3.3 连续型随机变量
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3.3 二维连续型随机变量及其分布
1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)
3x(1 x4 0,其它
),0
x
1,
当0 y 1时，fY ( y)
f (x, y)dx
0
y
6xydx
3x2 y
|x
x0
y
3y 2 , 故得
fY
(
y)
3y2,0 0,其它.
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x
2x
2
2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y
1 3
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
第三章 连续型随机变量
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分布函数的性质（2） 使用分布函数计算以下概率： P{ξ(ω)≥x}＝1 - P{ξ(ω)<x} =1-F(x) P{ξ(ω)≤x}＝F(x＋0) P{ξ(ω)＞x}＝ 1 - P{ξ(ω) ≤ x} ＝ 1-F(x＋0) P{ξ(ω)＝x}＝ P{ξ(ω) ≤ x} - P{ξ(ω) <x} ＝ F(x＋0)－F(x) 对于离散型随机变量 P(ξ＝ai)＝pi 来说， ξ(ω)的分布函数为
p ( y ) F ( y )
p ( x ) p ( y x ) d x （3.55）
由对称性可知
p ( y ) F ( y )
p ( y x ) p ( x ) d x （3.56）
由（3.35）和（3.36）给出的运算称为卷积，通常 记为：
n
服从 N ( i , i2 ) 分布的随机变量，则
n n
i 1
i
仍然是
一个服从 N ( , 2 ) 的随机变量，并且其参数为
i 1
i
,
2
i 1
2 i
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多维随机变量函数的分布（7-4）
（二）商的分布
设（ξ, η）是一个二维随机变量，密度函数为
F ( x ) P ( ( ) x )
ai x
P ( ( ) a i )
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例3.1 等可能的在[a，b]上投点，以ξ表示落点的位置， 则ξ的分布函数为： 当x＜a时， F ( x ) P ( ( ) x ) 0 当a＜x＜b时，
§3.3 二维连续型随机变量及其分布
3)F ( −∞ ,−∞ ) = F ( −∞ , y ) = F ( x ,−∞ ) = 0, F ( +∞ ,+∞ ) = 1;
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
作业P31-32 作业
2.4.2 联合分布函数 定义2.4.3 设(X,Y)是二维随机变量，对任 是二维随机变量， 定义 是二维随机变量 意有序实数对(x,y)，定义 ， 意有序实数对
F ( x , y ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ y ),−∞ < x , y < +∞ ,
为随机变量(X,Y)的分布函数，或称 称F(x,y)为随机变量 为随机变量 的分布函数， 为X与Y的联合分布函数 与 的联合分布函数.
∂2F( x, y) = f ( x, y); ∂x∂y
(2)对于任意一条平面曲线 ，有 对于任意一条平面曲线L， 对于任意一条平面曲线
P (( X ,Y ) ∈ L) = 0.
如图3.9 表示由曲线 例3.3.1 如图 G表示由曲线 y = x 2 及直 围成的图形在第一象限内的部分， 线 y = 1 围成的图形在第一象限内的部分，设
则称 ( X ,Y ) 服从参数为 µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r 的二维正 态分布,记为 态分布 记为 ( X ,Y ) ~ N ( µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r ). 其中
µ1 , µ 2 ∈ R,σ 1 ,σ 2 > 0, | r |< 1.
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
作业P31-32 作业
2.4.2 联合分布函数 定义2.4.3 设(X,Y)是二维随机变量，对任 是二维随机变量， 定义 是二维随机变量 意有序实数对(x,y)，定义 ， 意有序实数对
F ( x , y ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ y ),−∞ < x , y < +∞ ,
为随机变量(X,Y)的分布函数，或称 称F(x,y)为随机变量 为随机变量 的分布函数， 为X与Y的联合分布函数 与 的联合分布函数.
∂2F( x, y) = f ( x, y); ∂x∂y
(2)对于任意一条平面曲线 ，有 对于任意一条平面曲线L， 对于任意一条平面曲线
P (( X ,Y ) ∈ L) = 0.
如图3.9 表示由曲线 例3.3.1 如图 G表示由曲线 y = x 2 及直 围成的图形在第一象限内的部分， 线 y = 1 围成的图形在第一象限内的部分，设
则称 ( X ,Y ) 服从参数为 µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r 的二维正 态分布,记为 态分布 记为 ( X ,Y ) ~ N ( µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r ). 其中
µ1 , µ 2 ∈ R,σ 1 ,σ 2 > 0, | r |< 1.
