2012高考数学理专题突破课件第一部分专题四第一讲：空间几何体
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2012高考数学一轮复习--空间几何体的体积、表面积 ppt
2
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5 、1 ，求长方体的 外接球的体积。 2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两
变式练习
互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。
沿对角面截得：
A
A
C
O
A1
O C
C1
P
B
3、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 ，求棱锥的全面积和 它的内切球的表面积。 解法： 设球的半径为 r，
B
D
E
C
求多面体的体积时常用的方法
1、直接法 2、割补法
根据条件直接用柱体或锥体的体积公式！ 若一个多面体的体积直接用体积公式计 算困难，可将其分割成易求体积的几何 体，逐块求积，然后求和！ 若一个三棱锥的体积直接用体积公式计算 困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这 三棱锥的底面面积和高都是容易求得！
A
74
80
C1
3
B
CB1
球与多面体的接、切问题
球与多面体的接、切问题
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
h
l母 线 长
r
棱、锥、台、球的侧面积
（2）圆 锥
1 S圆锥侧 cl rl (c为底面周长， 2 l r为底面半径，l为圆锥的母线)
h
l母 线 长
r
棱、锥、台、球的侧面积
（3）球
S球面 4 R ( R为球的半径)
2
R球 半 径
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5 、1 ，求长方体的 外接球的体积。 2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两
变式练习
互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。
沿对角面截得：
A
A
C
O
A1
O C
C1
P
B
3、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 ，求棱锥的全面积和 它的内切球的表面积。 解法： 设球的半径为 r，
B
D
E
C
求多面体的体积时常用的方法
1、直接法 2、割补法
根据条件直接用柱体或锥体的体积公式！ 若一个多面体的体积直接用体积公式计 算困难，可将其分割成易求体积的几何 体，逐块求积，然后求和！ 若一个三棱锥的体积直接用体积公式计算 困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这 三棱锥的底面面积和高都是容易求得！
A
74
80
C1
3
B
CB1
球与多面体的接、切问题
球与多面体的接、切问题
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
h
l母 线 长
r
棱、锥、台、球的侧面积
（2）圆 锥
1 S圆锥侧 cl rl (c为底面周长， 2 l r为底面半径，l为圆锥的母线)
h
l母 线 长
r
棱、锥、台、球的侧面积
（3）球
S球面 4 R ( R为球的半径)
2
R球 半 径
2012高考数学理专题突破课件第一部分专题四第三讲：空间向量与立体几何
3p－1＝0 得 px＋q－1＝0
，
即
x q＝1－ 3
→ → → ∴A1C1＝(－1,1,0)， ＝(－2,2,0)， 1B1＝(1,1,0)， AC D → → → → → DB＝(2,2,0)，∴AC＝2A1C1，DB＝2D1B1， → → → → ∴AC与A1C1平行，DB与D1B1平行， 即 A1C1 与 AC 共面，B1D1 与 BD 共面． → → (2)∵DD1· ＝(0,0,2)· AC (－2,2,0)＝0， → → DB· ＝(2,2,0)· AC (－2,2,0)＝0， → → → → ∴DD1⊥AC，DB⊥AC，
n1·→ ＝a＋c＝0， A1B 则 1 → A n1· 1D ＝b＋2c＝0， 1，1 ，－1. 令 c＝－1，则 n1＝ 2
1 → ∵n1· 1P＝1×(－1)＋ ×2＋(－1) ×0＝0， B 2 ∴PB1∥平面 BDA1. (2) 由 (1) 知 ， 平 面 BDA1 的 一 个 法 向 量 n1 ＝ 1，1 ，－1. 2 又 n2＝(1，0，0)为平面 AA1D 的一个法向量， n1·2 n 1 2 ∴cos〈n1，n2〉＝ ＝ ＝ . 3 3 |n1|· 2| |n 1× 2 2 故二面角 A- 1D- 的平面角的余弦值为 . A B 3
a → → (2)A1C＝(a，a，－a)，DE＝a，－2，0 ， → → ∴cos〈A1C，DE〉＝ 1 2 a－ a 2
2
1 15 ＝ ＝ . 5 15 15 3a· a 2
15 ∴直线 A1C 与 DE 所成角的余弦值为 . 15
(3)设平面 B1EDF 的法向量为 n＝(x，y，z)， → → 则由 n⊥B1E，n⊥D E ，得 a y－az＝0， y＝2z， 2 ∴ a y＝2x. ax－ y＝0， 2
高考数学二轮复习专题四立体几何第一讲空间几何体课件理
考点三 空间几何体与球的切、接问题
[悟通——方法结论] 1．解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面 体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从 而寻找几何体各元素之间的关系． 2．记住几个常用的结论： (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R. ①正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②正方体的内切球，则 2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
