概率极限理论
概率论中的大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律与中心极限定理概率论是数学中的重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是两个基本定理，它们对于理解和应用概率论具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一项重要成果，它研究的是随机事件重复进行时，随着试验次数的增加，事件的频率趋于稳定的现象。
大数定律的核心思想是：随机事件的频率会趋于其概率。
大数定律有多种形式，其中最著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律指出，当随机事件重复进行时，事件的频率会接近其概率，但不一定完全相等。
而强大数定律则更加严格，它指出，当随机事件重复进行时，事件的频率几乎必定会趋于其概率。
大数定律的应用非常广泛。
例如，在赌场中，赌徒们常常利用大数定律来制定自己的投注策略。
他们相信，通过多次下注，最终能够获得稳定的胜率。
另外，在统计学中，大数定律也是重要的理论基础。
通过对大量样本的观察，我们可以得出对总体的推断。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象。
中心极限定理的核心思想是：随机变量的和趋于正态分布的程度与随机变量的分布无关，只与样本容量有关。
中心极限定理有多种形式，其中最著名的是中心极限定理的拉普拉斯形式和莫尔根-拉普拉斯形式。
中心极限定理的拉普拉斯形式适用于二项分布和泊松分布，而莫尔根-拉普拉斯形式适用于任意分布。
中心极限定理的应用广泛而深入。
在实际生活中，我们常常遇到一些随机现象，如测量误差、人口统计等。
通过应用中心极限定理，我们可以对这些随机现象进行更准确的分析和预测。
三、大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理是概率论中两个相互关联的定理。
它们都是研究随机现象的规律性，但侧重点不同。
大数定律研究的是随机事件的频率趋于稳定的现象，它关注的是事件本身的概率。
而中心极限定理研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象，它关注的是随机变量的分布。
大数定律和中心极限定理的关系可以从两个方面来理解。
概率论中的极限理论发展
概率论中的极限理论发展概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率及其规律。
而在概率论的发展历程中，极限理论是其中的一块核心内容。
本文将系统地介绍概率论中的极限理论的发展。
一、大数定律的提出与发展大数定律是概率论中的基础定理之一，它揭示了随机事件的频率稳定性。
其中最早的大数定律要追溯到17世纪，由法国数学家雅各布·伯努利提出。
他证明了当事件重复进行时，事件发生的频率将会稳定在一个固定的概率上。
这个定律对概率论的发展起到了重要的推动作用。
随着时间的推移，不同的数学家对大数定律进行了深入研究，并提出了多个版本的大数定律。
例如，俄国数学家切比雪夫于1867年提出了切比雪夫大数定律，它是大数定律的一个重要推广。
切比雪夫大数定律给出了依概率收敛的条件，并且包含了伯努利大数定律作为特例。
二、中心极限定理的发现与演变中心极限定理是概率论中另一个重要的理论成果，它描述了随机变量序列和近似正态分布之间的关系。
最早的中心极限定理要追溯到18世纪，由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯提出。
他证明了一类随机变量序列的和服从正态分布，这个发现对于统计学的发展产生了深远的影响。
随着时间的推移，中心极限定理得到了广泛的发展和推广。
20世纪初，列维首次给出了广义中心极限定理，将其推广到了独立非同分布变量的和的情况。
此后，众多学者对中心极限定理进行了进一步的研究，提出了不同的版本和推论，从而丰富了概率论的理论体系。
三、大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理是概率论中两个相互关联的理论。
从某种程度上来说，大数定律是中心极限定理的一个重要推论。
大数定律表明，当事件重复进行时，随着事件次数的增加，事件发生的频率将会稳定在其概率上。
而中心极限定理则说明，当随机变量序列的个数足够多时，这些随机变量的和近似服从正态分布。
大数定律和中心极限定理的发展为统计学和概率论的相互应用提供了基础。
通过这些理论，我们可以更好地理解和分析复杂的随机现象，为实际问题的解决提供了有效的方法和工具。
概率论极限定理讲解
则对 0, 都有
lim
n
P
Xn
1 n
n k 1
k
0.
