回归通用旋转设计的几个问题
三元二次回归旋转组合设计例题
三元二次回归旋转组合设计例题在日常生活中，数据分析与处理是一项重要的技能，尤其在科学研究、产品研发等领域。
为了更好地研究多个变量之间的关系，一种常用的方法就是运用三元二次回归旋转组合设计。
下面，我们就来详细了解一下这种设计方法。
一、三元二次回归旋转组合设计的概念三元二次回归旋转组合设计是一种试验设计方法，它通过对多个变量进行组合，构建出一个旋转矩阵，从而达到降维、简化数据的目的。
在这种设计中，每个变量都有两个水平，可以表示为(-1, 1)。
通过这种设计，我们可以得到较少的试验次数，同时还能保证试验结果的有效性。
二、三元二次回归旋转组合设计的优点1.试验次数较少：与全因子设计相比，三元二次回归旋转组合设计的试验次数较少，可以节省人力、物力和时间成本。
2.保持变量间的相关性：在旋转组合设计中，各个变量之间的相关性得以保持，便于我们研究变量之间的相互作用。
3.易于分析：通过旋转矩阵的构建，可以将多个变量之间的关系简化为少数几个线性关系，便于我们进行后续的数据分析。
三、实例题目解析下面，我们通过一个具体的实例来详细讲解三元二次回归旋转组合设计的应用。
例题：某研究者想要研究三个变量X、Y、Z之间的关系，可以采用三元二次回归旋转组合设计。
设定每个变量的两个水平分别为(-1, 1)，构建旋转矩阵。
解：根据三元二次回归旋转组合设计的构建方法，我们可以得到如下的旋转矩阵：X：[1 0 0][0 1 0]Y：[0 1 0][0 0 1]Z：[0 0 1][1 0 0]通过这个旋转矩阵，我们可以将三个变量之间的关系简化为以下形式：X = a0 + a1*Y + a2*ZY = b0 + b1*X + b2*ZZ = c0 + c1*X + c2*Y研究者可以根据这个简化后的模型，进行后续的数据分析，从而研究变量之间的相互关系。
总之，三元二次回归旋转组合设计是一种实用且高效的数据处理方法，通过简化变量关系、降低试验次数，为我们研究多个变量之间的相互作用提供了便利。
回归旋转试验设计dolly
• 结果显示，x2最不显著，所以考虑剔除此 变量，且x3比较好，变量变为x3，x1*x3， x3*x3。
• • • • • • • • • • • • • • •
data ex; input x1 x2 x3 y; X4=x3*x3;x5=x1*x3; cards; 1.0 13 1.5 0.330 1.4 19 3.0 0.366 1.8 25 1.0 0.294 2.2 10 2.5 0.476 2.6 16 0.5 0.209 3.0 22 2.0 0.451 3.4 28 3.5 0.482 ; proc glm ; model y=x3 x4 x5; run;
• Y=0.315x3-0.759x3*x3+0.026x1*x3
• • • • • • • • • • • • • • •
data ex; input x1 x2 x3 y; X4=x3*x3;x5=x1*x3; cards; 1.0 13 1.5 0.330 1.4 19 3.0 0.366 1.8 25 1.0 0.294 2.2 10 2.5 0.476 2.6 16 0.5 0.209 3.0 22 2.0 0.451 3.4 28 3.5 0.482 ; proc glm ; model y=x3 x4 x5/noint; run;
一．回归旋转设计的步骤
1. 确定参与试验的因素，选定处理水平。 设某试验p个因素，以z1、z2、zp表 示，每个处理因素设上下两个水平， 第j个因素的上水平为z2j，下水平为 z1j，则各处里的零水平为 z0j＝（ z1j + z2j ）/2
