数学---湖北省宜昌市葛洲坝中学2016-2017学年高一(下)期中试卷(解析版)
湖北省宜昌市葛洲坝中学高一数学下学期期中试题
宜昌市葛洲坝中学2015—2016学年第二学期高一年级数学考试试题考试时间：2016年4月28日 本卷满分150分★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校填写在答题卡相应的位置上．2．选择题作答：每小题选出答案后，将答案序号填在答题卡对应题号下面．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题作答：直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效，答在对应区域外或填错答题区域均无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知,a b rr 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=r r（ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 2.三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知下列条件： ①b=3,c=4,ο30=B ;②a=5,b=8,ο30=A ;③c=6,b=33,ο60=B ; ④c=9,b=12,ο60=C 其中满足上述条件的三角形有两解的是： （ ） A.①② B.①④ C.①②③ D.③④ 3.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且1038=-S S ,则11S =( )A.12B.18C.22D.444．在ABC ∆中，角A,B 的对边分别为b a ,.且a cos bcos ,A B = 则ABC ∆的形状为（ ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形5．三角形ABC 中A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则B 等于（ ） A.30° B.60° C.90° D.120°6.已知等比数列{}n a 中41,252==a a ，则13221.......++++n n a a a a a a 等于（ ） A.)41(16n-- B.)21(16n - C.)41(332n -- D.)21(332n --7．已知等差数列{an}中，Sn 为其前n 项和，若1a =3- ，510S S =，则当Sn 取到最小值时n 的值为( )A ．5B ．7C ．8D ．7或88．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30o，沿倾斜角为15o的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60o，求山高h=（ ）A.22aB. 2aC.3aD.a9．数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩，若167a =，则a 2016= （ ） A ．67 B ．57 C ．37 D ．1710．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别为n S 和n T ，对一切自然数n 都有132+=n n T S n n ，则=55b a（ ） A ．32 B ．149 C ．3120 D ．171111.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )（A ）()f x 的图象关于直线23x π=-对称 （B ）()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 （C ）将函数3sin 2cos 2y x x =-的图象向左平移2π个单 位得到函数()f x 的图象（D ）若方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,3]--12．将正偶数按下表排成4列：则2 004在 ( )A. 第251行，第1列B. 第251行，第2列C. 第250行，第2列D. 第250行，第4列二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．13.三角形ABC 面积为3，BC=2，C=ο60，则边AB 长度等于______.14.已知)3,3(+-=m m a ，)4,12(+-+=m m b ，且51≤≤m ，则b a ⋅的范围是_____.15已知数列{}n a 的前n 项和为2n 3n+5n S =+，则n a = ．16．如图：互不相同的点n A A A ⋅⋅⋅,,21和n B B B ⋅⋅⋅,,21分别在角O 的两边上，所有n n B A 互相平行，且所有梯形11++n n n n A B B A 的面积相等，设,2,1,21===a a a OA n n 若则数列{}n a 的通项公式为=n a ______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 等差数列{}n a 满足32=a ，65=a ，其前n 项的和为n S . （I ）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （II ）设n a n b 2=，求数列{}n b 的前n 项的和为n T .18（本小题满分10分）已知向量),1,(cos -=x m )21,sin 3(-=x n ,设函数m n m x f ).()(+=(I) 求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ) 已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a =1, 3c = ，且(A)f 恰是函数()f x 在[0,]2π上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.19．(本小题满分12分)如图，甲船以每小时215海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行40分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的南偏西45°方向的2B 处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？20．（本小题满分12分） 设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且1cos 2a C cb +=.（I ）求A 的大小； （II ）若3a =，求b c +的取值范围.21．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，满足0211=⋅+---n n n n a a a a ． （Ⅰ）求证：数列}1{na 是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）令12+=n a b n n ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得)3()12(22+≤+n m n T n 对所有n N *∈都成立的实数m 的取值范围．22．(本小题满分14分) 已知函数))((R x x f y ∈=满足12)2(1+=+x x f ，定义数列{}n a ，11=a ，1)(1-=+n n a f a (*N n ∈)，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11=b *11()n n S S n N +=∈．（1） 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令nnna b c =(*N n ∈)，求{}n c 的前n 项和为n T ； （3）数列{}n a 中是否存在三项k n m a a a ,,(*,,,N k n m k n m ∈<<)使k n m a a a ,,成等差数列，若存在，求出k n m ,,的值，若不存在，请说明理由。
2016-2017学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二下学期期中考试数学(理)试题
宜昌市葛洲坝中学2016-2017学年第二学期高二年级期中考试试卷数学(理科)试题考试时间：2017年4月一、选择题：（12小题，每小题5分，共60分）1．设命题，，则为( )A. B.C. D.2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3．已知双曲线的离心率为，则的值是（）A. B. C. 3 D.4．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则椭圆的方程为（）A. B.C. D.5．如右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，底边长为4，腰长为3，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.6．已知函数的图象在点处的切线过点，则（ ）A. B. C. D.7．如图所示，在正方体中，棱长为，分别为和上的点，，则与平面的位置关系是（ ）A. 相交B. 平行C. 垂直D. 不能确定8．若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )A. (－∞，－2]B. (－∞，－1]C. [2，＋∞)D. [1，＋∞)9．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑,⊥平面,，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表 面积为A. B. C. D.10．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的方程为（ ）A. B.C. D.11．已知函数x x y ln 1++=在点)2,1(A 处的切线为l ，若l 与二次函数1)2(2+++=x a ax y 的图象也相切，则实数a 的取值为（ ） A. 0或4 B. 8 C. 0 D. 412．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线右支于两点，且，若，则双曲线离心率为（ ）.A. B. C. D.二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分） 13．抛物线的准线方程为__________．14．我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[]0,3上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________．15．在中，已知角的正切值为函数 在处切线的斜率，且，则__________．16．已知函数()13ln 144f x x x x=-+-，()224g x x bx =-+，若对任意()10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，则实数b 的取值范围是________.三、解答题：（6小题，共70分）17．