Lagrang插值多项式
第二节 插值多项式的构造
π
π
π
π
l1 ( x ) =
− 1296
π4
1296
x( x −
π
4
)( x −
π
3
)( x −
π
2
)
l2 ( x) =
l3 ( x ) = −
π
4
x( x −
π
6
)( x −
π
4
)( x −
π
2
)
x( x − )( x − )( x − ) π 6 3 2 144 π π π l4 ( x ) = 4 x ( x − )( x − )( x − ) π 6 4 3
x − x1 x − x0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
解 :f ( x ) = ln x , x 0 = 1 0 , x1 = 1 1, x = 1 0 .5
10.5 − 11 10.5 − 10 ln(10.5) ≈ P(10.5) = × 2.303 + × 2.398 = 2.350 5 10 − 11 11 − 10
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x ) ξ ∈ [ a , b ] 截 断 误 差 ：R n ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) = ( n + 1)! ω n +1 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x1 ) ⋯ ( x − x n )
(1)n = 1 时线性插值 在两个互异节点x0 , x1处的函数 值y0 , y1 , 构造线性函数 p1 ( x) = a0 + a1 x 求出p1 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) x − x0 x − x1 其中l0 ( x) = ，l1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0
研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似
拉格朗日插值多项式
拉格朗日插值多项式
拉格朗日插值多项式是根据一组给定的数据点，利用拉格朗日插值法求出的拟合多项式。
拉格朗日插值法是一种求解插值问题的方法，它是由法国数学家拉格朗日在18次世界数学家大会上提出的。
拉格朗日插值法的基本思想是：将插值多项式看作是一个多元函数，它的值在给定的数据点处等于给定的数据值，并且在其他点上满足拉格朗日插值准则。
拉格朗日插值多项式的优点是：
1. 它可以用于拟合任意类型的函数，而不仅仅是线性函数；
2. 它可以得到更高的准确度，因为它可以根据不同的数据点来调整多项式的形式；
3. 它可以得到更平滑的曲线，因为它可以根据不同的数据点来调整多项式的形式；
4. 它可以用于处理离散数据点，而不仅仅是连续数据点。
拉格朗日插值多项式的缺点是：
1. 它的计算量较大，因为它需要解决一个多项式的拟合问题；
2. 它可能会得到不稳定的拟合结果，因为它的多项式形式可能会受到数据点的影响；
3. 它不能处理缺失的数据点，因为它需要给定的数据点来调整多项式的形式。
多项式插值_Lagrange插值
l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
l2
(
x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
则有
l j ( xi
)
ij
1, 0,
i j i j
称 l0(x) , l1(x)，l２(x)为二次插值多项式的基函数。
An
(
xn
x0 )(
xn
yn x1)( xn
xn1 )
将
A0
(
x0
x1 )(
x0
y0 x2 )(x0
xn )
A1
(
x1
x0
)(
x1
y1 x2
)(
x1
xn
)
代入下式：
,
An
(xn
x0
)(
xn
yn x1 )(
xn
xn1 )
Ln(x) A0(x x1)( x x2 )(x xn ) A1(x x0 )( x x2 )(x xn )
xi yi
x0 y0
x1 y1
求解 L1(x)=a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1].
根据点斜式得到
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
拉格朗日插值多项式推导
拉格朗日插值多项式是一种近似函数，它可以通过给定一组离散数据点，来估算出其他数据点的值。
拉格朗日插值多项式是由18世纪法国数学家Joseph-Louis Lagrange提出的，他是一位杰出的数学家和物理学家。
拉格朗日插值多项式的推导可以从一个简单的例子开始。
假设我们有一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)}，我们想要通过这些点来拟合一个函数，使得在这些点上的函数值与给定的数据点相等。
首先，我们假设要拟合的函数是一个n-1次多项式：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + an-1x^n-1我们的目标是找到多项式中的系数a0, a1, …, an-1，使得在给定的数据点上函数值与数据点的y值相等。
根据插值的思想，我们希望在每个数据点上函数值与给定的数据点相等，即对于每个数据点(xi, yi)都满足：P(xi) = yi我们可以将这个条件用一个方程表示出来。
将插值多项式代入方程中，我们得到：a0 + a1xi + a2xi^2 + … + an-1xi^n-1 = yi现在我们有n个方程，通过解这个方程组，我们可以求解出多项式的系数。
为了方便求解，我们引入拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数Li(x)的定义是一个n 次多项式，它可以满足以下条件：1.对于所有的i≠j，Li(xj) = 02.Li(xi) = 1根据拉格朗日基函数，我们可以将插值多项式表示为：P(x) = L0(x)y0 + L1(x)y1 + … + Ln-1(x)yn-1其中Li(x)可以表示为：Li(x) = (x - x0)(x - x1)…(x - xi-1)(x - xi+1)…(x - xn-1) / (xi - x0)(xi - x1)…(xi - xi-1)(xi - xi+1)…(xi - xn-1)现在我们可以使用拉格朗日基函数来表示插值多项式，并求解多项式的系数。
Lagrange插值多项式
1
lk (x)
1
lk 1 ( x)
o
xk
xk 1
x
o
xk
xk 1
x
(2) n 2 ：已知 f ( xk 1 ) yk 1 ，f ( xk ) yk ，f ( xk 1 ) yk 1 ， 求L2 ( x) ， L2 ( xi ) yi ，i k 1 ，k ，k 1 ； 即求过 ( xk 1 ，yk 1 ) ，( xk ，yk ) ，( xk 1 ，yk 1 ) 的抛物线； 考虑L2 ( x) lk 1 ( x) yk 1 lk ( x) yk lk 1 ( x) yk 1，其中li ( x) 为二次多项式，且满足： 1 ，i j li ( x j ) ij ，i ，j k 1 ，k ，k 1 ； 0 ，i j 易得：lk 1 ( x) A( x xk )( x xk 1 ) ，再由lk 1 ( xk 1 ) 1 ，
—六位有效
高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000 . 压强 (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485
试用二次插值法求1200米处的压强值.