面积是 3＝27
1 2
×3×3
B．27
3，故选
3 D.
＋
1 2
×3×3
C．27 2
D．27 3
3
＋
1 2
×6×3
3
＋
1 2
考点二 空间几何体的表面积与体积
[全练——快速解答]
3.(2018·西安八校联考)某几何体的三视图
如图所示，则该几何体的体积是( B )
由三视图可知，该几何体为一个半径为 1 的半球与一个底面 4π A半. 3径为 1，高为 2 的半圆柱组合而成的组合体，故其体积 V B＝.53π23π×13＋12π×12×2＝53π，故选 B. C．2＋23π D．4＋23π
考点一 空间几何体的三视图
[全练——快速解答]
3．(2018·山西八校联考)将正方体(如图 1)截去三个三棱锥后，得 到将如图图22中所的示几的何几体何放体到，正侧方视体图中的如视图线所方示向，从如侧图 2 所示，则该几 何视体图的的侧视视线图方为向(观D察，) 易知该几何体的侧视图为 选项 D 中的图形，故选 D.
的在表长面、积宽为(、D高分) 别为 3 3，3,3 3的长方体中，由 几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥
C-BAP，其中底面 BAP 是∠BAP＝90˚的直角三角
通用版2012高考数学复习专题突破名师精品课件-立体几何.
2
1 －22＝
3 21 ＝－ ＝－ 7 ， 21 21 即二面角 P－AD－B 的余弦值为－ 7 .
2．(2010 年广东)如图 2，ABC 是半径为 a 的半圆，AC 为 直径，点 E 为 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点， 平面 AEC 外一点 F 满足 FB＝FD＝ 5 a，EF＝ 6 a. (1)证明：EB⊥FD； (2)已知点 Q、R 为线段 FE、FB 2 2 上的点，FQ＝—FE，FR＝—FB，过点 E 作 BC 的平行线交 EB FC PC 于 G.
(1)求 BD 与平面 ABP 所成角θ的正弦值；
(2)证明：△EFG 是直角三角形；
PE 1 (3)当 ＝ 时，求△EFG 的面积． EB 2
图4
(1)解：如图 D34，在 Rt△BAD 中， ∵∠ABD＝60° ，∴AB＝R，AD＝ 3R. 而 PD 垂直底面 ABCD， PA＝ PD2＋AD2＝ 2 PB＝ PD2＋BD2＝ 2 2R2＋ 3R2＝ 11R. 2R2＋2R2＝2 3R，
又 EE1⊥面 DE1FG1，EE1＝1， ∴VE DE1FG1 2 1 S DE1FG1 · EE1＝3. 3
(2)证明：以 D 为坐标原点，DA、DC、DD1 所在直线分别 作 x 轴、y 轴、z 轴， 得 E1(0,2,1)，G1(0,0,1)，
G(2,0,1)，F(0,1,2)，E(1,2,1)，
→ ＝(0，－1，－1)，FE → ＝(1,1，－1)，FE → ＝(0,1，－1)， 则FG 1 1 →· → ＝0＋(－1)＋1＝0，FG →· → ＝0＋(－1)＋1＝0， ∴FG FE FE 1 1 1
即 FG1⊥FE，FG1⊥FE1， 又 FE1∩FE＝F，∴FG1⊥平面 FEE1.
1 －22＝
3 21 ＝－ ＝－ 7 ， 21 21 即二面角 P－AD－B 的余弦值为－ 7 .
2．(2010 年广东)如图 2，ABC 是半径为 a 的半圆，AC 为 直径，点 E 为 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点， 平面 AEC 外一点 F 满足 FB＝FD＝ 5 a，EF＝ 6 a. (1)证明：EB⊥FD； (2)已知点 Q、R 为线段 FE、FB 2 2 上的点，FQ＝—FE，FR＝—FB，过点 E 作 BC 的平行线交 EB FC PC 于 G.