3.3二维连续型随机变量
② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
1, 2 0 , 1 1,
称
(
,)
服从参数为
1 ,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布，记为：
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
二维正态分布的密度
函数如图所示
信息系刘康泽
若
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,则
p (x)
1
e
x 1 212
2
，
2 1
p ( y)
1
e
y2
2
2 2
2
2 2
这说明二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分
布。即：若
( ,)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
，则：
~
N
(1,
2 1
)
，
~
N
(2
,
2 2
)
2.随机变量的分布函数、连续型
4 2 4 0, x 0,
故X的分布函数为
1 , 0 x 1,
F(x)
4 3 ,
1 x 2,
4
F(x)
1, 2 x.
1
O
0O
1
O
它是一条阶梯形曲线，
2
x
设离散型随机变量X 的分布律为
P( X xi ) pi , i 1,2, ,
则离散型随机变量X的分布函数
F( x) P( X x) P( X xi )
a, 2
得a 2
于是X的密度函数为 2e2 x ,
f (x) 0,
x0 x0
P( X 1) 2e2xdx e2 . 1
3、正态分布 如果连续型随机变量X的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,xR
2
那么称随机变量X服从参数为， 2的正态分布，
～ 记为X N（， 2）, R, 0.
本节我们来研究一维随机变量取值的统计规律性。 为此先考虑下面的例子。
例1 设随机变量X在区间[0，1]上取值，当0 a 1
时，概率P（0 X a）与a2成正比例。
试求X的分布函数F（x）
解：X的分布函数为：
y
0
F
(
x)
x2
1
x0 0 x1
1 x
1 o1x
由此例我们看到，F ( x)处处连续，并且其
2
2
x, (3)
x 1 1 x F (xx).1
1
（3） 当x 1时, F( x)
x
f (t)dt
x
0dt 0
当 1 x 1时, F( x)
x f (t )dt
连续型随机变量函数的密度函数
f (ty, y ) | y | dy
例3.19 设ξ、η独立，且分别服从指数分布
λ e λ x , x > 0 e y , y > 0 和 fη ( y ) = fξ ( x ) = 0, x < 0 0, y < 0
求ζ=ξ/η的密度函数。
λ eλ yz , y、z同号 解：fξ ( yz ) = 0, y、z异号 当z≤0时，fζ(z)=0;
∞
∫
1 2π σ 1e Nhomakorabea1 x 1 2 ( ) 2 σ1
2π σ 2
dx
ζ ~ N ( 1 + 2 , σ 12 + σ 2 2 )
利用数学归纳法，设ξ1 , ξ 2 ,...,ξ n为n个相互独立的随机变量，
ξi ~ N ( i , σ 2 ), i = 1, 2,3,..., n, 那么它们的线性组合
2(arcsin y ) 1 1 y
2
fη2 ( y ) = fξ2 (arcsin y ) | (arcsin y )' | ＋fξ2 (π arcsin y ) | (π arcsin y )' | =
π
2
+
2(π arcsin y )
π
2
1 1 y2
2 , 0 ≤ y ≤ 1 = π 1 y 2 其它 0,
1. y = g ( x) 是严格单调且可导的函数
定理3.1 设ξ 的密度函数为 fξ ( x), y = g ( x) 严格单调 且有一阶导数存在，设 x = h( y ) 为y = g ( x) 的反函数， 则 η = g (ξ ) 也是一个连续型随机变量，它的密度函 数 fη ( y ) = fξ (h( y )) h' ( y ) , a < y < b 式中 a = min{g (ξ )}, b = max{g (ξ )}
数学一概率论考研大纲
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目录
1. 引言
2. 概率论的基本概念
2.1 随机事件
2.2 概率
2.3 条件概率
2.4 独立性
3. 随机变量及其分布
3.1 随机变量的定义
3.2 离散型随机变量
3.3 连续型随机变量
3.4 分布函数
4. 多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量
4.2 边缘分布和条件分布
4.3 随机变量的独立性
5. 随机变量的数字特征
5.1 期望
5.2 方差
5.3 协方差和相关系数
6. 大数定律和中心极限定理6.1 大数定律
6.2 中心极限定理
7. 数理统计的基本概念
7.1 总体和样本
7.2 统计量
7.3 抽样分布
8. 参数估计与假设检验
8.1 点估计
8.2 区间估计
8.3 假设检验
9. 方差分析与回归分析
9.1 方差分析
9.2 回归分析
10. 模拟试题与参考答案10.1 模拟试题一及参考答案10.2 模拟试题二及参考答案。
3.3二维连续型随机变量.
