一类函数项级数的求和
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈!为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。
函数项级数和函数列的区别
函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。
函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。
具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。
在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。
函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。
函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。
函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。
逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。
它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。
函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。
此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。
函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。
函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。
它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。
函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。
函数列和函数项级数的区别
函数列和函数项级数的区别
函数列和函数项级数都是数学中的概念，但它们有着不同的定义和性质。
函数列是指由一系列函数所构成的序列，其中每一个函数都是在同一定义域上的函数。
函数列可以在点处或在整个定义域上收敛或发散。
函数列的极限可以是一个函数或不存在。
函数项级数是指由一系列函数项所构成的级数，其中每个函数项都是一个单独的函数，而级数的求和是对这些函数项在给定定义域上求和。
函数项级数的收敛与发散是关于级数求和的，而不是某个函数的极限。
因此，函数列和函数项级数的区别在于它们的定义和性质不同。
函数列是一系列函数的序列，而函数项级数是一系列函数项的级数求和。
- 1 -。
一类特殊多项式的求和问题
两边 同乘 ｚ后 ， 对 ｚ求导得 ： 再
Ｓ ： １ ＋ ２ ｚ４ ３ｚ。 … ＋ ７ ｚ ４ － － ２ ＝ ： ＝
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Ｓ ＝ １ ＋３ ＋２ ＋…＋ 一￣ｎｎ ） －（＋１．
当 ｚ≠ １时 ， 由于
＋５ Ｃ ２＋ ｚ。 … ＋ Ｘ ＋ ｎ一 ＿－一： ｌ Ｘ ．＋ ２ ： ｎ
ｓ－ ｔ 一 １ ２ ３ 。 … ４ ～ｚｒ 卜 ＋ 卜 ｚ４ 卜 ３ ４ － ２－ － ，
两边 同乘 后 ， 再对 ｚ求 导得 ：
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证 明
Ｃ （ １＋ ２＋ ３＋ … ＋ ）＋ 。 ．
１ ＋Ｃ ・ｌ ＋ ｃ ・ ＋Ｃ Ｆ－ … ・１ １ ＋ ， ３ 抖 一 （ ２＋ １ 抖 一 ）
摘 要 利 用 二 项 式 定 理 给 出 自然 数 幂 和 的 求 和 公 式 ， 由此 出发 ， 用 逐 项 求 导 法 得 到 形 如 利
Ｓ（ ）＝ １ ＋ ２ ｘ＋ ３ ｚ。＋ … ＋ ｚ ｋ
的多 项 式 和 的算 法 ． 关键 词 多 项 式 ； 和 ； 导 求 求 中 图分 类 号 Ｏ１ ３ ７ 文 献标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０—３ ９ ２ １ ） １０ ６ —２ ０ ８１ ９ （０ ２ ０ —０ ５０
级数求和常用方法
级数求和的常用方法摘要级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法.关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法Summation of series method in common useAbstractProgression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions.Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common use目录引言................................................ 错误!未定义书签。
数项级数和的几种求法
3 结论
不同个人背景的山东省高校体育教师工作 满意度不同院不同职称尧工作性质尧学校类别的山 东省高校体育教师工作满意度之间差异具有显
调查显示袁部属院校体育教师的构面工作满意度要普遍高于普通
著性遥
高校袁这一点基本符合我国高校资源配比及管理情况遥 在山东省高校
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随着各种类型题材的网络小说的发展袁为影视剧改编提供了广阔 的剧本市场遥 视频网站在面对如此众多小说改编成的影视剧袁应该注 重原作品的质量和较高的受众基础遥 保证了收看人数和会员的性价 比袁基于此才能更好的发展网络收费制度袁增加会员数量遥 猿援圆 选择具有吸引力的明星
高等数学级数的求和、函数（精品）
一、某些级数的部分和（小孩小孩，，像下面的要证明的话像下面的要证明的话，，就用数学归纳法就用数学归纳法！！） )1(21321+=++++n n n L)12)(1(613212222++=++++n n n n L223333)1(41321+=++++n n n L)133)(12)(1(30132124444−+++=++++n n n n n n L )122()1(1213212225555−++=++++n n n n n L )1363)(12)(1(421321346666+−+++=++++n n n n n n n L )2463()1(241321234227777+−−++=++++n n n n n n n L−+=−+−+−−为偶数为奇数n n n n n n ,2),1(21)1(3211L)1(21)1()1(321121222+−=−+−+−−−n n n n n L+−+−=−+−+−−为偶数为奇数n n n n n n n n ),32(41,)1)(12(41)1(3212231333L)1)(1(21)1()1(3212141444−++−=−+−+−−−n n n n n n n L)1(2642+=++++n n n L 2)12(531n n =−++++L)14(31)12(53122222−=−++++n n n L)12()12(531223333−=−++++n n n L)2)(1(31)1(433221++=+++⋅+⋅+⋅n n n n n L)3)(2)(1(41)2)(1(543432321+++=++++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅n n n n n n n L)4)(3)(2)(1(51)3)(2)(1(54324321++++=+++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n n n n n n n n L)!1()!1(21)()1(1−+++=++∑=n k n k k j j j nj L)53)(2)(1(121)1(12+++=+∑=n n n n j j nj)32)(3)(2)(1(101)2()1(12++++=++∑=n n n n n j j j nj)1(41)(22122−=−∑=n n j nj nj4)2(2)1(2211−+−=++=∑n n j j n nj 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是给定的一个数集.若有两个变量x 和y ，当变量x 在D 中取某个特定值时，变量y 依确定的关系f 也有一个确定的值，则称y 是x 的函数，f 称为D 上的一个函数关系上的一个函数关系，，记为y =f (x )，x 称为自变量称为自变量，，y 称为因变量.当x 取遍D 中各数，对应的y 构成一数集R ，D 称为定义域或自变数域，R 称为值域或因变数域.反过来，若把y 视为自变量，x 视为因变量，用y 写出x 的表达式：x =ϕ(y )，则称y =f (x )与x =ϕ(y )互为反函数.例如例如：：y = x + sin(x+3)[实变函数与复变函数] 当自变数域为实数域时，函数称为实变函数.当自变数域为复数域时，函数称为复变函数.[一元函数与多元函数] 只有一个自变量的函数称为一元函数.有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数.[显函数与隐函数] 因变量可以由自变量用数学式子直接表示出来的函数称为显函数.例如例如：：y = x + 3, 这就叫显式表示这就叫显式表示，，显函数若函数关系包含在一个方程式或一组方程式中，自变量与因变量无明显区分，则称为隐函数.例如例如：：sin(x) + tg(2y) = 5, 这就叫隐式表示这就叫隐式表示，，隐函数[简单函数与复合函数] 若y 是u 的函数y =f (u )，而u 又是x 的函数，u =ϕ(x )，则y 称为x 的复合函数，u 称为中间变量，记作y =f [ϕ(x )]，无中间变量的函数称为简单函数.例如例如：：y = sin[exp(cos(x+2))][有界函数与无界函数] 若存在两个数m , M (m ≤M )，使m ≤f (x )≤M ，对定义域上的任意x 都成立，则称f (x )为定义域上的有界函数，m 为其下界，M 为其上界.若这样的数m 和M 至少有一个不存在，则称f (x )为定义域上的无界函数.例如例如：：sin(x)就是有界函数就是有界函数，，{-1，1}[单调函数与非单调函数] 若对于区间[a , b ]中的任意x 1>x 2有f (x 1)≥f (x 2)[或f (x 1)≤f (x 2)]，则称f (x )为[a , b ]中的递增函数(或递减函数).递增函数和递减函数通称为单调函数.不是递增(或递减)的函数称为非单调函数.换句话说换句话说：：对于区间[a , b ]，f’(x)>0，则为单调递增函数则为单调递增函数；；而f’(x)<0,递减函数[奇函数与偶函数] 若对于定义域中的任意x 恒有()()x f x f −=−，则称f (x )为奇函数；若对于定义域中的任意x 恒有()()x f x f =−，则称f (x )为偶函数.例如例如：：sin(x)，tg(x), ctg(x)是奇函数是奇函数、、而cos(x)是偶函数[周期函数与非周期函数] 若有一实数T ≠0，使对定义域中的任意x 恒有f (x +T )=f (x )，则f (x )称为以T 为周期的周期函数；否则称f (x )为非周期函数.孩子，注意周期的求法：按照定义来（保持T 为最小！！！） 例如：sin(x)=sin(2PI +x),所以，2PI 是函数sin(x)的周期Sin^2(x)=1/2[1-cos(2x)]=1/2[1-cos(2PI+2x)]=1/2[1-cos2(PI+x)]=sin^2(PI+x)所以，PI 是sin 平方的周期[单值函数与多值函数] 若对于自变量x 的一个值，因变量y 有一个而且只有一个值与其对应，则称y 为x 的单值函数.若对于自变量x 的一个值，与其对应的y 值不止一个，则称y 为x 的多值函数.[初等函数] 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为“基本初等函数”，凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合步骤而构成，并能用一个数学式子表示的函数都属于初等函数.[幂函数的图形与特征]方程与图形 特 征曲线通过点(0,0)和(1,1)；当x >1时，α越大曲线上升越快.当α为偶数，函数为偶函数，在区间(0,∞)中为递增函数，在区间(-∞,0)中为递减函数.当α为奇数，函数为奇函数和递增函数.曲线通过点(1,1).当α为负偶数，函数为偶函数，在区间(-∞,0)中为递增函数，在区间(0, ∞)中为递减函数.当α为负奇数，函数为奇函数和递减函数.方程与图形 特 征指数函数曲线与y 轴相交于点A(0,1). 渐近线为y=0.曲线与x 轴相交于点A(1,0). 渐近线为x=0.[三角函数的图形与特征] 标准正弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0),0,(±±=k k B k π极值点（极大点或极小点）：L ,2,1,0,)1(,21(±±=−+k k A k k π余弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0,0,)21(±±=+k k B k π极值点：L ,2,1,0),)1(,(±±=−k k A k k π 一般正弦曲线)sin(0ϕω+=x A y 周期：ωπ2=T式中A >0为振幅，ω为角频率，0ϕ为初相 与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0,0,0±±=−k k B k ωϕπ极值点：,)1(,21(0−−+A k A k k ωϕπL ,2,1,0±±=k 同时，)cos(1ϕω+=x A y 也属于一般正弦曲 它是将标准正弦曲线在y 轴方向上伸线(设210πϕϕ+=，可化为))2sin(1πϕω++x A 长A 倍，在x 轴方向上压缩ω倍，并向左平移ωϕ0一段距离而得到.正切曲线周期：π=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0),0,(±±=k k A k π，该点切线斜率为1.渐近线：π21(+=k x余切曲线周期：π=T与x 轴交点（同拐点）： L ,2,1,0,0,)21(±±=+k k A k π，该点切线斜率为－1.渐近线：πk x =y =tan x正割曲线周 期：π2=T极大点：)1,)12((−+πk A k 极小点：L ,2,1,0),1,2(±±=k k B k π渐近线：π)21(+=k x余割曲线周 期：π2=T极大点：−+1,232(πk A k极小点：+1,)212(πk B kL ,2,1,0±±=k渐近线：πk x =反三角函数的图形与特征]反正弦曲线 反余弦曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点（同曲线对称中心）：)0,0(O ，该点切线斜率为12,0(πA ，该点切线斜率为－1反正切曲线 反余切曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点：)0,0(O ，该点切线斜率为1 )2,0(πA ，该点切线斜率为－1渐进线：2π±=y曲线对称中心：)2,0(πA渐近线：π==y y ,0反正割曲线反余割曲线顶点：),1(),0,1(π−B A 顶点：)2,1(),2,1(ππ−−B A渐近线：2π=y渐近线：0=y六、双曲函数1. 双曲函数的定义、图形与特征[双曲函数的图形与特征]双曲正弦曲线 双曲余弦曲线x y sh =x y ch =曲线关于原点对称. 曲线关于y 轴对称. 拐点（同曲线对称中心）： 顶点（同极小值点）：)1,0(A )0,0(O ，该点切线斜率为1双曲正切曲线 双曲余切曲线 x y th =x y cth =曲线关于原点对称.曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：0=x)0,0(O ，该点切线斜率为1 渐近线：1,0±==y x 渐近线：1±=y双曲正割曲线 双曲余割曲线 x y sech =x y csch =曲线关于y 轴对称. 曲线关于原点对称.顶点（同极大点）：)1,0(A 不连续点：0=x拐点：22,22th Ar B 渐近线：0,0==y x−22,22th Ar C 渐近线：0=y1csch cth ,1th sech ,1sh ch 1cth th ,cth sh ch ,th ch sh 222222=−=+=−===x x x x x x x x x xxx x x [双曲函数基本公式]和差的双曲函数y x yx y x y x y x y x y x y x y x yx y x y x cth cth cth cth 1)cth(th th 1th th )th(sh sh ch ch )ch(sh ch ch sh )sh(±±=±±±=±±=±±=±双曲函数的和差yx y x y x y x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x sh sh )sh(cth cth ch ch )sh(th th 2sh2sh 2ch ch 2ch2ch 2ch ch 2ch 2sh2sh sh ±±=±±=±−+=−−+=+±=±m倍 元 公 式 x xx x x x x x x x x x x x x x x x cth 2cth 12cth th 1th 22th ch 3ch 43ch ch sh 2ch sh 4sh 33sh ch sh 22sh 223223+=+=−=+=+== 半 元 公 式xx x x x x x x x x x x x x x x sh 1ch 1ch sh 2cth 1ch sh sh 1ch 2th 21ch 2ch,0,021ch 2sh +=−=+=−=+=<>−±=取负号取正号[反双曲函数的图形与特征] 反双曲正弦曲线 反双曲余弦曲线 x y sh Ar =x y ch Ar =曲线关于原点对称. 曲线关于x 轴对称. 拐点（同曲线对称中心）：顶点：)0,1(A)0,0(O ，该点切线斜率为1反双曲正切曲线 反双曲余切曲线 x y th Ar =x y cth Ar =曲线关于原点对称. 曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：1±=x )0,0(O ，该点切线斜率为1 渐近线：1,0±==x y反双曲正割曲线 反双曲余割曲线 x y sech Ar =x y csch Ar =曲线关于x 轴对称. 曲线关于原点对称.顶点：)0,1(A不连续点：0=x拐点： 22th Ar ,22B 渐近线：0,0==y x和−22th Ar ,22C4. 反双曲函数的相互关系与基本公式[基本公式]xyy x y x y x xy y x x y y x y x ±±=±−−±=±+±+=±1thAr th Ar th Ar ])1)(1(ch[Ar ch Ar ch Ar )11sh(Ar sh Ar sh Ar 2222。
函数项级数求和方法探讨
函数项级数求和方法探讨
函数项级数求和是一种常用的数学计算方法，它可以求出一组数
据的精确结果。
它根据函数定义或它的关系式，通过将一系列函数项
之和，从而求出函数的总和。
一般情况下，函数项级数求和的常用计
算公式如下：求和公式：A＝∑f（n）
其中A 为无限级数的和，∑ 代表求和，f（n）是函数序列，n
为函数的步长。
此外，将函数序列f（n）表示为多项式的形式，则求和公式也可以写成：A＝∑an，其中a 为多项式的系数，n 为多项式的指数项。
函数项级数求和可以用来解决许多实际问题，特别是求微积分时，也可以用该方法解决某些问题。
例如，用函数项级数求和可以求出某
类函数的总和，实际上就是求积分的方法。
此外，函数项级数求和有很多计算工具，可以更方便快捷地求出
无限级数的和。
例如，Matlab 中包括多项式函数用于求和计算，而Maple 也有专门的函数来计算级数和。
需要指出的是，函数项级数求和不仅可以用来解决数学问题，而
且也被广泛应用于物理，经济等数学应用领域。
它使得计算更加简单，精确，可靠。
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（＜ｘ ） ａ ＜ｂ．
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（） ４
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由（） ５式得 解微分方程［， １得 ２ １
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［ 收稿日 期］２０－１ ９ ００ － １２
万方数据
第５ 期
定理 ２ 设级数
沈云海 ： 一类函数项级数的求和
＝ａ （ ） ｏ ｘ
＝ 二 ａ ） ｏ（
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［，１ －．ｎ）ｎ二 ｆ ｆ １ １（－（） （客（） ）－１ ， １ｎｎＣ ． ｛ａ （ ＋ ＝ ＋ａ ｎ －－ ） ． ！ ａ 」 ［， 二 ｆ ｆ－ａ） １ ） （ ｝（）ｎ ＋， １ｎｎａ１（ ） ＋ －（ｆａ ， － －． ｎ （ ＋ ． １ ． －
Ｓ ＝仁一 十（ 十１ ） ）［＋抓ｘ ］ ＇ ＜二 ） （） １ ｄ ａ ｘ ｄ 一ｄ 抓ｘ ］ｌ ）０ － （ ＜ｂ． ａ
万方数据
１０ ０
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科
数
学
第１ 卷 ７
定理 ３ 设级数
艺（ １ （ｎ ｌ ！ 一 ） ２ ＋ ） ”
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（ｎ ｌ ！ ２＋ ）
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丫 ＼ ２ 沈
代人条件， 解方程得
Ｓ ＝仁 （） ］ｎ（） （） ｓ ） ＜ｘ ） （） ｆ ０一８ｓ ｝ｘ ＋８ ｘ，、 ｎ （） ａ ＋ｌ＿ 几 ＿ 矛 ｆｎａ． ＋ｌ＿ ，、二＿ ｆ ａ （一ｎ ） ，、 ： ｎ＂ 二 刀 ，、 （）．（一ｎ ） ‘、 ．ａ ，
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在（，） （ ｂ内收敛且可逐项微分，ｆ ，）ｐ０ ＝Ｏｆ ０＃０则和函数 Ｓ ｘ 具有以下两种形式： ａ ｏ （ ｂ ，（） ，（） ， ａ （）
（） １
１１ 若｛ ｎ｝ （）是公比ｑ 的等比数列， ． ｆ ＃０ 则
２ 瓦 、
Ｓ ｘ 二ｆ ｅ （＜ｘ ） （ ） （）９ ０ ＂＇ ａ ＜ｂ．
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２２ ．
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（）若 ｛ （）是等差数列， ｆ ） （） ， ４式为 ｉ ｉ ｆ ｝ ｎ 有 （十１ ＝ｆ 十ｄ 则（） ｎ ｎ
（） ５
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在 Ｔ０＝０ １＝１ （） ，（） 条件下，（） ｆ Ｓ ０二
解微分方程得
Ｙ
、 ）粤１。二 ・（ 二 ， （ 一 巨 ＊ ） 。 ＜） 二 ＋ （〕 ＜ ．
特别地 ， ＝１ （） 当ｑ 时，６式为
１２（１（ｎ ） 〔、〕（“ ＋ ａ ）ａ＋ｇ，‘ ， 、， ａ ．－ １（ ＋ “ ・ －． ｎ ． １ ， ｘ 一
（）由等差数列 ｆ ｎ ） （） ｉ ｉ （＋ｌ ＝ｆ ＋ｄ ｎ
（） ９
Ｓｘ一 （ 艺一一一一一一一万产ｒ一下下二一一 ＇ ０ （ ） ｘ ）
ｆ ｎ ａａ ）． ａ ＋ － １ （）（－１ ． （－ｎ １ － ． ） ，、
［ 要］以微分方程为工具 ， 摘 推出一类一致收敛且具有分析性质的函数项级数的求和公式， 进而推广了
五种基本幂级数川的和函数公式．
〔 关健词〕函数项级数； 和函数 ； 线性微分方程； 一致收敛 「 中图分类号］０ ７． ［ １３ １ 文献标识码〕Ｃ 〔 文章编号〕１０－１０２０）５０９－４ ０７４２（０ １０－０８０
９ ９
Ｊ。 Ｌ— — 一 — 一 一９ｘ 气 十＝ ’ｎ ｝ 而 ９ ｌ ）
两种 形 式 ：
２１ ．
Ｉ＿ 合 ｆ ｎａａ ） ． －ｎ ）。 ，． ． （）（－１．（ ＋１ ，、 ．ａ
（） ６
在（，） （ ｂ内收敛且可逐项微分，Ｅ ， （） ， 为任意非零实数，（） ， ａ Ｏ （ ｂ ， Ｏ ＝０ａ ａ ）（ ｐ ｆ １＝１则和函数 Ｓ ｘ 具有下列 （） 若｛（） ｆ ｎ） 是公比４｀ 的等比数列， ｝。 则
第１卷第５ ７ 期 ２０ 年１ 月 ０１ ０
工
科
数
学
Ｖｏ． Ｎ ． ｌ１ ， ５ ７ ０
Ｏｃ ２ １ ． ０ ｔ ０
Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬ Ｆ Ｏ ＭＡＴＨＥ ＭＡＴ Ｃ Ｆ Ｒ Ｅ ＨＮＯＬ ＧＹ Ｉ Ｓ Ｏ Ｔ Ｃ Ｏ
一类函数项级数的求和
沈云海
（ 浙江水电专科学校， 杭州 ３０１） １０６
乙
， Ｊ
０
、
１２ 若｛ ｎ｝ （）是公差为ｄ的等差数列， ． ｆ 则 Ｓｘ 二ｅ｝ ｄ （） （） （＜ｘ ） （） ｑ） ｐｘ ＋ｆ ０］ ｃ［ ａ ＜ｂ．
了 、
Ｏ
、
ｄ
ｊ
，
证 对（ 式逐项微分， ） （ １
“’ ／，ｆｎ（ “一 ， （Ｊ） 二“ｎ ｉ＋ ｘ ｏ １ ＝ｎＶ ｎ ） ． ｝ （ ｉ ｆ ｝ ）若｛（）是等比数列， （＋１＝汀（）故 ｎ 有ｆｎ ）
（３ １）
艺（ １ 一） ”
（４ １）
再微 分 ，
Ｓ （ ） ｘ 一Ｓ（ ）＇ ） ０ 梦（ ） ＇ ｝（ ｘ ｘ ｄｘ ［ （ ） Ｏ ］ ｘ Ｚ
一 （ 艺（ １ ０ 一 ） ｘ ） ＂
一 （ 艺（ １ ０ 一 ） ｘ ） ＂
ｆ ｎ ） ＂＇ （＋１０＋（ ） ｘ
（ｎ １ ！ ２＋ ）
－１ １ ．ｗｅ ｅｓ Ｊ
勺
． 合 ｆ ｎａａ ） ａ ＋ｌ ，、 （）（－１． （－ｎ ） ． ． ＿ ＿
ｑ（） ｆｎ（一１…（一 ＋ｌ， ， 、 Ｔｘ 矛 （）ａ ） ａ ｎ ） 一， ＿ － 山 — 一灭ｎ 万厂一 兀厂． －ｌ 一一， ＼， ， ｃ
Ｓｘ ＝ｆ ｃ ［ｐｘ 〕 （＜ｘ ） （） （） ｓＹ（） ａ ＜ｂ． ０ｏ
４２ 若 ｛ （）是公差为 ２ ． ｆ ｎ ｝ ８的等差数列 ， 则 Ｓ ｘ ＝ｆ ０ｃｓ（ ） ｐｘ ｓ Ｔｘ ． （ ） （） ｝ｘ ＋３（ ）ｎ （ ） ｏｐ ｉ 定理 ４ 根据（４式即可推出． １） 定理 ５ 设级数
（７ １）
（８ １）
艺（ ‘ 一） ”
ｆ Ｖ ｉ （） ＋（ ） ｎ ｘ
证 对 ３ ２ 明． ．证
（２ １）
对 （ １ 式 ， Ｙ ， （） 时， １ ） 当 ＝１ ０ ＝１ 有 ｆ
艺（ １ （ｎ＋ ｌ ！ 一）２ ） ”
对（０式两边微分， １）
Ｓ（ ＇ ｘ） ９（ ） ｝ ｘ
０＋（） ｓ ｓｘ ． ＂１ ＝ ｏ ） ｘ ｉ（ ｎ