(1)求 BD 与平面 ABP 所成角θ的正弦值；
(2)证明：△EFG 是直角三角形；
PE 1 (3)当 ＝ 时，求△EFG 的面积． EB 2
图4
(1)解：如图 D34，在 Rt△BAD 中， ∵∠ABD＝60° ，∴AB＝R，AD＝ 3R. 而 PD 垂直底面 ABCD， PA＝ PD2＋AD2＝ 2 PB＝ PD2＋BD2＝ 2 2R2＋ 3R2＝ 11R. 2R2＋2R2＝2 3R，
又 EE1⊥面 DE1FG1，EE1＝1， ∴VE DE1FG1 2 1 S DE1FG1 · EE1＝3. 3
(2)证明：以 D 为坐标原点，DA、DC、DD1 所在直线分别 作 x 轴、y 轴、z 轴， 得 E1(0,2,1)，G1(0,0,1)，
G(2,0,1)，F(0,1,2)，E(1,2,1)，
→ ＝(0，－1，－1)，FE → ＝(1,1，－1)，FE → ＝(0,1，－1)， 则FG 1 1 →· → ＝0＋(－1)＋1＝0，FG →· → ＝0＋(－1)＋1＝0， ∴FG FE FE 1 1 1
即 FG1⊥FE，FG1⊥FE1， 又 FE1∩FE＝F，∴FG1⊥平面 FEE1.
2012高考数学理专题突破课件第一部分专题四命题透视、真题再现.
答案：2 3
3． (2011 年高考陕西卷)如图， 在△ ABC 中， ∠ABC ＝ 60° ，∠BAC＝ 90° ，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把△ABD 折起，使∠ BDC＝90° . (1)证明：平面 ADB⊥平面 BDC； → → (2)设 E 为 BC 的中点，求AE与DB夹角的余弦值．
第一部分
专题突破方略
专题四
立体几何
命题透视
近年来的高考中，立体几何的考查重点是对空间结 构的观察、分析、抽象、推理论证的能力．主要考 查的知识点在题型区分度上较明显，小题主要考查 空间几何体的三视图、表面积和体积计算、空间线 面位置关系的判断等，大题则重点考查空间线面位 置关系的证明、空间角的计算．试题难度中等，但 需要有较强的空间想象能力和推理论证能力才有可 能顺利地解答．
→ 1 3 → ， ，－ 3 ∴AE＝ 2 2 ，DB＝ (1,0,0)，
→ → → → ∴ AE 与 DB 夹角的余弦值为 cos 〈 AE ， DB 〉＝ → → AE· DB ＝ → →| |AE |· |DB 1× 1 2 22 ＝ . 22 22 4
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2．(2011 年高考辽宁卷)一个正三棱柱的侧棱长和 底面边长相等，体积为 2 3，它的三视图中的俯 视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形 的面积是________．
3 2 解析：设底面边长为 x，则 V＝ x x＝ 2 3，∴x＝ 4 2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为 2， 宽为 3 的矩形，其面积为 2 3.
解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB. 又DB∩DC＝D， ∴AD⊥平面BDC. ∵AD⊂平面ABD， ∴平面ADB⊥平面BDC.
2012高考数学一轮复习---空间几何体的结构-ppt
yyyy年M月d日星期
第1页，共15页。
1、棱柱
1）结构特征
E’
D’
F’ A’
C’ B’
有两个面互相平行，其余各面都是四边
形，并且每相邻两个四边形的公共边都
底
互相平行，由这些面围成的多面体！
面
ED
侧棱 F
C
A
B
侧面
顶点
第2页，共15页。
1、棱柱
2）棱柱的性质
①侧棱都相等，侧面都是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面都是全等的
2、棱锥 2)棱锥的分类
①按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱 锥、五棱锥、……
S
A
BC
D
②正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内
的射影是底面中心的棱锥。
S
D A
C B
第6页，共15页。
3、棱台
1）结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分是棱台.
