高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课件 新人教A版选修4-5

a2 a
ab
ab 2 abba.
【拓展提升】比较法证明不等式的方法与步骤 1.作差比较法 (1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出 结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常 用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等. (2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比 较法.
第二节 证明不等式的基本方法、数学 归纳法证明不等式
1.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
理论依 据
适用类 型
作差比较法 a>b⇔_a_-_b_>_0_ a<b⇔_a_-_b_<_0_ a=b⇔_a_-_b_=_0_
作商比较法 b>0, a >1⇒a>b
b
b<0, a >1⇒a<b
(5)数学归纳法的第一步n的初始值一定为1.( )
【解析】(1)错误.若x-y<0，则有x+2y<x-y.
(2)正确.∵a>b>-1,∴a+1>b+1>0, 1 1 .
a 1 b 1
(3)错误.
b1b a1 a
a∵aba>b1a>, 0,∴a-b<0,
a(a+1)>0,b1b,st.
a1 a
(4)错误.该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好
【互动探究】在本例(2)的条件下，证明
ab
ab 2
abba.
【证明】
abba
ab
ab 2
ba ab
a 2 b 2
(b)a2b， a
当a=b时，( b
)
a
2
b
＝
1；
a
当a＞b＞0时，0＜ b＜ 1， ab＞ 0， (b)a 2b＜ 1;
a2 a
当b＞a＞0时，b＞ 1， ab＜ 0， (b)a 2b＜ 1，
(2)数学归纳法的基本过程
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若 x 2 y 1,则x+2y>x-y.( )
xy
(2)已知a>b>-1,则 1 1 . ( )
a 1 b1
(3)设 t b,s b1 (b>a>0)，则s≥t.( )
a a 1
(4)证明 10831可用比较法证明.( )
a
b
a2b.来自【思路点拨】(1)不等式两端均为多项式且次数相同时可考虑
用作差法证明.
(2)不等式两端为幂指数型的不等式可考虑用作商比较法证明.
【规范解答】(1)ab2+bc2+ca2-(a2b+b2c+c2a) =a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2+b2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2)+b(b2-a2)+c(a2-b2) =(c2-b2)(b-a)+(b2-a2)(b-c) =(b-a)(c-b)［c+b-(b+a)］ =(b-a)(c-b)(c-a). ∵c>b>a,∴b-a>0,c-b>0,c-a>0, ∴ab2+bc2+ca2>a2b+b2c+c2a, 即a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.
3.反证法 (1)假设要证的命题_不__成__立__，以此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和 _命__题__的__条__件__(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾 的结论，以说明假设不正确，从而证明_原__命__题__成__立__，我们把它 称为反证法. (2)证明步骤：反设→归谬→肯定原结论.
2.作商比较法 (1)作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1的大小关 系,得出结论. (2)利用作商比较法时，要注意分母的符号. 【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明， 另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时， 也常用作商比较法.
【变式备选】已知p，q均为正数，且p+q=1,试证明 (px+qy)2≤px2+qy2. 【证明】(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy ∵p+q=1,∴p-1=-q,q-1=-p. 故(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy) =-pq(x-y)2. 由于p,q为正数，故-pq(x-y)2≤0, 故(px+qy)2≤px2+qy2, 当且仅当x=y时，不等式中等号成立.
(2)分析法 证明命题时，从__要__证__的__结_论__出发，逐步寻求使它成立的__充__分_ _条__件__，直至所需条件为_已__知__条__件__或_一__个__明__显__成__立__的__事__实__(定 义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题 成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考 和证明方法.
(2)
aabb
ab
ab 2
ab ba
a 2 b 2
(a)a2b， b
当a=b时，( a
ab
)2
1.
b
当a＞b＞0时，a b＞ 1， a 2b＞ 0， 则 (a b)a 2b＞ 1.
当b＞a＞0时，0＜ a＜ 1， ab＜ 0， 则 (a)a 2b＞ 1.
b2
b
ab
综上可知，当a,b∈(0，+∞)时，aabb≥ a b 成2 立.
b
适用于_具__有__多__项__式__
主要适用于积、商、幂、 对数、根式形式的不等
特征的不等式的证明 式证明
2.综合法和分析法 (1)综合法 一般地，从_已__知__条__件__出发，利用_定__义__、公理、_定__理__、性质 等，经过一系列的_推__理__、_论__证__而得出命题成立，这种证明 方法叫做综合法.综合法又叫_顺__推__证__法__或由因导果法.
用分析法.
(5)错误.数学归纳法中的第一步n的初始值不一定为1，如证明
n边形的内角和为(n-2)·180°,第1个值n0=3. 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
考向 1 比较法证明不等式
【典例1】(1)设c>b>a,证明：a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.
(2)当a,b∈(0,+∞)时，aabb≥
4.放缩法 (1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_放__大__或 _缩__小__，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法 称为放缩法. (2)理论依据a＞b,b＞c⇒a_＞__c.
5.数学归纳法 (1)数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整 数n都成立时，可以用以下两个步骤： ①证明当_n_=_n_0 时命题成立； ②假设当_n_=_k_(_k_∈__N_+_,_且__k_≥__n_0)_时命题成立，证明_n_=_k_+_1_时命题 也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有 正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.