即若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2,σ12,σ22, ρ) 则
X ~ fX ( x) f ( x, y)dy
1
2πσ1σ2 1 ρ2
1
e 2(1ρ2 )
x μ1 σ1
2
2 ρ
x μ1 σ1
yμ2
σ2
y μ2 σ2
y μ2 2 σ2
2πσ1σ2
x μ1 2
1
e 2σ12
2πσ1
e 1
2πσ2
y μ2 2
2σ22 f X ( x) fY ( y)
结论: 1.二维正态分布的边缘分布为一维正态分布.
即若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2,σ12,σ22, ρ) 则
X
~
F(x, y) PX
x, Y
y
y
x
f
(s,t)
ds
dt
y
则称(X,Y)为 二维连续型随机变量，
f ( x, y) 称为(X,Y)的 联合概率密度
函数. 简称 联合概率密度.
x
记为 (X ,Y ) ~ f (x, y)
定义3.5 设( X ,Y )是二维随机变量,其分布函数
x
记为 (X ,Y ) ~ f (x, y)
如果将随机变量(X,Y) 看成落在坐标平面上的
随机点,(X,Y)落在区域
D
:
s t
x y
的概率等于
密度函数 f (s,t)在D上的二重积分.
联合概率密度具有性质:
(1) f ( x, y) 0
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cos x C
tan x C
cot x C
不定积分的基本公式
arcsin x C
arctan x C
sec x C
csc x C
练习：设随机变量X的概率密度函数为
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x ) 其它, 0,
2
即K 1 或 K 2 ,故事件“方程有实根”的概率 为
P({K 1} {K 2}) P( K 1) P( K 2)
1 3 0dx dx 5 5 2
1 5
2、指数分布(Index distribution )
定义2:设连续型随机变量X的概率密度函数为
三、几种重要的连续型随机变量
1、均匀分布(Uniform distribution)
定义1:设连续型随机变量X的概率密度函数为
1 , a x b, f ( x) b a 其他. 0,
则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
x a, 0, xa 其分布函数为 F ( x) , a x b, b a x b. 1,
x0 0 2 Exe.1：设R.V.X的分布函数 F ( x) x 0 x 1 1 x 1 求概率密度函数。
0, x 0 x Exe.2：设R.V.X的分布函数 F (x) , 0 ≤ x T T 求概率密度函数。 1, T ≤ x
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
求常数 k。
练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为 1 2 x , 0 ≤ x 1, 2 f (x) 求常数a。 ax, 1 ≤ x 3, 0, 其他
练习2：设 X 是连续型R.V.，其密度函数为
3x, 0 x A， f (x) 求常数A。 其他. 0,
注：均匀分布的概率意义，如果X落在区间 (a,b)上的均匀分布，那么对于任意满足
a c cl b
P(c X c l )
c l
c
dx l ba ba
结论：X落在(a,b)中任意子区间的概率与该子区间 的长度成正比，而与该子区间的具体位置无关。
例3：设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
e x , f ( x) 0,
的指数分布，记为 X ~ E ( ).
x 0, x 0.
其中λ>0为常数,则称随机变量X服从参数为λ
1 e x , 其分布函数为 F ( x) 0,
x 0, x 0.