2. 计算各因素的变化区间，并对处理水平 编码。 将第j因素的变化区间以Δ j表示， Δ j＝ （ z2j – z1j ）/2，然后对每个因素zj的 处理水平进行编码，即对每个因素的取 值进行线性变换，因素zj与规范变量xj 变换的对应关系是xj＝（zj-z0j）/ Δ j， 上、下、零水平的编码值分别为+1、-1、 0。
平面几何形的旋转问题
平面几何形的旋转问题旋转是平面几何中常见的操作，通过旋转可以改变图形的朝向和位置。
在平面几何中，旋转问题是一个重要且有趣的研究方向，它不仅应用广泛，而且有很多有趣的数学性质和几何学意义。
旋转的基本概念在讨论平面几何形的旋转问题之前，我们首先回顾一下旋转的基本概念。
旋转是指围绕一个固定点或轴进行的圆周运动，旋转中的点在平面上按照一定的轨迹运动。
旋转可以使用不同的参数进行描述，例如旋转角度、旋转中心等。
旋转矩阵与旋转变换旋转问题可以通过矩阵运算来描述和求解。
旋转矩阵是一个二维矩阵，可以通过给定的旋转角度和旋转中心来构造。
旋转矩阵作用于平面上的点，可以将该点绕旋转中心按照给定的角度进行旋转。
旋转变换是将一个平面几何形按照指定的旋转矩阵进行变换，从而改变其位置和朝向。
旋转问题的应用旋转问题在很多实际应用中起着重要的作用。
例如，在计算机图形学中，旋转操作是一种常见的几何变换，它可以用于实现图形的旋转、平移和缩放等操作。
在机器人学中，旋转问题是研究机器人运动和控制的重要内容，通过旋转可以实现机器人的定位和导航。
此外，在物理学中也经常涉及到旋转问题，例如研究刚体的旋转运动、角动量的守恒等。
旋转问题的数学性质旋转问题具有很多有趣的数学性质，这些性质对于解决旋转问题具有重要的指导作用。
例如，旋转矩阵具有很多重要的性质，例如正交性、幺正性等。
此外，旋转矩阵之间的乘法运算具有一些特殊的性质，例如结合律、可逆性等。
旋转问题的几何学意义旋转问题在几何学中有着丰富的意义。
通过旋转可以改变平面几何形的朝向和位置，从而使得形状具有不同的几何性质。
例如，通过旋转可以将一个长方形变成一个正方形，或者将一个椭圆变成一个圆形。
此外，旋转还可以用来证明一些几何定理和性质，例如旋转对称性、旋转不变性等。
结语平面几何形的旋转问题是一个有趣且具有重要应用的研究方向。
旋转不仅在平面几何学中起着重要的作用，而且具有许多有趣的数学性质和几何学意义。
4、高级实验设计—回归的旋转设计(Regressional Rotary Design)
x
i，j =1，2„P；
待定参数
以上为 P 元二次回归旋转设计的旋转性条件。
此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信
息矩阵 A 不退化，为此，必须有不等式：
4 p 2 2 P 2
上式为 P 元二次回归的非退化条件。 已证明，只要使 N 个试验点不在同一个球面上， 就能满足非退化条件。或者说只要使 N 个试验点至少 分布于两个半径不等的球面上，就有可能获得旋转设
P 2 2 ˆ D y P 2 4 PN
4 1 2 P 1 4 P 1 4 1 2 2 4 P 2 4 4
（4.11） 由式（4.11）经研究表明，只有采用恰当的方法 确定 4 ，才能满足通用性的要求。如何确定 4 ？对 4 有什么要求呢？总的来说，它必须使上式中 i处的
ˆ 的 二次旋转组合设计具有同一球面预测值 y
方差相等的优点，但回归统计数的计算较繁琐，
若使它获得正交性就能简化计算手续。
在二次旋转组合计划中，一次项和交互项的 回归系数 bj ，bij 仍保持正交，但 b0 与 bjj 之间，
以及 bii 与 bjj 之间都存在相关，即不具正交性，
它们之间的相关矩分别为：
计方案。
为了获得 P 元二次旋转设计方案，就要求既要
满足非退化条件式，又要满足旋转性条件式。
如何才能满足这两方面的条件呢？这主要借助
于组合设计来实现，因为组合设计中 N 个试验点：
N mc m m0
分布在三个半径不相等的球面上：