（10分）命题p ：关于x 的不等式0422>++ax x 对一切R x ∈恒成立，q ：函数x a x f )23()(-=是增函数，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围.18．（12分）已知△PDQ中，A，B分别为边PQ上的两个三等分点，BD为底边PQ上的高，AE DB，如图1.将△PEA，△QDB分别沿AE，DB折起，使得P，Q重合于点C，AB中点//为M，如图2.⊥；（1）求证：CM EM--的大小.（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B CD E19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是长方形，侧棱底面，且，过D作于F，过F作交PC于E.（Ⅰ）证明：平面PBC；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.20．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左顶点作直线，与圆相交于两点，，若是钝角三角形，求直线的斜率的取值范围．21．（12分）已知函数()2ln 2(0)f x a x a x=+->. （1）若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间； （2）若对()0,x ∀∈+∞都有()()21f x a >-成立，试求实数a 的取值范围；22．（12分）已知抛物线与直线相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线与抛物线C 交于A,B 两点，使得为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在， 请说明理由葛洲坝中学高二4月月考数学试卷答案参考答案1．B【解析】全称命题的否定为特称，故命题，，则为故选B.2．D【解析】选项不正确，因为是可能；选项不正确，因为，和都有可能；选项不正确，因为，可能；选项正确。
衡水中学高一下学期期中考试数学试题及详细解答
16 ， 3
1 16 •R=2， ∴ •2R2•R= 3 3
12. 【答案】 D 【解析】 因为长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动， 另一个端点 N 在△BCO 内运动（含边界） ，有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心，以 1 为半径的球体，则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的 则V =
VP − ABCD =
A.4 π
16 ，则球 O 的表面积是（ 3
B.8 π
） C.12 π D.16 π ）
1.已知向量 a = (0,2,1) ， b = ( −1,1,−2) ，则 a与b 的夹角为（
A. 0 B. 45 C. 90 D. 180
）
8. .如果是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（
2 2 2 1 a,且 ka＞ a,∴ka＞ a,即 k＞ . 2 2 2 2
如图， 取 AC 中点为 G， 结合已知可得 GF
2 2 2
AB， 在正四面体中， AB
CD， 又 GE
CD， 所以 GE
GF,所以 EF = GE + GF ，当四面体绕 AB 旋转时，因为 GF
平面 a，GE 与 GF 的垂直性保持不 上的射影 E1 F1
2..如图，正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中，棱长为 1，PB
1 PB′ ，则 P 点坐标为（ 3
）
A.2 2
B.4 2
C.4
D. 8
9. 在长方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中，AB=BC=2， AA1 =1，则 BC1 与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为 （ A. ， ， ） A.
湖北省宜昌市高一数学下学期期中试题(2)
湖北省宜昌市2016-2017学年高一数学下学期期中试题（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）一、选择题（每题5分，共60分）1.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（ ）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列2.在△ABC 中，a =1，bA=30°，则∠B 等于（ ）A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°3.2005是数列7, 13, 19, 25, 31，…中的第（ ）项.A. 332B. 333C. 334D. 3354．已知向量(2,)a m =，(,2)b m =。
若//a b ，则实数m 等于（ ） A ．2- B ．2 C ．2-或2 D ．0 5、1717cos()sin()44---ππ的值是( )．B． C ．0 D. 26、已知1a =，2b =,()3a a b -=则a 与b 的夹角为（ ）A. 3πB.6πC. 2πD.π7、数列{}n a 中，11a =，23a =，121(3)n n n a a n a --=+≥，则5a = （ ）A.5512B.133C.4D.58、如果等差数列}{n a 中，56715a a a ++=，那么349a a a +++…等于（ ）A ．21B ．30C ．35D ．40 9．函数sin()sin()44y x x ππ=+⋅-是（ ） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为π的偶函数10.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）A.sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11.0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( )A.16B.8C.4D.212．已知P 是ABC ∆内一点，且满足230PA PB PC ++=,记ABP ∆, BPC ∆，ACP ∆的面积依次为321S S S ，，，则321S S S ：：等于（ ）A ．1:2:3B ．1:4:9C ．6:1:2D ．3:1:2二、填空题。
湖北省宜昌市葛洲坝中学高一数学下学期期中试题文
宜昌市葛洲坝中学2014-2015学年第二学期高一年级期中考试试卷数学（文科） 试题考试时间：2015年4月☆祝考试顺利☆一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．数列111,,,122334⨯⨯⨯的一个通项公式是A ．1(1)n n - B ．1(1)n n + C ．1(1)(2)n n ++ D ．以上都不对2．若a 、b 、c 为实数，且a b >，则下面一定成立的是A ．ac bc >B ．22a b >C ．a c b +>D ．a c b c ->-3. 点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中A ．220x y -->B ．2x y -≤C ． 0y ≤D ．2x ≥ 4． 在△ABC 中,已知a=6, A=60︒,B=45︒, 则b =A. 5. 在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于A. 120°B. 60°C. 45°D. 30° 6. 在等差数列}{n a 中，已知53a =，96a =，则13a = A ．9 B ．12 C ．15 D ．187. 有这样一首诗：“有个学生悟性好，一部《孟子》三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”（注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍），由此诗知该君第一日读的字数为A ．4955B ．4985C ．4975D ．4965 8. 已知0,0x y >>，若不等式22x y mxy x y+≥+恒成立，则实数m 的最大值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 等比数列{}n a 中293a a =，则313239310log log log log a a a a ++++等于A ．243B ．27C ．10D ．510. 某人从2012年起，每年1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转存为新的一年定期（本利和一起计入下一期的本金），到2016年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为（单位为元）A. 5(1)a r +B. 6(1)a r +C. 5[(1)(1)]a r r r +-+D. 6[(1)(1)]a r r r+-+11. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 A ．99101B ．100101C ．99100 D ．10110012．△ABC 中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，如果2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，那么△ABC 是 A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13. 设变量,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则23z x y =+的最小值为14. 不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 15. 在ABC ∆中，560=︒=b A ，，面积35=S ，则a ＝16. 已知不等式(21)(25)0x x --<的整数解构成等比数列{}n a 的前两项，则数列{}n a 的第四项为三、解答题（共70分，要求写清楚解答过程） 17. （本题满分10分）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 9 =－2，S 8 =2. （1）求首项a 1和公差d 的值；（2）当n 为何值时，S n 最大？并求出S n 的最大值.18．（本题满分10分）如图，港口B 在港口O 正东方120海里处，小岛C 在港口O 北偏东︒60方向和港口B 北偏西︒30方向上，一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东︒30的OA 方向以每小时20海里的速度驶离港口O ，一艘快艇从港口B 出发，以每小时60海里的速度驶向小岛C ，在C 岛装)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f 0)(>x f )3,1(-b a ,运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间需要1小时，问快艇驶离港口B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？19.（本题满分12分）在锐角△ABC 中, 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c , 且2a sinB=3b . （1）求角A 的大小;（2）若a =6, b +c =8, 求△ABC 的面积.20．（本题满分12分）设函数， （1）若不等式的解集．求的值；（2）若(1)2,00f a b =>>、求14a b+的最小值．21.（本题满分13分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。
