上海师范大学附属中学2018-2019年下学期高三质量检测试卷数学试题(含答案)

上海师范大学附属中学2018-2019年下学期高三数学质量检测试卷2019.4.1一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1、已知函数2()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= -2 ．2、若复数z 满足014=-zz ,则z 的值为 )1,1(-3、执行如图所示的程序框图，若输入1n =的，则输出S = 3log 19S = ．4、若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_____20____. 5、将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 24 ． 6、已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2226tan 5b c a acB -+=， 则sin B 的值是537、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n a n 2 .8、若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ： ①{},{},{},{,,}a c a b c τ=∅； ②{},{},{},{,},{,,}b c b c a b c τ=∅；③{},{},{,},{,}a a b a c τ=∅； ④{},{,},{,},{},{,,}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ②④ ．（写出所有集合X 上的拓扑的集合τ的序号）9、（松江区2018高三上期末）已定义,(,),a a b F a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数(),()f x g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是 ②③④ ．（写出所有真命题的序号 ） ① 若(),()f x g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数． ② 若(),()f x g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数． ③ 若(),()f x g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数． ④ 若(),()f x g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数．10、矩阵1211222232332123i n i n i n n ninn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则2lim 2n nn Sn →∞=⋅13． 11、对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 512π12、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,12+=n n n a a S （*N ∈n ），若112)1(++-=n n nn a a n b ,则数列}{n b的前n 项和=n T _____1)1(1+-+-n n 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++-为偶数，为奇数n n nn n n ,1,12 _______.二、选择题（每题5分，共20分）13、已知函数()()f x x R ∈满足()(4)f x f x =-，若函数2|41|y x x =-+与()y f x =图象的交点为112233(,),(,),(,),,(,),n n x y x y x y x y 则1ni i x ==∑（A ）0 (B)n (C) 2n (D)4n14、关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21aa 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21aa 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 15、在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ CCC ）.A 12 .B 13C 、 14 .D 1816、若0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为A. p q <B. p q ≤C. p q >D. p q ≥三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知直三棱柱111A B C ABC -中，11AB AC AA ===，90BAC ︒∠=. （1）求异面直线1A B 与11B C 所成角； （2）求点1B 到平面1A BC 的距离.18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 设数列{}{}n n a b ，及函数f x ()（x R ∈），n n b f a ()=（n N *∈）． （1）若等比数列{}n a 满足a a 1213==，，f x x ()2=，求数列{}n n b b 1+的前n （n N *∈）项和； （2）已知等差数列{}n a 满足x a a f x q 1224()(1)λ===+，，（q λ、均为常数，q 0>，且q 1≠），n n c n b b b 123()=+++++L （n N *∈）．试求实数对q ()λ，，使得{}n c 成等比数列．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．(1)求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM △面积S 的最大值．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分， 如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?21．（本题满分18分）第1小题满分分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，如果存在函数()x g t =，使得函数()y f g t =⎡⎤⎣⎦的值域仍是A ，那么称()x g t =是函数()y f x =的一个等值域变换．（1）判断下列函数()x g t =是不是函数()y f x =的一个等值域变换？说明你的理由；① ()2log ,0f x x x =>，()1,0x g t t t t==+>；② ()21,f x x x x R =-+∈，()2,t x g t t R ==∈．（2）设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，函数()g t 的定义域为1D ，值域为1A ，那么“1D A =”是否为“()x g t =是()y f x =的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；（3）设()2log f x x =的定义域为[]2,8x ∈，已知()2231mt t nx g t t -+==+是()y f x =的一个等值域变换，且函数()y f g t =⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，求实数m n 、的值．参考答案选择填空见题目（红色标注物即答案） 17、解：（1）异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．（2）点1B 到平面BC A 1的距离为3318、解：（1）由已知可得n n a 13-=（n N *∈），故n n b 123-=⋅（n N *∈），所以n n b b 1+n 2143-=⋅（n N *∈），从而{}n n b b 1+是以12为首项，9为公比的等比数列，故数列{}n n b b 1+的前n 项和为n3(91)2-（n N *∈）． （2）依题意得n a n 2=（n N *∈），所以n b n q 2(1)λ=+（n N *∈），故n c n q q n q q q 222223(1)11λλλ=+++---（n N *∈），令q q 2230110λλ⎧+=⎪-⎨⎪+=⎩，解得q 12λ=-⎧⎪⎨=⎪⎩（q 0=<舍去），因此，存在q ()(1λ=-，，使得数列{}n c 成等比数列，且n n c 33()4=⋅（n N *∈）． 19、（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分（2）（理）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =， 点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④，所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++（3）（理）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第(2)小题的③④代入，整理得：2322514S k =⋅+因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t =≥，23249tS t =+32(2)94t t t=≥+ 92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425．20、解：（1）由题设可知50A =，60b =，又23T πω==，所以23ωπ=， 从而250sin()603y t πϕ=++， 再由题设知0t =时10y =，代入250sin()603y t πϕ=++，得sin 1ϕ=-，从而2πϕ=-，因此，26050cos,(0)3y t t π=->. （2）要使点P 距离地面超过85米，则有26050cos 853y t π=->， 即21cos32t π<- ，又202,(0)3t t ππ<<>解得224,(0)333t t πππ<<>， 即12t <<所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85米的时间有1分钟.21.（1）①不是②()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，当t ∈R 时，()21332244t f g t ⎛⎫=-+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()y f g t =⎡⎤⎣⎦的值域仍为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以()x g t = 是()f x 的一个等值域变换. （2）不必要性的反例：()[)2,,0,x x D B f ===∞+R()()1121,,1,t g t D B =-==-+∞R此时1B D ⊂，但()()221tf g t =-⎡⎤⎣⎦的值域仍为[)0,B =+∞，即()()21t g t x =-∈R 是()()2f x x x =∈R 的一个等值域变换.（反例不唯一）（3）()2log f x x =定义域为[]2,8，因为()x g t =是()f x 的一个等值域变换，且函数()f g t ⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，所以()22,13t mt x g t t t n +==+-∈R 的值域为[]2,8，()()22222328213811mt t n t mt t n t t -+≤≤⇔+≤-+≤++， 所以，恒有()()()()12289422094880m m n m n ⎧<<⎪∆=---=⎨⎪∆=---=⎩，解得55m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.。