专升本 概率论初步 第二节 古典概型及概率的定义和性质
古典概型的定义
古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。
所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。
具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。
以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。
古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。
1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。
比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。
比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。
3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。
在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。
所有的基本事件发生
概率之和为1。
应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。
比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。
总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。
通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。
概率论基础：定义与原理
概率论基础：定义与原理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性和统计规律性。
在现代科学和工程技术中有着广泛的应用。
概率论的基础是概率的定义和概率的基本原理。
本文将介绍概率论的基础知识，包括概率的定义、概率的性质、概率的基本原理等内容。
一、概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
在数学上，概率可以用数值来表示，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的定义有两种常见的方式：古典概率和统计概率。
1. 古典概率古典概率是指在一定条件下，根据事件的可能性来确定概率。
例如，掷骰子时，每个点数出现的可能性相同，因此每个点数出现的概率为1/6。
古典概率的计算方法简单直观，适用于有限个元素的样本空间。
2. 统计概率统计概率是指通过大量实验数据来确定事件发生的概率。
例如，抛硬币时正面朝上的概率为0.5，是通过多次实验统计得出的结果。
统计概率是基于频率的概率，当实验次数足够多时，频率会逼近概率。
二、概率的性质概率具有一些基本性质，包括：1. 非负性：对任意事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1。
2. 必然事件：对于必然事件Ω，有P(Ω) = 1。
3. 不可能事件：对于不可能事件∅，有P(∅) = 0。
4. 互斥事件：对于互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
5. 对立事件：对于对立事件A和A'，有P(A) + P(A') = 1。
三、概率的基本原理概率的基本原理包括加法法则和乘法法则。
1. 加法法则加法法则适用于互斥事件，即事件A和事件B不可能同时发生。
对于互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2. 乘法法则乘法法则适用于独立事件，即事件A的发生不影响事件B的发生。
对于独立事件A和B，有P(A∩B) = P(A) * P(B)。
四、概率的计算方法在实际问题中，可以通过古典概率和统计概率来计算概率。
对于古典概率，可以根据事件的可能性来确定概率；对于统计概率，可以通过大量实验数据来估计概率。
古典概型的特征与概率计算公式
古典概型的特征与概率计算公式古典概型是概率论中最基本的概型之一，它的特点是每个事件的可能性相等。
在古典概型中，我们可以通过计算样本空间和事件空间的大小来计算事件发生的概率。
1.等可能性：在古典概型中，每个事件的发生概率都是相等的。
2.有限性：古典概型中的样本空间是有限的，即所有可能的结果有限个。
3.独立性：古典概型中的事件之间是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生概率。
根据这些特征，我们可以通过以下公式计算古典概型中事件的概率：1.概率的定义：事件A的概率P(A)定义为事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有可能结果发生的总可能性的比值。
即：P(A)=N(A)/N(Ω)，其中N(A)表示事件A的结果数目，N(Ω)表示样本空间Ω中所有可能结果的数目。
2.互斥事件：如果两个事件A和B是互斥的（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和为各自概率的和。
即：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.相互独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的（即A的发生不会影响B的发生概率），则它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
4.补事件：事件A的对立事件为A的补事件，记作A'。
补事件是指样本空间中不属于事件A的结果。
事件A的发生与A'的不发生是互斥的。
因此，P(A')=1-P(A)。
5.复合事件：如果事件A和B是两个独立事件，则同时发生的概率为两个事件的概率乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