湖北省宜昌一中2016-2017学年高一下学期3月段考数学试卷Word版含解析
2016-2017学年湖北省宜昌一中高一（下）3月段考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列3．在△ABC中，=，=，且•＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形4．如图，塔AB底部为点B，若C，D两点相距为100m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，则塔AB的高约为（精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）（）A．36.5 B．115.6 C．120.5 D．136.55．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈ZC．（k﹣，k﹣），k∈Z D．（2k﹣，2k+），k∈Z6．把1，3，6，10，15，…这些数叫作“三角形数”，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第15个三角形数是（）A．120 B．105 C．153 D．917．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）8．要得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心10．已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3511．定义为n个正数p1，p2，p3…p n的“均倒数”，若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则…=（）A．B．C．D．12．用正奇数按如表排列则2017在第行第列．（）A．第253行第1列 B．第253行第2列 C．第252行第3列 D．第254行第2列二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数T=Asin（ωt+φ）+B（其中＜φ＜π）6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么图中曲线对应的函数解析式是．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知sinB﹣sinC=sinA，2b=3c，则cosA=．15．定义“等和数列”：在一个数列，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，则a18的值为．16．已知函数的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量，，设函数（1）求函数f（x）的最小正周期和其图象的对称中心；（2）当时，求函数f（x）的值域．18．在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，c cos B+（b﹣2a ）cos C=0．（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值．=f（a n）19．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=2x+1，在数列{a n}，a1=1，a n+1﹣1（n∈N*），数列{b n}为等差数列，首项b1=1，公差为2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令（n∈N*），求{c n}的前n项和T n．20．已知函数，当x∈[1，4]时，f（x）的最大值为m，最小值为n．（1）若角α的终边经过点P（m，n），求sinα+cosα的值；（2）设，h（x）=g（x）﹣k在上有两个不同的零点x1，x2，求k的取值范围．21．某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出y的最大值．22．已知函数f（x）=lg（）为奇函数．（1）求m的值，并求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）若对于任意θ∈[0，]，是否存在实数λ，使得不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）﹣lg3＞0．若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖北省宜昌一中高一（下）3月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】1F：补集及其运算；4B：指数函数的单调性与特殊点；74：一元二次不等式的解法．【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得C B A．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞﹣1}，C B A=[3，+∞）．故选A．2．对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【考点】8G：等比数列的性质．【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．【解答】解：A项中a3=a1•q2，a1•a9=•q8，（a3）2≠a1•a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10，故D项说法正确，3．在△ABC中，=，=，且•＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】根据已知推断出•＜0，进而根据向量的数量积的运算推断出B＞90°．【解答】解：∵•＞0∴•＜0∴B＞90°，即三角形为钝角三角形，故选：D．4．如图，塔AB底部为点B，若C，D两点相距为100m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，则塔AB的高约为（精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）（）A．36.5 B．115.6 C．120.5 D．136.5【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】在Rt△ADB中，DB=AB，Rt△ACB中，CB=AB，根据CD=DB﹣CB可以求出AE的长度，即可解题．【解答】解：在Rt△ADB中，DB=AB，Rt△ACB中，CB=AB，∵CD=DB﹣CB，∴100=（﹣1）AB∴AB==50（+1）米≈136.5米5．函数f （x ）=cos （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）A ．（kπ﹣，kπ+），k ∈ZB ．（2kπ﹣，2kπ+），k ∈ZC ．（k ﹣，k ﹣），k ∈ZD ．（2k ﹣，2k +），k ∈Z【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：从图象可以看出：图象过相邻的两个零点为（，0），（，0），可得：T=2×=2，∴ω==π，∴f （x ）=cos （πx +φ），将点（，0）带入可得：cos （+φ）=0，令+φ=，可得φ=，∴f （x ）=cos （πx +），由，单点递减（k ∈Z ），解得：2k ﹣≤x ≤2k +，k ∈Z ． 故选D6．把1，3，6，10，15，…这些数叫作“三角形数”，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第15个三角形数是（ ）A．120 B．105 C．153 D．91【考点】F1：归纳推理．【分析】l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数，从而原来三角形数是从l开始的连续自然数的和，故可得结论．【解答】解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．第一个三角形数是1，第二个三角形数是3=1+2，第三个三角形数是6=1+2+3，第四个三角形数是10=1+2+3+4…那么，第n个三角形数就是：l+2+…+n=，n=15，第15个三角形数是120．故选A．7．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．8．要得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．【解答】解：y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移而得到函数y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x+）的图象，故选B．9．如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定﹣=，判断与∠BAC的角平分线的关系推出选项．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，又∵可得到﹣==λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，∴一定通过△ABC的内心故选B．10．已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】利用已知条件，得到通项公式，然后求解a10．【解答】解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．11．定义为n个正数p1，p2，p3…p n的“均倒数”，若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则…=（）A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由“均倒数”的定义，求得S n，即可求得a n，求得b n，利用裂项法即可求得答案．【解答】解：由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∴=n．∵∴b n=n，则==﹣，∴…=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故选C．12．用正奇数按如表排列则2017在第行第列．（）A．第253行第1列 B．第253行第2列 C．第252行第3列 D．第254行第2列【考点】F1：归纳推理．【分析】该数列是等差数列，四个数为一行，奇数行从第2列开始，从小到大排列，偶数行从第一列开始，从大到小排列，所以可得结论．【解答】解：由题意，该数列是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴由公式得n=÷2=1009，∴由四个数为一行得1009÷4=252余1，∴由题意2017这个数为第253行2列．故选：B．