8.4三元一次方程组解法举例 导学案整理
七年级下册《8.4 三元一次方程组的解法》教案、导学案、同步练习
《8.4 三元一次方程组的解法》教案一【教学目标】1．理解三元一次方程组的含义．2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．【教学重点与难点】1．使学生会解简单的三元一次方程组．2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．3. 针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．【教学过程】一、导入新课前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题．二、推进新课出示引入问题小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．1．题目中有几个未知数，你如何去设？2．根据题意你能找到等量关系吗？3．根据等量关系你能列出方程组吗？请大家分组讨论上述问题．（教师对学生进行巡回指导）学生成果展示：1．设1元，2元，5元各x张，y张，z张．（共三个未知数）2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？（学生小组交流，探索如何消元．）可以把③分别代入①②，便消去了x ，只包含y 和z 二元了：解此二元一次方程组得出y 、z ，进而代回原方程组可求x ．教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．即三元一次方程组 二元一次方程组一元一次方程三、例题讲解例1：解三元一次方程组（让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．） 解：②×3+③，得11x+10z=35．①与④组成方程组 把x=5，z=-2代入②，得y=．因此，三元一次方程组的解为12,2522,4.x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩8,412,512,2,42522,6522. 2.x y y z y z y y y z y z z =⎧++=+=⎧⎧⎪=⎨⎨⎨++=+=⎩⎩⎪=⎩即解得消元消元347,239,5978.x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩347,5,111035. 2.x z x x z z +==⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得135,1,32.x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩归纳：此方程组的特点是①不含y ，而②③中y 的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y 后，再与①组成关于x 和z 的二元一次方程组的解法最合理．•反之用代入法运算较烦琐．例2：在等式y=ax2+bx+c 中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a ，b ，•c 的值．（师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．）解：由题意，得三元一次方程组②-①，得a+b=1， ④ ③-①，得4a+b=10． ⑤④与⑤组成二元一次方程组． 解得把a=3，b=-2代入①，得c=-5．因此，答：a=3，b=-2，c=-5． 四、知能训练1．解下列三元一次方程组：2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的等于丙数0,423,25560.a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1,410.a b a b +=⎧⎨+=⎩3,2a b =⎧⎨=-⎩3,2,5.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩29,34,(1)3,(2)2312,247; 6.22,2,:(1)15.5,(2)3,12.5; 1.x y x y z y z x y z z x x y z x x y y z z -=--+=⎧⎧⎪⎪-=+-=⎨⎨⎪⎪+=++=⎩⎩==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解13的，求这三个数．解：设甲、乙、丙三个数分别为x 、y 、z ，则 即甲、乙、丙三数分别为10、15、10． 五、课堂小结1．学会三元一次方程组的基本解法．2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想． 六、布置作业 七、活动与探究 拓广探索解：由已知，得 ②－①，得b=-11， ④由③得=0， ⑤ ④代入⑤，得a=6． ⑥把代入①，得c=3，因此，答：a=6，b=-11，c=3．《8.4 三元一次方程组的解法》教案二【教学目标】：1235,10,25,15,10.,32x y z x x y y y z z ⎧⎪++==⎧⎪⎪-==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎩解得2,20,93.4293a b c a b c a b a b c c ⎧⎪-=++⎪=-+⎨⎪⎪++=++⎩777366a b+6,11a b =⎧⎨=-⎩6,11,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩1.了解三元一次方程组的概念.2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．【教学重点】：（1）使学生会解简单的三元一次方程组．（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．【教学难点】：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．【教学过程】：一、创设情景，导入新课前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解。
