概率论与数理统计常用数值表
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全概率论和数理统计作为数学的两个重要分支，被广泛应用于各个领域。
无论是在学术研究还是实际应用中，熟悉并掌握相关的公式是非常重要的。
本文将为您提供概率论与数理统计公式的大全，帮助您更好地理解和应用这两门学科。
一、概率论公式1. 概率公式- 概率的定义：P(A) = N(A) / N(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A的样本点个数，N(S)表示样本空间中的样本点总数。
- 加法法则：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
- 乘法法则：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率。
2. 条件概率公式- 条件概率的定义：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
- 全概率公式：P(A) = ∑[P(Bi) × P(A|Bi)]，其中Bi为样本空间的一个划分，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
3. 事件独立性公式- 事件A和事件B独立的定义：P(A∩B) = P(A) × P(B)，即事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
- 事件的相互独立：若对于任意的事件A1，A2，...，An，有P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1) × P(A2) × ... × P(An)，则称事件A1，A2，...，An相互独立。
4. 随机变量- 随机变量的定义：随机变量X是样本空间到实数集的映射。
- 随机变量的分布函数：F(x) = P(X≤x)，表示随机变量X小于等于x的概率。
- 随机变量的概率密度函数（连续型随机变量）：f(x)是非负函数，且对于任意实数区间[a, b]，有P(a≤X≤b) = ∫[a, b]f(x)dx。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式⼤全第1章随机事件及其概率第⼆章随机变量及其分布a≤x≤b 0， x 1， x>b 。
,0,,,x<0。
X 落在以为中⼼，3为半径的区间(-3, +3)内的概率相当⼤(0.9973),落在(-3, +3)以外的概率可以忽略不计F Y (y ) ＝P (Yy )＝P (g(X ) y )＝第三章⼆维随机变量及其分布⼆维正态分布，（X，Y）～N（可以推出 X～N（但若X～N（，(X，Y)未必是⼆维正态分布。
,两个独⽴的正态分布的和仍为正态分布（）。
卷积公式:分布设n个随机变量相互独⽴，且服从标准正态分布，可以证明它们的平⽅和的分布密度为我们称随机变量W服从⾃由度为n的分布，记为W～，其中所谓⾃由度是指独⽴正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的⼀个重要参数。
分布满⾜可加性：设则t分布设X，Y是两个相互独⽴的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从⾃由度为n的t分布，记为T～t(n)。
F分布设，且X与Y独⽴，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第⼀个⾃由度为n1，第⼆个⾃由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).（1）p ij≥0（i,j=1,2,…）；（2）M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（极值分布）设随机变量X,Y相互独⽴且分布函数分别为F X(x),F Y(y)则M与N的分布函数分别为第四章随机变量的数字特征⼀维随机变量的数字特征离散型连续型(平均值)E(X+Y)=E(X)+E(Y)； E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独⽴；充要条件：X和Y不相关。
函数的期望Y=g(X) Y=g(X)， D（X）= cov(X,Y)= ; D（Y）=。
Y)=E(XY)-E(X)E(Y).Cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) +X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y) 1相关系数(标准协⽅差):=的标准化变量:即“随机变量与期望之差除以均⽅差”|≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：完全相关时，称X与Y不相关。
概率论与数理统计基础知识
进行统计分析，通常是从母体中随机地选择一部分样品，称为子样（又称样本）。用它来代 表母体进行观察、研究、检验、分析，取得数据后加以整理，得出结论
例如，我们可将一个编号水泥看成是母体，每一包水泥看成是个体，通过随机取样（连续取 样或从20个以上不同部位取样），所取出的12kg检验样品可称为子样，通过检验分析，即可 判断该编号水泥（母体）的质量状况。
实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”.
则 X 的取值范围为 (a, b) .
定义
设 E 是随机试验, 它的样本空间是 S {e}. 如 果对于每一个 e S , 有一个实数 X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在 S 上的单值实值函数 X (e), 称 X (e) 为随机变量.
如果事件A发生必然导致事件B发生，即A的每个样本点都是B的样本点，则称 B包含A，记作 A B ．从事件的集合表示看，事件B包含事件A就是样本空间的 子集B包含子集A 等对，任记何为事A件=AB，，总即有，AA与 B含有如相果同A 的 B样本，点同时B A ，则称事件A和事件B相
事件的互斥
如果事件A和B不可能同时发生，即A与B没有公共样本点，则称A与B是互斥 的（Mutually Exclusive）或互不相容的，换句话说，两个事件A与B互斥就是 样本空间两个子集A与B不相交
四、数据统计特征数
算术平均值 我们从总体抽了一个样本（子样），得到一批数据X1、X2、X3……Xn在处理这批数据时，经常
用算术平均值X来代表这个总体的平均水平。统计中称这个算术平均值为“样平均值”。 中位数 把数据按大小顺序排列，排在正中间的一个数即为中位数。当数据的个数n为奇数时，中位数就
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
概率论与数理统计实践----正态分布
正态分布的性质及实际应用举例正态分布定义：定义1：设连续型随机变量的密度函数（也叫概率密度函数）为：式中，μ 为正态总体的平均值；σ 为正态总体的标准差； x 为正态总体中随机抽样的样本值。
其中μ 、σ 是常数且σ > 0，则称随机变量ξ 服从参数为μ 、σ 的正态分布，记作ξ ~ N(μ,σ).定义2：在（1）式中，如果μ = 0，且σ =1，这个分布被称为标准正态分布，这时分布简化为：（2）正态分布的分布函数定义3：分布函数是指随机变量X 小于或等于x 的概率，用密度函数表示为：标准正态分布的分布函数习惯上记为φ ，它仅仅是指μ = 0,σ =1时的值，表示为：正态分布的性质：正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
应用综述 ：1. 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
2. 制定参考值范围（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
（2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
概率论与数理统计公式总结.pdf
若X ~ N(0,1), Y ~ 2(n),则 X ~ t(n)
Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y)
Y /n
F 分布 正态总若U ~来自 2 (n1),V ~ 2 (n2 ),
则U / n1 V / n2
~
F (n1, n2 )
体条件下
样本均值的分布：
X ~ N(,
n
L p(xi; ) i 1
均值的区间估计——大样本结果
x z / 2
n
x — 样本均值 — 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n — 样本容量(大样本要求n 50) z /2 — 正态分布的分位点
两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知
x1 x2
Bayes 公式：从结果找原因
P(Bk | A)
P(Bi )P( A | Bi )
n
P(Bk )P( A | Bk )
k 1
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
对连续型随机变量
x
F(x) P(X x) f (t)dt
分布函数与密度函数的重要关系：
x
F(x) P(X x) f (t)dt
fY (y) f (x, y)dx
P(X k) Cnk pk (1 p)nk， (k 0,1,...,n)
泊松分布——X~P(λ)
P( X k) k e， (k 0,1,...) k!