mc 个点分布在半径为 P 的球面上； c m 个点分布在半径为 的球面上； m0 个点分布在半径为 0 0 的球面上；
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计引言：在现代科学与技术领域，研究人员经常需要对大量数据进行分析和处理。
其中，回归分析是一种常用的数据分析方法，用于研究变量之间的关系。
然而，传统的回归分析方法在处理高维数据时存在一些问题，例如维度灾难和多重共线性。
因此，三元二次正交回归旋转通用设计被提出，旨在解决这些问题，提高回归分析的准确性和可解释性。
一、维度灾难与多重共线性的问题在传统的回归分析中，当自变量维度较高时，会出现维度灾难的问题。
维度灾难指的是随着自变量维度的增加，样本空间的体积迅速膨胀，导致所需的样本数量呈指数增长。
这使得回归分析在高维数据中变得困难且不可靠。
多重共线性是指自变量之间存在较高的相关性，这会导致回归分析结果不稳定且难以解释。
在传统的回归模型中，多重共线性会导致回归系数的估计不准确，增加了模型的不确定性。
二、三元二次正交回归旋转通用设计的原理为了解决维度灾难和多重共线性的问题，三元二次正交回归旋转通用设计被提出。
该方法的核心思想是通过正交设计和回归旋转的方式来提高回归分析的效果。
通过正交设计的方法，可以使自变量之间的相关性尽可能小。
正交设计是一种特殊的实验设计方法，它通过合理安排实验因素的水平组合，降低了自变量之间的相关性。
这样一来，回归分析中的多重共线性问题就能够得到缓解，提高了模型的稳定性。
通过回归旋转的方式，可以将高维数据转化为低维数据，从而降低了维度灾难的影响。
回归旋转是一种将原始自变量进行线性或非线性变换的方法，使得新的自变量能够更好地解释因变量的变化。
通过回归旋转，可以使自变量的数量减少，同时保留了原始数据的信息。
三、三元二次正交回归旋转通用设计的应用三元二次正交回归旋转通用设计在实际应用中具有广泛的应用价值。
它可以用于多个领域的数据分析，如经济学、医学、环境科学等。
在经济学中，三元二次正交回归旋转通用设计可以用于预测和解释经济变量之间的关系。
通过分析各种经济指标的数据，可以帮助经济学家预测未来的经济发展趋势，为政策制定者提供决策依据。
第六章 §4 旋转回归设计的概念
j = 1,2, , n
1 Var β = (X ′X ) σ 2 2 i
1 2 k 1 2 2 = σ + ∑ σ xi n i =1 n 1 2 2 = σ 1+ x n x 就是预测点 x到因子区域中心之间的 距离
(
)
四,使拟合线性回归的单纯形设计具有 旋转性
缺点:一般而言回归预测值y的方差依赖于试验
二,旋转回归设计 旋转设计是使得在离开因子区域的 中心等距离的任意两点处,估计量y 具有相同精度的一种回归设计
三,用正交表对线性回归模型所作的正 交设计是旋转设计
设 y j = β 0 + β1 x 1 + + β k x k + ε j X = (1n , D ) X ′X = nI k +1 ∴ Var (y (x )) = Var β 0
Var(y(x )) = Varβ0 + ∑ Var βi x i2
i =1
k
( )
1 2 k σ2 = σ +∑ 2 x i2 2 k +1 i + i x1i i =1
(
)
取这一点的坐标使 1 1 1 1 = 2 == 2 = 2 2 2x11 6x12 k + k x1k C
(
)
σ2 1 ∴ Var(y(x )) = + x k +1 C
§4 旋转回归设计
一,正交回归设计的优缺点
(1 优点: )计算方便
(2)消除了回归系数间的相关性
点在因子空间中的位置,这就影响了不同 点间预测值的比较,使设计在各个方向上 不能提供等精度的估计,假如能使二次设 计具有旋转性,即能使与试验中心距离相 等的点上,预测值的方差相等,那将有助 于克服上述缺点.