指数分布也被称为寿命分布，如电子元件 的寿命，电话通话的时间，随机服务系统 的服务时间等都可近似看作是服从指数分 布的。
求X的分布函数。
4.区间概率求解
[由密度函数求区间概率] ※
P(a X b) f ( x)dx F (b) F ( a)
a
b
P(X c)
c
f ( x)dx 1 F (c)
P(X d )
d
f ( x)dx F (d )
分布函数 F(x) 定义： F ( x) P X x 性质: 0≤F(x)≤1； 应用：※ F(-∞)=0 , F(+∞)=1。
描述随机变量
分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量
分布律
概率密度函数
pk xk x F ( x) P( X x) x f (t )dt
pk
分布律
f (t ) 概率密度函数
本节小结：
知识点与基本要求：
（1）理解连续型随机变量概率密度函数的概念、性质及其应 用（如确定密度函数中的参数；已知密度函数求分布函数或已 知分布函数求密度函数；求随机变量的区间概率）； （2）掌握连续型随机变量概率密度函数与分布函数间的关系 （例如确定分布函数中的参数；已知随机变量的分布律或密度 函数求分布函数；已知分布函数求分布律或密度函数）； （3）会利用概率密度函数计算随机变量在某区间内取值的概 率问题。
定义：函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，
通常称函数
积分上限函数.
定理：若函数 f(x) 在区间[a,b]上连续, 则积分上限函数F(x) 在[a,b]上可导,且
注：连续型R.V.的分布函数是连续函数。
牛顿-莱布尼茨公式：
定积分的简单性质:
设 f(x)和g(x) 都是[a,b] 上的连续函数，k为常数.
4 x 2 4 Kx K 2 0
有实根的概率.
解:因为R.V.K~U(0,5),所以K的概率密度函数为:
1 , 0 k 5, f (k ) 5 0, 其他.
又方程 4 x 2 4 Kx K 2 0 有实根,当且仅当
(4K ) 4 4 ( K 2) 16( K 2)( K 1) 0
于是
当 x 2时,
x2 F ( x) P( X x) P( X 0) P(0 X x) 4
F ( x ) P( X x ) 1
故 X 的分布函数为
x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 其图形为一连续曲线 1 , x 2 .
x 1,
由概率密度函数计算分布函数的方法 ①用概率密度函数取值非零的定义区间将整个x轴分成 若干个子区间；计算分布函数的方法。 ②利用积分对积分区间的可加性，就被积函数[概率密 度函数]分段积分。 熟练各种积分的计算是基础而重要的。
实例:一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 弹着点 1 求(1)X 的分布函数（ . 2）P ( X 1).
教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性 质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式
不定积分的基本公式
C xC
1 1 x C ( 1) 1
ln | x | C
e C
x
a C ln a
x
不定积分的基本公式
sin x C
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
[1] 由分布函数求密度函数※
F ( x) f ( x)
注：对分布函数分区间求导，得密度函数 例3：设随机变量X的分布函数为
1 (1 x)e x , x 0 F ( x) x0 0, x xe , x 0, 求概率密度函数。 f ( x) F ( x) x 0. 0,
x
[积分公式]
③当
x 1
x
时，
1 1 x
2 F ( x) f (t )dt 0dt 1 t 2 dt 0dt 1; 1 1
[积分：
1
1
1 1 t dt 12. 为单位圆面积一半。] 2
2
故分布函数为： 0,
x 1 1 2 F ( x) 1 x arcsin x , 1 x 1, 2 x 1. 1,
求X的分布函数。 解：概率密度函数f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,其分段 区间为(- ∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数为累积概率和, 故应就x在上述不同区间上积分求F(x). ①当
x 1 时，F ( x) f (t )dt零概率事件与不可能事件是一回事吗？
注: 连续型随机变量取某一确定值的概率为零.
即，不可能事件与零概率事件的关系： A=Φ P(A)=0
同理：必然事件与1概率事件的关系与此相似。 因此,在计算连续型R.V.取值落在一个区间的概率时, 不分开区间或是闭区间,这与离散型R.V.是不同的.