解：设x为高度，y为大气压强的值， 选取(1000,0.8515) ,(1500,0.7984), (2000,0.7485)三点构造二次插 值多项式 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x- x1) p2(x)=------------------ y0 + --------------- y1 + --------------- y2 (x0-x1)(x0-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1) 代入已知的数值，得 p2(1200)=0.8515(1200-1500)(12002000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200-1000)(12002000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)/(2000-1000)(20001500)=300*800*0.8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500200*300*0.7485/500/1000=0.82980 所以 y(1200) p2(1200)= 0.82980 (kgf/m2)
数值分析Lagrange插值多项式
其余的将M值及f2[x_]修改即可，得到插值函数修改分f3[x_]即可。
1 n+1 !
f
n+1
(εx )
n i=0(x
− xi )
其中 εx 为区间内一点
但 Lagrange 插值法没有承接性，可以进行改良。
【Lagrange 插值算法描述】 1. 对给定函数选取其区间上的一系列节点并计算其函数值，得到点列 （x0 ， y0 ）,…,( xn , yn )； 2. 通过上述点列构造 Lagrange 基函数li x = 出 Lagrange 插值函数Ln x =
【实验】 通过 Mathematica 编写程序得到如下结果： N=5： 1. 取xi = 5 −
10 N
i ， i = 0,1， … ，N 得到：
（1） 插值点为：
（2） 由上述插值点构造出 Lagrange 插值函数：
（3）由题目所给出的条件计算误差得到：
插值函数与原函数的图像为：
其中蓝色为原函数图像，红色为插值函数图像，可以看出在 0 点误差最大，与 我们的计算结果相吻合。
n k=0 yk lk (x)； n x −x i j=0 x −x i j j ≠i
,并由该基函数构造
3. 由多项式插值误差定理来估计其误差： f x −p x =
1 n+1 !
f
n+1
(εx )
n i=0(x
− xi )
其中 εx 为区间内一点
但此题有自己的估计误差的要求，则我们依照题意估计误差。
n x −x i j=0 x −x i j j ≠i
,
li x = δij
n k=0 yk lk (x)
来构造 Lagrange 插值多项式： Ln x =
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
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第5章 实验四Lagrange 插值多项式
实验目的：理解Lagrange 插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange 插值多项
式的公式及源代码，并能根据所给条件求出Lagrange 插值多项式，理解龙格现象。
5.1 Lagrange 插值多项式 Lagrange 插值多项式的表达式： 1,,2,1,)
()()(,
)()(1
11
1+=--==∏
∑+≠=+=n i x x x x x l x l y x L n i
j j j i j i n i i i 。
其中)(x l i 被称为插值基函数，实际上是一个n 次多项式。
)(x l i 的这种表示具有较好的对称性。
公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。
（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。
5.2 Lagrange 插值多项式源代码I
% 功能： 对一组数据做Lagrange 插值 % 调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi) % x,y 数组形式的数据表 % xi:待计算y 值的横坐标数组 % yi 用Lagrange 插值算出的y 值数组 function fi=Lagran_(x,f,xi)
fi=zeros(size(xi)); np1=length(f); for i=1:np1
z=ones(size(xi)); for j=1:np1
if i~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));end end
fi=fi+z*f(i); end return
例5.1 已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。
写出这4个数据点的Lagrange 插值公式，并计算出横坐标xi=[2.101,4.234]时对应的纵坐标。
解：4个数据点的Lagrange 插值公式为：
)
9.36.1(*)7.26.5(*)6.16.5()