D’
D A’
C’
B’
C
A
B
第7页，共15页。
4、圆柱
1）结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其 A’
余三边旋转形成的曲面所围成的几
何体叫做圆柱。
母 线
A
O’
BB’’
轴
侧 面
O B
底面
第8页，共15页。
5、圆锥
1）结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线
S
为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围
成的几何体叫做圆锥。
母 线
其中,真命题的编号是 ③④
4. 由7个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正五边形, 其他面都正是五全棱等柱的矩形,则这个几何体的名称是
第1页，共15页。
1、棱柱
1）结构特征
E’
D’
F’ A’
C’ B’
有两个面互相平行，其余各面都是四边
形，并且每相邻两个四边形的公共边都
底
互相平行，由这些面围成的多面体！
面
ED
侧棱 F
C
A
B
侧面
顶点
第2页，共15页。
1、棱柱
2）棱柱的性质
①侧棱都相等，侧面都是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面都是全等的
2、棱锥 2)棱锥的分类
①按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱 锥、五棱锥、……
S
A
BC
D
②正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内
的射影是底面中心的棱锥。
S
D A
C B
第6页，共15页。
3、棱台
1）结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分是棱台.
D’
D A’
C’
B’
C
A
B
第7页，共15页。
4、圆柱
1）结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其 A’
余三边旋转形成的曲面所围成的几
何体叫做圆柱。
母 线
A
O’
BB’’
轴
侧 面
O B
底面
第8页，共15页。
5、圆锥
1）结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线
S
为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围
成的几何体叫做圆锥。
母 线
其中,真命题的编号是 ③④
4. 由7个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正五边形, 其他面都正是五全棱等柱的矩形,则这个几何体的名称是
2012高考数学理专题突破课件第一部分专题四第三讲空间向量与立体几何
∴MN∥平面 ADE.
向量法求线线角和线面角
例2
(2011年高考四川卷)如图，在直三
棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1 ＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交 棱CC1于点D.
(1)求证：PB1∥平面BDA1；
(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值．
(1)当点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由； (2)证明：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PE⊥ AF；
(3)当 BE 等于何值时，PA 与平面 PDE 所成角的
大小为 45°？
【解】 (1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC 平行． ∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点， ∴EF∥PC. 又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC， ∴EF∥平面PAC.
(2)求空间距离：直线到平面的距离，两平行平面 的距离均可转化为点到平面的距离．
→ 点 P 到平面 α 的距离：d＝|PM|n|·n|(其中 n 为 α 的
法向量，M 为 α 内任一点)．
高考热点讲练
向量法证明垂直与平行
例1
如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形
ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边
(2)证明：如图，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1)，0,0)．
设 BE＝x，则 E(x,1,0)，
∴A→F＝0，12，12 ，
P→E＝(x,1，－1)，
∴A→F·P→E＝0，12，12·(x,1，－1)＝0.
∴AF⊥PE.
∴无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PE⊥AF.
第一部分 专题突破方略
专题四 立体几何
向量法求线线角和线面角
例2
(2011年高考四川卷)如图，在直三
棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1 ＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交 棱CC1于点D.
(1)求证：PB1∥平面BDA1；
(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值．
(1)当点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由； (2)证明：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PE⊥ AF；
(3)当 BE 等于何值时，PA 与平面 PDE 所成角的
大小为 45°？
【解】 (1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC 平行． ∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点， ∴EF∥PC. 又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC， ∴EF∥平面PAC.
(2)求空间距离：直线到平面的距离，两平行平面 的距离均可转化为点到平面的距离．
→ 点 P 到平面 α 的距离：d＝|PM|n|·n|(其中 n 为 α 的
法向量，M 为 α 内任一点)．
高考热点讲练
向量法证明垂直与平行
例1
如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形
ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边
(2)证明：如图，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1)，0,0)．
设 BE＝x，则 E(x,1,0)，
∴A→F＝0，12，12 ，
P→E＝(x,1，－1)，
∴A→F·P→E＝0，12，12·(x,1，－1)＝0.
∴AF⊥PE.
∴无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PE⊥AF.
