对立事件的概率问题
几种常见事件的概率讲解
几种常见事件的概率一、等可能事件的概率假设一次试验中共有n 种可能出现的结果，并且每种结果出现的可能性相等，如果事件A 包含的结果有()n m m ≤种，那么事件A 的概率()nm A P = 如：从一副52张（没有大小王）的扑克牌中，任取1张，恰为黑桃的概率为二、互斥事件有一个发生的概率（一）假设B A ,是互斥事件（不可能同时发生的事件），如果记B A ,有一个发生的事件为B A +，那么事件B A +的概率()()()B P A P B A P +=+如：（1）掷一枚骰子，出现点数为2或5的概率为（2）从一副52张（无大小王）的牌中取1张，恰为J 或Q 或K 的概率为（二）对立事件如果两个互斥事件B A ,必有一个发生，那么B A ,叫做对立事件事件A 的对立事件记作A ，且有()()1=+A P A P如：打靶，击中目标和未击中目标；掷骰子，出现点数为奇数和出现点数为偶数三、相互独立事件（发生与否互不影响）同时发生的概率假设B A ,是相互独立事件，记B A ,同时发生的事件为B A ⋅，那么()()()B P A P B A P ⋅=⋅如：（1）掷两枚硬币，都正面朝上的概率为（2）掷三枚骰子，分别出现3,2,1点的概率为四、独立重复试验（同一个试验的重复，且相互独立）的概率如果在一次试验中事件A 的概率是P ，那么事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为()()k n k k n n p p C k P --=1如：掷一枚硬币5次，恰有两次正面朝上的概率为五、练习1、假设一枚骰子掷一次，出现的点数为奇数叫做事件A ，那么()=A P2、任选一个两位数，它恰好是11的整数倍的概率是3、从5名男生和4名女生中选出3名代表，选出的代表全是女生的概率是4、甲、乙两人各自向同一目标射击一次，若甲击中目标的概率是7.0，乙击中目标的概率为6.0，则（1）恰有一人击中目标的概率是（2）击中目标的概率是5、连续掷两枚硬币，恰有一枚正面朝上的概率是6、五个人站成一排照相，甲、乙两人恰好站在两边的概率是7、从分别写有E,,,的5张卡片中任取2张，这2张上的字母按字母顺序、DCBA,恰好相邻的概率是8、在车间里工作着6名男工和4名女工，根据工牌号码随机地选择7名，则选择的人中恰有3名女工的概率为9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选出5台，求其中至少有原装与组装计算机各2台的概率。
第10章概率专题1 互斥事件与对立事件及其概率-新教材高中数学必修(第二册)常考题型专题练习
互斥事件与对立事件及其概率的算法【知识总结】1、互斥事件：指A∩B为不可能事件；事件A与事件B互斥，即事件A与事件B不能同时发生；A∩B＝∅；P(A∪B)＝P(A)+P(B)。
2、对立事件：A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件；事件A与事件B对立，即事件A与事件B有且仅有一个发生；A∩B＝∅，A∪B= ；概率计算P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
3、事件A与事件B互斥，事件A与事件B不一定对立；反之，事件A与事件B对立，事件A与事件B则一定互斥。
【巩固练习】1、某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（）A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生【答案】C【解析】“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项．故选：C.2、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（）A．恰有1个白球和全是白球B．至少有1个白球和全是黑球C．至少有1个白球和至少有2个白球D．至少有1个白球和至少有1个黑球【答案】B【解析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，②至少有1个白球和全是黑球是对立事件；③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，故选：B．3、甲：1A、2A是互斥事件；乙：1A、2A是对立事件，那么（）A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】C【解析】当1A、2A是互斥事件时，1A、2A不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.当1A、2A是对立事件时，1A、2A一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要非充分条件.故选C.4．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选：C5、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.6、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】D【解析】记两个黑球为,A B，两个红球为1,2，则任取两球的所有等可能结果为：A AB B AB，记事件A为“至少有一个黑球”，事件B为：“都是红球”，1,2,1,2,,12,7、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）A．命中环数为7、8、9、10环B．命中环数为1、2、3、4、5、6环C．命中环数至少为6环D．命中环数至多为6环【答案】C【解析】根据对立事件的定义，可得一个射手进行一次射击，则事件：“命中环数小于6环”的对立事件是“命中环数至少是6环”，故选C.8、某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件C．C与D是对立事件D．B与D为互斥事件【答案】D【解析】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.9、把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A．是对立事件B．是不可能事件C．是互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.