9.3(*)7.2)(6.1(*
94.2)
6.59.3(*)
7.29.3(*)6.19.3()
6.5(*)
7.2(*)6.1(*9.3)
6.5
7.2(*)9.37.2(*)6.17.2()
6.5(*)9.3(*)6.1(*22.4)
6.56.1(*)9.36.1(*)
7.26.1()
6.5(*)9.3(*)
7.2(*
3.3)(3------+
------+
------+
------=x x x x x x x x x x x x x L
清单5.1 clear
x=[1.6, 2.7, 3.9, 5.6]; y=[3.3, 1.22, 5.61, 2.94]； xi=[2.101,4.234]; yi=Lagran_(x,y,xi); xx=1.5:0.05:6.5; yy=Lagran_(x,y,xx); plot(xx,yy,x,y,'o')
其结果为：
yi =
1.0596 6.6457
x
g (x ):-, d a t a p o i n t s :o
图5.1 插值多项式曲线图
5.3 Lagrange插值多项式源代码II
% 输入：x是插值节点横坐标向量；y是插值节点对应纵坐标向量。
% 输出：C是拉格朗日插值多项式的系数矩阵；L是插值基函数系数矩阵。
function [C,L]=lagran(x,y)
w=length(x);
n=w-1;
L=zeros(w,w);
for k=1:n+1
V=1;
for j=1:n+1
if k~=j
V=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));
end
end
L(k,:)=V;
end
C=y*L
程序中使用了命令poly和conv。
poly命令创建一个向量，其项为以多项式的系数，该多项式具有给定的根。
conv命令生成一个向量，其项为多项式系数，该多项式是另外两个多项式的乘积。
例如：找出两个一次多项式p(x)和q(x)的乘积，它们的根为3和5。
>> p=poly(3)
p=
1-3
>> q=poly(5)
q=
1-5
>> conv(p,q)
ans=
1 -8 15
例5.2 用Lagrange 插值多项式源代码II ，对4对数据（1.6，3.3），
（2.7，4.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94），写出这4个数据点的Lagrange 插值公式，并计算出横坐标组xi=[2.101,4.234]时对
应的纵坐标值。
解：4个数据点的Lagrange 插值公式为：
)
9.36.1(*)7.26.5(*)6.16.5()
9.3(*)7.2)(6.1(*
94.2)
6.59.3(*)
7.29.3(*)6.19.3()
6.5(*)
7.2(*)6.1(*9.3)
6.5
7.2(*)9.37.2(*)6.17.2()
6.5(*)9.3(*)6.1(*22.4)
6.56.1(*)9.36.1(*)
7.26.1()
6.5(*)9.3(*)
7.2(*
3.3)(3------+
------+
------+
------=x x x x x x x x x x x x x L
清单5.2 clear
x=[1.6, 2.7, 3.9, 5.6]; y=[3.3, 1.22, 5.61, 2.94]； xi=[2.101,4.234]; [C,L]=lagran(x,y); xx=1.5:0.05:6.5; yy= polyval(C,xx); plot(xx,yy, x,y,'o')
数据清单见图5.2，插值曲线图见图5.3。
图5.2 输出插值多项式的系数、插值基函数系数矩阵及yy 值
-15-10
-5
5
10
图5.3 插值多项式曲线图形
例5.3 将区间[-5,5]等分5份、10份，求函数)
1(12x y +=的拉格朗日插值
多项式，作出函数)
1(1
2x y +=的原图像，观察龙格现象得出什么结果？
解：
清单5.3 clear,clf x=-5:2:5; y=1./(1+x.^2); [C,L]=lagran(x,y); xx=-5:0.1:5; yy=polyval(C,xx); hold on
plot(xx,yy,'b',x,y,'.') xp=-5:0.01:5; z=1./(1+xp.^2); plot(xp,z,'r')
清单5.4
clear,clf x=-5:1:5; y=1./(1+x.^2); [C,L]=lagran(x,y); xx=-5:0.1:5; yy=polyval(C,xx); hold on
plot(xx,yy,'b',x,y,'.') xp=-5:0.01:5; z=1./(1+xp.^2); plot(xp,z,'r')
图5.4 5等份插值图形
图5.5 10等份插值图形
通过观察图形可以得出：
（1） 并不是插值节点越多，插值多项式逼近函数效果就越好。
（2） 误差较大地方，是在插值区间两端点附近出现。
练习题
1．设()2/f x x x =+，（1）用基于点0121,2 2.5x x x ===和的二次拉格朗日
多项式，求(1.5)f 和(1.2)f 的近似值。
（2）用基于点5.00=x ，11=x ，
32=x 和53=x 的三次拉格朗日多项式，求(1.5)f 和(1.2)f 的近似值。
2．用等距插值节点计算区间0/2x π≤≤上函数sin x x 的四次拉格朗日多项
式。
每隔/16π计算一次插值误差，并画出图形。