初中数学圆的常用辅助线知识点
圆中辅助线添法法口诀与应用
初中数学圆中辅助线添法探究一、圆的辅助线口诀半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点：辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
二：圆中常见辅助线的添加1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）（1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
（2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4、遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
5、遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：（1）内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；（2）内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
九年级数学上册圆专题 辅助线
圆 专题一 辅助线1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ，求证：PM •PN=2PO 2.分析：要证明PM •PN=2PO 2，即证明PM •PC =PO 2，过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM •PC=PO 2，要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO.证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC=PN 21∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO.∴即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •PN ，∴PM •PN=2PO 2.PO PC PM PO 21【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那么OP 的长的取值范围是_________．【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是________.CBBA2． 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
例 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．（1）求证：BA ·BM=BC ·BN ；（2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°（1）证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB ∴BNABBMBC∴AB ·BM=BC ·BN（2）解：连结OM ，则∠OMC=90°∵N 为OC 中点∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60°∵OM=OB ，∴∠B=∠MON=30°21∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3． 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
有关圆的七种辅助线的作法
有关圆的七种辅助线的作法作者：来源：《语数外学习》2015年第10期圆是初中几何的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题都需要添加辅助线来解答.只要添上合适的辅助线，就可以化繁为简、化难为易. 下面举例说明有关圆的几种辅助线的作法.一、有关直径问题，常作直径上的圆周角例1 ; 如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB 于点M，交BC于点N.（1）求证：BA·BM=BC·BN;（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.图1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图2（1）证明：如图2，连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴ ;= ;，∴AB·BM=BC·BN;（2）解：如图2，联结OM，则∠OMC=90°，∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，∵OM=OB，∴∠B= ;∠MON=30°，∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6.说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.二、有关弦的问题，常作其弦心距例2 ; 如图3，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM·PN=2PO2.图3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图4证明：如图4，过O作OC⊥NP于点C，则PC= ;PN，∵OC⊥NP，PO⊥AB，∴∠POM=∠PCO= 90°，又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，∴ ;= ;，∴PO2=PM·PC=PM·（ ;PN），即PM·PN= 2PO2.说明：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来将弦、弧、弦心距联系起来.三、对于直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径例3 ; 如图5，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P.（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED.（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？图 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图6证明：（1）如图6，连接OC.∵PC=PF，∴∠4=∠5，∵∠4=∠3，∴∠3=∠5.∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°.∴∠AHF=90°，即AB⊥DE.（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF.如图6，连接AE，∵ ;= ;，∵∠ADF=∠ADE，∴△ADF∽△EDA，∴ ;= ;.即AD2=DE·DF.说明：命题的条件中含有圆的切线，解题时往往连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题.四、对于相切两圆，常添公切线作辅助线例4 ; 如图7，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D .（1）求证：PC平分∠BPD;（2）将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.图7证明：（1）如图8，过P点作两圆公切线PQ，∵∠QPC=∠PCQ，∠QPB=∠A，∠CPD=∠A+∠QCP，∴∠CPD=∠CPB，即PC平分∠BPD.图8 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图9（2）上述结论仍然成立.如图9，过点P作两圆公切线PM，则∠MPB=∠A，∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，说明：在解答有关两圆相切的问题时，作辅助线的方法是作两圆的公切线.公切线是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角产生联系，运用弦切角定理.五、两圆相交，常连结公共弦或连心线例5 ;已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.（1）如图10，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立，证明你的结论.（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径.