离散数学 关系4
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离散数学关系的性质
任取<x, y>
<x, y>R<y, x>R ………..………. x=y
前提
推理过程
结论
例6 证明若 R∩R1IA , 则 R 在 A 上反对称. 证 任取<x, y>
<x, y>R <y, x>R <x, y>R <x, y>R 1
<x, y>R∩R 1 <x, y>IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的.
有 R)
例(18) 不判自断反下也图不中反关自系反的；性对质称, 并, 不说反明对理称由；不传递. 注任因注<和只注列任证M对因f于反<W(于W对例例考当 R证考对其o3xx1r)aat意取此意证意的取于此等对等于23察检明察于中,,[M<rrj自和iyyss,x： <有 ： ： 元 <k于 称 于 k设 G查模 GkE>>hht(任R设RRj,反==RRR=aa]xx1,R1y是31的的ll在在M在素关：关A完 式000,,)则在123ll取A>y3，＝ ＝tR算算y,,,RR和＝＝＝＝o>111和r＝ 每 每上上上记系恒系所>是M∪<,,,和A不{{=n证法法………，{{{{xR<<({一一述述述作,等,有MtAM<<<Rad3<<上[,<是aaa小小明∩：的,,,<,iaaao)上ynnnyy0,,,y+,条条等等等关的Mbbb,,,ayR,,同>是,,,,=abc反jE于于依,z>,,>]Rxx的MMM>>，ckI>边边式式式系顶>zc,A,阶反+>>}[,}<自<,关关据>}<在kkk<i传,<b,,中中中点I,a,M1[[[b的jb对ARy反,,如如系系iii]Rc,b,递,,,,RRA.Rbt1矩矩矩后c，jjj>>1单[称]]]z；>>果 果,,,i===},}上关>,R阵阵阵就整整}}空<，R111，位的k有有(2x当当当自系R]2的的的得除除1……关,,矩.,一一Ry且且且)R反,RR元元元到关关……系>M阵R32条条34仅仅仅和＝2素素素图系系……是是t＝,[不xxk当当当MIR{相相相,,G..AAA{ii,<是包包4<’jt在上在到到在上是a]加加加都a.,A含含,a的的b时时时是xx>上Mx>关关jj,反关=<,使使使A的的<的的ya系系上b对系,用用用单单b传,转a,,>的称,>逻逻逻真真向向递,其置<,关<关辑辑辑包包边 边b关中a矩,系,系ac加加加含含,,系>阵>ii,}≠≠}...关关.其jj.,, 系系则则中在在GG中中加加(2一一)条条
离散数学练习4高级计数与关系 - 答案
离散结构单元测试(高级计数和关系)1、某校有12个教师，已知教数学的有8位，教物理的有6位，教化学的5位；数理5位，数化4位，理、化3位；数理化3位。
问教其他课的有几位？只教一门的有几位？只教两门的有几位？2、 求解递推关系3、求解递推关系：4、数1，2，…，9的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置的错排数目5、已知}3,2,1{=A ，)}3,1(),1,3(),2,2(),1,1{(1=R ，)}3,1{(2=R ，)}3,3(),2,2(),1,1{(3=R--,n n n a a a --=12120,.a a ==01326--,n n n a a a -+=12440,.a a ==0114指出1R ，2R 和3R 有哪些性质？解1R 有对称性；2R 有反自反性、反对称性和传递性；3R 有自反性、对称性、反对称性和传递性。
6、Z 是整数集。
下列关系中，哪些是自反的、反自反的、对称的、反对称的或传递的？（1）}10||,|),{(2121211≤-∈=i i Z i i i i R 且解1R 有自反性和对称性。
（2）}8,|),{(2121212≥∈=i i Z i i i i R 且解2R 有对称性。
（3）|}|||,|),{(2121213i i Z i i i i R ≤∈=且解3R 有自反性和传递性。
7、 已知)}3,1(),1,2(),2,1{(1=R ，)}3,2(),1,1{(2=R ，求21R ，21R R 。
解 )}3,2(),2,2(),1,1{(21=R)}1,2(),3,1{(21=R R8、 设}3,2,1,0{=A ，A 上两个二元关系分别为：}2/1|),{(1i j i j j i R =+==或}2|),{(2+==j i j i R试求（1）21R R （2）12R R （3）121)(R R R解)}3,2(),1,2(),2,1(),1,0(),0,0{(1=R)}1,3(),0,2{(2=R)}1,2(),0,1{(21=R R)}2,3(),1,2(),0,2{(12=R R)}2,2(),1,1(),0,1{()(121=R R R9、 设},,{c b a S =, 二元关系R 如下，试求它们的传递闭包)(R t 。
离散数学第四版课后答案(第4章)
第4章 习题解答4．1 A ：⑤； B ：③； C ：①； D ：⑧； E ：⑩4．2 A ：②； B ：③； C ：⑤； D ：⑩； E ：⑦4．3 A ：②； B ：⑦； C ：⑤； D ：⑧； E ：④分析 题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。
先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的}2,2,1,2,2,1,1,1{},2,2,1,1{><><><><=><><=s s E I};2,2,2,1,1,1{><><><=s I而题4.2中的}.1,4,4,3,1,2,4,1,1,1{><><><><><=R为得到题4.3中的R 须求解方程123=+y x ，最终得到}.1,9,2,6,3,3{><><><=R求R R 有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。
下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法将ranR ran domR domR,, 的元素列出来，如图4.3所示。