故选：C.10、一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析：选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥.11、从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③解析：选C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.故选C.12、对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D ＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是__________；互为对立事件的是__________．【答案】A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．【解析】由于事件A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件；同理可得，A 与C ，B 与C 、B 与D 也是互斥事件．综上可得，A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D 都是互斥事件．在上述互斥事件中，再根据B 、D 还满足B ∪D 为必然事件，故B 与D 是对立事件，故答案为A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．13、记事件A ＝{某人射击一次，中靶}，且P （A ）＝0.92，则A 的对立事件是__________，它的概率值是__________．【答案】{某人射击一次，未中靶}，0.08．【解析】事件A ＝{某人射击一次，中靶}，则A 的对立事件是{某人射击一次，未中靶}；又P （A ）＝0.92，故答案为：{某人射击一次，未中靶}，0.08．14、如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ＝．【答案】0.5【解析】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 15、在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.16、若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________.解析：∵A ，B 为互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.317、已知随机事件A 和B 互斥，且()0.5P AUB =,()0.3P B =.则()P A =（）A．0.5B．0.2C．0.7D．0.8【解析】（1）A 与B 互斥()()()P A B P A P B ∴=+本题正确选项：D18、已知随机事件,,A B C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()()0.3,0.6P A P C ==，则()P A B +=（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9【答案】C 【解析】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()0.4P B =，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C .19、设事件A ，B ，已知()15P A =，()13P B =，()815P A B = ，则A ，B 之间的关系一定为()A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件【答案】B()()()P A B P A P B ∴=+ A ∴．B 为互相斥事件故选：B ．20、若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是（）A．5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】 随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，故选：D ．21、若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，则x ＋y 的最小值为________.＝9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.答案：922、一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件，则。
概率与统计1
【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24, 解析】三人均达标为0.8×0.6× 0.8 三人中至少有一人达标为1 三人中至少有一人达标为1-0.04=0.96
5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 14 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己， 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设 甲闹钟准时响的概率是0.80， 甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.80 0.90， 0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 。.
题型二 相互独立事件同时发生的概率问题 2009北京卷文）（本小题共13分 北京卷文）（本小题共13 例2 （2009北京卷文）（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口， 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口 是否遇到红灯是相互独立的， 是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都
1 1 1 4 P ( A) = 1 − × 1 − × = 3 3 3 27
