2012年高考真题汇编——理科数学：立体几何

2012高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。

将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A()B()C()D【答案】A4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C5.【2012高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A 、RB 、4Rπ C 、R D 、3Rπ【答案】A6.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A. C. D. 35【答案】A.7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D8.【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．8πB．3π3D．6πC．10π3【答案】B9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π【答案】C10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】D.11.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a，且长为a的棱异面，则a的取值范围是（A） （B） （C） （D）【答案】A12.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125【答案】B13.【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2BCD 1【答案】D二、填空题14.【2012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.【答案】115.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

NA 1【答案】2π【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成角的求法.16.【2012高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。

【答案】38【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。

本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积。

17.【2012高考真题山东理14】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为____________. 【答案】6118.【2012高考真题辽宁理16】已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________。

【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。

该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱19.【2012高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的20.【2012高考真题上海理14】如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最21.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲cm 3．【答案】6。

22.【2012高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____．【答案】92【命题立意】本题考查空间几何体的三视图以及表面积的求法。

23.【2012高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________m 3. 【答案】π918+24.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________. 【答案】36三、解答题25.【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分） 如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.26.【2012高考真题辽宁理18】(本小题满分12分) 如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=， /,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ;(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值。

【答案】【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。

第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。

27.【2012高考真题湖北理19】（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠= ，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠= （如图2所示）．（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在 棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．第19题图【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．由AD BC ⊥，45ACB ∠= 知，△ADC 为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-.由折起前AD BC ⊥知，折起后（如图2），AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D = ， 所以AD ⊥平面BCD ．又90BDC ∠= ，所以11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-．于是1111(3)(3)2(3)(3)33212A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=⋅--312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，故当1x =，即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． 解法2：DABCACDB图2图1ME. ·同解法1，得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+．令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==．于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，1(,1,0)2E ，且(1,1,1)BM =-．设(0,,0)N λ，则1(,1,0)2EN λ=-- .因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=，即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=，故12λ=，1(0,,0)2N .所以当12DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥．设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n及1(1,,0)2BN =- ，得2,.y x z x =⎧⎨=-⎩ 可取(1,2,1)=-n ．设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =--，(1,2,1)=-n ，可得1sin cos(90)||||EN EN θθ⋅=-===⋅ n n 60θ= ．故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==． 如图b ，取CD 的中点F ，连结MF ，BF ，EF ，则MF ∥AD . 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .如图c ，延长FE 至P 点使得FP DB =，连BP ，DP ，则四边形DBPF 为正方形， 所以DP BF ⊥. 取DF 的中点N ，连结EN ，又E 为FP 的中点，则EN ∥DP ， 所以EN BF ⊥. 因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂面BCD ，所以MF EN ⊥. 又MF BF F = ，所以EN ⊥面BMF . 又BM ⊂面BMF ，所以EN BM ⊥. 因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的. 即当12DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点），EN BM ⊥．连接MN ，ME，由计算得NB NM EB EM ====，所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ，则BM ⊥平面EGN ．在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H ， 则EH ⊥平面BMN ．故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角． 在△EGN中，易得EG GN NE ===，所以△EGN 是正三角形，故60ENH ∠= ，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60. 28.【2012高考真题新课标理19】（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，图a图bC AD BE FMN图cBD PCF NEGMN H图d第19题解答图D 是棱1AA 的中点，BDDC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小. 【答案】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111A C B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =，则1C O =111230C D C O C DO ︒==⇒∠=既二面角11C BD A --的大小为30︒29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。