然后检查R 的每个有序对，若R y x >∈<,，则从domR 中的x 到ranR 中的y 画一个箭头。
若danR 中的x 经过2步有向路径到达ranR 中的y ，则R R y x >∈<,。
由图4.3可知}.1,3,4,2,1,2,4,4,1,44,1,1,1{><><><><>><<><=R R如果求G F ，则将对应于G 中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F 中的有序对的箭头画在右边。
对应的三个集合分别为ranF domF ran domG ,, ，然后，同样地寻找domG 到ranF 的2步长的有向路径即可。
离散数学第四章(第1讲)
xy??a??bc?xy??xyx??a??y??bc?xy??xyx??a??y??b??y??c?xy??xyx??a??y??b??x??a??y??c?xy??a??ba??c即a??bca??ba??c例
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
离散数学第4章 关系
例4-1.2 集合A={a，b}，B={c，d}，试写出从 A到B的所有不同关系。 解：A×B={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b， d>}。于是A×B上的所有16个不同的关系： 关系中包含0个元素：； 关系中包含1个元素：{<a，c>}，{<a，d>}， {<b，c>}，{<b，d>}； 关系中包含2个元素：{<a，c>，<a，d>}， {<a，c>，<b，c>}，{<a，c>，<b，d>}， {<a，d>，<b，c>}，{<a，d>，<b，d>}， {<b，c>，<b，d>}；
（5）R是传递的
(x)(y)(z)(x，y，zAxRyyRz→xRz) R的关系矩阵(rij)n×n中对任意的i,j,k有, 若 rik＝1且rkj＝1则rij＝1 （当X是有限集 合）。 R的关系图中任意一条长度为2的路径都有从 其起始顶点到终止顶点的边（当X是有限集合）。
(3)关系矩阵:X＝﹛x1,x2,…,xn﹜到
Y=﹛y1,y2,…,ym﹜的关系R的关系矩阵为 MR＝(aij)n×m 1, 若xiRyj 其中 aij ＝ 0, 若xiRyj
(4)关系图:
X＝﹛x1,x2,…,xn﹜到Y ＝ ﹛y1,y2,…,ym﹜的关 系R的关系图为：分别在左右两列用小圆圈列出的X中的n个元 素和Y中的m个元素，若xiRyj，则从xi到yj画一条有向边。如右 图所示 X＝﹛x1,x2,…,xn﹜上的关系图为：在平面上用小 圆圈列出的X中的n个元素（位置不限），若xiRXj,则从xi到xj 画一条有向边。如左图所示 X Yy 1 x 1 x3 x2 x2 y2 x1 xn xn
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学-关系-4.1-2
E=ranR∪domS={1, 2, 3, 4}
① 把R看作A到E的关系，即相当于关系矩阵上在多出来 的列上加 0
② 把S 看作E到 D的关系，即相当于关系矩阵上加几行 0
③ 矩阵相乘
21
4.2.1 关系的基本运算
求关系的合成（续）
R: A→E, S: E→D A={1, 2}; E={1, 2, 3, 4}; D=ranS={1, 2, 3}; ������ ������ ������ ������ MR = ������ ������ ������ ������ ������ MS= ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
5
4.1.1 有序对与笛卡尔集
笛卡儿积的性质
(1) 若A= 或 B=，则 AB=. 即 A=B= (2) 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn (3) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B) (4) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C) (5) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA)
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ M R MS = = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 故：R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} 求： S∘R？
离散数学4.4-等价和偏序关系
11
4.4.3 集合的划分
集合的划分
定义4.21 设A为非空集合, 若A的子集族 ( P(A)) 满 足下面条件： (1) (2) xy (x,y∈∧x≠y→x∩y=) (3) ������∈������ ������=A 则称是A的一个划分, 称 中的元素为A的划分块. 例3 设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6如下： 1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}} 3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}} 5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}} 则 1和 2 是A的划分, 其他都不是A的划分. 12
4.4.4 偏序关系
相关概念
定义4.23 x与 y可比 设R为非空集合A上的偏序关系, x, yA, x与 y 可比 x≼y ∨ y≼x. 对IA, A上的元素可比吗？ 不可比 定义4.24 非空集合A上的反自反和传递的关系，称为A 上的拟序关系，简称为拟序，记作≺. 求证：如果一个关系是拟序，那么它一定是反对称的。 证：如果不是反对称的，则 ∃x, y, 使 x≺y, 且 y≺x成立。 根据传递性，有 x≺x， 与反自反性矛盾。 19 得证