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多 是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到 4min为事件B 为事件 的事件
Bk ( k = 0,1, 2 )
2 16 P ( B0 ) = = 3 81
1 的概率都是 2 若某人获得两个“支持” 则给予10万元的创业资助； 10万元的创业资助 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得
一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予 一个“支持” 则给予5万元的资助；若未获得“支持” 资助． 资助．求： 该公司的资助总额为零的概率； (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过15万元的概率． 该公司的资助总额超过15万元的概率． 15万元的概率
互斥对立事件的概率公式
互斥对立事件的概率公式在概率论中，互斥对立事件是指两个事件之间不存在重叠部分，即两个事件不能同时发生。
对于互斥对立事件，存在一种概率公式可以帮助我们计算它们的概率。
本文将介绍互斥对立事件的概念和相应的概率公式，并通过实际例子加深理解。
一、互斥对立事件的概念互斥对立事件是指两个事件不能同时发生的情况。
例如，抛一枚硬币，它的正面和反面是互斥对立事件；投掷一颗骰子，出现奇数和出现偶数也是互斥对立事件。
在数学中，我们用符号“∩”表示两个事件的交集为空集，即没有共同的结果。
二、互斥对立事件的概率公式对于互斥对立事件，其概率公式为：P(A或B) = P(A) + P(B)。
即两个互斥对立事件的概率等于它们各自的概率之和。
三、实例解析为了更好地理解互斥对立事件的概率公式，我们通过几个实例进行解析。
1. 抛硬币实验假设我们抛一枚硬币，事件A表示出现正面，事件B表示出现反面。
由于硬币只有两面，所以事件A和事件B是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出事件A或事件B发生的概率为P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
2. 投掷骰子实验假设我们投掷一颗骰子，事件A表示出现奇数，事件B表示出现偶数。
同样地，事件A和事件B是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出事件A或事件B发生的概率为P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
通过以上两个实例，我们可以看到互斥对立事件的概率公式在计算概率时非常简单明了。
四、互斥对立事件的应用互斥对立事件的概率公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在赌场中赌博的概率计算、生产线上产品合格率的概率计算等等。
在赌场中，常见的赌博游戏如轮盘赌、骰宝等都涉及到互斥对立事件的概率计算。
例如，在轮盘赌中，下注红色和下注黑色就是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出中红色或中黑色的概率。
在生产线上，产品合格率的计算也可以使用互斥对立事件的概率公式。
互斥事件与对立事件的概率问题解析
互斥事件与对立事件的概率问题解析概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率和规律。
在实际生活中，我们经常会遇到各种概率问题，比如掷骰子、抽奖、赌博等等。
在这些问题中，有两个概念十分重要，那就是互斥事件和对立事件。
本文将详细解析这两个概念，并通过实例来说明它们的应用。
一、互斥事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，也就是说，它们是相互排斥的。
比如掷一枚骰子，事件A是出现1点，事件B是出现2点，那么A和B就是互斥事件，因为掷出的点数不可能既是1又是2。
在概率论中，我们用P(A)表示事件A发生的概率，用P(B)表示事件B发生的概率。
如果A和B是互斥事件，那么它们的概率之和就等于它们的并集的概率，即：P(A∪B) = P(A) + P(B)这个公式也可以推广到多个互斥事件的情况，即：P(A1∪A2∪…∪An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)二、对立事件对立事件是指两个事件中有一个必然发生，而另一个则不可能发生的情况。
比如掷一枚骰子，事件A是出现奇数，事件B是出现偶数，那么A和B就是对立事件，因为掷出的点数必然是奇数或偶数。
在概率论中，我们用P(A)表示事件A发生的概率，用P(B)表示事件B发生的概率。
如果A和B是对立事件，那么它们的概率之和就等于1，即：P(A) + P(B) = 1这个公式也可以推广到多个对立事件的情况，即：P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1三、互斥事件与对立事件的应用互斥事件和对立事件在概率论中有着广泛的应用，下面我们通过实例来说明它们的具体应用。
例1：掷一枚骰子，求出出现1点或2点的概率。
解：事件A是出现1点，事件B是出现2点，由于A和B是互斥事件，因此它们的概率之和等于它们的并集的概率，即：P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3因此，出现1点或2点的概率为1/3。
例2：从一副扑克牌中抽一张牌，求出抽到黑桃牌或红心牌的概率。
互斥事件与对立事件-高中数学知识点讲解