P Xn
1
n
n k 1
k
3
2.辛钦大数定律
{Xn}独立同分布，EXn (n 1, 2,
则lim P n
1.已知n, p,，计算频率与概率之间的误差
P
Xn n
p
( 2
n pq
1)
2.已知p,
,
和P
Xn n
p
，求n
（即抽样方案的设计，确定样本容量）
3.已知n,
p和P
Xn n
p
，求
（事后评估，精度的估计） 15
例3. 已知某厂生产一大批无线电产品中合格品占1/6。某商店
从该厂任意选购6000个元件，试问这6000个元件中，合格品的 比例与1/6之间误差小于1%的概率是多少？
16
三个极限定理之间的关系
林德伯格(Lindeberg)定理（独立） 列维－林德伯格中心极限定理（独立同分布） 棣莫弗--拉普拉斯定理（独立同分布于0-1分布）
即n很大时，Xn以很大的可能性靠近X，其中ε 为误差。 （随机性消失）
1
定义2：设{X n}是一随机变量序列，
n
P
EXn (n 1, 2,
)存在，记X
n
=
1 n
高等数学中的极限理论
高等数学中的极限理论在高等数学中，极限理论是一门重要的数学概念和工具。
它在数学的各个领域中都有广泛的应用，包括微积分、数值分析、概率论等。
通过研究极限，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和定理，也可以解决一些实际问题。
1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数或数列在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，我们通常用极限来刻画一些无法直接计算的量或情况。
极限的定义可以用数列的极限来说明。
对于数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么我们就说数列{an}的极限是a，记作lim(an)=a。
极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个数列的极限存在，那么它只能有一个极限值。
其次，如果一个数列的极限存在，那么它一定是有界的。
这意味着，无论数列的前面有多少项，我们总能找到一个上界和下界，使得数列的所有项都在这个上下界之间。
2. 极限的计算方法在实际计算中，我们常常需要用到一些方法来计算极限。
这些方法包括代数运算法则、夹逼定理、洛必达法则等。
代数运算法则是最基本的计算极限的方法之一。
根据代数运算法则，我们可以对极限进行四则运算、乘法法则、除法法则等。
通过这些法则，我们可以将复杂的极限计算化简为简单的运算。
夹逼定理是一种常用的计算极限的方法。
夹逼定理的基本思想是，如果一个函数在某一点附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个共同的极限值。
洛必达法则是一种重要的计算极限的方法。
它适用于求解一些特殊的极限，例如0/0型和∞/∞型。
洛必达法则的核心思想是，如果一个函数的极限是一个不定型，那么我们可以对这个函数进行导数运算，然后再计算导函数的极限。
3. 极限的应用极限理论在数学的各个领域中都有广泛的应用。
在微积分中，极限是微积分的基础，它可以用来定义导数和积分。
概率论极限理论的研究
０引 言
１ 可 交 换 随 机 变 量 的 研 究 进 展
随机变量可 交换性的概念最早 是由 Ｄ ｅ Ｆ ｉ ｎ ｅ ｔ ｔ ｉ Ｉ ６ ］ 在 １ ９ ３ ０年 提出来 的 ．可 交 换 随机 变量 无 限序 列 著 名 的特性 是 其 基本 结 构定 理 Ｄ ｅ Ｆ ｉ ｎ ｅ ｔ ｔ ｉ 定理 ．即可交换 随机变量的无限列 以其 尾 一 代数 为条 件是独 立同分布的 但 在早 期随机变量的可交换性并没有引起概率学者们的 注意 ． 人们对可交换性 了解还很片面 正如 Ａ １ ｏ ｕ ｄ ｓ 所指出的那样 ： “ 如 果 你在 １ ９ ７ ０年问及一概率学者 ． 可交换性讲些什么 内容？ 你得到的回 答很可能 是 。除 了 Ｄｅ Ｆ ｉ ｎ ｅ ｔ ｔ ｉ 定理 外 ．还有什 么呢 ？”人们利 用 Ｄ ｅ Ｆ ｉ ｎ ｅ ｔ ｔ ｊ 定理已作出了一些结果 但是值 得指出的是 Ｄ ｅ Ｆ ｉ ｎ ｅ ｔ ｔ ｉ 定理仅 对 可交换 随机变量无限列成立 ． Ｃ ｈ ｅ ｍｏ ｆ和 １ ｒ ｅ ｉ ｃ ｈ ｅ ｒ 已经给出了例子说 明： 存在这样 的可交换随机变量 有 限列 。 它不能嵌入 到可交换 随机变 量 无限列中去 。 因此 ． 对于可交 换 的有限列 ， 必须寻找另外 的办法 解决 其 渐近性质 的问题 ．人们利用 逆鞅 的方法 已给 出了这方 面的一些结 果。 既然 可交换 随机变量无限列是条件独立 同分布的 ． 