人教版数学七年级下 8.4 三元一次方程组的解法优秀导学案
*8.4 三元一次方程组的解法【学习目标】1、知道解三元一次方程组的基本思想方法是消元，即化“三元”为“二元”。
2、会用加减法和代入法解简单的三元一次方程组。
【学习重点与难点】1.学习重点：掌握三元一次方程组的解法。
2.学习难点：三元一次方程组如何化归到二元一次方程组。
【学习过程】一、自主学习（一）预习自我检测（阅读课本，完成下列各题）1、温故而知新：解下列方程组：⎩⎨⎧+=-=-536553)1(x y y x （2）2、阅读课本：了解三元一次方程组的概念。
3、在下列方程中，是三元一次方程的在括号内打“√”，否则打“×”。
（1）2x+3y=12－z ( ) (2) xy －z=14 （ ）（3）13361-=+-z y x ( ) (4)4243+=-z y x ( )4、在等式中c bx ax y ++=2中，当x=-1，y=0时; 当x=2，y=3时; 当x=5，y=60时;求a 、b 、c 的值二、合作探究1、三元一次方程组的解法：二元一次方程组解法思路是先用加减法或代入法消去一个未知数，化____元为_____元，那么，三元一次方程组的解法是否类似地将“三元”化为“二元”呢？解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++③②①182126z y x y x z y x解法一：（消x ）由②得 x=___________ ④ 把④代入①，得：___________________ 用④代入③消去x 得：__________________⎩⎨⎧=--=-+07650132y x y x整理得 解以上二元一次方程组得:把 代入④得x=解法二:(观察②缺z,考虑消z)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++③②①182126z y x y x z y x ③－①得：__________ ④ 解方程组⎩⎨⎧④②_____________________________得x= ________y= __________ 把x= ______y= ________ 代入 ①, 得z= ⎪⎩⎪⎨⎧===∴z y x解法三：（先消去y 行吗？） ①+②，得：_____________④ ③－②，得：_____________⑤解方程组⎩⎨⎧⑤④____________________________ 得x=_______z= ______ 把x 的值代入 ②得y=_________⎪⎩⎪⎨⎧===∴z y x由上可知，三元一次方程组的思路也是先消元，但方法灵活，应选择简便方法。
8.4三元一次方程组的解法（教案）
8.4三元一次方程组的解法（教案）8.4三元一次方程组的解法教学目标【知识与技能】1.理解三元一次方程组的定义；2.掌握三元一次方程组的解法；3.会解简单的三元一次方程组应用题.【过程与方法】先运用实际问题引入三元一次方程组的概念，再类比解二元一次方程组的思想方法，学习三元一次方程组的解法，最后学习三元一次方程组应用题.【情感态度】让学生学会“举一反三”的学习方法，体会数学的魅力.【教学重点】1.三元一次方程组的解法；2.三元一次方程组的应用.【教学难点】三元一次方程组的应用.教学过程一、情境导入，初步认识问题1小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.解：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，根据题意，得方程组请观察上面方程组的特点，归纳三元一次方程组的定义.问题2上例中，③分别代入①②,得只含_____、_____的二元一次方程组再消元，转化为____________方程.从而得到解三元一次方程组的思想方法是：问题3解三元一次方程组解：方程①只含_____、______，因此，可由②③消去，得到一个只含x，y的方程_____________，与①组成一个二元一次方程组解这个方程组得进而求得z=_____.因此，原方程组的解为【教学说明】以上三个问题以填空题形式出现，大大降低了学生自主学习的难度，所以鼓励学生先独立完成，再交流成果.二、思考探究，获取新知思考1.什么叫三元一次方程组？2.解三元一次方程组的思想方法是什么？【归纳结论】1.三元一次方程组：含有三个不相同的未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组.2.解三元一次方程组的思想方法：三、运用新知，深化理解1.解方程组：2.已知方程关于x、y的y=ax2+bx+c的三个解为求出此方程（即求出a、b、c，再将a、b、c代入原方程即可）3.扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积.4.已知有理数x、y、z满足条件|x-z-2|+|3x-6y-7|+（3y+3z-4）2=0，求xyz的值.5.某区中学足球赛共赛8轮，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这次足球联赛中，猛虎足球队平的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？