互斥事件与对立事件1．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，A n 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…A n 彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A 和B 是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A 与B 互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n 彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，A n 中有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+A n）＝P（A1）+P（A2）+…+P（A n）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A 的对立事件记做퐴．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A 与퐴只发生其中之一，并且必然发生其中之一．1/ 4（2）对立事件的概率公式：P（퐴）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例 1：从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有 1 个红球”D．“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A 不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B 不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有 1 个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有 2 个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，得到所有事件为“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”以及“恰有 2 个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D 正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．2/ 4例 2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B 中至少有一个发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率大D．事件A，B 同时发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B．点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用1 1例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是23分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，且푃(퐴)=12，푃(퐵)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，则푃(퐴)=12，푃(퐵)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=12+13=565故答案为：6点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．3/ 43．对立事件概率公式的应用例：若事件A 与B 是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（）A.0 B.0.4 C.0.6 D.1分析：根据对立事件的概率公式p（퐴）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因为对立事件的概率公式p（퐴）＝1﹣P（A）＝0.6，故选C．点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．4/ 4。
互斥及对立事件概率问题求解五例
1 。 63 10 25 1 36 1 故所求概率为 P ( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 3 3 3 。 6 216 6 6 6
点评：把所求事件概率化成一些彼此互斥事件的概率和。 例3、 口袋里放有 12 个大小完全相同的球，其中 3 个红色的，4 个白色的，5 个蓝色的，从袋中取出 4 个球 时，求 （1）取出的球的颜色至少是两种的概率。 （2）取出的球的颜色是三种的概率。 解： （1）设“从 12 个球中取出 4 个球至少是两种颜色”的事件为 A，A 的对立事件为 A ，且全为白色有 1 种，全为蓝色有 5 种，则 P ( A)
斥事件的概率的和。 例4、 某人把大小相同的 3 个黄色，3 个白色的乒乓球放到一个盒子里，让人摸球。规定：若摸得同色 3 个球，则送给摸球者 5 元钱；若摸得非同色的 3 个球，摸球者付给自己 1 元钱。假定一天内有 100 人次摸 球，试从概率角度估算一下这个人一年（按 360 天计算）能赚多少钱？ 解：设“摸球一次，摸得同色 3 球”为事件 A， “摸球一次，摸得非同色 3 球”为事件 B，则 A 是 B 的对立 事件，则 P ( A)
10 63
3
（2） 和为 12 的点数组有 （1、 5、 6） ， （2、 4、 6） ， （2、 5、 5） ， （3、 3、 6） ， （3、 4、 5） （4、 4、 4） ， 共有 3 A3 2 3 1 25 个，则 P ( A2 )
25 63
（3）和为 18 的点数组有（6、6、6） ，共一个，则 P ( A3 )
A1 , A2 , A3 彼 此 互 斥 。 故 所 求 概 率 为
P ( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) =
互斥事件与对立事件概率的应用
互斥事件与对立事件概率的应用
河南张先权
对立事件概率公式和互斥事件概率的加法公式
通常用来求情况较复杂的等可能事件的概率。
一、将所求复杂事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和。
例1. 袋中有9个编号为1，2，……，9的小球，从中随机地取出2个，求至少有1个球的编号为奇数的概率。
分析：“至少有1个球的编号为奇数”这一事件包括“恰有1个球的编号为奇数”和“2个球的编号均为奇数”这两个互斥事件，先分别求出这两个事件的概率，再根据互斥事件的概率加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B），求得最后的结果。
解：记“从9个球中任取2个，其中恰有1个球的编号为奇数”为事件A，“恰有2个球的编号为奇数”为事件B，则事件A、B的概率分别为：