第一部分 专题突破方略
专题四 立体几何
高中数学高考数学学习资料：专题4 第1讲 空间几何体
2
)
答案：C
[悟方法
触类旁通]
该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二 是由三视图还原成几何体．解决该类问题的关键是找准投影 面及三个视图之间的关系．抓住“正侧一样高，正俯一样长， 俯侧一样宽”的特点作出判断.zxxk
[联知识 串点成面]
常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：
圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(其中r为 底面半径，l为圆柱的高)； 圆锥的表面积公式：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(其中r为底面 半径，l为母线长)；
[答案] B
3．(2011· 北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积 是 ( )
A．32 C．48
B．16＋16 2 D．16＋32 2
解析：该空间几何体是底面边长为 4、高为 2 的正四棱锥，这个四棱 1 锥的斜高为 2 2，故其表面积是 4×4＋4× ×4×2 2＝16＋16 2. 2
答案：B
4．(2011· 福建高考)三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA ＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－
ABC的体积等于________．
1 1 解析：依题意有，三棱锥 P－ABC 的体积 V＝ S△ABC· |PA|＝ 3 3 × 3 ×22×3＝ 3. 4
答案： 3
[悟方法
圆台的表面积公式：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中r和
r′分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长)；
柱体的体积公式：V＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； 1 锥体的体积公式：V＝ Sh(S 为底面面积，h 为高)； 3 1 台体的体积公式： V＝ (S′＋ S′S＋S)h(S′、S 分别为上、 3 下底面面积，h 为高)； 4 球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝ πR3(R 为球的半径)． 3
)
答案：C
[悟方法
触类旁通]
该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二 是由三视图还原成几何体．解决该类问题的关键是找准投影 面及三个视图之间的关系．抓住“正侧一样高，正俯一样长， 俯侧一样宽”的特点作出判断.zxxk
[联知识 串点成面]
常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：
圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(其中r为 底面半径，l为圆柱的高)； 圆锥的表面积公式：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(其中r为底面 半径，l为母线长)；
[答案] B
3．(2011· 北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积 是 ( )
A．32 C．48
B．16＋16 2 D．16＋32 2
解析：该空间几何体是底面边长为 4、高为 2 的正四棱锥，这个四棱 1 锥的斜高为 2 2，故其表面积是 4×4＋4× ×4×2 2＝16＋16 2. 2
答案：B
4．(2011· 福建高考)三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA ＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－
ABC的体积等于________．
1 1 解析：依题意有，三棱锥 P－ABC 的体积 V＝ S△ABC· |PA|＝ 3 3 × 3 ×22×3＝ 3. 4
答案： 3
[悟方法
圆台的表面积公式：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中r和
r′分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长)；
柱体的体积公式：V＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； 1 锥体的体积公式：V＝ Sh(S 为底面面积，h 为高)； 3 1 台体的体积公式： V＝ (S′＋ S′S＋S)h(S′、S 分别为上、 3 下底面面积，h 为高)； 4 球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝ πR3(R 为球的半径)． 3
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题4立体几何第1讲空间几何体课件
高为 0.01 m 可忽略不计，看作直径为 1.2 m 的平面圆，六边形 EFGHIJ
边长为
2 2
m，∠GFH＝∠GHF＝30°，所以 FH＝
3FG＝
3GH＝
6 2
m，
故六边形
EFGHIJ
内切圆直径为
6 2
m，而
262＝32>(1.2)2＝1.44，选项
D
正确．故选 ABD.
6. (多选)(2023·全国新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为 O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二 面角P－AC－O为45°，则( AC )
5. (多选)(2023·全国新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长 为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( ABD )
A．直径为0.99 m的球体 B．所有棱长均为1.4 m的四面体 C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
【解析】 A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行 四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三 个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为过相对侧棱的两 个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直 四棱柱；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC， 四个面都是直角三角形．
3. (2021·全国新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图
为一个半圆，则该圆锥的母线长为( B )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
【解析】 由题意，设母线长为 l，因为圆锥底面周长即为侧面展开
浙江省2012届高考数学理二轮专题复习课件：第12课时 空间几何体
第二十一页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
3．解直观图问题的关键是熟悉斜二测画法的特点： ①已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中仍然平行 于x′ 轴或y′ 轴；②已知图形中平行与x轴的线段长度保持
不变，平行与y轴的线段长度变为原来的一半．先根据这 些关系还原出原图，再进行相关计算．
第二十二页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
第九页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
要画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确 定该图形的关键点，如顶点等．画出这些关键点的投 影，再依次连结即可得此图形在该平面上的投影．此 类题目要依据平行投影的含义，借助空间想象来完成 ．
第十页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
【变式训练】(2011·3月台州中学模拟)BC是Rt△ABC的斜
第十四页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
2取AB的中点M，连结CM，A1M .