4.4.1 等价关系
模3等价关系的关系图
设 A={1, 2, …, 8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y (mod 3) } R 的关系图如下：
4
4.4.1 等价关系
注: (1) 关系图的特点: ① 不连通 ② 在每个连通分支中是完全图 (2) 关系矩阵的特点: 修改排列顺序后为对角块矩阵,对角块为全”1”矩阵 1 4 7 2 5 8 3 6 1 1 1 1 0 0 0 0 0 4 1 1 1 0 0 0 0 0 7 1 1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 0 0 5 0 0 0 1 1 1 0 0 8 0 0 0 1 1 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 1 1
4.4.3 集合的划分
集合的划分
定义4.21 设A为非空集合, 若A的子集族 ( P(A)) 满 足下面条件： (1) (2) xy (x,y∈∧x≠y→x∩y=) (3) ������∈������ ������=A 则称是A的一个划分, 称 中的元素为A的划分块. 例3 设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6如下： 1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}} 3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}} 5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}} 则 1和 2 是A的划分, 其他都不是A的划分. 12
4.4.4 偏序关系
相关概念
定义4.23 x与 y可比 设R为非空集合A上的偏序关系, x, yA, x与 y 可比 x≼y ∨ y≼x. 对IA, A上的元素可比吗？ 不可比 定义4.24 非空集合A上的反自反和传递的关系，称为A 上的拟序关系，简称为拟序，记作≺. 求证：如果一个关系是拟序，那么它一定是反对称的。 证：如果不是反对称的，则 ∃x, y, 使 x≺y, 且 y≺x成立。 根据传递性，有 x≺x， 与反自反性矛盾。 19 得证
4.4.1 等价关系
模3等价关系的关系图
设 A={1, 2, …, 8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y (mod 3) } R 的关系图如下：
4
4.4.1 等价关系
注: (1) 关系图的特点: ① 不连通 ② 在每个连通分支中是完全图 (2) 关系矩阵的特点: 修改排列顺序后为对角块矩阵,对角块为全”1”矩阵 1 4 7 2 5 8 3 6 1 1 1 1 0 0 0 0 0 4 1 1 1 0 0 0 0 0 7 1 1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 0 0 5 0 0 0 1 1 1 0 0 8 0 0 0 1 1 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 1 1
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2020/2/29
《集合论与图论》第8讲
20
Bell数(Bell number)
问题: 给n个对象分类, 共有多少种分法?
答案: Bell数 B =
n n n n
n
n
k 1
k
1
2
n.
(Eric Temple Bell, 1883~1960)
second
n
kind):
S(n,k)=
n
k
n
xn S(n, k)x(x 1)(x 2) (x k 1) S(n, k)xk .
k 0
k 0
2020/2/29
《集合论与图论》第8讲
23
Bell数表
n
Bn
1
1
2
2
3
5
4
15
5
52
6
203
7
877
n
Bn
8
《集合论与图论》第8讲
16
划分(举例)
设 A1,A2,…,AnE, 则以下都是划分: Ai = {Ai,~Ai}, ( i=1,2,…,n ) Aij = {AiAj,~AiAj, Ai~Aj, ~Ai~Aj}-{} ( i,j =1,2,…,n ij ) …… A12…n = {~A1~A2… ~An,…, ~A1~A2… ~An-1An,… A1A2… An}-{}. #
Stirling子集数(Stirling
subset
number)
: n
k
把n个对象分成k个非空子集的分法个数.
递推公式:
n 0
0,
n 1
1,
n 2
2 n1
1,
n
n 1
C
2 n
,
n n
1.
n
k
2020/2/29
《集合论与图论》第8讲
15
划分(partition)
划分: 设A, AP(A),若A满足 (1) A ; (2) x,y( x,yA xy xy= 为划分 块(block).
2020/2/29
4,140
9
21,147
10
115,975
11
678,570
12
4,213,597
13
27,644,437
14
190,899,322
2020/2/29
《集合论与图论》第8讲
24
第二类Stirling数表
n\k 0 1 2 3
4
5
6
7
89
01
1 01
2 01 1
3 01 3 1
4 01 7 6
1
5 0 1 15 25 10
的等价类, 画出R3的关系图. 解: [1]=[4]={1,4}, [2]=[5]=[8]={2,5,8},
[3]={3}. #
4
8
1
2020/2/29
2
5
3
《集合论与图论》第8讲
13
商集(quotient set)
商集: 设R是A上等价关系, A/R = { [x]R | xA }
划分的加细(refinement)
划分的加细: 设A和B都是集合A的划分, 若A的每个划分块都包含于B的某个划分 块中, 则称A为B的加细.
