抛物线的焦点与准线

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抛物线准线和焦点的探究一

抛物线准线和焦点的探究一导言：抛物线是圆锥曲线，有多种形式的解析式，本文探讨直角坐标系中二次函数曲线解析式与抛物线准线和焦点的关系。

在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U 形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。

它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。

焦点并不在准线上。

抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。

抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。

与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。

沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。

抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。

任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线-也就是说，所有抛物线都是几何相似的。

探讨问题：面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线。

现抛物线（二次函数曲线）的解析式为：c bx ax y ++=2，那么准线和焦点是如何确定的。

（注，以下探究是不翻教科书、不查网上其他人的方法，根据自己对数学的理解来探究，方法是否正确和简洁等完成后再查对）本图的二次函数解析式为：()213212+-=x y 转换成通用形式为：2113212+-=x x y首先，焦点F 一定在对称轴上，否则出现上图中的情况，明显A M=BM ，FM≠FN ，不符合焦点的定义。

其次，准线垂直与对称轴，具体证明将另作探讨。

所以，焦点F 与准线L 的关系位置与上图所示.图中二次函数曲线的解析式为()23212+-=x y ,即2133212++=x x y 。

C F D ABLE M上图为局部放大图设焦点坐标为()f f y x ,，点M 坐标为()m m y x ,，准线的方程为l y y =。

抛物线的焦点与准线

抛物线的焦点与准线(高中知识有关)九上P54、活动2 (新书)一、高中知识：文科选修(1-1) P53-55；理科选修(1-1) P56-59抛物线的儿个定义：把平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线•点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.八亠XII7 ；“亠—彳b Acic — b~+l、亠八、“4QC —b?— 1公式：抛物线y = ax^ +bx+c的焦点为（一——’-------- ）,淮线为y = -------------------2a 4a 4a二、试题：1、(2010黄冈市，25, 15分)已知抛物线y = ax2 +bx + c(a^0)顶点为C (1, 1)且过原点O.过抛物线上一点P (x, y)向直线y =-作4 垂线，垂足为M,连FM (如图). (1)求字母a, b, c的值；3(2)在直线x=l上有一点F(l,—),求以PM为底边的4等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时为正三角形；(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N (1, /),使PM=PN恒成立，若存在请求出(值，若不存在请说明理由.2、2012年山东潍坊市24.(本题满分11分)如图，己知抛物线与坐标轴分别交于4(一2, 0)、BQ, 0)、C(0, 一1)三点，过坐标原点0的直线尸&与抛物线交于M、N两点.分别过点C,D(0, —2)作平5 4行于x轴的直线/】、/2.(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线厶相切；(3)求线段MN的长(用R表示)，并证明M、N两点到直线12的距离之和等于线段的长.3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷y = A x24、如图所示，过点F （0, 1）的直线y=kx+b与抛物线给交于M （xi，yi）和N（X2，V2）两点（其中Xl<0, X2>0）・（1）求b的值.(2)求X1・X2的值.（3）分别过M, N作直线1： y=- 1的垂线，垂足分别是Mi和Ni.判断△ MiFNi的形状，并证明你的结论.4、2010年南通市中考试题（五中月考）28.（本小题满分14分）（2010年南通市）己知抛物线y = aW + bx + c经过4 （ -4, 3）、B （2,0）两点，当尸3和尸一3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C （0, -2）的直线/与x轴平行，O 为坐标原点.（1）求直线43和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，40为半径的圆记为04,判断直线/与的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为一1, P（加，/?）是抛物线y = ax2 + bx+c上的动点，当厶PDO的周长亲小时，求四边形CODP的面积.432111111 1 1 1 .-4-3 -2 -1O-11 2 3 4 x-2--3--4-（4）对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,（第28题）5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22. （14分）己知抛物线y = d/+b兀+ c（d工0）经过点4 （-2, 0）、B（0, 1）两点，且对称轴是y轴，经过点C （0, 2）的直线/与x轴平行，O为坐标原点，P、0为抛物线），=ax2 +bx+c （QH O）上的两动点。