第九章_回归的旋转设计
因此，采用组合设计选取的试验点，完全能够满足非退化条件式 (13－ 30) ，即信息矩阵 A 不会退化。此外，采用组合设计，其信息矩阵 A 的 元素中 2 x j xi x j xi x j 0
m 的球面上； 的球面上； mγ个点分布在半 m0个点分布在半径 0 的球面上；
4 2 ( ) f 1( 4) i f 2 4 i 最小
2
(13－35)
式中
f
4
m 2 (m 2) m N
4 4
f
2
4
4
(m1) (m1) 2 (m 2)
4 2 4
f 1
1
4
cov （b ，b ） 2 t N cov （b ，b )=( )t N
2 jj 2 4 2 2 2 ii jj 4
(13－32)
其中
t
2 (m 2) 2 4 m 2 4
1
§1 旋转设计的基本原理
对于 m 个因素的二元旋转组合设计，式（13－33）中的m、mc和 γ 都是固 定的。因此，只有适当地调整 N 才能使 λ4 /λ22 ＝1 ，而试验处理数 N ＝ mc+mγ +m0 同样，对于 m 元二次旋转组合设计，上式中的 mc 和 mγ 也都是固定的。这 样就只能通过调整中心点的试验处理数 m0 使 λ4 /λ22 ＝1。由此可见，适当 地选取 m0 ，就能使2次旋转组合设计具有一定的正交性。为了方便设计， 已将 m 元不同实施的 m0 和 N 列入表13－24中。 综上所述，只要对平方项施行中心化变换，并适当调整 就能获得二次 正交旋转组合设计方案，这方面的计划见表13－27和表13－28。
回归的旋转设计教育课件
在组合设计下，当 mc＝2m （全实施）时，则前式变为
2m2432m
解此方程，即可建立全实施时 γ 值的计算式，即
m
24
(13－31)
同理
m2 2 当
m 1（ 1实 施 ）
c
2
m 1 4
m2 2 当
m 2（ 1实 施 ）
c
4
m 2 4
m2 2 当
m 3（ 1实 施 ）
旋转性对试验设计有什么要求以及获得旋转性必须满足哪
些基本条件。首先必须明确的是：在旋转设计中，试验处
理的预测值ຫໍສະໝຸດ y的方差仅与因素空间中从试验点到试验中心
的距离 ρ 有关而与方向无关，从而克服了通常因为不知道
最优点在什么方向的缺陷。
§1 旋转设计的基本原理
这里应该解决的是二次回归正交的旋转性问题。下面以试验设计中常用的 三元二次回归方程来讨论这个问题。
x2 i
mc2
2
x4 i
mc2
4
均不等于零，完全符合式(13－29)的要求。
x x m 2 2
i j
c
§1 旋转设计的基本原理
为了获得旋转设计方案，还必须根据旋转性条件式(13－29)确定 γ 值，
x xx 事实上只要
4
j
3
2
i
2
j
求出 γ
值就行了。
(13－29)是旋转设计的必要条件，满足非退化条件式 (13－30)是使旋
转性成为可能的充分条件。两者结合起来才能使旋转性设计得以实现
。实际操作上主要借助于组合设计来实现。因为组合设计中 N 个试验
点 N ＝ mc+mγ +m0 ，分布在3个半径不相等的球面上。即
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卢恩双, 宋世德, 郭满才
(西北农林科技大学 生命科学学院, 陕西 杨陵 712100)
[ 摘 要 ] 通过理论和实例着重论述了二次回归通用旋转设计中试验次数、设计的正交性、回归系数的计算
及回归系数间的相关性等, 说明了在应用通用旋转设计与二次正交设计上的不同, 并指出了在进行回归系数显著
性检验时需要注意的问题。
1 应用通用回归旋转设计的几个问题
1. 1 试验次数和臂 二次回归通用旋转设计与二次回归正交设计和 二次回归正交旋转设计一样都是组合设计。 设计次 数 n 由 3 部分组成: 即 n = m c+ m r+ m 0。m c 是析因 试验次数, m r 是在星号臂上进行的试验次数, m 0 是 在试验区域的中心点进行的试验次数。 在回归设计 中, 确定了自变量数和试验是全实施还是半实施等, m c 和 m r 就已经确定。 当设计选为二次回归正交设 计时, m 0 可以自由选定, 当 m 0 取定后 n 就确定了; 在这个设计中, 根据试验要满足正交性来计算星号