当然可 以期望 可交换 随机 变量 无限列 具有类 似于独立同分布列的一些性质 许 多学 者 已经把独 立同分布随机变量的一些结论推广到了可交换 随机变量 概率论既是观察世 界的一种基 本方法 ． 也 象几何 、 代 数和分析一 样是 一门核心数学学科 ． 最近几年 ， 作为科学 探索 的一种 独具特色 的 方法 ． 概率推理 的显著 功效 已经导致 了 概 率理论 在科学研究 中的重要 性 的增加 ， 并且 一直 在统计 学中起 中心作用 。 在物理学 、 遗传学 和信息 论 中所常见 的概率方法 ， 最 近已经在许多其他学科 ． 包括金融 、 地球科 学、 神经学 、 人工智能和通讯 网络 中成 为不可 缺少的方 法 ． 概率论 的影 响越来越大 。概率极 限理论是 概率论 的主要 分支之 ～ ． 也是概率论的 其它分支和数理统计 的重要基础 前苏联著名数学家科尔莫戈罗夫和 格涅坚科在 评论 概率论极 限理论时 曾说 过 ： “ 概率论 的认识论 的价值 只有通过极限定理才能被揭示 ． 没有极 限定理就不 可能去 理解 概率基 本概念的真正含义 。” 极 限理论 的基本 内容是每一个概 率统计 工作者
概率论论文-浅谈中心极限定理
浅谈中心极限定理摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。
关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。
引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。
同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。
这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。
在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。
由此足以见得中心极限定理的重要性。
目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理：林德伯格-莱维中心极限定理：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
只有当n 充分大时,nY 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种近似不能保证。
也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与nY 有关事件的概率，而n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。
概率论极限理论的研究
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界0引言概率论是从数量上研究随机现象的规律性的数学学科,它在自然科学、技术科学、社会科学和管理科学中都有广泛的应用,因此从20世纪三十年代以来,发展非常迅速,而且不断地有新的分支学科出现。
概率极限理论就是其中一个主要的分支,也是概率统计学科中极为重要的基础理论。
关于经典的独立随机变量的概率极限理论,在20世纪三四十年代已获得完善的发展,其基本结果被总结在Gnedenko 和Kolmogorov 的专著《相互独立随机变量和的极限分布》[1]及Petrov 的专著《独立随机变量和的极限定理》[2]中。
事实上,非独立的随机变量和的极限分布也曾被若干概率统计学家所研究,如Hopf [3],Hoeffding 和Robbins [4]等。
但由于在许多实际问题中,经常会遇到非独立随机变量的情形。
因此,在50年代,随机变量的相依性概念就已在概率论和数理统计的某些分支中被提了出来,并引起了许多概率统计学家的兴趣和研究,取得了不少研究成果,1997年以前的许多结果被总结在陆传荣、林正炎的专著《混合相依变量的极限理论》[5]中。
而其中的随机变量可交换性已成为当前概率极限理论研究的重要的方向之一。
1可交换随机变量的研究进展随机变量可交换性的概念最早是由De Finetti [6]在1930年提出来的,可交换随机变量无限序列著名的特性是其基本结构定理De Finetti 定理,即可交换随机变量的无限列以其尾σ-代数为条件是独立同分布的。
但在早期随机变量的可交换性并没有引起概率学者们的注意,人们对可交换性了解还很片面。
正如Alouds 所指出的那样:“如果你在1970年问及一概率学者,可交换性讲些什么内容?你得到的回答很可能是,除了De Finetti 定理外,还有什么呢?”人们利用De Finetti 定理已作出了一些结果。
概率论中的极限理论应用案例
概率论中的极限理论应用案例概率论是数学中的一个分支，研究随机现象的规律和概率的理论。
而在概率论中，极限理论是一个重要的概念，描述的是随机事件在重复试验中的趋势和规律。