抛物线的焦点与准线

抛物线的三种表达式

抛物线的三种表达式一、抛物线的定义和特点1. 抛物线的定义抛物线是一种二次曲线，由一个定点F和一条定直线L组成。

在平面几何中，抛物线可以通过多种方式来表达和描述。

本文将介绍抛物线的三种常见表达式。

2. 抛物线的特点抛物线的特点主要包括： 1. 对称性：抛物线是关于焦点F的对称曲线。

2. 函数性：抛物线可以表示为函数的形式，即y = f(x)。

3. 焦点和准线：焦点F是抛物线上的一个特殊点，准线是与抛物线垂直且通过焦点F的直线。

二、一般式表达式1. 一般式表达式的形式抛物线的一般式表达式是最常见和最基本的形式，它可以表示为： Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E、F为常数，且A和C不同时为0。

2. 一般式表达式的特点一般式表达式具有以下特点： 1. 既包括了二次项又包括了一次项，可以表示出抛物线的倾斜程度和位置。

2. 通过系数A、B、C的符号和大小，可以确定抛物线的朝向和形状。

三、顶点式表达式1. 顶点式表达式的形式抛物线的顶点式表达式是以抛物线的顶点为基准，它可以表示为： y = a(x - h)^2 + k其中，a、h、k为常数，且a不等于0。

2. 顶点式表达式的特点顶点式表达式具有以下特点： 1. 通过顶点坐标(h, k)可以确定抛物线在平面坐标系中的位置。

2. 通过参数a的值可以确定抛物线的开口方向和形状。

四、焦点和准线式表达式1. 焦点和准线式表达式的形式抛物线的焦点和准线式表达式是以抛物线的焦点和准线为基准，它可以表示为：4a(x - p)^2 = 4a(p - q)(y - k)其中，a、p、q、k为常数，且a不等于0。

2. 焦点和准线式表达式的特点焦点和准线式表达式具有以下特点： 1. 通过焦点坐标(p, k)和准线的位置可以确定抛物线的位置和形状。

2. 通过参数a的值可以确定抛物线的开口方向和准线的位置。

五、总结抛物线是一种常见的二次曲线，本文介绍了抛物线的三种常见表达式：一般式表达式、顶点式表达式和焦点和准线式表达式。

抛物线的焦点与准线

焦点准线抛物线公式

焦点准线抛物线公式
嘿，朋友！今天咱来聊聊焦点准线抛物线公式那些事儿。

抛物线的标准方程有好多呢，比如y² = 2px，这里的 p 可重要啦！就好像是抛物线的一个魔法数字。

哎呀，这就好比是一个游戏里决定角色能力的关键数值一样！比如说，y² = 4x，那这里的 p 就是 2 啦。

然后焦点坐标就是(p/2,0)，也就是(1,0)呀。

准线方程呢，就是 x = -p/2，那就是 x = -1 嘛。

这多清楚呀！
还有x² = 2py 这种呢，那焦点坐标就是(0,p/2)，准线方程就是 y = -p/2。

咱举个例子，x² = 4y，那 p 就是 2 咯，焦点不就是(0,1)，准线就是y = -1 嘛。

你说是不是很有趣呀？
这些公式就像一把钥匙，能打开抛物线这个神秘世界的大门哟，让我们更好地了解它的奥秘！你现在是不是对焦点准线抛物线公式更清楚一点啦？。

抛物线的性质与定理应用

抛物线的性质与定理应用抛物线是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和定理。

作为一位初中数学特级教师，我将在本文中向大家介绍抛物线的性质与定理，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、抛物线的基本性质抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的曲线，具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，即准线是抛物线的对称轴。

这个性质使得我们在研究抛物线时可以利用对称性简化问题，节省计算时间。

2. 焦点与准线的关系：抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

这个性质被广泛应用于抛物线的测量和设计中，例如卫星天线的调整和太阳能聚光器的设计等。

3. 切线性质：抛物线上的切线与准线垂直。

这个性质使得我们可以通过求解切线斜率为零的方程来确定抛物线上的顶点，从而得到抛物线的标准方程。

二、抛物线的定理应用1. 焦半径定理：焦半径定理是抛物线的一个重要定理，它指出抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离的两倍。