计与通用旋转设计的结构矩阵 (分别为 X 1 和 X 2)。
设响应变量
yδ =
b0 +
b1z 1 +
b2z 2 +
b12z 12 +
b11z
2 1
+
b22
z
2 2
式中, b0, b1, …, b22, 为回归系数, z 1, z 2 分别是自变量
x 1, x 2 的规范变量。
z0
z1
z2
z 1z 2
表 1 因素水平编码表 T ab le 1 Codes of the facto r levels
zj
上星号臂水平 (1. 682) L evel of upp er astrisk arm 上水平 (1) U pp er level 零水平 (0) Zero level 下水平 (- 1) L ow er level 下星号臂水平 (- 1. 682) L evel of low er astrisk arm ∃ j
致性。 因此, 在分析通用回归旋转设计的试验结果 时, 不可直接由 bjj 的大小判断各二次项作用的大 小, 也不能如正交设计一样, 任意去掉某个二次项,
而不改变其余回归系数。也正由于此, 在正交旋转设 计中, 回归系数的计算与显著性的检验都很容易。如
回归系数的计算公式为
b0 =
B0 16
,
bj =
Bj 8
,
bij =
B ij 4
,
bjj =
Bj 6
j
,
j = 1,
2。 而 在 通 用 旋 转 设 计 中: b0=
1 5
B
0
-
1 10
(B
11 +
B
22 ) ,
bj =Leabharlann 1 8Bj,
b12 =
1 4
B
12 ,
b11 =
-
1 10B
0
+
23 160B
11
+
3 160B
22
=
-
1 10B
0
+
20 160B
臂 r: r2=
(m c+ 2p + m 0)m c - m c。但当设计选用正 2
交旋转和通用旋转设计时, r 根据设计的旋转要求
确定: r= 4m c。 在这 2 个设计中, n 都是事先确定 的, m 0 不可以自由选定, 前者根据满足正交性条件 而定, 后者根据满足通用性条件而定, 这里计算公式
设系数 (信息) 矩阵 A = X TX , 由最小二乘法得
b= A - 1 B , B = (B 0, B 1, B 2, B 12, B 11, B 22 ) T , B 0 =
n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ y i, B j =
z ij y i, B kj =
z ik z ij y i, B j j =
- Q 剩, 回归系数的显著性检验也不同, 这里不再一
一介绍。
2 实 例
以建立黄土高原春大豆综合农艺措施数学模型 为例, 采用 4 因子 (1 2 实施) 二次回归通用旋转组 合设计, 对影响陕北黄土高原春大豆产量最主要的 种植密度 (x 1)、施氮量 (x 2)、施磷量 (x 3)、施有机肥 量 (x 4) 等 4 项农艺措施进行田间试验, 以期建立黄 土高原春大豆综合农艺措施的数学模型, 优选最佳 农艺措施组合方案, 为提高大豆产量提供科学依 据[3 ]。 2. 1 确定变量变化范围及编码
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 15
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 16
Ξ [ 收稿日期 ] 2002204205 [ 作者简介 ] 卢恩双 (1952- ) , 男, 陕西南郑人, 副教授, 主要从事应用数学的研究。
第5期
卢恩双等: 回归通用旋转设计的几个问题
111
z0
z1
z2
z 1z 2
余平方和 (Q 剩= S S T - U , S S T 为总平方和) , 而在通
n
p
∑ ∑ 用旋转设计中要先计算Q 剩=
y
2 i
-
b0B 0-