二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数T=Asin（ωt+φ）+B（其中＜φ＜π）6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么图中曲线对应的函数解析式是y=10sin（x+）+20，x ∈[6，14] ．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图中的最大值与最小值可求得b与A，由函数的周期可求得ω，由10ω+φ=2kπ，k∈Z，可求得φ．【解答】解：依题意，b==20，∵A＞0，∴30=A+b=A+20，∴A=10；又=14﹣6=8，ω＞0，∴T==16，∴ω=，∴y=f（x）=10sin（x+φ）+20，又f（10）=20，∴×10+φ=2kπ，（k∈Z），∵＜φ＜π，∴φ=．∴y=f（x）=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．故答案为：y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知sinB﹣sinC=sinA，2b=3c，则cosA=．【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=，又利用正弦定理可得b﹣c=a，进而可得：a=2c，利用余弦定理即可解得cosA的值．【解答】解：在△ABC中，∵2b=3c，∴可得：b=，∵sinB﹣sinC=sinA，∴由正弦定理可得：b﹣c=a，可得：﹣c=a，整理可得：a=2c，∴cosA===．故答案为：．15．定义“等和数列”：在一个数列，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，则a18的值为3．【考点】8B：数列的应用．=5，且a1=2，所以，a2=3，a3=2，a4=3，进而找出【分析】由题意可知，a n+a n+1这个数列的奇数项为2，偶数项为3，所以a18的数值为3．=5，且a1=2，【解答】解：由题意知，a n+a n+1所以，a1+a2=5，得a2=3，a3=2，a4=3，…∴a17=2，a18=3，故答案为：3．16．已知函数的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出函数f（x）=sin（x）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（x）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣x）﹣1=﹣sin（x）﹣1，则若f（x）=sin（x）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（x）﹣1=f（x），即y=﹣sin（x）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（x）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（x）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象恰有9个交点，则0＜a＜1且满足f（17）＞g（17）=﹣2，f（21）＜g（21）=﹣2，即﹣2＜log a17，log a21＜﹣2，即log a17＞log a a﹣2，log a21＜log a a﹣2，则17＜，21＞，解得＜a＜，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量，，设函数（1）求函数f（x）的最小正周期和其图象的对称中心；（2）当时，求函数f（x）的值域．【考点】9R：平面向量数量积的运算；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）进行数量积的坐标运算，并化简即可求得，进而求出f（x）的最小正周期及对称中心；（2）根据x的范围便可求出的范围，根据f（x）的解析式即可求出f（x）的值域．【解答】解：（1）===；∴f（x）的周期T=π；令，k∈Z，则x=，k∈Z；∴图象对称中心为：，k∈Z；（2）；，∴；∴f（x）∈[3，6]；即f（x）的值域为[3，6]．18．在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，c cos B+（b﹣2a ）cos C=0．（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosC的值，即可确定出C 的度数；（2）利用正弦定理表示出a，b，进而表示出三角形面积，求出面积最大值即可．【解答】解：（1）已知等式ccosB+（b﹣2a）cosC=0，利用正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC﹣2sinAcosC=0，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，∴sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，则C=；（2）由正弦定理得====4，∴a=4sinA，b=4sinB，∵A+B=，即B=﹣A，∴S△ABC=absinC=4sinAsinB=4sinAsin（﹣A）=2sin（2A﹣）+，当2A﹣=，即A=时，S max=3．=f（a n）19．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=2x+1，在数列{a n}，a1=1，a n+1﹣1（n∈N*），数列{b n}为等差数列，首项b1=1，公差为2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令（n∈N*），求{c n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．=2a n，又a1=1，{a n}是以1为首【解答】解：（1）由题意知：f（x）=2x+1，a n+1项，2为公比的等比数列，故，由b1=1，d=2可得：∴b n=2n﹣1．（2），T n=c1+c2+c3+…+c n∴①两边同乘公比得，②①﹣②得化简得：20．已知函数，当x∈[1，4]时，f（x）的最大值为m，最小值为n．（1）若角α的终边经过点P（m，n），求sinα+cosα的值；（2）设，h（x）=g（x）﹣k在上有两个不同的零点x1，x2，求k的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】（1）令log2x=t，∴g（t）=t2﹣2t+3，t∈[0，2]，求得m，n，利用三角函数定义求解．（2）h（x）=g（x）﹣k=3cos（2x+）﹣2﹣k，即h（x）=g（x）﹣k在上有两个不同的零点x1，x2⇔y=3cosx，x与y=2+k有两个交点，结合余弦函数图象即可求解．【解答】解：（1），令log 2x=t ，∴g （t ）=t 2﹣2t +3，t ∈[0，2] 最大值m=3，最小值n=2，∴P （3，2），∴，，∴．（2），h （x ）=g （x ）﹣k=3cos （2x +）﹣2﹣k⇒，x ∈[0，]时，2x +∈[，]，∴h （x ）=g （x ）﹣k 在上有两个不同的零点x 1，x 2⇔y=3cosx ，x 与y=2+k 有两个交点，∴，∴．21．某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出y 的最大值．【考点】5C ：根据实际问题选择函数类型；5B ：分段函数的应用．【分析】（1）根据扇形的周长公式进行求解即可．（2）结合花坛的面积公式，结合费用之间的关系进行求解即可．【解答】解：（1）由题可知30=θ（10+x）+2（10﹣x），所以θ=，x∈（0，10） (5)（2）花坛的面积为θ=（5+x）（10﹣x）=﹣x2+5x+50（0＜x＜10），装饰总费用为9θ（10+x）+8（10﹣x）=170+10x，所以花坛的面积与装饰总费用之比为y==﹣． (7)令t=17+x，t∈（17，27）则y=﹣（t+）≤﹣=，…当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=．（若利用双勾函数单调性求最值的，则同等标准给分，但须说明单调性．）故当x=1时，花坛的面积与装饰总费用之比最大． (12)22．已知函数f（x）=lg（）为奇函数．（1）求m的值，并求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）若对于任意θ∈[0，]，是否存在实数λ，使得不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）﹣lg3＞0．若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的条件建立方程关系，即可求m的值，（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）的单调性；（3）利用三角函数姜不等式进行转化，解三角不等式即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lg（）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）在定义域内恒成立，即lg（）=﹣lg（），即lg（）+lg（）=0，则•=1，即1﹣m2x2=1﹣x2，在定义域内恒成立，∴m=﹣1或m=1，当m=1时，f（x）=lg（）=lg1=0，∴m=﹣1，此时f（x）=lg，由＞0，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域是（﹣1，1）．（2）∵f（x）=lg，﹣1＜x＜1，任取﹣1＜x1＜x2＜1，设u（x）=，﹣1＜x＜1，则u（x1）﹣u（x2）=∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴u（x1）﹣u（x2）＜0，∴u（x1）＜u（x2），即lgu（x1）＜lgu（x2），∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在定义域内单调递增．（3）假设存在实数λ，使得不等式不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）﹣lg3＞0成立，即不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）＞lg3=f（），由（1），（2）知：＜cos2θ+λsinθ﹣＜1 对于任意θ∈[0，]，即，当θ=0时成立；当θ∈（0，]时，令sinθ=t，则，即，则．2017年5月25日。