这个定理可以用来解决很多与焦点和准线有关的实际问题，例如抛物线反射器的设计和抛物面反射望远镜的原理等。

2. 焦点坐标定理：焦点坐标定理是抛物线的另一个重要定理，它指出抛物线的焦点坐标为（p，0），其中p是焦准距。

这个定理可以用来确定抛物线的焦点位置，从而进一步求解抛物线的标准方程。

3. 抛物线的最值问题：抛物线在一定范围内的最值问题是数学中常见的优化问题。

通过求解抛物线的最值，我们可以确定抛物线的最高点、最低点以及最值对应的自变量值。

这个问题在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。

三、抛物线的实际应用举例1. 抛物线的轨迹问题：假设有一个人站在地面上，以一定的初速度和角度抛出一个物体。

我们可以利用抛物线的轨迹性质来计算物体的飞行距离、最大高度和落地点等。

这个问题在射击、投掷和运动等领域都有实际应用。

2. 抛物线的抛物面反射望远镜：抛物面反射望远镜是一种常见的望远镜设计，它利用抛物线的焦点和准线性质来聚集光线，从而实现远距离的观测。

抛物线知识点总结(二)2024

抛物线知识点总结（二）引言概述抛物线是一个常见的数学曲线，具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍关于抛物线的知识点，包括焦点、直角坐标系中的方程、顶点、开口方向以及抛物线与直线的交点等内容。

正文内容一、焦点1. 定义：焦点是抛物线上所有点到准线的距离都相等的点。

2. 焦距：焦点到准线的距离被称为焦距，记为2p。

3. 焦点的坐标：对于纵轴开口的抛物线，焦点的坐标为(p, 0)；对于横轴开口的抛物线，焦点的坐标为（0, p）。

4. 焦半径：焦点到顶点的距离被称为焦半径，记为r。

5. 焦半径的性质：焦半径与焦距之间存在着特定的关系，即r=p/2。

二、方程1. 横轴开口的抛物线方程：y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为顶点坐标，纵轴对称轴为x=h。

2. 纵轴开口的抛物线方程：x=a(y-k)²+h，其中(h, k)为顶点坐标，横轴对称轴为y=k。

3. 抛物线的一般方程：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且B² - 4AC ＜ 0。

4. 方程的性质：根据方程的形式，可以确定抛物线的开口方向、顶点坐标以及是否与坐标轴相交等信息。

5. 方程的变形：通过配方法或平方完成平方项，可以将抛物线方程转化为标准方程。

三、顶点1. 定义：顶点是抛物线上的最高点或最低点，也是抛物线的对称中心。

2. 顶点的坐标：顶点的横坐标即为方程中的h，纵坐标即为方程中的k。

3. 求顶点的方法：对于已知抛物线方程，可以通过将方程转化为标准形式，得到顶点的坐标。

4. 顶点与焦点的关系：焦点和顶点都是抛物线上的特殊点，它们之间有一定的几何关系。

5. 顶点的性质：顶点是抛物线的最值点，也是对称轴的中点。

四、开口方向1. 横轴开口：当抛物线以横轴为开口时，抛物线的方程为y=a(x-h)²+k。

2. 纵轴开口：当抛物线以纵轴为开口时，抛物线的方程为x=a(y-k)²+h。

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抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59 抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.公式：抛物线c bx ax y ++=2的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为ab ac y 4142--= 二、试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）．（1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．2、2012年山东潍坊市24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷y =14x 2交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．（1）求b 的值．（2）求x 1?x 2的值．（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．（4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．＝；（3）(3分)若射线NM 交x 轴于点P ，且PA ×PB ＝1009，求点M 的坐标．抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C （1，1），可设解析式为y ＝a （x －1）2+1，又因抛物线过原点，可得a ＝－1，所以y ＝－（x －1）2+1，化简得y＝－x 2＋2x ，即可求字母a ，b ，c 的值；（2）由FM ＝FP ，PM 与直线54y =垂直，可得53344y -=-，∴14y =，代入y ＝－x 2＋2x ，解得31x =±P 坐标为（3114）或（31-14），所以分两种情况，通过计算可得△PFM 为正三角形；（3）由PM ＝PN可得54y -()()221x y t -+-，整理得，23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【答案】．（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）∵FM ＝FP ，PM 与直线54y =垂直，∴533444y -=-，∴14y =，把14y =代入y ＝－x 2＋2x ，解得312x =±∴点P 坐标为（312+，14）或（312-，14），当点P 坐标为（312+，14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，当点P 坐标为（312-，14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，∴当点P 坐标为（312+，14）或（312-，14）时，△PFM 为正三角形；（3）存在，∵PM ＝PN ，∴ 54y -＝()()221x y t -+-，两边同时平方得，2255162y y -+＝()()221x y t -+-∵y ＝－x 2＋2x ，∴23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t 的字母系数方程，本题有一定的区分度．【推荐指数】★★★★★2、2012年山东潍坊市24．(本题满分ll 分)解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，由⎩⎨⎧+-==-++=c b a cc b a 2401240 解得⎩⎨⎧=-==4110a c b所以1412-=x y ．……3分 (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为点M 、N 在抛物线上，所以,141,141222211-=-=x y x y ，所以x 22=4(y 2+1)；又ON 2=x 22+y 22=4(y 2+1)+y 22=(y 2+2)2，所以ON =22y +，又因为y 2≥－l ，所以0N =2+y 2．……5分设ON 的中点E ，分别过点N 、E 向直线1l 作垂线，垂足为P 、F ，－.（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b 值，利用根与系数的关系可以求出x 1?x 2的值．（3）确定M 1，N 1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M 1F 2，N 1F 2，M 1N 12，然后用勾股定理判断三角形的形状．（4）根据题意可知y=﹣1总与该圆相切．．解答：解：（1）∵直线y=kx+b 过点F （0，1），b=1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得4x x 21-=. ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状. （4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置． 4、2010年南通市中考试题（五中月考）22．（本小题满分14分）（1）因为当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧=+=+.04,316c a c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,41c a ∴这条抛物线的解析式为y ＝41x 2-1. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y=kx+b ，得. ∴22222222)14()14(+=-+=+=m m m GP OG OP ，∴1412+=m OP∵141)2(14122+=---=-=m m y y PH H P ∴OP=PH要使△PDO 的周长最小，因为OD 是定值，所以只要OP+PD 最小，∵OP=PH∴只要PH+PD 最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