P(a X b) P(a X b) P(a X b)=P(a X b)
广义积分的牛顿-莱布尼茨公式
例3续：设随机变量X的分布函数为
1 求区间概率(两种方法) P( X 1), P(1 X 2), P( X ). 2
解：由分布函数求区间概率公式得：
1 (1 x)e x , x 0, F ( x) x 0, 0,
P( X 1) F (1) 1 (1 1)e1 1 2e 1; P(1 X 2) F (2) F (1) 1 3e 2 ; 1 1 1 1 3 P( X ) 1 P( X ) 1 F ( ) 1 e 2 . 2 2 2 2
[2] 由密度函数求分布函数※
F ( x)
x
f (t )dt ( x )
注：当密度函数为分段函数时，由于分布函数是定 义在整个数轴上的函数，因此，在利用密度函数求 解分布函数时应分区间求解。 例3：设R.V.X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f ( x) 2 x, 0 x 1
性质1: 性质2: 性质3:积分可加性
二、概率密度函数的性质
由定义知,概率密度函数 f(x) 具有以下性质:
1.非负性：f ( x) 0( x );
2.归一性： f ( x)dx 1; [确定待定参数]※
例1：设随机变量X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f ( x) kx, 0 x 1
例1:某个电阻器的电阻R服从(900,1100)上的均匀
分布，求：(1)电阻R落在(950,1050)上的概率； (2)电阻R落在(850,1050)上的概率；
例2:设随机变量X服从区间(2,5)上的均匀分布， 现对X进行三次独立观测，求：(1)恰好有两次 观测值大于3的概率；(2)至少有两次观测值大 于3的概率。
tan x C
cot x C
不定积分的基本公式
arcsin x C
arctan x C
sec x C
csc x C
练习：设随机变量X的概率密度函数为
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x ) 其它, 0,
2
即K 1 或 K 2 ,故事件“方程有实根”的概率 为
P({K 1} {K 2}) P( K 1) P( K 2)
1 3 0dx dx 5 5 2
1 5
2、指数分布(Index distribution )
定义2:设连续型随机变量X的概率密度函数为
三、几种重要的连续型随机变量
1、均匀分布(Uniform distribution)
定义1:设连续型随机变量X的概率密度函数为
1 , a x b, f ( x) b a 其他. 0,
则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
x a, 0, xa 其分布函数为 F ( x) , a x b, b a x b. 1,
x0 0 2 Exe.1：设R.V.X的分布函数 F ( x) x 0 x 1 1 x 1 求概率密度函数。
0, x 0 x Exe.2：设R.V.X的分布函数 F (x) , 0 ≤ x T T 求概率密度函数。 1, T ≤ x
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
求常数 k。
练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为 1 2 x , 0 ≤ x 1, 2 f (x) 求常数a。 ax, 1 ≤ x 3, 0, 其他
练习2：设 X 是连续型R.V.，其密度函数为
3x, 0 x A， f (x) 求常数A。 其他. 0,
注：均匀分布的概率意义，如果X落在区间 (a,b)上的均匀分布，那么对于任意满足
a c cl b
P(c X c l )
c l
c
dx l ba ba
结论：X落在(a,b)中任意子区间的概率与该子区间 的长度成正比，而与该子区间的具体位置无关。
例3：设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
e x , f ( x) 0,
的指数分布，记为 X ~ E ( ).
x 0, x 0.
其中λ>0为常数,则称随机变量X服从参数为λ
1 e x , 其分布函数为 F ( x) 0,
x 0, x 0.
指数分布也被称为寿命分布，如电子元件 的寿命，电话通话的时间，随机服务系统 的服务时间等都可近似看作是服从指数分 布的。
求X的分布函数。
4.区间概率求解
[由密度函数求区间概率] ※
P(a X b) f ( x)dx F (b) F ( a)
a
b
P(X c)
c
f ( x)dx 1 F (c)
P(X d )
d
f ( x)dx F (d )
分布函数 F(x) 定义： F ( x) P X x 性质: 0≤F(x)≤1； 应用：※ F(-∞)=0 , F(+∞)=1。
描述随机变量
分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量
分布律
概率密度函数
pk xk x F ( x) P( X x) x f (t )dt
pk
分布律
f (t ) 概率密度函数
本节小结：
知识点与基本要求：
（1）理解连续型随机变量概率密度函数的概念、性质及其应 用（如确定密度函数中的参数；已知密度函数求分布函数或已 知分布函数求密度函数；求随机变量的区间概率）； （2）掌握连续型随机变量概率密度函数与分布函数间的关系 （例如确定分布函数中的参数；已知随机变量的分布律或密度 函数求分布函数；已知分布函数求分布律或密度函数）； （3）会利用概率密度函数计算随机变量在某区间内取值的概 率问题。
定义：函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，
通常称函数
积分上限函数.
