22简单事件的概率1
概率的基本性质
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，
简单事件的概念
简单事件的概念简单事件是指在一个随机试验中，只有一个基本结果发生的事件。
随机试验是指在一定条件下进行的试验，其结果是不确定的，且可以在相同条件下重复进行。
基本结果是指一个试验的最小结果或者一个试验的最小单位。
例如，抛硬币的结果可以是正面朝上或者反面朝上，这就是一个简单事件。
简单事件的概念在概率论中非常重要。
概率论是数学中研究随机现象的数学分支，研究随机事件的概率和规律。
而简单事件是概率论中的基本概念，它是构成复合事件的基础。
在概率论中，事件是指随机试验的结果的一个子集，即试验的某种结果的集合。
事件可以分为简单事件和复合事件两种。
简单事件是指只包含一个基本结果的事件，而复合事件是指包含多个基本结果的事件。
简单事件是构成复合事件的基础，通过简单事件的组合可以得到不同的复合事件。
在日常生活中，我们经常会接触到各种随机事件，例如抛硬币、掷骰子、抽签等。
这些都可以看作是随机试验，其结果是不确定的。
而这些随机试验中的结果可以被看作是简单事件。
比如，抛硬币的结果可以是正面朝上或者反面朝上，这就是两个简单事件；掷骰子的结果可以是1、2、3、4、5、6，这就是六个简单事件。
这些简单事件构成了随机试验的全部可能结果。
当我们关心某个复合事件的概率时，可以通过分析其构成的简单事件来计算。
比如，如果我们想知道抛硬币两次正面朝上的概率，我们可以先列出所有可能的简单事件：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)。
其中，只有一种情况是符合我们的要求，即(正，正)。
所以抛硬币两次正面朝上的概率就是1/4。
简单事件的概念也在概率运算中起着重要的作用。
在概率运算中，我们经常需要计算某个事件的概率，而这个事件可能是由多个简单事件组成的。
通过对简单事件的概率进行运算，可以得到复合事件的概率。
比如，如果我们知道抛硬币正面朝上的概率是1/2，反面朝上的概率也是1/2，我们就可以轻松地计算出抛硬币两次都是正面朝上的概率是1/2*1/2=1/4。
(中考复习)第21讲 简单随机事件的概率
课时跟踪训练21：简单随机事件的概率A组基础达标一、选择题1．(2013·天门)下列事件中，是必然事件的为(C) A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上B．江汉平原7月份某一天的最低气温是－2 ℃C．通常加热到100 ℃时，水沸腾D．打开电视，正在播放节目《男生女生向前冲》2．(2013·铜仁)一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是(C)A.23 B.12 C.13 D.1613．(2013·自贡)在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为(D)A.34 B.14 C.13 D.124．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是(A) A．小强赢的概率最小B．小文赢的概率最小C．小亮赢的概率最小D．三人赢的概率都相等二、填空题5．(2013·天水)从1至9这9个自然数中任取一个数，使它既是2的倍数又是3的倍数的概率是__19__．6．(2012·崇左)“明天的太阳从西方升起”这个事件属于__不可能__事件(选填“必然”、“不可能”或“不确定”)．7．(2013·天门)有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是__12__.8．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张．若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜．这个游戏__不公平__(填“公平”或“不公平”)．三、解答题9．(2013·柳州)如图21－1所示，韦玲和覃静两人玩“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．图21－1(1)请用列表法或树状图表示出所有可能出现的游戏结果；解：画树状图得如图21－2所示：图21－2则有9种等可能的结果．(2)求韦玲胜出的概率．解：∵韦玲胜出的可能性有3种，故韦玲胜出的概率为1 3.10．(2013·青岛)如图21－3所示，小明和小刚做摸纸牌游戏．两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明得2分，否则小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．图21－3图21－4解：根据题意，画出树状图如图21－4所示：一共有4种情况，积是偶数的有3种情况，积是奇数的有1种情况，所以，P(小明胜)＝14×2＝12，P(小刚胜)＝34×1＝3 4，∵12≠34，∴这个游戏对双方不公平．B组能力提升11．(2013·抚顺)在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是14，则随机摸出一个球是蓝球的概率是(D)A.13 B.14 C.310 D.92012．