图10 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图11（1）EA=ED成立.证明：如图11，联结AB，在EA延长线上取点F，∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC=∠ABC，∵∠FAC=∠DAE， ;∴∠ABC=∠DAE，而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角∴∠ABC=∠D，∴∠DAE=∠D，∴EA=ED;（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切.解：如图12，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=90°，∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径， ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图12∴由切割线定理知：AC2=CB·CE，而CB=2，CE=8 ;∴AC2=2×8=16，AC=4，故⊙O1直径为4.说明：在解两圆相交问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形，再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系.六、圆中有相交弦，常作线段构造相似三角形例5 ;如图13，已知⊙O的两条弦AB、CD交于P点，求证：AP·BP=CP·DP.图13 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图14证明：如图14，连结AC，BD，∵∠C和∠B都是⊙O中弧 ;所对的圆周角，∴∠C=∠B，同理可得∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP，∴ ;= ;，即AP·BP=CP·DP.说明：在求解圆中与线段有关的等积式（或比例式）问题时，通常需要连结两条相交弦的两组端点，利用相似三角形的有关性质来帮助求解;若两条相交弦均是直径，则连线后可以构成全等的等腰三角形.七、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形例6 ; 如图15，点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°，AB=6，求⊙O 半径的长.图15 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图16解：如图16，作直径AD，连结BD.∵∠ACB与∠D都是 ;所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°，又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=30°，∴BD= ;AD，设BD=x，则AD=2x，∴AB= ;= ;= ;x，∴x= ;= ;=2 ;，∴r= ;AD=x=2 ;.说明：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角时，通常需要作直径构造直角三角形，以利用特殊三角形的边长关系及勾股定理来帮助求解.《轴对称》拓展精练参考答案1.C;2.B;3.B;4.C;5.18;6.108°;7.60°;8.309087;9.15°;10.480m2或768 m211. 解：（1）图略，∠ABC=90°时，PR=7.证明如下：连接PB、RB，∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，∴PB=OB=3 ;，RB=OB=3 ;，∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR=2×3 ;=7;（2）PR的长度是小于7，理由如下：∠A BC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB+BR>PR，∵PB+BR=2OB=2×3 ;=7，∴PR图形的平移与旋转强化练习参考答案1.C;2.A;3.D;4.45;5. ;;6.5;7. ;+1;8. （1）△ABC扫过面积即S梯形ABFD=32;（2）a=5或a=6.9.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形.（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形.（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°;②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，∴α-60°=50°，∴α=110°;③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD.∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠AOD= ;=120°- ;，∴190°-α=120°- ;，解得α=140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.。
圆内辅助线方法
圆内辅助线方法
在圆内作辅助线的方法有以下几种：
1. 直径：通过圆心作直径，将圆分成两个相等的半圆，可以用于确定圆上某点的位置或者进行圆的对称性证明。
2. 弦：连接圆上的两个点，形成一条弦。
弦可以用来测量圆的直径、找到圆上的中点以及确定圆弧的长度和角度。
3. 切线：从圆外一点引切线与圆相切，切点即为切线与圆的交点。
切线与半径垂直，并且切线和半径的夹角等于相应弧的夹角。
4. 弧：圆上两点之间的曲线部分称为弧。
可以通过连接弧上的两点和圆心，构成一个扇形。
通过测量弧长和圆心角可以计算出圆的周长和面积。
5. 径向线：连接圆心与圆上的任意一点，称为径向线。
径向线可以用来分析圆上的几何性质，如角度和长度。
这些辅助线方法在解决圆相关的问题时非常有用，能够帮助我们理解圆的性质、推导定理以及进行计算和证明。
1。
圆辅助线作法汇总(值得一看)
辅助线是指在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段，是初中学生学习中很重要的一部分，也是各种考试的热点，下面就让我们看下与圆有关的辅助线的做法。
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆虽然是初中数学最熟悉的几何图形之一，但它有很多新的知识点，尤其有许多知识点都与前面的知识紧密联系着，解题时必须用到直线型中的定理、法则。
因此，解题时先要由条件对图形有比较好的认识，再联想相关知识，分析隐会条件，将做题过程化解为若干小问题，逐一解决。
下面就让我们看看圆中常见的辅助线的作法：1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2.遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4.遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5.遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6.遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。
（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7.遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
(完整版)初中几何辅助线——圆常用辅助线