概率密度函数
f (x)dx 1
怎样计算概率 P(a X b)
b
P(a X b) a f (x)dx
当X与Y独立时, E(XY ) E(X )E(Y )
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附录： 常用数理统计表
表1 标准正态分布函数⎰∞--
=
Φx
u du e
x 2
2
21
)(π数值表
表2
2χ—分布表 354
表2 对应于概率αχχ
α=>)(2
2
P 及自由度k 的2α
χ的数值表
表3 t—分布表355
及自由度的的数值表
表3 对应于概率α
附表 常用数理统计 356
表4 对应于概率αα=≥)(F F
P 及自由度),(21k k 的αF 的数值表
表4 F—分布表357
附录：常用数理统计表358
表4 F—分布表359
附录：常用数理统计表360
表5 1%q值表361 表5 多重比较中的q值表
附录：常用数理统计表362 多重比较中1％的q表（两尾）
表7、正交表 )2(3
L
)2(7
L
)2(7
L 二列间的交互作用
)2(7
L 表头设计
) L
2(11
)
2(15
L
3(13
)
)3(1327L 二列间的交互作用
列 号 列 号
1
2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 1 1 ⎪⎩⎪⎨⎧4
3
)
1( 2
4
2 3 6 7 5
7 5
6 9
10 8
10 8
9 12
13 11
13 11
12 2 2 ⎪⎩⎪⎨⎧41)
2( 1 3
8 11 9 12 10 13 5 11 6 12 7 13 5 8 6 9 7 10 3 3 ⎪⎩⎪⎨⎧21)
3( 9 13
10 11 8 12 7 12 5 13 6 11 6 10 7 8 5 9 4 4 ⎪⎩⎪⎨⎧1210)
4( 8 13
9 11 6 13 7 11 5 12 7 9 5 10 6 8 5 5 ⎪⎩⎪⎨⎧7
1)
5( 1 6
2 11
3 13
4 12 2 8 4 10 3 9 6 6 ⎪⎩⎪⎨⎧51)
6( 4 13
2 12
3 11 3 10 2 9
4 8 7 7 ⎪⎩⎪⎨⎧12
3)
7( 4 11
2 1
3
4 9 3 8 2 10 8 8 ⎪⎩⎪⎨⎧101)
8( 1 9
2 5
3 7
4 6 9 9 ⎪⎩⎪⎨⎧81)
9( 4 7
2 6
3 5 10 10 ⎪⎩⎪⎨⎧63)
10( 4 5
2 7 11 11 ⎪⎩⎪⎨⎧13
1)
11( 1 2
12 12
⎪⎩⎪⎨⎧12
1
)12(
)3(13
27L 表头设计
因子数 列 号 1
2
3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 A B 1AB 2AB C 1AC 2AC 1BC 2BC
4 A
B
1AB 2AB C 1AC 2AC 1BC D 1AD 2BC 1BD 2CD
1CD 2BD 2AD
5 A
B
1AB 2AB C 1AC 2AC 1BC D
E 2BC
1CD 2BD 2AD
6
A
B
1AB 2AB C 1AC 2AC 1BC D
E 2BC F
1CD
2BD
)
L
4(5
L
)
5(
25 5 5 4 3 2 1
表8 二次回归设计表
二因子二次回归正交组合设计表
试验号Z0 Z1 Z2 Z1Z2Z1’Z2’
1 1 -1 -1 1 0.397 0.397
2 1 -1 1 -1 0.397 0.397
3 1 1 -1 -1 0.397 0.397
4 1 1 1 1 0.397 0.397
5 1 -1.148 0 0 0.714 -0.603
6 1 1.148 0 0 0.714 -0.603
7 1 0 -1.148 0 -0.603 0.714
8 1 0 1.148 0 -0.603 0.714
9 1 0 0 0 -0.603 -0.603
10 1 0 0 0 -0.603 -0.603
11 1 0 0 0 -0.603 -0.603
四因子（1
实施）二次回归正交组合设计表
二次回归正交旋转组合设计表
二次回归通用旋转组合设计表
二次回归通用旋转组合设计表
表9 均匀设计表
（1） )5(4
U
)5(4U 表的使用
(2) )7(6
U
)7(6U 表的使用
（3）)9(6
U
)9(6U 表的使用
（4） )11(10
U
)11(10U 表的使用
(5) )13(2
U
)13(2
U 表的使用
（6
） )15(8U
)15(8U 表的使用
（7） )17(16
U
)17(
U 表的使用
（8） )19(18
U
)19(U 表的使用
)21(2112
12。