(2013·泰安)有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点(a，b)在第二象限的概率为(B)A.16 B.13 C.12 D.2313．(2013·重庆)在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是O(0，0)，B(1，1)，A(x，y)(－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数)，则所作△OAB为直角三角形的概率是__25__．14．(2013·株洲)已知a、b可以取－2、－1、1、2中任意一个值(a≠b)，则直线y＝ax＋b的图象不经过第四象限的概率是__16__．15．(2013·遵义)一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中有红球2个，篮球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为1 2.(1)求口袋中黄球的个数；解：设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得22＋1＋x＝12.解得x＝1，经检验x＝1是原分式方程的解；∴口袋中黄球的个数为1个．(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；解：画树状图得如图21－5所示：图21－5∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，∴两次摸出都是红球的概率为112＝16；(3)现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到篮球得2分(每次摸后放回)，乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．解：∵摸到红球得5分，摸到篮球得2分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个篮球，∴乙同学这已经得了7分，∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为3 4.16．某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．(1)厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；解：该抽奖方案符合厂家的设奖要求：分别用黄1、黄2、白1、白2、白3、表示这5个球，从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：(黄1，黄2)、(黄1，白1)、(黄1，白2)、(黄1，白3)、(黄2，黄1)、(黄2，白1)、(黄2，白2)、(黄2，白3)、(白1，黄1)、(白1，黄2)、(白1，白2)、(白1，白3)、(白2，黄1)、(白2，黄2)、(白2，白1)、(白2，白3)、(白3，黄1)、(白3，黄2)、(白3，白1)、(白3，白2)．共有20种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球(记为事件A)的结果有2种，好(黄1，黄2)或(黄2)，(黄1)，所以P(两黄球)＝220＝110，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%.(2)如图21－6所示是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．(友情提醒：1.转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数；2.结合转盘简述获奖方式，不需说明理由)图21－6解：本题答案不唯一，下列解法供参考．如图21－7所示，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄色，其余区域涂上白色，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．图21－7。
概率论公式大全
1 2
)
⌢ ⌢ n1 p1 + n2 p2 ⌢ 总体比率合并估计 : p = n1 + n2
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ p1 = p2时σ ( p1 − p2 )的点估计量 : S ( p1 − p2 ) =
⌢ ⌢ 1 1 p (1 − p) + n n 2 1
(n − 1)S 2 ≤ σ 2 ≤ (n − 1)S 2 47.一个总体方差的区间估计 : 2 2 (n − 1)S 2 48.一个总体方差的检验统计量 : χ = 2
2
L YY =
∑ (Y
n i =1 n i =1
i
−Y
) =∑Y
2 n i =1
i
n ∑ Yi − i =1 , n
X =
∑
Xi n
,Y =
∑Y
i =1
n
i
n
10 .加权平均数
∑W X X = ∑W
i i
i
11 .分组数据样本平均数 12 .分组数据样本方差 13 .排列组合公式 S2
( x − µ )2 −
2σ 2
=
λx e −λ
1 28.正态概率密度函数f ( x) = e 2π σ x−µ 29.标准正态分布变换Z =
σ