6.若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z=_______.（提示：可将z当成已知数，将已知变为求出x，y，再求x+y+z.还有一种简便的方法，即把x+2y+3z=10和4x+3y+2z=15相加除以5便可得x+y+z=5.）【教学说明】让学生自主完成.也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.【答案】1.解：（1）由①+③，②+2×③消去z得解得代入①得z=3.即原方程组的解为(2)原式可化为由①+③，①+2×②消去y得解得代入①得y=-2即原方程组的解为2.解：把原方程的三个解代入得三元一次方程组解得所以原方程为y=-x2+2x-3.3.解：设药品包装盒的长为xcm，宽为ycm，高为zcm，依题意有解得则该药品包装盒的体积为V=9×5×2=90cm3.4.解：依题意有解得所以xyz=3××1=1.5.解：设猛虎足球队胜了x场，平了y场.负了z场，依题意得解得即猛虎足球队胜了5场.6.5四、师生互动，课堂小结解多元一次方程组的思想方法是不断消元，最终转化为一元一次方程，如课后作业1.布置作业：从教材“习题8.4”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.教学反思本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.。
人教版七年数学下册8.4三元一次方程组解法举例教案
一、教学内容
人教版七年数学下册8.4节主要围绕三元一次方程组的解法进行举例教学。本节课内容涵盖了以下三个方面：
1.通过实际问题的引入，让学生理解三元一次方程组的实际意义，如行程问题、价格问题等。
2.介绍三元一次方程组的解法，包括代入法、加减法和高斯消元法，并分析各种方法的优缺点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三元一次方程组的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对各种解法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识，通过三元一次方程组解法的学习，让学生在探讨、分析、解决问题的过程中，形成严密的逻辑思维，学会与他人合作交流。
3.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握基本解法的基础上，尝试探索新的解题思路，提高解题效率，从而培养创新精神和实践能力。
这些核心素养目标将贯穿于整个教学过程，旨在帮助学生全面提升数学学科素养。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个一次方程构成的，它们共同拥有三个未知数。它在解决实际问题中起着重要作用，能够帮助我们找到多个未知数的具体数值。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过解方程组找到答案。
3.通过具体例题，让学生掌握如何运用以上三种方法求解三元一次方程组，并能够熟练运用到实际问题中。
新人教版七年级下册数学《8.4三元一次方程组的解法举例》精品教案
新人教版七年级下册数学《8.4三元一次方程组的解法举例》精品教案第一篇：新人教版七年级下册数学《8.4三元一次方程组的解法举例》精品教案8.4.1 三元一次方程组解法举例练习教学目标1．理解三元一次方程组的含义．2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．教学重点1．使学生会解简单的三元一次方程组．2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．教学难点针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．导入新课前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题．教学过程活动与探究习题8．4 拓广探索⎧⎪-2=a+b+c,⎪解：由已知，得⎨20=a-b+c，⎪93ab⎪a+b+c=++c.293⎩4 ②－①，得b=-11，④由③得7736a+76b=0，⑤④代入⑤，得a=6．⑥⎧a=6,⎧a=6,⎪把⎨代入①，得c=3，因此，⎨b=-11，⎩b=-11⎪c=3.⎩答：a=6，b=-11，c=3．备课资料参考例题⎧3x-2y+z=6,⎪ 1．已知方程组⎨6x+y-2z=-2,与关于x,y,z的方程组⎪6x+2y+5z=3⎩⎧ax+by+2cz=2,⎪⎨2ax-3by+4cz=-1,相同，求a，b，c 的⎪3ax-3by+5cz=1⎩值．⎧x:y=3:2,⎪2．解方程组⎨y:z=5:4，⎪x+y+z=66.⎩3．在y=ax+bx+c中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a，b，c的值．当x=-1时，y•的值是多少？答案： 2 1．分析：因为两个方程组的解相同，即x，y，z取值相同，可求解第一个方程组中的x，y，z，代入第二个方程组后，求解a，b，c．1⎧x=,⎪⎧3x-2y+z=6,3⎪⎪解：解方程组⎨6x+y-2z=-2,解得⎨y=-2，⎪6x+2y+5z=3,⎪z=1.⎩⎪⎩1⎧x=,⎪⎧ax+by+2cz=2,3⎪⎪把⎨y=-2,⎨2ax-3by+4cz=-1,⎪z=1⎪3ax-3by+5cz=1,⎩⎪⎩⎧a=9,⎪1⎪解得⎨b=-,2⎪⎪⎩c=-1.⎧a-2b+2c=2,⎪3⎪⎪2⎨a+6b+4c=-1,⎪3⎪a+6b+5c=1.⎪⎩2．提示：将①②变为x=⎧x=30,⎪答案：⎨y=20，⎪z=16.