由题意知CA CB，所以CM AB. 由三视图知， 侧棱AA1 平面ABC， 所以平面ABC 平面AA1B1B， 所以CM 平面AA1B1B， 所以CA1M 就是A1C与平面A1B1BA所成角的平面角． 因为AC BC a，AC BC，故CM 2 a.
专题四 立体几何与空间量
第一页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
1．三视图是从上下、左右、前后三对角度刻画 几何体的形状，在具体问题中，几何体放置不同， 则三视图不同，注意想象．画三视图时，被遮挡的 线应画虚线．
2．对旋转体要熟悉其定义，并能通过轴截面图、 展开图等化归为平面几何问题．
3．几何体的切接问题：
2 又在正方形AA1C1C中，A1C 2a.
第十五页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
2
在RtA1MC中，sin CA1M
3．解直观图问题的关键是熟悉斜二测画法的特点： ①已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中仍然平行 于x′ 轴或y′ 轴；②已知图形中平行与x轴的线段长度保持
不变，平行与y轴的线段长度变为原来的一半．先根据这 些关系还原出原图，再进行相关计算．
第二十二页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
第九页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
要画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确 定该图形的关键点，如顶点等．画出这些关键点的投 影，再依次连结即可得此图形在该平面上的投影．此 类题目要依据平行投影的含义，借助空间想象来完成 ．
第十页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
【变式训练】(2011·3月台州中学模拟)BC是Rt△ABC的斜
第十四页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
2取AB的中点M，连结CM，A1M .
由题意知CA CB，所以CM AB. 由三视图知， 侧棱AA1 平面ABC， 所以平面ABC 平面AA1B1B， 所以CM 平面AA1B1B， 所以CA1M 就是A1C与平面A1B1BA所成角的平面角． 因为AC BC a，AC BC，故CM 2 a.
专题四 立体几何与空间量
第一页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
1．三视图是从上下、左右、前后三对角度刻画 几何体的形状，在具体问题中，几何体放置不同， 则三视图不同，注意想象．画三视图时，被遮挡的 线应画虚线．
2．对旋转体要熟悉其定义，并能通过轴截面图、 展开图等化归为平面几何问题．
3．几何体的切接问题：
2 又在正方形AA1C1C中，A1C 2a.
第十五页，编辑于星期日：十五点 二十一分。
2
在RtA1MC中，sin CA1M
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正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正 确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意 的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放 时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以
是全等的矩形，因此③正确．
【答案】 A
【归纳拓展】 (1)三视图的画法规则：正侧一 样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的画 虚线． (2)三视图的排列顺序是：先画正视图，俯视图 画在正视图的下方，侧视图画在正视图的右 边． (3)由俯视图可以确定几何体的底面；正视图， 侧视图内部线段的虚实、有无可以确定几何体 中的棱与投射面的位置关系，是解题的突破 口．
与球有关的组合体
例3 (2011 年高考课标全国卷)已知两个圆锥有公
共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一 3 个球面上． 若圆锥底面面积是这个球面面积的 ， 16 则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者 的高的比值为________．
【解析】 设圆锥底面圆半径为 r， 球的半径为 R， 3 3 2 2 2 2 则由 πr ＝ ×4πR ，知 r ＝ R .根据球的截面的 16 4 性质可知两圆锥的高必过球心 O，且两圆锥的顶 点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此 PB⊥QB. 设 PO′＝x，QO′＝y，则 x＋y＝2R.① 又△PO′B∽△BO′Q，知 r2＝O′B2＝xy.
空间几何体的表面积和体积
例2 (2011年高考天津卷)一个几何体的三视图
如 图 所 示 ( 单 位 ： m) ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为
________m3.
【解析】 此几何体是由一个长为 3，宽为 2，高 为 1 的长方体与底面直径为 2， 高为 3 的圆锥组合 而成的，故 π V＝ V 长 方 体 ＋V 圆 锥 ＝3×2×1＋ ×12×3＝(6＋π) 3 m3.