依题意，事件A和事件B互斥，由互斥事件的概率加法公式，2球中至少有1球的编号为奇数的概率是：
点评：应用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要弄清各事件是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏。
二、先求较复杂事件的对立事件的概率，进而利用公式求出其概率。
例2. 一个箱子内有20张卡片，其号数分别为1，2，……，20，从中任取3张，其号数至少有1个为5的倍数的概率是多少？
分析：当某事件A所包含的基本事件较多，而它的对立事件所包含的情形（基本事件）较少时，利用计算事件A的概率比较简捷。
解：记“取出的3张中，其号数没有5的倍数的事件”为A，则
所以所求概率
点评：像上题中有“至多”或“至少”要求的概率题，多数应用公式进行计算。
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C
20
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
30 105 2 = + + 228 228 228
= 137 228
注解：当求某一事件概率复杂 时，可 通过求其对立 事件的概率得到要求的 结果，这是对立事件 概率关系的重要应用。
练习二 1. 有20个男生，15个女生，现选5人组成班委 会，求至少有一名男生的概率是多少？
（1）互斥事件，不是对立事件 （2）互斥事件，又是对立事件 （3）不是互斥事件，不是对立事件
例 在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有 1件二级品的概率是多少？ 解 设A=｛任取三件恰有一件二级品｝ 另解 设A=｛任取三件至少一件二级品｝ B=｛任取三件恰有二件二级品｝ 则 A =｛任取三件全是一级品｝ 3 C=｛任取三件恰有三件二级品｝ C15 则A∪B∪C=｛任取三件至少 3 所以P( A)= C 20 有1件二级品｝ 1 2 105 C 91 137 5 C15 P(A)= = 228 3 P(A)=1-P( A)=1= C 20 228 228 2 1 30 C15 P(B)= C 5 3 = 228 C 20 3 2 C 5 P(C)= = 3 228
对立事件：必有一个发生的两个彼此互斥的事件 （也称互逆事件）
A的对立事件,记作
A P（A）+P（Ā）=1
从集合的意义上来看对立事件：
P( A) =1-P(A)
1、A与 A的交集为空集 2、A∪A 为事件全体，为必然事件。 （不可能事件）
A B
A
B
对立事件一定是互斥事件 但是互斥未必是对立事件
练习一
2. 一个袋子中有3个红球，n个白球。现从中任 34 取3个球至少有一个白球的概率为 35 .求n的值。
小结 1 搞清什么是对立事件，它与互斥事件有什 么区别和联系 ? 必有一个发生的互斥事件我们称为对立 事件互斥事件是对立事件，但对立事件不一定
是互斥事件。
2 对立事件概率关系式的作用是什么。 当求某一事件概率复杂时，可 通过求其对立 事件的概率得到要求的结果，这是对立事件 概率关系的重要应用。
1 若P(A∩B)=0，P（A∪B）=1，则A与B的关系是什么？ 答：是对立事件 2 如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ，两个同心圆环 Ⅱ，Ⅲ构成 。射击手射中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别是0.35、0.30、0.25。 则不命中靶的概率是什么？ 答：0.1
Ⅰ ⅡⅢ
例 判断下列每对事件是否互斥事件？是否为对立即事件？ 从一副桥牌(52张)中，任取一张。 （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌” （3）“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”
中职数学第十章补充教学内容
复习 互斥事件 事件A与B不能同时发生，即A∩B=Φ 则称事件A与B是互斥事件
如果A,B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B)
如果事件A1,A2,…..An两两互斥，那么事件“A1 ∪A2 ∪…An”发生概率 等于这n个事件分别发生的概率的和，即 P（A1 ∪A2 ∪… ∪An)=P(A1)+P(A2)…+P(An)
例：某地区的年降水量在下列范围内的概率如下 表所示：
年降水量（单位：mm） ［100，150） 概率 0.12 ［150，200） 0.25 ［200，250） 0.16 ［250，300） 0.14
（1）求年降水量在［100，200）（mm）范围内的概率； （2）求年降水量在［150，300）（mm）范围内的概率。 解 设A={年降水量在 ［100，150） } B={年降水量在 ［150，200） } C ={年降水量在［200，250） } D ={年降水量在［250，300） } (1)A∪B ={年降水量在［100，200） } P(A∪B )=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37
3 常见的使用对立事件含有至多，至少等
பைடு நூலகம்
作业：
1.甲，乙两人下棋，和棋的概率为1/2，乙获胜的概率为1/3，求： （1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。 2. 1.某射手射击一次射中，10环、9环、8环、7环的概率分别 是0.24、0.28、0.19、 0.16，计算这名射手射击一次 1）射中10环或9环的概率； 2）至少射中7环的概率. 3）射中环数不足8环的概率. 3. 一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中 取1球．求： 1)取出球的颜色是红或黑的概率； 2)取出球的颜色是红或黑或白的概率．
(2)B∪C∪D= {年降水量在［150，300） } P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D) =0.25+0.16+0.14=0.55
(1) 3男生2女生中选两人。“至少有一名男生”和“全是女生”
(2) 某同学投篮球。“投中”和“没投中” 在（1）和（2）中两个互斥事件有什么特点？
不可能同时发生 但必有一个发生