴-∈，2,1d >∴<，不合题意；对⑤：设切点为()00,P x y ，'1y x=， 0'012,x x k y x =∴===012x ∴=，1,2ln 22P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，1,d ∴==>符合题意。
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安徽省江南十校2020届高三第二次联考数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则化简的结果为（）A. B. C. -1 D. 1【答案】C【解析】【分析】先用复数的除法运算，化简，然后再利用的周期性求得最终化简的结果.【详解】依题意，.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是是一个周期出现的量，以此类推.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合，，则有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A中的范围，解指数不等式求得集合B中的范围，再根据选项逐一判断正误. 【详解】由解得，故集合，由解得，故集合.故，A选项正确，D选项错误，，故B,C选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即或，.指数不等式的解法主要是化为同底来计算.3.若，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的的值.【详解】运行程序，输入，，，判断否，，判断否，，判断否，，判断是，退出循环.依题意可知，解得.故选A.【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.5.在递增等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，从而求得任意一项的值.【详解】由于数列为等比数列，故，由于数列是递增的数列，故解得，故，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题.6.已知直线，，若，则之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，求得的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离.【详解】由于两条直线平行，属于，解得，当时，两直线方程都是故两直线重合，不符合题意.当时，，，故两平行直线的距离为.故选A.【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意，两边平方得，解得.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（）A. B. 52 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为.右侧梯形上底为，下底为，腰长为，为等腰梯形，故高为，故面积为.故表面积为，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在中，三个内角的对边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得的大小.【详解】由正弦定理得，即，即，化简得，故，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题. 10.已知曲线，，要想由得到，下面结论正确的是（ ）A. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位B. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位D. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】先将转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项. 【详解】依题意，横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）得到，然后再向右平移个单位，得到.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题. 11.设为负实数且，则下列说法正确的是（ ） A.B.C.D. 以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】 令，指数式化为对数式，用来表示，然后利用换底公式比较和的大小，由此得出正确选项.【详解】令，则，.由于为负实数，故，所以.由于，所以，所以，所以，两边乘以得，即.故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式恒成立，若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小.【详解】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.所以，，，根据单调性有.故，即，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形中，，沿对角线将其折成直二面角，连结，则该三棱锥的体积为__________．【答案】【解析】【分析】利用等面积法求得直角三角形的边上的高，也即三棱锥的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，，设直角三角形的边上的高为，根据等面积有，解得，故三棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，取得最小值，此时直线方程为，由点到直线的距离公式得，（取负值），即的最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，表示的是圆心为，半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数，由于，当直线截距最大时，取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形的圆心角为，半径为2，是其弧上一点，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】以为基底，表示，这是一个正交的基底，故，再由基本不等式求得的最大值.【详解】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于相互垂直，以为基底，这是一个正交的基底，表示，根据图像可知，即，故，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得这个基本的形式，还要注意它的变形.16.已知定义在的两个函数和（是自然对数的底），若在的解集内有且只有两个整数，则实数的范围是__________．【答案】【解析】【分析】化简不等式，变为，即左边函数在右边函数图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】化简不等式，得，构造函数和，需要满足图像在图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.，故函数在上递减，在上递增，且当时，函数值小于零.当时，在上递增，画出图像如下图所示，由图可知图像在图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当时，显然不符合题意.当时，画出图像如下图所示，由图可知，即，解得.即的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，三内角的对边分别为，已知向量，，函数且.（1）求角的值；（2）若且成等差数列，求.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简的表达式，利用求得的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得的值.【详解】（1）整理得：，∵，∴，∵，∴；（2）由成等差数列，得：，由余弦定理得：，由，得：，三个等式联立解得：.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列的前项和，且，等比数列的前项和，且.（1）求和的通项；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；(2)【解析】【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.同理也求得的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前项和.【详解】（1）由，得：，∵符合公式，同理：由，推得：，∵是等比数列，∴（2）设，是其前项和，∵∴两式相减得：∴另解：∵，∴【点睛】本小题主要考查已知求得方法，考查错位相减求和法. 已知求得方法是利用来求数列的通项公式.属于中档题.19.已知两个定点，，动点到点的距离是它到点距离的2倍.（1）求点的轨迹；（2）若过点作轨迹的切线，求此切线的方程.【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹的方程.（2）由于轨迹是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条.【详解】（1）设动点，则，坐标代入得：，化简得：所以动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；（2）设是圆的切线，则有：，当不存在时，恰好与圆切于点，综合得：切线方程为：或.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数（为常数，）.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）对函数求导后，对分成三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得的取值范围.【详解】（1）∵，所以，当时，，递增区间为；当时，或，∴递增区间为和；当时，或，∴递增区间为和；（2）∵，∴，当时，，即的递减区间为，∴.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图（1）中，为直角，，为直角，，且，把与拼齐使两块三角板不共面，连结如图（2）.（1）若是的中点，求证：；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中，三棱锥的体积为，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过证明直线平面，证得直线.（2）根据的长度，求得的长度，求得三角形的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为，由此证得平面，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设中点为，连结，∵，，∴，∵，，，∴∵，∴平面，故；（2）此时三棱锥时鳖臑∵，又三棱锥的体积高，所以平面，那么，在三棱锥中，显然是直角，∵，，平面也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对分成三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得的取值范围.【详解】（1），∵，∴所求切线方程为，即所求切线方程是；（2）若，∵单调递减，∵在上，，不合题意；若，由，∵单调递增，由于，那么，时，，则，那么在上，，单调递减，∵，∴在上，，不合题意；若，单调递增，单调递增，∵，∴，，符合题意.综合上述得：.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.。