数学高一下期中经典测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥3．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．84．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 5．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 7．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+25 10．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 11．(0分)[ID ：12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,124 12．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12 C ．16 D ．113．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A 2 B 3C 2 D 2 14．(0分)[ID ：12397]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12478]在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．17．(0分)[ID ：12463]已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .19．(0分)[ID ：12522]在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________20．(0分)[ID ：12508]已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．21．(0分)[ID ：12443]已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．22．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.23．(0分)[ID ：12430]若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.24．(0分)[ID ：12432]如图所示，二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．25．(0分)[ID ：12450]已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12628]已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12545]如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C --的正切值．29．(0分)[ID ：12622]已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.30．(0分)[ID ：12542]如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．B4．B5．C6．A7．A8．B9．A10．B11．D12．A13．A14．B15．D二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】 解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 4．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 9．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确；在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 与半圆相切时，2|124|21k k --+=+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．13．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．14．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 15．D 解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为6【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 6 17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积 19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球 解析：50π【解析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为22215234522R =++=， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为225244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】 本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的 解析：【解析】根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是()()2231305CF =--+-= ，所以PQ PR +的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z +++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【 解析：3π.【解析】【分析】当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．【详解】解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||OE =当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=⨯=， 故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则 解析：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线，对于曲线()2:111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥，曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=，则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =.结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程 解析：217【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++，两边平方可得CD 的长．【详解】二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， 且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++，∴22()CD CA AB BD =++2222CA AB BD CA BD =+++361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =ABC 中，2AB AC ==，22BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离22132d r BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3 点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC 所在平面截球所得圆（即ABC 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.三、解答题26．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d === 22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.27．（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. 【解析】【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可．【详解】（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r .当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，2=，解得34k =-， ∴ 方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=. （2）∵ 弦长AB为 2.圆心到直线40ax y -+=的距离d =∴2242⎛⎛⎫+= ⎝⎭， 解得34a =-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力． 28．(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明(2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解.【详解】（1）PA ⊥面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥； 又底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥AE ∴⊥面PAD ；（2）AE 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AE AHE AH PO AH∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大， 令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=， 在Rt PAD ∆中，233PA = PA ⊥面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ，正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.3CM =.在PAB ∆中，23,2,3BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==， tan 23CM MNC MN∠==【点睛】 本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题. 29．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为223）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32． 【解析】【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设。
人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为 、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
解得 （ 舍去），故选D.
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 .
由题意得 ，解得 ，即 .
故选：B.
12．若非零向量 满足 ，且 ，则 的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
即 ，∴
，又 ，故 ，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意， ，所以 .故选：C.