通过以上公式，我们可以计算古典概型中事件的概率。
需要注意的是，在应用这些公式时，必须满足古典概型的特征，即事件是等可能发生的、样本空间是有限的，并且各事件之间是相互独立的。
古典概型定义及公式
古典概型定义及公式好的，以下是为您生成的文章：咱今儿就来唠唠古典概型，这玩意儿在咱数学里头可是挺重要的角儿。
话说我之前教过一个学生，叫小李。
这小李啊，平时看着挺机灵，但一碰到古典概型的问题，就跟那霜打的茄子——蔫儿了。
有一次课堂测验，有道题是这样的：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这小李可好，抓耳挠腮半天，愣是没整明白。
咱先来说说古典概型的定义哈。
简单来讲，古典概型就是那种试验结果有限，而且每个结果出现的可能性相等的概率模型。
比如说掷骰子，骰子就六个面，1 点到 6 点，每次掷出的结果就那么几种，而且出现每个点数的可能性都一样，这就是典型的古典概型。
再比如抽奖，假设箱子里有 100 张奖券，其中 10 张有奖，你随机抽一张，这也是古典概型。
为啥呢？因为结果就那么 100 种，而且每张奖券被抽到的机会均等。
那古典概型的公式是啥呢？就是P(A) = n(A) / n(Ω) 。
这里的 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 表示样本空间Ω包含的基本事件总数。
还是拿前面说的盒子里取球的例子来说。
总共有 8 个球，取出红球这个事件 A 包含 5 个基本事件（也就是 5 个红球），样本空间Ω包含的基本事件总数是 8 个球，所以取出红球的概率 P(取出红球) = 5 / 8 。
咱再举个例子，抛硬币。
抛一次硬币，结果不是正面就是反面，这就是有限的结果，而且出现正面和反面的可能性相等。
假设我们关心的事件 A 是抛出正面，那 n(A) 就是 1 ，n(Ω) 就是 2 ，所以抛出正面的概率 P(抛出正面) = 1 / 2 。
我后来给小李单独辅导的时候，就拿这些例子反复跟他讲。
我让他自己动手多做几道类似的题目，慢慢地，小李好像开了窍。
其实啊，古典概型在生活中也挺常见的。
像买彩票，虽然中奖概率低得可怜，但从概率的角度来看，也能算是古典概型。
概率的基本概念与性质总结
概率的基本概念与性质总结概率是数学中一个重要的分支，用于描述随机事件发生的可能性。
通过对概率的研究，我们可以预测和解释各种自然和人为现象。
本文将总结概率的基本概念与性质，并探讨其在实际应用中的作用。
一、概率的基本概念1. 随机试验：指具有以下特点的试验，它的结果不确定，并且在相同条件下可以重复进行。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
样本空间是随机试验的基本范围。
3. 事件：样本空间的子集称为事件，用A、B、C等表示。
事件是我们关注的实际结果。
4. 几何概率：指试验中一件事件发生的概率，用P(A)表示，其中P 代表概率，A为事件。
二、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 规范性：对于样本空间S，有P(S)=1。
3. 可列可加性：对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4. 对立性：事件A的对立事件（即A不发生）为A'，有P(A)+P(A')=1。
三、概率的计算方法1. 古典概型：指样本空间有限且所有结果发生的可能性相等的情况。
例如，掷硬币的结果只有正面和反面，概率为1/2。
2. 几何概型：指试验结果具有一定几何形状的情况。
例如，从半径为1的圆盘中等概率随机选择一点落在圆内的概率为π/4。
3. 统计概型：指通过统计方法估计概率的情况。
根据大数定律，当试验次数足够多时，试验结果逼近真实概率。
四、概率的应用1. 风险管理：概率的研究可以帮助我们评估和管理风险。
例如，在保险业中，根据历史数据和概率模型，可以预测保险事故的发生概率，从而制定相应的保险费率和赔偿政策。
2. 统计推断：概率在统计学中起到重要的作用。
通过对样本数据的统计分析，可以推断出总体的特征和参数，进而做出科学的决策和预测。
3. 金融市场：概率的研究对于金融市场的投资决策具有重要意义。
通过对市场行情的分析和模拟，可以评估不同投资策略的预期收益和风险，并制定相应的交易策略。
2概率定义 性质 古典概率
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类似例 7的问题：抽签的公平性 一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券 5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取. “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
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人们在长期的实践中总结得到概率论中的一个重要
原理——实际推断原理（小概率事件原理）：
概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的。 注:1)用该原理可以对某些命题（或假设)是否正确做出 判断。 2)若某事件在一次试验中居然发生了, 件不是小概率事件 则可怀疑该事
3）一般的，若P(A) 不大于0.1(也有人说不大于0.05) ,则可认为A为小概率事件.
有4 4 16种.
1 1 A所包含的样本点数为C2 C3 6，所以: P( A) 6/16 3/8
B所包含的样本点数为C C 2，所以: P(B) 2/16 1/8
1 2 1 1
例2 把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰好排 成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？ 将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一 解： 个基本事件，共有放法4！种。 把书恰好排成序有两种放法。 2 所以，所求概率为 p 0.0833 4!