⎩32y，z= 45y后求解．⎧a+b+c=0,⎪3．解：由题意，得⎨4a+2b+c=3,解得⎪9a+3b+c=28.⎩2⎧a=11,⎪⎨b=-30, ⎪c=19.⎩所以y=11x-30x+19．所以当x=-1时，y=11×（-1）-30×（-1）+19=60．第二篇：三元一次方程组解法举例教案三元一次方程组解法三元一次方程组的解法①⎧x+y+z=12⎪例1.解方程组⎨x+2y+5z=22②⎪x=4y③⎩发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.解法1：消x ②-① 得y+4z=10.④③代人① 得5y+z=12.⑤由④、⑤得⎨⎧y+4z=10,⎩5y+z=12.④ ⑤解得⎨⎧y=2，⎩z=2.把y=2,代入③，得x=8.⎧x=8,⎪∴⎨y=2, 是原方程组的解.⎪z=2.⎩方程③是关于x 的表达式，确定“消x”的目标.解法2：消x由③代入①②得⎨⎧5y+z=12,④⎩6y+5z=22.⑤⎧y=解得⎨z=2.⎩把y=2代入③，得x=8.⎧x=8,⎪∴⎨y=2, 是原方程组的解.⎪z=2.⎩【方法归纳】类型一：有表达式，用代入法.针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消元构成二元一次方程组的目的.解法3：消z①×5得5x+5y+5z=60，④ x+2y+5z=22，② ④-②得4x+3y =38 ⑤由③、⑤得⎨③⎧x=4y，⎩4x+3y=38.⑤解得⎨⎧x=8，⎩y=2.把x=8,y=2代入①，得z=2.⎧x=8,⎪∴⎨y=2, 是原方程组的解.⎪z=2.⎩根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元.三、典型例题讲解例1、解方程组分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标．解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得解得把y＝2代入③，得x＝8.因此三元一次方程组的解为观察方程组进行分析，方程组中的方程③里缺z，因此利用①、②消z，也能达到消元构成二元一次方程组的目的．解法2：消z.①×5得 5x＋5y＋5z＝60 ④④－② 得4x＋3y＝38⑤由③、⑤得解得把x＝8，y＝2代入①得z＝2.因此三元一次方程组的解为点评：解法一根据方程组中有表达式，可用代入法消元.解法二根据方程组中③缺z元，可由①②消去z元得关于x，y的方程组.例2、解方程组分析：.通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等．具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解．解：由①＋②＋③得4x＋4y＋4z＝48，即x＋y＋z＝12.④①－④得x＝3，②－④得y＝4，③－④得z＝5，因此三元一次方程组的解为小结：轮换方程组，采用求和作差法.例3、解方程组分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x∶y＝1∶2得y ＝2x；由x∶z＝1∶7得z＝7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解．解法1：由①得y＝2x，z＝7x，并代入②，得x＝1.把x＝1，代入y＝2x，得y＝2；把x＝1，代入z＝7x，得z＝7.因此三元一次方程组的解为分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x ︰y︰z＝1︰2︰7，可设为x＝k，y＝2k，z＝7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得．解法2：由①设x＝k，y＝2k，z＝7k，并代入②，得k＝1.把k＝1，代入x＝k，得x＝1；把k＝1，代入y＝2k，得y＝2；把k＝1，代入z＝7k，得 z＝7.因此三元一次方程组的解为小结：遇比例式找关系式，采用设元解法.例4、解方程组分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”．解：①＋③ 得5x＋2y＝16，④②＋③ 得3x＋4y＝18，⑤由④、⑤得解得把x＝2，y＝3代人②，得z＝1.因此三元一次方程组的解为小结：一般选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；或选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元．1.例5、学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，求三种球各有多少个？分析：设篮球数为x个，排球数为y个，足球数为z个，分析题中存在的相等关系：①篮球数＝2×排球数－3，即x＝2y－3；②足球数：排球数＝2∶3，即z∶y＝2∶3；③三种球数的总和为41个，即x＋y＋z＝41.解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，依题意，得解这个方程组，得答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个.第三篇：数学七年级8.4三元一次方程组的解法练习8.4三元一次方程组的解法基础训练知识点1三元一次方程(组)的有关概念1.下列方程是三元一次方程的是_________.(填序号)①x+y-z=1;②4xy+3z=7;③+y-7z=0;④6x+4y-3=0.2.①②③④⑤其中是三元一次方程组的是__________.(填序号)3.