”可知，当点D 、P 、H 三点共线时，PH+PD 最小，因此，当点D 、P 、H 三点共线时，△PDO 的周长最小。

5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22.解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是y 轴,∴0b = . ----------------------------------------------1分 ∵抛物线c bx ax y ++=2经过点(2,0)A -、(0,1)B 两点,∴11,4c a ==-,-----------------------------3分∴所求抛物线的解析式为1412+-=x y .---------------------4分（2）设点P 坐标为（p ，1412+-p ），如图,过点P 作PH l ⊥，垂足为H ,∵2PH =-（1412+-p ）=1412+p ，---6分 OP =222)141(+-+p p =1412+p ,----8分 ∴OP PH =.∴直线l 与以点P 为圆心,PO 长为半径的圆相切. --------------------9分D 、E 、F. 连接EG 并延长交DP 的延长线于点K ,∵G 是PQ 的中点,∴易证得EQG KPG ≅△△，∴EQ PK =，-------------------11分由(2)知抛物线1412+-=x y 上任意一点到原点O 的距离等于该点到直线:2l y =的距离,即,EQ OQ DP OP ==，----------- 12分 ∴ 111()()222FG DK DP PK DP EQ ==+=+ 1()2OP OQ =+，----------13分 ∴只有当点P 、Q 、O 三点共线时，线段PQ 的中点G 到直线l 的距离GF 最小. ∵9PQ =,∴GF ≥4.5，即点G 到直线l 距离的最小值是4.5.---------- 14分（若用梯形中位线定理求解扣1分）6、（2012四川资阳9分）【答案】解：（1）∵()()2211y=x +x+m=x+2+m 144-，∴顶点坐标为(－2 , m 1-)。

∵顶点在直线y=x+3上，∴－2+3=m 1-，解得m=2。

（2）∵点N 在抛物线上，且点N 的横坐标为a ，∴点N的纵坐标为21a +a+24，即点N (a ,21a +a+24)。

过点F 作FC ⊥NB 于点C ，在Rt △FCN 中，FC =a +2，NC =NB －CB =21a +a 4,∴2222221NF NC FC a a a 24=+=+++（）（）2221a a a 4a 44=++++（）（）。

而22222211NB a a 2a a a 4a 444=++=++++（）（）（），∴NF 2=NB 2，NF =NB 。

AF BF NF NB NFB NBF 由（2）的结论知，MF =MA ，∴∠MAF =∠MFA 。

∵MA ⊥x 轴，NB ⊥x 轴，∴MA ∥NB 。

∴∠AMF +∠BNF =180°。

∵△MAF 和△NFB 的内角总和为360°，∴2∠MAF +2∠NBF =180°，∠MAF +∠NBF =90°。

∵∠MAB +∠NBA =180°，∴∠FBA +∠FAB =90°。

又∵∠FAB +∠MAF =90°，∴∠FBA =∠MAF =∠MFA 。