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
（2）因为 为三角形内角，
所以 ，
，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 或 （舍）．
．
22．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
数学---湖北省部分重点中学2016-2017学年高一(下)期中试卷(理科)(解析版)
湖北省部分重点中学2016-2017学年高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=2，则a12=（）A．10 B．14 C．15 D．302．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定3．（5分）数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．4．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且=，=，连接AC、MN交于P点，若=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．5．（5分）古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的部分项，，，…构成等比数列{}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5为（）A．86 B．88 C．90 D．927．（5分）如图，在等腰直角△ABO中，设=，=，||=||=1，C为AB上靠近A点的三等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，=，则•（﹣）=（）A．B．﹣C．﹣D．8．（5分）已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=90°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣19．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．10．（5分）已知△AOB中，∠AOB=120°，||=3，||=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则•的值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，=3，E n（n∈N+）为边AC上的点，满足=a n+1，=（4a n+3），其中实数列{a n}中a n＞0，a1=1，则{a n}的通项公式为（）A．3•2n﹣1﹣2 B．2n﹣1 C．4n﹣2 D．2•4n﹣1﹣112．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1＞2a n﹣a n﹣1（n＞1．n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立上述命题正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n•S n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．14．（5分）如图，在△ABC中，已知∠BAC=，||=2，||=3，点D为边BC上一点，满足+2=3，点E是AD上一点，满足=2，则||=．15．（5分）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m 到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=．16．（5分）点O是平面上一定点，A、B、C是平面上△ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是（把你认为正确的序号全部写上）．①动点P满足=++，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；⑤动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．三、解答题（本题共70分）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量=（a，c），=（cos C，cos A）．（1）若∥，a=c，求角A；（2）若•=3b sin B，cos A=，求cos C的值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a n+1=S n（n∈N*）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n．19．（12分）如图，已知O为△ABC的外心，角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）若5+4+3=，求cos∠BOC的值；（2）若•=•，求的值．20．（12分）如图，D、E分别是△ABC的三等分点，设=，=，∠BAC=．（1）用，分别表示，；（2）若•=15，||=3，求△ABC的面积．21．（12分）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，1+=．（1）求A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求函数y=2sin2B﹣2cos B cos C的取值范围；（3）现在给出下列三个条件：①a=1；②2c﹣（+1）b=0；③B=45°，试从中再选择两个条件，以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}为等差数列，a1=2，{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在非零整数λ，使不等式sin＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（3）各项均为正整数的无穷等差数列{c n}，满足c39=a1007，且存在正整数k，使c1，c39，c k 成等比数列，若数列{c n}的公差为d，求d的所有可能取值之和．【参考答案】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．B【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a7+a9=16，a4=2，∴2a1+14d=16，a1+3d=2．解得a1=﹣，d=．则a12═﹣+11×=14．2．A【解析】设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．3．B【解析】∵a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，①∴a1+a2+a3+…+a n+1=3n+1﹣1，②②﹣①得：a n+1=3n+1﹣3n=2×3n，∴a n=2×3n﹣1．当n=1时，a1=31﹣1=2，符合上式，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×9n﹣1，∴=4，=9，∴{}是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==（9n﹣1）．4．C【解析】∵=，=，连∴=λ=λ（+）=λ（+）=λ+λ，∵三点M，N，P共线．∴λ+λ=1，∴λ=，5．C【解析】设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，则由题意知：=5，解得a1=，，解得2n≥311，由29=512，28=256，∴要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为9天．6．A【解析】∵公差不为0的等差数列{a n}的部分项，，，…构成等比数列{}，且k1=1，k2=2，k3=6，∴，即=a1（a1+5d），∴d=3a1．∴等比数列{}为a 1，4a1，16a1，64a1，256a1．∴256a1=a1+（k5﹣1）×3a1，则k5=86．7．B【解析】∵等腰直角△ABO中，设=，=，||=||=1，C为AB上靠近A点的三等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，=，设AB中点为D，则=+，=+．∵⊥，∴•=•（﹣）=0，∴•（﹣）=•（﹣）=（+）•=+=•+0=（+）•（﹣）=﹣+=﹣+0=﹣，8．A【解析】由题意可得•=（﹣）•（﹣）=2﹣•（+）+•．由于MN是一条直径，可得+=，•=﹣1×1=﹣1，要求•的最小值，问题就是求2的最小值，由=λ+（1﹣λ）（λ∈R），可得C在AB线段上，那么C在AB中点时，由三角形AOB为等腰直角三角形，可得AB=，||=最小，此时•的最小值为﹣0﹣1=﹣，9．（5分）（2017春•湖北期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．【解析】∵等差数列前n项和S n=•n2+（a1﹣）n，由S15=15a8＞0，S16=16×＜0可得：a8＞0，a9＜0，d＜0；故Sn最大值为S8．又d＜0，a n递减，前8项中S n递增，故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，即最大．10．B【解析】由题意建立如图所示坐标系．A（3，0），B（﹣1，），设D（x，y），由，可得（x﹣3，y）=λ（﹣4，），即，得D（3﹣4λ，）．由，得﹣4（3﹣4λ）+3λ=0，即．∴D（），则E（），∴，则=．11．D【解析】∵=3，∴=+，设m=，∵=a n+1=（4a n+3），∴m=a n+1，m=﹣（4a n+3）∴a n+1=﹣（4a n+3），∴a n+1+1=4（a n+1），∵a1+1=2，∴{a n+1}是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a n+1=2•4n﹣1，∴a n=2•4n﹣1﹣1．12．A【解析】∵a n+1＞2a n﹣a n﹣1（n＞1．n∈N*），∴a n+1﹣a n＞a n﹣a n﹣1（n＞1，n∈N*）或a n﹣1﹣a n＞a n﹣a n+1（n＞1，n∈N*）．∴数列函数{a n}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，或数列函数{a n}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐减小．对于①，若a2＞a1，则数列函数{a n}为增函数，∴a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立，命题正确；对于②，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于③，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于④，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解析】由a n+1=S n•S n+1，得：S n+1﹣S n=S n•S n+1，即，∴数列{}是以﹣1为首项，以﹣1为公差的等差数列，则，∴．∴当n≥2时，．n=1时上式不成立，∴．故答案为：．14．【解析】如图，延长AB到F，使AF=2AB，连接CF，取CF中点O，连接AO，则+2=2=3，∴，=（），∵=2，∴=（）=；∵∠BAC=，∴=2×3×cos60°=3，∴==﹣+，∴=（﹣+）2=+﹣=，∴||==．故答案为：．15．﹣1【解析】∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴BD=25（）．在△BCD中，由正弦定理得，即，∴sin∠BCD=．∴cosθ=sin（π﹣∠BCD）=sin∠BCD=．故答案为：．16．①②③④⑤【解析】对于①，∵动点P满足=++，∴=+，则点P是△ABC的重心，故①正确；对于②，∵动点P满足=+λ（+）（λ＞0），∴=λ（+）（λ＞0），又+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），∴=λ（+），（λ＞0），过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B=||sin C=AD，=（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），∴=λ（+）（λ＞0），∴•=λ（+）•=λ（||﹣||）=0，∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；对于⑤，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），设=，则=λ（+），由④知（+）•=0，∴•=0，∴⊥，∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．三、解答题（本题共70分）17．解：（1）∵∥，∴a cos A=c cos C，∴sin A cos A=sin C cos C，∴sin2A=sin2C，∴2A=2C或2A+2C=π，∴A=C（舍去）或A+C=，∴B=，Rt△ABC中，tan A=，A=；（2）∵•=3b sin B，∴a cos C+c cos A=3b sin B，由正弦定理可得sin A cos C+sin C cos A=3sin2B，∴sin（A+C）=3sin2B，∴sin B=，∵cos A=，∴sin A=，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴cos B=，∴cos C=﹣cos（A+B）=﹣×+=．18．（1）证明：由a n+1=S n，得，整理得：nS n+1=3（n+1）S n，∴，又，∴数列{}是以1为首项，以3为公比的等比数列；（2）解：由（1），得，即．∴，，两式作差可得：=．∴．19．解：（1）∵5+4+3=，即4+3=﹣5，两边平方，可得：4R2+9R2+24=25R2得24•=0即||•||cos∠BOC=0，∴cos∠BOC=0．（2）∵•=•，∴•（）=•（），即可得：﹣R2cos2A+R2cos2B=﹣R2cos2C+R2cos2A∴2cos2A=cos2C+cos2B，即2（1﹣2sin2A）=2﹣（2sin2B+2sin2C），2sin2A=﹣sin2B+sin2C，可得2a2=﹣b2+c2，那么：=2．20．解：（1）=+=2﹣，=+=﹣+2；（2）•==15，||=3|﹣|=3，∴|﹣|=，∴=33，∴=（2﹣）•（﹣+2）=9，∴||||==18，∴S△ABC==．21．解：（1）由题意得，1+=，由正弦定理得，1+==，∴cos A=，∴A=；（2）因为A+B+C=π，A=，所以B+C=，则y=2sin2B﹣2cos B cos C=1﹣cos2B﹣2sin B cos（﹣B）=﹣sin（2B+）又△ABC为锐角三角形，则＜B＜，∴＜2B+＜，所以sin（2B+）∈（﹣，1），所以y∈（，2）；（3）方案一：选择①②，可确定△A BC，因为A=60°，a=1，2c﹣（+1）b=0，由余弦定理得：，整理得：b2=，b=，c=，所以S△ABC==方案二：选择①③，可确定△ABC，因为A=60°，B=45°，则C=75°，由正弦定理b==，所以S△ABC==．22．解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3，分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得或．经检验d=q=2符合题意，不合题意，舍去．∴a n=2n，；（2）由a n=2n，得sin，设，则不等式sin＜等价于，∵b n＞0，且，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式对一切n∈N*都成立，则①当n=4m+4和n=4m+2，m∈N时，sin，不等式恒成立；②当n=4m+1，m∈N时，sin，λ＜；③当n=4m+3，m∈N时，sin，．综上，λ∈（），由λ是非0整数，可知存在λ=1（﹣1不满足题意，舍）满足条件；（3）由题意可知，d=0时成立；当d＞0时，c39=c1+38d=2014，得c1=2014﹣38d．c k=c39+（k﹣39）d=2014+（k﹣39）d，由，得（2014﹣38d）[2014+（k﹣39）d]=20142，得k===∈N*．又∵，0＜53﹣d＜53．∴53﹣d=1，2，19，53，则d=0，52，51，34，∴公差d的所有可能取值之和为137．。
2016-2017年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一(下)期中数学试卷和答案
B．周期为 2π 的偶函数 D．周期为 π 的偶函数 ）
10． （5 分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（
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A． C．
B． D． （ D．2 ，记△ABP，△BCP， ） D．3：1：2 ）
11． （5 分） （1+tan21°） （1+tan22°） （1+tan23°） （1+tan24°） 的值是 A．16 B．8 C．4
12． （5 分）已知 P 为△ABC 内一点，且满足 △ACP 的面积依次为 S1，S2，S3，则 S1：S2：S3 等于（ A．1：2：3 B．1：4：9 C．2：3：1
二、填空题． （每题 5 分，共 20 分） 13 ． （ 5 分）已知向量 为 ． ，且 + ≤θ≤ 的结果是 ，则 cos2θ 的值是 ． ， ． 满足 ， ， ，则 与 的夹角
B．公差为 5 的等差数列 D．公差为 n 的等差数列 ，A=30°，则 B 等于（ C．30°或 150° ） D．120° ）项． D．335 ，则实数 m 等于（ D．0 ） D． ） ）
B．60°或 120°
3． （5 分）2005 是数列 7，13，19，25，31，…，中的第（ A．332 B．333 C．334
（n≥3） ， 则 a5 等于 （ D．5
）
8． （5 分）如果等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，那么 a3+a4+…+a9 等于（ A．21 B．30 +x）sin（ C．35 ﹣x）是（ ） D．40
）
9． （5 分）函数 f（x）=sin（ A．周期为 2π 的奇函数 C．周期为 π 的奇函数