bjB j
i= 1
j= 1
p- 1 p
p
∑ ∑ ∑ - E
bk jB k j -
bjjB jj , 然后再计算 U = S S T
k= 1 j= k+ 1
j= 1
较繁, 不再给出, 但都有现成的表可查[1]。
1. 2 设计的正交性和回归系数计算及其显著性检验
在通用旋转设计中, 为达到精度的一致性是以
牺牲部分的正交性为代价的, 因此回归系数的计算
及其显著性检验以及分析变量的重要性等, 都与二
次回归正交设计和二次回归正交旋转设计不同, 应
特别注意。下面以 p = 2 为例, 比较回归正交旋转设
归方程检验 F 在 0. 05 水平上显著, 说明试验所选 分 析 结 果 作 参 考, 本 试 验 所 建 立 模 型 中 的 x 1x 3,
因子对黄土高原春大豆产量有显著影响。 回归系数 x 1x 4, x 2x 3, x 2x 4 的交互作用较 x 1x 2, x 3x 4 大, 但都在
0 4 500
2. 3 回归方程与拟合度及回归方程显著性检验
各 bj 与交互项、平方项的回归系数间都是不相关
由计算回归系数公式可得回归方程: yδ= 1 056. 902- 3. 097z 1+ 106. 190z 2+ 89. 665z 3+
的, 因此, 可以由回归系数绝对值的大小来直接比较 各因素一次项对大豆产量的影响。 这里 x 2> x 3> x 4
X 1= 1 0 - 1. 414 0 - 0. 5 1. 5 8
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 9
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 10
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 11
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 12
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 13
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 14
x1 (株·hm - 2)
135 000
120 000 97 500 75 000 60 000 22 500
x2 (kg·hm - 2)
150
120 75 30 0 45
x3 (kg·hm - 2)
150
120 75 30 0 45
x4 (kg·hm - 2)
15 000
12 000 7 500 3 000
112
西北农林科技大学学报 (自然科学版)
第 30 卷
播种, 小区面积为 13. 34 m 2, 锄地 4 次, 1991210210 温 为 3 349 ℃, 试 验 安 排 及 试 验 结 果 见 参 考 文 献 收 获, 单 收 单 打, 风 干 称 重, 大 豆 生 育 期 降 雨 [ 3 ]。 390. 3 mm , 前期降雨偏多, 后期旱象严重, 生育期积
z ′ij y i
i= 1
i= 1
i= 1
i= 1
n
∑ (对 X 1) 或B j j =
z
2 ij
y
i
(
对
X
2
)
。称
A
-
1为相关矩阵,
i= 1
它正好是回归系数的相关阵。
A
1
1=
d iag (1
16, 1
8, 1
8, 1
4, 1
6, 1
6)
1 5
0
0
0
-
1 10
-
1 10
0
1 8
0
0
0
0
0
A
2
1=
0
1 8
z
′ 1
z
′ 2
11
1
1 0. 5 0. 5 1
11
- 1 - 1 0. 5 0. 5 2
1 -1
1 - 1 0. 5 0. 5 3
1 -1
- 1 1 0. 5 0. 5 4
1 1. 414
0
0 1. 5 - 0. 5 5
1 - 1. 414 0
0 1. 5 - 0. 5 6
10
1. 414 0 - 0. 5 1. 5 7
0
0
0
0
0
0
1 4