(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求
解．
变式训练2 ________．
已知如图是一个空间几何体的三视
图，则该几何体的外接球的表面积为
解析： 设该几何体的外接球的半径为 R.依题意知， 该几何体是如图所示的三棱锥 ABCD，其中 AB ⊥平面 BCD，AB＝2，BC＝CD＝ 2，BD＝2， BC⊥DC，因此可将该三棱锥补形为一个长方体， 于是有(2R) ＝2 ＋( 2) ＋( 2) ＝8，即 4R ＝8， 则该几何体的外接球的表面积为 4πR ＝8π.
2．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积
(1)表面积公式
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
(2)体积公式 ①柱体的体积 V＝Sh； 1 ②锥体的体积 V＝ Sh； 3 1 ③台体的体积 V＝ (S′＋ SS′＋S)h； 3 4 3 ④球的体积 V＝ πR . 3
【答案】
(6＋π)
【归纳拓展】
(1)求规则几何体的体积，关键
是确定底面和高，要注意多角度、多方位地观
察，选择恰当的底面和高，使计算简便．
(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的
思想，将不规则几何体转化为几个规则几何体，
再进一步求解．
变式训练 1
一个空间几何体的三视图如图所示， 8 5 该几何体的体积为 12π＋ ， 则正视图中 x 的值 3 为( ) A．5 B．4 C．3 D．2
第一部分
专题突破方略
专题四
立体几何
第一讲 空间几何体
主干知识整合
1．三视图
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从
几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体
画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一
样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面， 长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面， 高度和正三视图
例1 如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定
下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图
、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯
视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如
右图．其中真命题的个数是( A．3 C．1 B．2 D．0 )
【解析】
底面是等腰直角三角形的三棱柱，
当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的
3 2 即 xy＝r ＝ R .② 4
2
3 R 由①②及 x>y 可得 x＝ R，y＝ . 2 2 则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者 1 的高的比为 . 3
【答案】 1 3
【归纳拓展】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接
问题时，其直观图很难画清，一般过球心及多
面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归 为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体 中元素间的关系，或只画其内接、外切的几何 体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径
(2)解答这一类问题常见误区有：①忽视几何体
的三视图是几何体在三个两两垂直的平面上的
正投影，从而出现错误．②对几何体的特征关
注不够，如线线、线面的位置关系，线段的长 度比例、特殊的几何图形在三视图中的体现等， 从而出现错误．
本部分内容讲解结束
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解析：选 C.该几何体上部为正四棱锥，四棱锥的 高为 32－22＝ 5，底面正方形的边长为 2 2；下 部为圆柱，圆柱的高为 x，底面圆的直径为 4.V 四 1 8 5 2 2) × 5＝ ，V 棱 锥 ＝ ×(2 3 3 ＝ π×22×x＝ 圆柱
8 5 8 5 4πx，V 四棱锥＋V 圆柱 ＝ ＋4πx＝ ＋12π，所以 3 3 x＝3，故选 C.
2 2 2 2 2 2
答案：8π
考题解答技法
(2011年高考江西卷)将长方体截去一个四 棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧 视图为( )
例
【解析】
如图所示，点D1的投影为C1，点D
的投影为C，点A的投影为B，故选D.
【答案】
D
【名师指招】 同．
(1)解答本题易误选C，其原因
是三视图的含义认识不清，误认为C、D基本相
是全等的矩形，因此③正确．
【答案】 A
【归纳拓展】 (1)三视图的画法规则：正侧一 样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的画 虚线． (2)三视图的排列顺序是：先画正视图，俯视图 画在正视图的下方，侧视图画在正视图的右 边． (3)由俯视图可以确定几何体的底面；正视图， 侧视图内部线段的虚实、有无可以确定几何体 中的棱与投射面的位置关系，是解题的突破 口．
与球有关的组合体
例3 (2011 年高考课标全国卷)已知两个圆锥有公
共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一 3 个球面上． 若圆锥底面面积是这个球面面积的 ， 16 则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者 的高的比值为________．
【解析】 设圆锥底面圆半径为 r， 球的半径为 R， 3 3 2 2 2 2 则由 πr ＝ ×4πR ，知 r ＝ R .根据球的截面的 16 4 性质可知两圆锥的高必过球心 O，且两圆锥的顶 点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此 PB⊥QB. 设 PO′＝x，QO′＝y，则 x＋y＝2R.① 又△PO′B∽△BO′Q，知 r2＝O′B2＝xy.