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湖北省宜昌市葛洲坝中学2016-2017学年高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．72°cos18°+cos72°18°的值为（）A．1 B．C．﹣D．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或3．要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位4．设向量=（cosα，）的模为，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．设向量=（﹣1，2），=（m，1），如果向量与2平行，那么与的数量积等于（）A．B．C．D．6．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log357．已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n，则S2017=（）A．B．C．D．8．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．9．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，如果有性质a cos A=b cos B，这个三角形的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形11．在等差数列{a n}中，其前n项和是S n，若S15＞0，S16＜0，则在，，…，中最大的是（）A．B．C．D．12．在△ABC中，边AC长为，|+|=2，D是BC边上的点，且=2，•=0，则cos∠BAC=（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分）13．等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a n=．14．等差数列{a n}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为．15．已知△ABC的一内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC的面积为．16．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形…，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为，则最小正方形的边长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数的最大值为1．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）=0成立的x的取值集合．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B=b sin A．（1）求B；（2）已知cos A=，求sin C的值．19．一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行（2﹣2）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．（1）求AC的长；（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小？20．S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．21．已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}满足a n b n+1﹣a n+1b n﹣2a n+1a n=0．（1）令，求证数列{c n}为等差数列；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．22．已知数列{a n}中，a2=2，前n项和为．（I）证明数列{a n+1﹣a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（II）设，数列{b n}的前n项和为T n，求使不等式对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A【解析】由sin72°cos18°+cos72°sin18°=sin（72°+18°）=sin90°=1．2．A【解析】∵，∴根据余弦定理得cos B=，即，∴，又在△中所以B为．3．C【解析】因为函数y=cos（2x+1）=cos[2（x+）]，所以要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象向左平移个单位．4．D【解析】∵||==，∴cos2α=．∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣．5．D【解析】∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1，2）+2（m，1）=（2m﹣1，4），2=2（﹣1，2）﹣（m，1）=（﹣2﹣m，3）．由向量与2平行，得3×（2m﹣1）﹣4（﹣2﹣m）=0，解得：．∴=（，1），∴．6．B【解析】∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=107．B【解析】函数f（x）=x a的图象过点（4，2），可得4a=2，解得a=，f（x）=x，则==﹣，则S2017=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1．8．A【解析】设AB=x，则在Rt△ABC中，CB=∴BD=a+∵在Rt△ABD中，BD=∴a+=，求得x=9．A【解析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）；∵把100个面包分给5个人，∴（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，得a=20，∵使较大的三份之和的是较小的两份之和，∴（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d），化简得24d=11a，∴d==，所以最小的1分为a﹣2d=20﹣2×=，10．C【解析】∵a cos A=b cos B，∴a×=b×，∴化为：（a2+b2﹣c2）（a+b）（a﹣b）=0，∴解得a=b，或a2+b2=c2．∴该三角形是等腰或直角三角形．11．B【解析】由于S15==15a8＞0，S16==8（a8+a9）＜0，所以可得a8＞0，a9＜0．这样＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，而S1＜S2＜…＜S8，a1＞a2＞…＞a8，所以在，，…，中最大的是．12．D【解析】△ABC中，设E为边AB的中点，∵，∴CE=．D是BC边上的点，且，，∴AD⊥BC．设DC=x，则BD=2x．设AE=EB=y，由中线长定理可得：+（3x）2=2y2+2×，化为9x2﹣2y2=5．由勾股定理可得：4y2﹣4x2=，化为：3x2+5=4y2．联立解得：x=1，y=．AB=2，BC=3．则cos∠BAC==．二、填空题（每题5分，满分20分）13．24﹣n【解析】∵等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，∴，解得，∴a n=8×（）n﹣1=24﹣n．故答案是：24﹣n．14．60【解析】设S n是等差数列{a n}的前n项和，所以S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m成等差数列，即30、S2m﹣30、90﹣S2m成等差数列，所以2（S2m﹣30）=30+90﹣S2m，解得S2m=60，故答案为：60．15．【解析】设三角形的三边分别为x﹣2，x，x+2，则cos120°==﹣，解得x=5，所以三角形的三边分别为：3，5，7则△ABC的面积S=×3×5sin120°=．故答案为：．16．【解析】由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n﹣1=1023，∴n=10∴最小正方形的边长为故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．解（1）∵函数=sin x cos+cos x sin+sin x cos﹣cos x sin+cos x+a=2sin x cos+cos x+a=sin x+cos x+a=2sin（x+）+a的最大值为2+a=1，∴a=﹣1．（2）由f（x）=0成立，可得2sin（x+）﹣1=0，即sin（x+）=，∴x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，即x=2kπ，或x=2kπ+，k∈Z故x的取值的集合为{x|x=2kπ，或x=2kπ+，k∈Z }．18．解（1）∵a sin2B=b sin A，∴2sin A sin B cos B=sin B sin A，∴cos B=，B=．（2）∵cos A=，∴sin A=，∴sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B==．19．解由题意，在△ABC中，∠ABC=180°﹣75°+15°=120°，AB=2﹣2，BC=4，根据余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cos∠ABC=（2﹣2）2+42+（2﹣2）×4=24，所以AC=2．根据正弦定理得，sin∠BAC==，∴∠CAB=45°．20．解（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lg n]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．21．解（1）∵a n b n+1﹣a n+1b n﹣2b n+1b n=0，∴．∵c n=，∴c n+1﹣c n=2，∵首项是1的两个数列{a n}，{b n}，∴数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（2）∵b n=3n﹣1，c n═，∴a n=（2n﹣1）•3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，∴﹣2S n=1+2•（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n，∴S n=（n﹣1）3n+122．解（I）由题意，当．a2=2，则a2﹣a1=1．当，，则，则（n﹣1）a n+1﹣2（n﹣1）a n+（n﹣1）a n﹣1=0，即a n+1﹣2a n+a n﹣1=0，即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1．则数列{a n+1﹣a n}是首项为1，公差为0的等差数列．…从而a n﹣a n﹣1=1，则数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．所以，a n=n（n∈N*）…（II）…所以，=．…由于．因此T n单调递增，故T n的最小值为…令，所以k的最大值为18．…。