30. X的数学期望和标准差 : E( X ) = µ, 有限总体时σ X = 无限总体时σ X = N −n σ N −1 n
σ
n
100、期望频数（理论频数） 101、观察频数（实际频数） 102、φ相关系数 103、列联系数
二、重要公式
∑X 1. 样本平均数： = X
n N 3. 四分位差： D = IQR = QU − QL Q 4.方差： （ ）总体方差：σ 2 = 1 (2) 样本方差： 2 = S
简单事件和复合事件
简单事件和复合事件事件是指在一定条件下能够发生的事情或情况。
根据事件发生的难易程度和复杂性，事件可以分为简单事件和复合事件两种类型。
简单事件指的是只包含一个基本结果的事件，而复合事件则由两个或多个简单事件组合而成。
本文将从定义、特点和举例等方面详细介绍简单事件和复合事件。
一、简单事件的定义和特点简单事件是指只包含一个基本结果的事件。
简单事件的特点如下：1. 唯一性：简单事件只有一种基本结果。
无论是掷硬币的正反面、抛骰子的出现点数，还是抽签活动的中奖号码，都属于简单事件的范畴。
2. 独立性：简单事件之间彼此独立，相互之间没有影响。
例如，抛一次硬币的正反面结果与抛第二次硬币的正反面结果是独立的。
3. 几率相等：在简单事件中，各个基本结果发生的几率相等。
如掷硬币的正反面出现的几率各为50%。
二、复合事件的定义和特点复合事件是由两个或多个简单事件组合而成的事件。
复合事件的特点如下：1. 多样性：复合事件包含多个简单事件，具有较大的结果空间。
例如，同时抛掷两枚硬币的结果有四种可能：正正、正反、反正、反反。
2. 概率计算：复合事件的概率计算需要考虑每个简单事件的几率以及它们的组合方式。
通常需要使用概率论中的排列组合等方法来计算复合事件的概率。
3. 影响因素：复合事件的发生可能受到多个简单事件的影响，这些简单事件之间可能存在一定的关联性。
例如，购买彩票中的复合事件包括选择号码和开奖号码的组合，两者之间存在关联。
三、简单事件和复合事件的举例以下是一些简单事件和复合事件的举例，以帮助更好地理解这两种类型的事件：1. 简单事件的举例：- 抛掷一次硬币，正面朝上。
- 投掷一次骰子，点数为4。
- 抽取一张扑克牌，是红心。
- 随机选择一个电影院观影，选择编号为3的座位。
2. 复合事件的举例：- 抛掷两次硬币，正面朝上的次数为0。
- 摸出两张扑克牌，其中一张为红心并且另一张为黑桃。
- 购买五个彩票，其中至少中奖一个。
- 抽取两个球，一个是红色球并且另一个是蓝色球。
概率论基础
应用 贝叶斯定理
修正后概率
21
贝叶斯定理公式 Bayes’ Theorem Formula
P(Bi | A)
=
P(A | Bi) P(Bi) P(A | B1) P(B1) + ... + P(A | Bk )P(Bk )
相同事件
P(Bi A) P(A)
所有的 Bi 都代 表同一个事件 ( 例如, B2)!
颜色
红色 黑色
2
2
24 24
26 26
总计 4 48 52
P(A牌 且 黑色) = P(A牌) P(黑色| A牌) = (4/52) (2/4) = 2/52 = 1/26
20
贝叶斯定理 Bayes’ Theorem
1. 可以根据新的信 息 修正旧的概率
2. 条件概率的应用 3. 互斥事件
先前的概率
情景：
3间车库，其中有一间有车。门关着，但 主持人知道哪一间车库有车。
1、主持人请你挑选一间有车的车库。 2、当你选定后，主持人打开一间空车库。
然后，问你是否要改变你的选择。
3、此时改变你的选择是否会增大选中有车 的车库的机率？
26
选1号库 p =1/3
改变 不变
P(改变/选1)= 0 P(不变/选1)=1
事件
Bi B1 B2
先前 条件 概率 概率
联合 概率
P(Bi) P(A|Bi) P(Bi A)
修正后 概率
P(Bi |A)
.5 X .4 = .20 .20/.25 = .8
.5
.1
.05 .05/.25 = .2
1.0
P(A) = 0.25 1.0
偿还
第33讲 概率 2025年中考一轮数学专题复习课件(湖南)(共26张PPT)
确定性 事件 称为必然事件
事件 不可能 在一定条件下，必然不会发生的事
随机
事件
事件 件，称为不可能事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事
件，称为随机事件
概率
1
0
0～ 1
考点 ❷
公式法
概率的计算【省卷T12，长沙T12】
一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都
种彩票一定会有1张中奖
不一定会有1张
中奖
D. 小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，
这次数学测试成绩也一定在90分以上
数学测试成绩可能在90分以上也可能不在90分以上
考点 ❷
概率的计算
一、简单事件的概率
例3 (2024·湖南)有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国
象棋棋子 “ ”“ ”“ ”“ ” ，将它们背面朝上任意放
环境”的水资源保护知识竞赛.为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学
生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到
如下两幅不完整的统计图表.