（概率的可减性）
A
B S
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A S
A
B S
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B
A S
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1.2概率的定义+古典概型
概率的定义概率是随机事件发生的可能性大小的数字表征，即概率是事件的“函数”。
提问：Mapping:映射：对一。
函数。
数集到数集之间的映射，n R 到n R 。
泛函：函数—>数，⎰1)(dx x f 。
一、 概率的古典定义：（1）有限性：（2）等可能性 定义： nmS N A N A P ===个数样本空间包含的样本点包含的样本点个数事件A )()()(为随机事件A 的概率． 此提醒考虑2个问题：样本空间是什么，如何表达事件A ？ Eg ：算卦，阴（六）阳（九）问题。
星座之类。
非古典概型：（破坏等可能性）一个袋子10个球，6红，4白。
红色可能性大，一定就是红色？可能性不等于现实性。
S={红，白}。
摸2个球呢？3个球呢？ （破坏有限性）：0-1之间的随机发生数。
因此，古典概率应用范围太窄了。
数数，不容易。
二、 概率的统计化定义：定义： 在相同的条件下，进行了n 次试验， （A 独立重复试验n 次）在这n 次试验中，事件 A 发生的次数A n 称为事件 A 发生的频数，比值n n A /称为事件A 发生的频率，记作 nn A f An =)( 。
频率具有下述性质：（1）对任一事件A ，有 1)(0≤≤A f n ； （2）对必然事件Ω，有 1)(=Ωn f ；（3）若n A A A A .......321两两互斥，则频率的稳定性：随机事件A 在相同条件下重复多次时，事件A 发生的频率在一个固定的数值p 附近摆动，随试验次数的增加更加明显。
事件A 的频率稳定在数值p ，说明了数值p 可以用来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A 的概率。
即当n 趋于无穷时，)(A f n 在某值附近，则称该值为事件A 发生的概率，英文中，空格使用频率最多0.2。
然后如书上面描述的…….《福尔摩斯—跳舞的人》。
又一个例子：英国人算圆周率到707位，死后刻于墓碑之上，后有法国人发现7出现的频率低了，于是重算，发现527位之后全部是错的，重新计算后发现0-9每个数都是差不多1/10的概率。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。
接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。
三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。
四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。
3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。
五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。
2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。
3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。
4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。
六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。
2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型。
它是指在所有可能的结果中，每个结果的概率相等的模型。
本文将总结古典概型的相关知识点，并探讨其应用场景和注意事项。
一、基础定义1. 古典概型的定义古典概型是指在所有可能的结果中，每个结果的概率相等的模型。
例如，掷一次骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
2. 样本空间样本空间是指古典概型中所有可能结果的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
3. 事件事件是样本空间的子集，表示发生某种结果的可能性。
例如，掷一枚硬币出现正面的事件为{正面}。
4. 概率概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用小数表示，取值范围在0到1之间。
在古典概型中，概率可以用公式“事件发生的次数÷样本空间中总的可能结果数”来计算。
二、应用场景古典概型主要应用于以下场景：1. 骰子、硬币等随机游戏例如，掷骰子、抛硬币等游戏中，每个结果的概率都相等，符合古典概型的条件。
2. 假设检验在做假设检验时，常常需要确定某种情况下出现某种结果的概率。
如果符合古典概型条件，可以直接根据概率公式计算概率。
3. 统计学在统计学中，古典概型被广泛应用于概率分布的研究与推导。
三、注意事项在使用古典概型时，需要注意以下事项：1. 每个结果的概率相等古典概型中的最重要条件是每个结果的概率相等。
如果存在某些结果概率不等的情况，就不能使用古典概型进行概率计算了。
2. 互斥事件在计算概率时，需要注意事件之间是否互斥。
如果两个事件不互斥，那么它们的概率应该加在一起。
3. 独立事件在计算概率时，需要注意事件之间是否独立。
如果两个事件是独立的，那么它们的概率应该相乘。
四、结论古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型，应用范围广泛。
在使用古典概型进行概率计算时，需要注意每个结果的概率相等、事件之间是否互斥、事件之间是否独立等问题，才能准确计算概率，避免出现错误的结果。
概率的概念古典概型几何概型概率的公理化定义
概率的性质
性质1 P() 0
注意事项
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可 能发生。
性质2 P(Ā)=1- P(A) 证：因为 A∪Ā=Ω 且 A∩Ā=Φ 由定义中的规范性知 P(A∪Ā)=P(Ω)=1 又由完全可加性知 P(A∪Ā)= P(Ā)+P(A)=1 所以 P(Ā)=1- P(A)
• 概率的概念 • 古典概型 • 几何概型 • 概率的公理化定义
第一节 概率的概念
尽管随机事件有随机性，但在一次试验中 发生的可能性大小是客观存在的，而且是可以 度量的。
随机事件的频率Frequency
随机试验
抛掷一枚均匀的硬币
试验总次数n
将硬币抛掷n次
随机事件
A=“出现正面”
事件A出现次数m 出现正面m次
特点 有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
P( A)
A 的几何度量 S的几何度量
L( A) L(S )
几何度量--------指长度、面积或体积
几何概型的计算
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。
古典概率的计算：正品率和次品率
设在100 件产品中，有 4 件次品，其余均为正 品．
这批产品的次品率
n＝ 100
mA＝4
任取3件，全是正品的概率
P( A) 4 0.04 100