空间几何体的表面积和体积
例2 (2011年高考天津卷)一个几何体的三视图
如 图 所 示 ( 单 位 ： m) ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为
________m3.
【解析】 此几何体是由一个长为 3，宽为 2，高 为 1 的长方体与底面直径为 2， 高为 3 的圆锥组合 而成的，故 π V＝ V 长 方 体 ＋V 圆 锥 ＝3×2×1＋ ×12×3＝(6＋π) 3 m3.
(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求
解．
变式训练2 ________．
已知如图是一个空间几何体的三视
图，则该几何体的外接球的表面积为
解析： 设该几何体的外接球的半径为 R.依题意知， 该几何体是如图所示的三棱锥 ABCD，其中 AB ⊥平面 BCD，AB＝2，BC＝CD＝ 2，BD＝2， BC⊥DC，因此可将该三棱锥补形为一个长方体， 于是有(2R) ＝2 ＋( 2) ＋( 2) ＝8，即 4R ＝8， 则该几何体的外接球的表面积为 4πR ＝8π.
2．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积
(1)表面积公式
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
(2)体积公式 ①柱体的体积 V＝Sh； 1 ②锥体的体积 V＝ Sh； 3 1 ③台体的体积 V＝ (S′＋ SS′＋S)h； 3 4 3 ④球的体积 V＝ πR . 3
【答案】
(6＋π)
【归纳拓展】
(1)求规则几何体的体积，关键
是确定底面和高，要注意多角度、多方位地观
察，选择恰当的底面和高，使计算简便．
(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的
思想，将不规则几何体转化为几个规则几何体，
再进一步求解．
变式训练 1
一个空间几何体的三视图如图所示， 8 5 该几何体的体积为 12π＋ ， 则正视图中 x 的值 3 为( ) A．5 B．4 C．3 D．2
第一部分
专题突破方略
专题四
立体几何
第一讲 空间几何体
主干知识整合
1．三视图
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从
几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体
画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一
样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面， 长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面， 高度和正三视图
例1 如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定
下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图
、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯
视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如
右图．其中真命题的个数是( A．3 C．1 B．2 D．0 )
【解析】
底面是等腰直角三角形的三棱柱，
当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的
3 2 即 xy＝r ＝ R .② 4
2
3 R 由①②及 x>y 可得 x＝ R，y＝ . 2 2 则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者 1 的高的比为 . 3
【答案】 1 3
【归纳拓展】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接
问题时，其直观图很难画清，一般过球心及多
面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归 为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体 中元素间的关系，或只画其内接、外切的几何 体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径
(2)解答这一类问题常见误区有：①忽视几何体
的三视图是几何体在三个两两垂直的平面上的
正投影，从而出现错误．②对几何体的特征关
注不够，如线线、线面的位置关系，线段的长 度比例、特殊的几何图形在三视图中的体现等， 从而出现错误．
本部分内容讲解结束
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解析：选 C.该几何体上部为正四棱锥，四棱锥的 高为 32－22＝ 5，底面正方形的边长为 2 2；下 部为圆柱，圆柱的高为 x，底面圆的直径为 4.V 四 1 8 5 2 2) × 5＝ ，V 棱 锥 ＝ ×(2 3 3 ＝ π×22×x＝ 圆柱
8 5 8 5 4πx，V 四棱锥＋V 圆柱 ＝ ＋4πx＝ ＋12π，所以 3 3 x＝3，故选 C.
2 2 2 2 2 2
答案：8π
考题解答技法
(2011年高考江西卷)将长方体截去一个四 棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧 视图为( )
例
【解析】
如图所示，点D1的投影为C1，点D
的投影为C，点A的投影为B，故选D.
【答案】
D
【名师指招】 同．
(1)解答本题易误选C，其原因
是三视图的含义认识不清，误认为C、D基本相