成绩x/分
60≤ x ＜70
70≤ x ＜80
80≤ x ＜90
频数
15
频率
0.1
a
45
0.2
b
90≤ x ＜100
60
c
30 ， b ＝
0.3
(1)表中 a ＝
对点演练
2. 【跨学科】(2024·内江)如下图所示的电路中，当随机闭合开
关S1，S2，S3中的两个时，灯泡能发光的概率为( A )
第2题图
2
A.
3
1
算概率的最简单的方法
算概率的最简单的方法
计算概率是统计学中的重要组成部分，它可以帮助人们分析复杂的数据，以便于作出更明智的决定。
计算概率的最简单的方法就是利用数学公式。
将给定条件下事件发生次数与这类事件总数相比例，可以得到这一事
件发生的可能性。
计算概率的关键就是要搞清楚所涉及的所有事件以及它们之间的相互
关系。
在许多情况下，计算概率的最简单方法就是利用概率论中的公式。
例如，如果我们知道所有可能发生的事件出现的次数，我们就可以使用这
个公式来计算概率：p（A）=次数（A）/总次数。
这个公式表明，事件A
发生的概率就是其出现次数除以所有可能事件的总次数，根据公式，概率
必定介于0到1之间。
另外，概率的计算也可以使用统计学中的另一个基本公式，叫做期望，它可以用来估计实际发生事件的可能性。
期望可以定义为：期望=事件发
生可能性*事件发生的结果。
简而言之，期望是在概率几何中使用，给出
的是计算的“期望”值，即期望发生的结果。
一旦了解了概率计算的基础概念，就可以借助计算机来简化计算概率
的过程。
目前，我们可以使用特定的软件包来计算各种概率，比如Matlab、R、SAS等统计学软件包。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小海和小勇在玩掷骰子游戏,小海说:“我 们每次掷两枚骰子,如果掷出的两枚骰子的点 数之和为偶数,则我赢;如果掷出的骰子的点数 之和为奇数则你赢.”请问游戏公平吗?说明理 由.
示结果的数目，两者有何区别？P（A） 可能小于0吗？可能大于1吗？
P（必然事件）= 1 P（不可能事件）= 0 0 P（随机事件）1
例1 掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下 列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于5.
1 （1）P（点数为2）＝ 6 （2）点数为奇数有3种可能，即点数为1，3，5， （3）点P数（大点于数2为且奇小数于）5有＝263种可能12，即点
等，都是___1_____. 6
以上两个试验有两个共同的特点： 1.一次试验中，可能出现的结果有限多个； 2.一次试验中，各种结果发生的可能性相等．
对于具有上述特点的试验，我们可以从某事件 所包含的各种可能结果在全部可能的试验结果 中所占的比分析出事件的概率.
试着分析：试验1 抽出1号签的概率,抽出偶数号 的概率?
1
在上面的抽签试验中，“抽到1号”的可能性是
5
即在5种可能的结果占1种
于是 这个事件的概率
1
P（抽到1号的概率）=
52
那么P（抽到偶数的概率）=
5
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的
结果，并且它们发生的可能性都相等，事
件A包含其中的m（m
件A发生的概率为
P（A）＝ m
n）种结果，那么事
n
在P（A）＝ m中，分子m和分母n都表 n
分析下面两个试验：
1.从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽
取一根，抽出的签上的号码有5种可能即 1，2，3，4，5. 由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我
们可以认为：每个号被抽到可能性相等，都是__1___．
5
2.掷一个骰子，向上的一面的点数有6种可能，即1， 2，3，4，5，6由于骰子的构造相同、质地均匀，又是 随机掷出 P（点数大于2且小于5）＝
2 6
1 3
任意掷一枚质地均匀的硬币两次,两次都正面 朝上的概率?
反面向上
正面向上
例3.一个布袋里装有3个只有颜色不同的球,其中 2个红球,1个白球.从布袋里摸出一个球,记下颜 色后放回,并搅匀,在摸出一个球,求下列事件的 概率:
(1)事件A:摸出一个红球,一个白球;