定理：若函数 f(x) 在区间[a,b]上连续, 则积分上限函数F(x) 在[a,b]上可导,且
注：连续型R.V.的分布函数是连续函数。
牛顿-莱布尼茨公式：
定积分的简单性质:
设 f(x)和g(x) 都是[a,b] 上的连续函数，k为常数.
4 x 2 4 Kx K 2 0
有实根的概率.
解:因为R.V.K~U(0,5),所以K的概率密度函数为:
1 , 0 k 5, f (k ) 5 0, 其他.
又方程 4 x 2 4 Kx K 2 0 有实根,当且仅当
(4K ) 4 4 ( K 2) 16( K 2)( K 1) 0
于是
当 x 2时,
x2 F ( x) P( X x) P( X 0) P(0 X x) 4
F ( x ) P( X x ) 1
故 X 的分布函数为
x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 其图形为一连续曲线 1 , x 2 .
x 1,
由概率密度函数计算分布函数的方法 ①用概率密度函数取值非零的定义区间将整个x轴分成 若干个子区间；计算分布函数的方法。 ②利用积分对积分区间的可加性，就被积函数[概率密 度函数]分段积分。 熟练各种积分的计算是基础而重要的。
实例:一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 弹着点 1 求(1)X 的分布函数（ . 2）P ( X 1).
教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性 质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式
不定积分的基本公式
C xC
1 1 x C ( 1) 1
ln | x | C
e C
x
a C ln a
x
不定积分的基本公式
sin x C
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
[1] 由分布函数求密度函数※
F ( x) f ( x)
注：对分布函数分区间求导，得密度函数 例3：设随机变量X的分布函数为
1 (1 x)e x , x 0 F ( x) x0 0, x xe , x 0, 求概率密度函数。 f ( x) F ( x) x 0. 0,
x
[积分公式]
③当
x 1
x
时，
1 1 x
2 F ( x) f (t )dt 0dt 1 t 2 dt 0dt 1; 1 1
[积分：
1
1
1 1 t dt 12. 为单位圆面积一半。] 2
2
故分布函数为： 0,
x 1 1 2 F ( x) 1 x arcsin x , 1 x 1, 2 x 1. 1,
求X的分布函数。 解：概率密度函数f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,其分段 区间为(- ∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数为累积概率和, 故应就x在上述不同区间上积分求F(x). ①当
x 1 时，F ( x) f (t )dt零概率事件与不可能事件是一回事吗？
注: 连续型随机变量取某一确定值的概率为零.
即，不可能事件与零概率事件的关系： A=Φ P(A)=0
同理：必然事件与1概率事件的关系与此相似。 因此,在计算连续型R.V.取值落在一个区间的概率时, 不分开区间或是闭区间,这与离散型R.V.是不同的.
P(a X b) P(a X b) P(a X b)=P(a X b)
广义积分的牛顿-莱布尼茨公式
例3续：设随机变量X的分布函数为
1 求区间概率(两种方法) P( X 1), P(1 X 2), P( X ). 2
解：由分布函数求区间概率公式得：
1 (1 x)e x , x 0, F ( x) x 0, 0,
P( X 1) F (1) 1 (1 1)e1 1 2e 1; P(1 X 2) F (2) F (1) 1 3e 2 ; 1 1 1 1 3 P( X ) 1 P( X ) 1 F ( ) 1 e 2 . 2 2 2 2
[2] 由密度函数求分布函数※
F ( x)
x
f (t )dt ( x )
注：当密度函数为分段函数时，由于分布函数是定 义在整个数轴上的函数，因此，在利用密度函数求 解分布函数时应分区间求解。 例3：设R.V.X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f ( x) 2 x, 0 x 1
性质1: 性质2: 性质3:积分可加性
二、概率密度函数的性质
由定义知,概率密度函数 f(x) 具有以下性质:
1.非负性：f ( x) 0( x );
2.归一性： f ( x)dx 1; [确定待定参数]※
例1：设随机变量X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f ( x) kx, 0 x 1
例1:某个电阻器的电阻R服从(900,1100)上的均匀
分布，求：(1)电阻R落在(950,1050)上的概率； (2)电阻R落在(850,1050)上的概率；
例2:设随机变量X服从区间(2,5)上的均匀分布， 现对X进行三次独立观测，求：(1)恰好有两次 观测值大于3的概率；(2)至少有两次观测值大 于3的概率。