若(a-1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个关于x,y,z的三元一次方程,那么a=__________,b=__________.知识点2三元一次方程组的解法4.解三元一次方程组先消去_________,化为关于_________、_________的二元一次方程组较简便.5.解方程组若要使运算简便,消元的方法应选()A.消去xB.消去yC.消去zD.以上说法都不对6.已知三元一次方程组经过步骤①-③和③×4+②消去未知数z后,得到的二元一次方程组是()A.B.C.D.知识点3三元一次方程组的应用7.已知单项式-8a3x+y-zb12cx+y+z与2a2b2x-yc6是同类项,则x= ,y= ,z=.8.已知式子ax2+bx+c,当x=1时,其值为-4;当x=2时,其值为3;当x=4时,其值为35.当x=3时,其值为.9.桌面上有甲、乙、丙三个杯子,三杯内原本均装有一些水,先将甲杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升;再将乙杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出,则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升?()A.80B.110C.140D.22010.解方程组提升训练11.解方程组12.解方程组13.解方程组:14.用两种消元法解方程组:探究培优15.如图是一个有三条边的算法图,每个“”里有一个数,这个数等于它所在边的两个“”里的数之和,请你通过计算确定三个“”里的数之和,并且确定三个“”里应填入的数.16.已知甲、乙二人解关于x,y的方程组甲正确地解得而乙把c抄错了,解得求a,b,c的值.解三元一次方程组的消元技巧:(1)先消去某个方程缺少的未知数;(2)先消去系数最简单的未知数;(3)先消去系数成整倍数关系的未知数.另外,在“消元”的过程中必须保证每个方程至少用一次.参考答案1.【答案】①2.【答案】①②3.【答案】-1;04.【答案】z;x;y5.【答案】B解：因为y的系数的绝对值都是1,所以消去y较简便.6.【答案】A 7.【答案】4;-4;6 8.【答案】169.【答案】B解：设甲杯中原有水a毫升,乙杯中原有水b毫升,丙杯中原有水c 毫升.根据题意得②-①,得b-a=110.故选 B.10.解:由②+①×2,得4x+3x+6z+2z=2+2,即7x+8z=4.④由③+②×2,得6x-4x+4z-z=4-1,即2x+3z=3.⑤由④⑤组成方程组,得解得把代入①,得y=-2.所以原方程组的解为分析：解三元一次方程组时,通常需在某些方程两边同乘以某常数,以便于消去同一未知数;在变形过程中,易漏乘常数项而出现方程①变形为4x+2y+6z=1的错误.11.解:设=a,=b,=c,则原方程组可化为①+②,得2a+2c=1,④②+③,得2a+4c=4.⑤④与⑤组成方程组,得解这个方程组,得把代入①,得b=6.因此,x=-1,y=,z=.即原方程组的解为分析：本题运用了换元法,将，分别用a,b,c表示,将原方程组化为关于a,b,c的三元一次方程组,求出a,b,c的值后,进一步再求x,y,z的值,这种方法可使解题过程变简便.12.解:设x=k,y=2k,z=3k,代入②,得2k+2k-9k=15.解得k=-3.所以原方程组的解为分析：像这种已知未知数之间数量比的问题,通常采用设参数的方法,将“多元”化为“一元”,使解题过程变简便.13.解:①+②+③,得2x+2y+2z=12,所以x+y+z=6.④④-①,得z=3.④-②,得x=1.④-③,得y=2.所以原方程组的解为分析：本题没有采用常规的消元方法求解,而是利用整体加减的方法求出未知数的值,给解题过程带来了简便.14.解:方法一:用代入法解方程组.把②变形为2y=3x-4z-8,④将④代入①,得2x+2(3x-4z-8)-3z=9,整理,得8x-11z=25.⑤将④代入③,得5x-3(3x-4z-8)-5z=7,整理,得4x-7z=17.⑥由⑤⑥组成方程组,得解得将代入④,得y=.所以原方程组的解为方法二:用加减法解方程组.①+②×2,得8x-11z=25.④①×3+③×2,得16x-19z=41.⑤由④⑤,得解得将代入①,得y=.所以原方程组的解为15.解:如图,如果把三个“”里的数分别记作x,y,z,则①+②+③,得2(x+y+z)=142,即x+y+z=71.④④-①,得z=-12.④-②,得x=50.④-③,得y=33.所以三元一次方程组的解为所以三个“”里的数之和为71,三个“”里应填入的数按先上后下,先左后右的顺序依次为50,33,-12.16.解:甲正确地解得故可把代入原方程组.乙仅抄错了题中的c,解得故可把代入第一个方程.由题意得解得第四篇：人教版七年级数学下册8.4:三元一次方程组的解法28.4三元一次方程组解法（2）教学设计教学目标：1、会解较复杂的三元一次方程组．2、理解解三元一次方程组的基本思路，会解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤。
人教版数学七年级下册8.4《三元一次方程解法举例》教案
人教版数学七年级下册8.4《三元一次方程解法举例》教案一. 教材分析人教版数学七年级下册8.4节选自《三元一次方程解法举例》，这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程组解法的基础上进行教学的。
三元一次方程组的解法与二元一次方程组解法有相似之处，也有不同之处。
本节课通过具体例子引导学生探究三元一次方程组的解法，让学生体会数学知识的广泛应用，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了二元一次方程组的解法，对解方程组有一定的认识和理解。