初中几何辅助线——圆常用辅助线题型 1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例1如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，P A = 4cm .求⊙O 的半径.题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,求证：证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴（二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴题型3.有弦中点时常连弦心距例3如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o －∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM题型4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例4如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B .求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M ,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P= ∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD题型5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例5如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的 中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴»»AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC∴△ODC ≌△OEC ∴CD = CE结论1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 结论2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.结论3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例6如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12 AP练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：BC CF BE EF=题型6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.题型7.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC（提示如图）题型8.有弦中点时，常构造三角形中位线例7已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =12 AD证明：作直径CF，连结DF、BF ∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴»»AD BF=∴AD = BF∵OE⊥BC O为圆心CO = FO ∴CE = BE∴OE =12 BF∴OE =12ADP2题图A1题图BA题型9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例8如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠F AC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：AB ·AC= AD ·AE证明：连结BE ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE ∽△ADC∴AE AB AC AD∴AB ·AC = AD ·AE题型10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例9如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于E 、F .求证：CE ∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o ∴∠C ＋∠D = 180o ∴CE ∥DF题型11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例10如图，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结P A 、PB .求证：P A 、PB 为⊙O 的切线 证明：连结OA ∵PO 为直径∴∠P AO = 90o ∴OA ⊥P A∵OA 为⊙O 的半径 ∴P A 为⊙O 的切线同理：PB 也为⊙O 的切线例11如图，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE ，过O 作OF ⊥CD 于F ∵OE 为半径，AB 为小圆的切线∴OE ⊥AB ∵OF ⊥CD , AB = CD∴OF = OE ∴CD 为小圆的切线P练习：如图，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ，PE ⊥AC 于E , 求证：PE 是⊙O 的切线题型12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例12如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90o ，AC = 12，BC = 9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 长.解：连结OE ，则OE ⊥AC∵BC ⊥AC ∴OE ∥BC∴OE AOBC AB=在Rt △ABC 中，AB= 15==∴15915OE AB OB OEAB --==∴OE = OB = 458∴BD = 2OB = 454∴AD = AB －DB = 15－454= 154答：AD 的长为154.练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CDCC AE。
初中数学圆的辅助线添加方法总结
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
七年级数学辅助线知识点
七年级数学辅助线知识点（原创实用版）目录1.七年级数学辅助线的概念2.七年级数学辅助线的种类3.七年级数学辅助线的应用举例4.七年级数学辅助线的解题技巧5.总结正文一、七年级数学辅助线的概念在七年级的数学学习中，辅助线是一个重要的知识点。
辅助线是在解决几何问题时，为了使问题变得容易解决而添加的假想线。
它是一种思维工具，能帮助我们更好地理解和解决几何问题。
二、七年级数学辅助线的种类七年级数学辅助线主要有以下几种：1.高线：连接两点并垂直于底边的线段。
2.中线：连接一个顶点和它对边中点的线段。
3.角平分线：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
4.垂直平分线：从一个角的顶点出发，将这个角的两边分别平分并垂直相交的线段。
5.斜边：连接直角三角形斜边的中点和一个顶点的线段。
三、七年级数学辅助线的应用举例在七年级的数学问题中，辅助线的应用非常广泛。
例如，当我们需要求解一个直角三角形的斜边长度时，我们可以通过添加斜边辅助线来解决这个问题。
同样，当我们需要证明两个三角形全等时，我们可以通过添加高线、中线、角平分线等辅助线来帮助我们理解和解决问题。
四、七年级数学辅助线的解题技巧在解决七年级数学问题时，添加辅助线需要遵循以下原则：1.根据问题，选择适当的辅助线类型。
2.添加辅助线后，应使问题变得简单明了，更容易理解。
3.在添加辅助线时，要注意不要改变原问题的几何形状。
4.在解题过程中，可以适当地删除辅助线，以帮助我们更好地理解问题的本质。
五、总结七年级数学辅助线是一个重要的知识点，它能帮助我们更好地理解和解决几何问题。
初中几何辅助线——圆常用辅助线
习 求证：
习
学
学C
D
分证明：（一）连结 OC、OD
分A
满 满 ∵M、N 分别是 AO、BO 的中点 ∴OM = 1 AO、ON = 1 BO
MO N
B
2
2
习 学 分 满
∵OA = OB
习
习
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习
分 满 ∴OM = ON
分 关注公众号：满分学习，每天查看更过干货资料！ 满
CD = CE
证明：连结 OC
习 ∵C 为弧 AB 的中点
习O
学 ∴ AB BC
学D E
分∴∠AOC =∠BOC
分A
B
C
满
满 ∵D、E 分别为 OA、OB 的中点，且 AO = BO
∴OD = OE = 1 AO = 1 BO
2
2Leabharlann 又∵OC = OC习 学 分 满
∴△ODC≌△OEC
习 习 ∴CD = CE 学 学 结论 1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半.
分
满
满
习 学 分 满
例 3 如图，已知 M、N 分别是⊙O 的弦 AB、CD 的中点,AB = CD，求证：∠AMN
= ∠CNM
习 证明：连结 OM、ON
习A
C
习
学 学 ∵O 为圆心，M、N 分别是弦 AB、CD 的中点
M
N
学
分∴OM⊥AB
ON⊥CD
分 分 O
B
D
满 ∵AB = CD
满
满
∴OM = ON
分 满
∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD