3.3.1几何概型(一)
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3.3几何概型(1)
在 这 两个问题中 基 本 事 件有无限多个,虽然 , 类似于古典概型的 等可能性" 还存在着, 但是 " 显然不能用古典概型的 方法求解.怎么办呢? 考虑第一个问题, 如图, 记"剪得两段绳长都不 小于1 m " 为事件 A. 1 1
3 把经绳子三等分于是 , 当剪断位置处在中间一 段上时, 事件 A 发生.
1 12.22 P B 4 0.01. 1 1222 4
122cm
1 1222 cm2的大圆内, 4
从上面的分析可以看到对于一个随机试验 我们将每 , , 个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随 机地取 一点, 该区域中每一点被取到 的机会都一样 而一个随 ; 机事件的发生则理解为 恰好取到上述区域内的 某个指 定区域中的点这里的区域可以是线段 . 、平面图形、立 体图形等.用这种方法处理随机试 , 称为几何概型 验 geometric probabilit y mod el . 一般地, 在几何区域D中随机地取一点, 记事件" 该点落在 其内部一个区域 d 内"为事件 A, 则事件 A 发生的概率 d 的测度 P A . D 的测度 这里要求D的测度不为0, 其中 测度"的意义依D确定,当 " D分别是线段、平面图形 和立体图形时 相应的 测度" , " 分别是长度、面积和体 积等.
答 豆子落入圆内的概率为 . 4
例 2 在 1 L高产小麦种子中混入一 粒带麦锈 病的种子, 从中随机取出 mL, 含有麦锈病种 10 子的概率是多少 ? 分析 病种子在这1 L 种子中的分布可以看作 是 随 机的 , 取得的10 mL 种子可视作区域 d , 所 有种子可视为区域 D .
3.3.1几何概型
={（x，y）| 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8 }，这是 一个正方形区域，面积为1.
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
事件A表示父亲在离开家前能得到报纸，所构成的区 域A={（x，y）| 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8， y≥x }，
即图中的阴影部分，面积为 1 1 1 1 7 222 8
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. 你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的 概率为多少？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
试验的全部结果所构成的区域为
转动时指针落在白色部分的概率.
P( A) 1 2
引例3：在500ml的水中有一个草履虫，现从
中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，求发
现草履虫的概率.
P( A) 1 250
建构数学 如果每个事件发生的概率只与构成该事件
区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机 数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近 似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.
思考：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数， 如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何 一个值，如何产生[a，b]上的均匀随机数？
首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀 随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换：
练习2：某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
事件A表示父亲在离开家前能得到报纸，所构成的区 域A={（x，y）| 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8， y≥x }，
即图中的阴影部分，面积为 1 1 1 1 7 222 8
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. 你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的 概率为多少？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
试验的全部结果所构成的区域为
转动时指针落在白色部分的概率.
P( A) 1 2
引例3：在500ml的水中有一个草履虫，现从
中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，求发
现草履虫的概率.
P( A) 1 250
建构数学 如果每个事件发生的概率只与构成该事件
区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机 数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近 似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.
思考：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数， 如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何 一个值，如何产生[a，b]上的均匀随机数？
首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀 随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换：
练习2：某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到
2015学年高中数学(人教A版必修三)配套课件 第3章 3.3.1 几何概型 课堂教学素材1
3
练习
3.欧阳修《卖油翁》中写道：“乃 取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以 杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。” 可见“行行出状元”，卖油翁的技艺 让人叹为观止。若铜钱的直径是3cm的 圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若 你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好 4 落入孔中的概率是 (假设油 9π
滴落在铜钱上且油滴的大小忽略不计）
1米
1米
1米
1 事件A发生的概率 P（A） = 3
知识串联：两种概型 概率公式的联系 古典概型 共同点 不同点 基本事件发生 的等可能性 几何概型 基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性
基本事件个数 的有限性 古典概型概率计算公式:
P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
几何概型概率计算公式:
3
（3－2）2 1 = = 9 32
解题方法小结：对于复杂的实际问题,解题的关键 是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.
练习
1.一个路口的红绿灯，红灯的 时间为30秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40秒。当 你到达路口不用停直接通过 的概率为 8/15
例2. 抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏 之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币” 的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上， 抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为 3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得 到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为什 么吗？（假设每次抛的金币都落在阶砖上）
解:
设A= 等待的时间不多于10分钟
则事件A发生恰好是打开收音机的 时刻位于[50，60]时间段内，因此 由几何概型的求概率公式得
练习
3.欧阳修《卖油翁》中写道：“乃 取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以 杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。” 可见“行行出状元”，卖油翁的技艺 让人叹为观止。若铜钱的直径是3cm的 圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若 你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好 4 落入孔中的概率是 (假设油 9π
滴落在铜钱上且油滴的大小忽略不计）
1米
1米
1米
1 事件A发生的概率 P（A） = 3
知识串联：两种概型 概率公式的联系 古典概型 共同点 不同点 基本事件发生 的等可能性 几何概型 基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性
基本事件个数 的有限性 古典概型概率计算公式:
P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
几何概型概率计算公式:
3
（3－2）2 1 = = 9 32
解题方法小结：对于复杂的实际问题,解题的关键 是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.
练习
1.一个路口的红绿灯，红灯的 时间为30秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40秒。当 你到达路口不用停直接通过 的概率为 8/15
例2. 抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏 之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币” 的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上， 抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为 3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得 到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为什 么吗？（假设每次抛的金币都落在阶砖上）
解:
设A= 等待的时间不多于10分钟
则事件A发生恰好是打开收音机的 时刻位于[50，60]时间段内，因此 由几何概型的求概率公式得
课件4：3.3.1 几何概型
解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，
且等可能性． 2．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部
位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米
刻度处的概率为( B )
A.23
B．13
C.16
D．14
解析：由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米刻
1．几何概型的定义与特点 (1) 定 义 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 __长__度__(_面__积__或__体__积__) _成比例，则称这样的概率模型为几何概率
模型，简称为几何概型． (2)特点：①可能出现的结果有_无__限__多__个__；②每个结果发生的 可能性_相__等___．
度处的概率为 P＝2－3 1＝31.
3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落 1
到阴影部分的概率为___π_____．
解析：设圆的半径为 R，则圆的面积为 S＝πR2，阴影的面积 S 阴＝21·2R·R＝R2，故所求概率 P＝SS阴＝πRR2 2＝π1 .
探究点一 与长度有关的几何概型
225 ＝2225，故所求概率为 P＝4200＝392.
(1)数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直 观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符 合条件的点集问题)去解决． (2)与面积有关的几何概型的概率公式 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其 概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的面区积域面积.
本例中，若将“x∈[－5，5], x0∈[－5，5]”分 别改为“x∈[0，5], x0∈[0，5]”，则概率为多少？ 解：当任取一点 x0∈[0，5]时，f(x0)≤0 的 x0 的取值范围为 x0 ∈[0，2]，故由几何概型概率计算公式可得，所求概率 P＝25－－00 ＝25.
3_3_1几何概型详案 (1)
3.3.1 几何概型（第一课时）【学习目标】1．了解几何概型的概念与基本特点；2．掌握简单的几何概型的概率运算.【重点与难点】重点：几何概型概念的建构.难点：几何概率模型中基本事件的确定，几何“测度”的选择；将实际问题转化为几何概型.【方法与手段】本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“课题性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段.【活动方案】活动一：复习引入【以境激情，引出新知】试验1（幸运卡片）【设计意图】拉近师生距离，复习古典概型.班上有9位同学持有卡片，其中3张写着数学家的名言，老师随机选一张，恰好挑到写有名言的卡片的概率是多少？古典概型的特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件的发生都是等可能的.（等可能性）试验2（剪绳试验）【设计意图】丰富感性认知，表现长度测度.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？分析：一个基本事件：取到线段AB上某一点所有基本事件形成的集合：线段AB（除两端外）随机事件A（剪得两段的长度都不小于10cm）对应的集合：线段CD随机事件A发生(剪断位置处在中间一段CD上)的概率：试验3（射箭比赛）【设计意图】丰富感性认知，表现面积测度.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,黄心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?分析：一个基本事件：在大圆面内取某一点所有基本事件形成的集合：直径为122cm的大圆面随机事件A（射中黄心）对应的集合：直径为12.2cm的小圆面随机事件A发生(中靶点落在黄心内)的概率：思考：【设计意图】引发认知冲突，引入几何概型.1．试验1是什么概率模型？有什么特点？是古典概型（有限性，等可能性）2．（1）试验2和试验3的一个基本事件是什么？试验2的基本事件：从每一个位置剪断都是1个基本事件，剪断位置能够是长度为30cm的绳子上除两端外的任意一点.（取到线段AB上某一点）试验3的基本事件：射中靶面上每一点都是1个基本事件，这个点能够是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.（在大圆面内取某一点）（2）试验2、试验3与试验1的本质区别是什么？有什么特点？试验1的基本事件是有限个，试验2、3的基本事件是无限个；每个试验的基本事件的发生都是等可能的.【互动交流，建构新知】活动二：了解几何概型的定义、特点及求解方法1．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概念：设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件能够视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生能够视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称几何概型．3．几何概型的概率计算公式：的测度的测度DdAP=)(思考：【设计意图】即时回扣情境，完成新知建构结合“打靶问题”，若让你改造箭靶，你将如何设置黄色区域，仍使击中黄色区域的概率为1001呢？事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 区域的形状和位置无关.活动三：掌握简单的几何概型概率的求解例1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图)，随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．分析：基本事件：随机地向正方形内丢一粒豆子（在正方形内任取一点）；区域D ：正方形；区域d ：内切圆.（＂测度＂为面积）解：记“豆子落入圆内”为事件A ，因为是随机地丢豆子，故认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，可将边长为2a 的正方形看作区域D ，其内切圆为区域d .22()44a P A a ππ===圆面积正方形面积. 答：豆子落入圆内的概率为4π. 小结：试归纳解决几何概型问题的一般步骤：(1)设定事件A ；(2)判断是否为几何概型；(3)确定几何区域D 和d 的测度；(4)利用几何概型的概率计算公式；(5)应用题要作答.【设计意图】明晰思维路径，明确答题规范。
高中数学 3.3.1几何概型1课件 新人教A版必修3
由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
2.已知地铁列车每10min一班,在车站停 1min.求乘客到达站台立即乘上车的概率.
练一练:
3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮 藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面 的概率是多少? 4.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
是
.
3.(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，
于是 0 ≤ X ≤5, 0 ≤ Y ≤5. y
即 点 M 落在图中的阴影部
分.所有的点构成一个正方 形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
5
4
3
.M(X,Y)
2
1
0 1 234 5x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
记“两人会面”为事件A
y
y=x+1
5
P(A) 阴影部分的面积 4 正方形的面积 3
2
5
2
1 2
基本事件:
射中靶面直径为122cm的大 圆内的任意一点.
这两个问题能否用古典概型的方法来求
解吗? 怎么办呢?
对于问题1.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段 上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳 长的1/3.
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
2.已知地铁列车每10min一班,在车站停 1min.求乘客到达站台立即乘上车的概率.
练一练:
3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮 藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面 的概率是多少? 4.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
是
.
3.(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，
于是 0 ≤ X ≤5, 0 ≤ Y ≤5. y
即 点 M 落在图中的阴影部
分.所有的点构成一个正方 形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
5
4
3
.M(X,Y)
2
1
0 1 234 5x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
记“两人会面”为事件A
y
y=x+1
5
P(A) 阴影部分的面积 4 正方形的面积 3
2
5
2
1 2
基本事件:
射中靶面直径为122cm的大 圆内的任意一点.
这两个问题能否用古典概型的方法来求
解吗? 怎么办呢?
对于问题1.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段 上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳 长的1/3.
3.3.1几何概型1
柯希湖 何 鄂尔多斯市一中 概 型
一根长度为3米的绳子上,有A1、A2、A3、A4、 A5五个点将绳子均分成六段，从A1、A2、A3、 A4、A5中任选一点将绳子剪断，那么剪得 的两段均不小于1米的概率是多少？
A1 A2 A3 A4 A5
如果有10个点将绳子均分呢？
3 米 11
回马枪：取一根长度为3m的绳子，如果拉 直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于1m的概率有多大？
1m
C E 3m F
1m
D
例2.如图,转盘上有8个面积相等的扇形.
转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴
影部分的概率.(可选择不同的测度)
图一
图二
图三
例3.甲船在6:00-12:00的整点时分出港, 求甲船在8:00之前出港的概率.
几何概型的核心——“比例”， 每一份都均匀，即等可能性； 几何度量，即总数无限，求长度、面 积、体积的比值；
例1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆， 若随机向正方形内撒一粒豆子，求豆子 落入圆内的概率. 2a
变式1：一个棱长为2a的正方体内有一个 内切球，若随机向正方体内任取一点， 求该点落入球内的概率.
几何概型定义:
事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A
的概率与 与A的位置和形状无关。 子区域A的几何度量 （长度、面积、体积）成正比；
A
满足以上条件的试验称为几何概型。
几何概型的特征 无限性。在一次试验中，可能出现的结 果有无限个，即有无限个不同的基本事 件； 等可能性。每个基本事件发生的可能性 是均等的。
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任 意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1m的概率有多大？
一根长度为3米的绳子上,有A1、A2、A3、A4、 A5五个点将绳子均分成六段，从A1、A2、A3、 A4、A5中任选一点将绳子剪断，那么剪得 的两段均不小于1米的概率是多少？
A1 A2 A3 A4 A5
如果有10个点将绳子均分呢？
3 米 11
回马枪：取一根长度为3m的绳子，如果拉 直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于1m的概率有多大？
1m
C E 3m F
1m
D
例2.如图,转盘上有8个面积相等的扇形.
转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴
影部分的概率.(可选择不同的测度)
图一
图二
图三
例3.甲船在6:00-12:00的整点时分出港, 求甲船在8:00之前出港的概率.
几何概型的核心——“比例”， 每一份都均匀，即等可能性； 几何度量，即总数无限，求长度、面 积、体积的比值；
例1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆， 若随机向正方形内撒一粒豆子，求豆子 落入圆内的概率. 2a
变式1：一个棱长为2a的正方体内有一个 内切球，若随机向正方体内任取一点， 求该点落入球内的概率.
几何概型定义:
事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A
的概率与 与A的位置和形状无关。 子区域A的几何度量 （长度、面积、体积）成正比；
A
满足以上条件的试验称为几何概型。
几何概型的特征 无限性。在一次试验中，可能出现的结 果有无限个，即有无限个不同的基本事 件； 等可能性。每个基本事件发生的可能性 是均等的。
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任 意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1m的概率有多大？
§3.3.1-1几何概型(一)
§3.3.1-1几何概型(一)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.3.1-1几何概型(一)
复习 1、古典概型有哪两个基本特点？ （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.
2013-8-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 14
60 50 1 P( A) , 60 6
§3.3.1-1几何概型(一)
练习：某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒,绿 灯60秒,黄灯4秒.当人或车随意经过该路口时,遇到 哪一种灯的可能性最大?遇到哪一种灯的可能性最 小?根据什么? 遇到红灯,绿灯,黄灯的概率各是多少？为什么？
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 6
§3.3.1-1几何概型(一)
问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指 针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少？ B N B N N
B
N B
B
N
B
与扇形的弧长（或面积或圆心角）有关，与扇 形区域所在的位置无关.
2013-8-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
4
§3.3.1-1几何概型(一)
问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指 针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少？ B N B N N
B
N B
B
N
B
以左边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为1/2 以右边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为3/5
2013-8-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.3.1-1几何概型(一)
复习 1、古典概型有哪两个基本特点？ （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.
2013-8-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 14
60 50 1 P( A) , 60 6
§3.3.1-1几何概型(一)
练习：某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒,绿 灯60秒,黄灯4秒.当人或车随意经过该路口时,遇到 哪一种灯的可能性最大?遇到哪一种灯的可能性最 小?根据什么? 遇到红灯,绿灯,黄灯的概率各是多少？为什么？
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 6
§3.3.1-1几何概型(一)
问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指 针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少？ B N B N N
B
N B
B
N
B
与扇形的弧长（或面积或圆心角）有关，与扇 形区域所在的位置无关.
2013-8-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
4
§3.3.1-1几何概型(一)
问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指 针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少？ B N B N N
B
N B
B
N
B
以左边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为1/2 以右边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为3/5
2013-8-15
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30 60 2 87.5%. P( A) 2 60
2
2
12 点到 5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。 解： 以 x , y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是
(约会问题)甲、乙二人约定在
0 x 5, 0 y 5.
即 点 M 落在图中的阴影部 5 分.所有的点构成一个正方形，4 即有无穷多个结果.由于每人 3 在任一时刻到达都是等可能 2 的，所以落在正方形内各点 1 是等可能的. 0
y
.M(x,y)：
| x y | 1,
y
5 4 3 2 1
记“两人会面”为事件A.
阴影(红色）部分的面积 P(A) 正方形的面积 1 2 25 2 4 2 25 9 25.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
古典概型 所有的基本事件 每个基本事件的 发生
有限个
几何概型
无限个
等可能
等可能
每个基本事件的 发生的概率
概率的计算
1/n
/
例1、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,
3.3.1
几何概型1
问题1：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定 当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率？
甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的 长度有关，而与字母B所在区域的位置无关.
问题2取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意 位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
3.公式的运用.
例2：在圆心角为90 的扇形中，以圆心 O为起点作射线OC，求使得∠AOC和 ∠BOC都不小于30 0的概率.
0
解：记“这杯水含有这 个细菌” 为事件A.
取出水的体积 P ( A) 所有水的体积 0 .3 ＝ 12 1 ＝ . 40
5、如图,假设你在每个图形上 随机撒一粒黄豆,分别计算它落 到阴影部分的概率.
P 1 1
3 P2 8
6、一张方桌的图案如图所示（小正方形面积都相 等）。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子 不落在线上，求下列事件的概率： （1）A={豆子落在红色区域} （2）B={豆子落在黄色区域} （3）C={豆子落在绿色区域} （4）D={豆子落在红色或绿色区域} （5）E={豆子落在黄色或绿色区域}
y =x+1
y=x -1
0
1
2 3 4
5 x
变式1：在等腰Rt△ABC，在斜边AB上
任取一点M，求AM＜AC的长的概率.
变式2：在面积为s的 △ABC内任意取一点
s M求△MBC的面积大于 的概率. 3
对于复杂的实际问题,解题的关键是要 建立模型,找出随机事件与所有基本事 件相对应的几何区域,把问题转化为几 何概率问题,利用几何概率公式求解.
古典概型特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
A包含基本事件的个数 公式：P( A) 基本事件的总数
课堂小结
1.几何概型的特点. 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设A={等待的时间不多于10分 钟}.我们所关心的事件A恰好是 打开收音机的时刻位于[50,60] 时间段内,因此由几何概型的求 概率的公式得 60 50 1
P( A)
60
, 6
即“等待的时间不超过10分钟”
的概率为
1 6
练习1：公共汽车站每隔５分钟有一辆汽车 通过，乘客到达 汽车站的任一时刻都是等 可能的，求乘客候车不超过３分钟的概率．
基本事件:
从30cm的绳子上的任意一点剪断.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
1 事件A发生的概率P( A) 3
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模 型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
练习2：某公共汽车站，每隔15分种有一辆车 发出，并且发出前在车站停靠3分钟. （1）求乘客到站候车时间大于10分钟的概率.
（2）求候车时间不超过10分钟的概率.
（3）求乘客到达车站立即上车的概率.
练习
4、有一饮水机装有12升的水,其中 含有1个细菌,用一个下面的奥运福 娃纪念杯从这饮水机中取出一满杯 水,求这杯水中含有这个细菌的概率.
例3.某一交通路口的红绿灯，红灯的 时间是50秒，黄灯的时间是10秒， 绿灯的时间为60秒，问一车经过此 路口遇上红灯或黄灯的概率是 多少?
例4、假设你家订了一份报纸. 送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作 的时间在早上7:00— 8:00之间 问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件A)的 概率是多少?
6:30—7:30之间 报纸送到你家 7:00—8:00之间 父亲离开家 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事 件A)的概率是多少?
提示： 如果用X表示报 纸送到时间,用Y表 示父亲离家时间,那 么X与Y之间要满足 哪些关系呢？
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示 父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试 验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符 合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即时间A 发生,所以