A为B的加细 RARB
2020/2/29
《集合论与图论》第8讲
27
例14
例14: 考虑A={a,b,c}上的划分之间的加细.
解:
a
加细
xy
2020/2/29
《集合论与图论》第8讲
11
同余(congruence)关系
同余关系: 设n{2,3,4,…}, x,yZ,则
x与y模n同余(be congruent modulo n)
xy(mod n) n|(x-y) x-y=kn (kZ)
同余关系是等价关系
[0] ={
《集合论与图论》第8讲
22
第一、二类Stirling数
第一类Stirling数(Stirling number of the
first kind): s(n,k)
n
s(n, k)xk x(x 1)(x 2) (x k 1) xk .
k 0
第二类Stirling数(Stirling number of the
偏序关系: 设 RAA 且 A, 若R是自 反的, 反对称的, 传递的, 则称R为偏序关 系
通常用≼表示偏序关系,读作“小于等于” <x,y>R xRy x≼y
“严格小于”: x≺y x≼y xy 偏序集(poset): <A,≼>, ≼是A上偏序关系 例子: <A,>, <A,|>, <A,>, <,≼加细>
b c 加细
a 加细 bc
a 加细 bc
a bc
加细
a
加细
bc #
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《集合论与图论》第8讲
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序关系
偏序,线序,拟序,良序 哈斯图 特殊元素: 最?元, 极?元, ?界, ?确界 (反)链
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《集合论与图论》第8讲
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偏序(partial order)关系
都是A上等价关系, 求对应的商集, 其中 ai,ajA, ij. 是A上等价关系吗?
解: A/IA={ {a1}, {a2},…, {an } }
A/EA={ {a1,a2,…,an } } A/Rij= A/IA{{ai,aj}} - {{ai},{aj}}. 不是A上等价关系(非自反). #
kn|kZ},
11 0 1
10
2
[1] ={ 1+kn|kZ}, 9
3
[2] ={ 2+kn|kZ},…, 8
4
[n-1]={(n-1)+kn|kZ}.
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《集合论与图论》第8讲
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例11
例11: 设 A={1,2,3,4,5,8}, 求 R3 = { <x,y> | x,yA xy(mod 3) }
称[x]R为x关于R的等价类, 简称x的等价类, 简记为[x].
等价类性质: [x]R ; xRy [x]R=[y]R ;
xRy [x]R[y]R= ; U{ [x]R | xA } =A.
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《集合论与图论》第8讲
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定理27
定理27:设R是A上等价关系,x,yA, (1) [x]R (2) xRy [x]R=[y]R ; (3) xRy [x]R[y]R= ; (4) U{ [x]R | xA } =A. 证明: (1) R自反xRxx[x]R[x]R.
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《集合论与图论》第8讲
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例9(续)
定义 自反 对称 传递 等价关系
R1 x与y同年生
R2 x与y同姓
R3 x的年龄不比
y小
R4 x与y选修同
门课程
R5 x的体重比y
重
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例10
k
n
1
k
n k
11.
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Stirling子集数
递推公式: n n 1 n 1
k
k
k
k
1.
剔除一个
其余分k类
加入一类
其余分k-1类
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自成一类
称为A关于R的商集, 简称A的商集. 显然 U A/R = A. 例11(续): A/R3 ={ {1,4}, {2,5,8}, {3} }.
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《集合论与图论》第8讲
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例12(1)
例12(1): 设A={a1,a2,…,an}, IA, EA, Rij=IA{<ai,aj>,<aj,ai>}
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划分(举例,续)
~Ai Ai
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《集合论与图论》第8讲
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等价关系与划分是一一对应的
定理28: 设A, 则 (1) R是A上等价关系 A/R是A的划分 (2) A是A的划分 RA是A上等价关系,其中
xRAy z(zA xz yz) RA称为由划分A 所定义的等价关系(同块关系). #
例10: 设 RAA 且 A, 对R依次求三 种闭包共有6种不同顺序, 其中哪些顺序 一定导致等价关系? rst( R ), rts( R ), str( R ), srt( R ), trs( R ), tsr( R )=t(s(r( R )))
解: st( R )ts( R ), sr( R )=rs( R ),… tsr( R )=trs( R )=rts( R ) str( R )=srt( R )=rst( R )
x
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《集合论与图论》第8讲
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定理27(证明(2))
(2) xRy [x]R=[y]R ; 证明: (2) 只需证明[x]R[y]R和[x]R[y]R. () z, z[x]RxRy zRxxRy