下面将通过几个实际案例来展示概率论中极限理论的应用。
1. 赌博游戏中的极限理论赌博游戏通常与概率密切相关，而极限理论可以用来解释和预测赌博中的结果。
以一个掷骰子的例子为说明，假设我们有一个公正的六面骰子，每个面的概率相等。
当我们进行无限次的掷骰子实验时，根据极限理论，每个点数出现的频率应该接近于1/6。
在实际操作中，我们可能无法进行无限次的试验，但可以通过大量的试验次数来逼近这个结果。
这就是为什么赌场在游戏规则中设定了一些统计优势的原因，因为他们知道长期下去，这些优势将会体现出来。
2. 金融市场中的极限理论极限理论在金融市场中也有广泛的应用。
例如，研究股票价格的波动性可以使用随机游走模型。
随机游走模型假设股票价格在短期内是随机的，并且价格的变化是独立的。
根据极限理论，当观察到大量的价格变化时，股票价格的分布将逐渐趋于正态分布。
这一理论在期权定价、风险管理和投资策略中都有重要的应用。
3. 工程领域中的极限理论极限理论在工程领域中也有广泛的应用。
例如，在材料疲劳寿命测试中，极限理论可以帮助我们预测材料在重复加载下的破坏点。
通过观察一系列疲劳加载试验的结果，我们可以得到材料的疲劳寿命分布，并根据极限理论来计算在特定条件下材料的安全寿命。
这对于设计和制造可靠和耐久的工程结构非常重要。
4. 生物学中的极限理论生物学中也有许多与概率和极限理论相关的研究。
例如，在遗传学中，极限理论可以应用于基因频率的演化预测和群体遗传结构的研究。
通过观察大量的基因型数据，我们可以估计不同基因的频率，并根据极限理论来预测不同基因型的出现概率。
这对于研究遗传疾病、种群遗传结构和进化过程等具有重要意义。
综上所述，概率论中的极限理论在各个领域都有着重要的应用。
无论是赌博游戏、金融市场、工程领域还是生物学，极限理论都可以帮助我们理解和预测随机事件的规律和趋势。
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随机微分方程基本理论1、引言随机微分方程（SDE ）的诞生有其一定的应用背景。
随机微积分和随机微积分方程起源于马氏过程的构造和柯尔莫哥洛夫的分析方法与费尔的半群方法。
常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确。
因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对于某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程。
随机微分方程是一种针对生物、化学、医药、机电、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。
伊藤型随机微积分方程就是指带有白噪声的微分方程。
自从爱因斯坦建立了布朗运动和随机分子扩散的数学理论以来，各种不同的领域内，如分子物理学、院子物理学、化学动力学、固态理论、结构稳定性、群体遗传学、通信以及自然科学、社会科学和工程的许多其他分支中开展了一系列理论的科学研究。
在随机微分方程理论研究的早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基、郎之万、奥伦斯坦、乌伦贝克和克拉美等人做了许多卓有成效的工作，这些工作综合在查德瑞赛卡1943男的主要论文中。
随着随机微分方程的数学理论的发展数学研究人员在这一领域中发展了一些及其重要的结果，随着伊藤积分概念的引入，随机微分方程的理论向更深纵发展。
2、基础理论和线性方程0)0( , )()),(()),(()(x x x dw t t x b dt t t x a t dx =+= (2.1)是由伊藤积分方程)()),(()),(()(00s dw s s x b s s x a x t x tt⎰⎰++= (2.2) 定义。
这样，（2.1）式的解释非可料函数)(t x ，使得21)),((t t x a ，和)),((t t x b 属于[]T H ,02，且满足（2.2）式。
对于方程组)()),(()),(()(t dw t t x b dt t t x a t dx += (2.3)可以同样定义，其中[]Tn x x x x ,,,21 = ， []Tn a a a a ,,,21 =且[]Tn t w t w t w w )(,),(),(21 =是独立布朗运动组成的向量，随机微分方程的最简单例子是方程0)0( , )()()()(x x x dw t b dt t a t dx =+= (2.4)其解为)()()()(00s dw s b ds s a x t x tt ⎰⎰++= 为了阐明解的本质，我们计算)(t x 的转移概率密度，即函数),,,(t y s x p 使得⎰==∈A dy t y s x p x s x A t x P ),,,())(|)(( (t>s)其中A 是R 中任意集合。
假定)(t a 和)(t b 是确定函数。
随机积分⎰=ts dw s b t 0)()()(ζ是独立正态随机变量线性组合[]∑-+)()()(1i ii t w t w t b的极限，因而积分也是正态变量，这样，⎰--=tds s a x t x t 00)()()(ζ是正态变量，因而vy evt y s x p 2)(221),,,(μπ--=其中))(|)((x s x t x E ==μ由此得到⎰+==tdu u a x x s x t x E 0)())(|)((作为随机积分的期望等于零。
同样有⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==tsts du u b u dw u b E t Varx v )()()()(22因而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰-t s t s ts du u b u d u a x y du u b t y s x p )(2))()((exp )(2),,,(22212π 下一步考虑经过变量变换能化为（2.4）式的随机微分方程。
考虑变量变换)),(()(t t x f t =ζ其中)(t x 是（2.1）式的解，那么有伊藤公式，)()),(()),(( )]),(()),((21 )),(()),(()),(([)(222t dw t t x xft t x b dt t t x xft t x b t t x t ft t x a t t x t f t d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ζ (2.5)假设),(t x f 有（关于x 的）反函数),(t x g ，于是x t t x g f =)),,(( ，x t t x f g =)),,((那么)),(()(t t g t x ζ=，因而（2.5）式可写为)()),(()),(()(t dw t t b dt t t a t d ζζζ+= (2.6)其中)),,(()),,((21 )),,(()),,(()),,((),(222t t x g xft t x g b t t x g tft t x g a t t x g t f t x a ∂∂+∂∂+∂∂=)),,(()),,((),(t t x g tft t x g b t x b ∂∂= 如果能找到函数),(t x f 使得)(),(),(21),(),(),(222t a t x xf t x b t x x f t x a t x x f =∂∂+∂∂+∂∂ (2.7)（与x 无关）且),(),()(t x xft x b t b ∂∂= (2.8) 那么，运用x t x g =),(，有（2.6-2.8）式，方程（2.1）式可化为（2.4）式。
为了得到可化条件，运用（2.8）式可得到),()(),(t x b t b t x x f =∂∂ 下一步对（2.7）式求关于x 的导数得到0),(21),(),(2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂x f t x b t x x f t x a x x t f 因为[][]),(),()(),()(),()(22t x b t t x b t b t x b t t b t x b t b xx t f ∂∂-∂∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=∂∂∂ 且),(),()(),()(222t x b xt x b t b t x b t b x x f ∂∂-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=∂∂ 我们有0),(21),(),(),(),(),()()(222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-'x t x b t x b t x a x t x b t t x b t x b t b t b 因而0),(21),(),(),(),(),()()(222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂='x t x b t x b t x a x t x b t t x b t x b t b t b (2.9)对（2.9）式等号左、右双杠求关于x 的偏导得出0)),(21),(),(),(),(),((222=∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂∂x t x b t x b t x a x t x b t t x b t x b x(2.10)条件（2.10）式对于可化也是充分的。
因为如果（2.10）式满足，（2.9）式右边与x 无关，所以)(t b 可由积分得到。
现在，可以从关系是),()(),(t x b t b t x x f =∂∂ 确定),(t x f 。
方程（2.9）式等价于0),(21),(),(222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂∂∂x f t x b x f t x a x t x f x 因此，括弧中的式子与x 无关，所以它可取)(t a ，例如，考虑常系数线性方程bxdw axdt dx +=置x z ln =且运用伊藤公式，得到bdw dt b a dz +-=)21(2因此bw dt b a z z +-+=)21(2或⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)()21(exp )(20t bw t b a x t x (2.11) 3、解得存在性和唯一性在下列简化条件下：(i) a 和b 是x 的函数且)(,1R C b a ∈。
(ii)∞<=+K dx db dx da )max(。
我们将证明解的存在性和唯一性。
用逐次逼近法构造解。
把伊藤方程写成积分形式⎰⎰++=tt s dw s x b ds s x a x t x 00)())(())(()( (3.1)置0)(x t x =和⎰⎰--++=tntn s dw s x b ds s x a x t x 01100)())(())(()(显然，)(t x n 是非可料连续过程，利用不等式)(2)(222B A B A +≤+得到[][][]}))(())((＋ ))(())(({2 })()))(())(((＋ )))(())((({2)()(2ｔ０12ｔ０12ｔ０120121ds s x b s x b dss x a s x a tE s dw s x b s x b ds s x a s x a E t x t x E n n n n n n tn n n n ⎰⎰⎰⎰----+--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤-利用中值定理得到[][]ds s x s x E t K t x t x E tn n n n 21221)()(4)()(⎰-+-≤-因而，对于T t ≤，[])!1()4()()(1221+≤-++n Tt K M t x t x E n n n其中[])()(0202x b x a TE M +=现在，因为[])())(()(()(01s dw s x b s x b t y t nn n ⎰--=是鞅，函数)(2t y n是下鞅，由柯尔莫哥洛夫不等式给出[][]!!)4( )()(ＥｖＫ ))(())((ｂＥ ＝)()(2212222２Ｔ０1２2Ｔ０２12max n v v n K T K M dtt x t x vdt t x b t x v T y E v t y P n n nn n n n n T t οο≡≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥⎰⎰--≤类似地有!)))(())(((22101max n v v ds s x a s x a P nt n n T t οο≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥-⎰-≤如果T 充分小，12≤C ，取)!2(1-=n v ，得到0..)!2(1)()(max 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-≥--≤o i n t x t x P n n T t由此得出)(t x n 是几乎处处一致收敛于（3.1）式的一个解。
为了证明解得唯一性，令)(1t x 和)(2t x 是（3.1）式的两个解且置)等于)(或)(|min(21n t x t x t =τ那么对于所有τ≤t 有[][][])()))()(()()(( ＋)))()(()()((＝)()()(0121212],0[],0[],0[],0[],0[s dw s s x b s s x b dss s x a s s x a t t x t x tt⎰⎰---τττττχχχχχ因为[]∞<≤-22124)()()()(],0[],0[n t t x t t x E ττχχ我们有[][]ds s t x s x E K t t x t x E t)()()()()()(],0[],0[12012ττχχ-≤-⎰由格隆沃尔不等式得出，对所有τ≤t 有[]0)()()(12],0[=-t x t x t τχ a.s. 令∞→n ，得到)(..)(21t x s a t x 。