但面对三元一次方程组，学生可能会觉得抽象难懂，难以把握。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，引导学生通过合作、交流、探究等方式，理解并掌握三元一次方程组的解法。
三. 教学目标1.让学生理解三元一次方程组的含义，掌握三元一次方程组的解法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作、交流、探究能力，提高学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：三元一次方程组的解法。
2.难点：三元一次方程组的解法在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、探究学习法等，引导学生主动参与教学过程，提高学生的学习兴趣和积极性。
六. 教学准备1.准备相关例题，用于引导学生探究三元一次方程组的解法。
2.准备实际问题，用于巩固学生对三元一次方程组解法的掌握。
3.准备多媒体教学设备，用于展示教学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二元一次方程组的解法，为新课的学习做好铺垫。
然后，教师给出一个三元一次方程组，让学生尝试解这个方程组，从而引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）教师呈现一个具体的三元一次方程组，引导学生进行分析。
教师通过提问方式，引导学生思考如何解决这个问题。
在学生思考的过程中，教师逐步给出解题思路，让学生理解并掌握三元一次方程组的解法。
3.操练（10分钟）教师给出几个类似的三元一次方程组，让学生独立解决。
七年级数学下册8.4三元一次方程组解法举例教案新人教版
度
助意识，提高学生的交流和表达能力。
教学重点
（1）使学生会解简单的三元一次方程组． （2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
教学难点 针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
教学方法 引导探究法Fra bibliotek教学媒体 电脑多媒体
教学环节 教学内容及教师指导
学生活动及设计意 图
情境
前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些 激发学生学习数学
次方程组的目的.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组
类型二：缺某元，消某元.
教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项 y
来达到将“三元”转化为“二元”目的，同学
可以课下自行尝试一下.
活动 4
探究例 1
先独立思考，然后小
练习：
组讨论
变式迁移
解方程组你能有多少种方法求解它？ 本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行
z
交流评价
合计
12
5z 理解体会 22
注
1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍，即
x=4y
解：（学生叙述个人想法，教师板书） 设 1 元，2 元，5 元的张数为 x 张，y 张，z 张.
根据题意列方程组为：
【得出定义】 （师生共同总结概括） 这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中 含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方 程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
8.4 三元一次方程组解法举例
课 题 8.4 三元一次方程组解法举例
课型 新授
知 识 技 1.了解三元一次方程组的概念.
能
数 学 思 2.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．
8.4三元一次方程组解法举例第1课时导学案
8.4 三元一次方程组解法举例第1课时一、新课导入：1.导入课题：含有两个未知数的问题，可列出二元一次方程组来解决，含有更多未知数，如三个未知数如何解决呢？这节课我们就来学习解三元一次方程组.2.学习目标：（1）学会运用代入法、加减法来解决简单的三元一次方程组；（2）能利用三元一次方程组解决一些简单的实际问题.3.学习重、难点：用代入法或加减法解三元一次方程组二、分层学习：第一层次学习1. 自学指导：（1）自学内容：自学课本P103—P104例1前的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：认真阅读课文，小组合作研讨“消元”的方法，选用合理、简捷的方法解方程组.（4）自学参考提纲：1）什么叫三元一次方程组？2）解三元一次方程组的基本思路是什么?常用的方法有哪些?3）如何解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++)3(4)2(2252)1(12y x z y x z y x ，如果将（3）分别代入（1）、（2），得到二元一次方程组⎩⎨⎧，求出y 和z ，进而求出x. 由上可看出解三元一次方程组的思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把“三元”化为“ ”，使解三元一次方程组转化为解 方程组，进而转化为解 方程.2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.3.助学：（1）明了学情：（2）差异指导：4.强化：（1）解三元一次方程组的基本思想和一般步骤.（3）练习：解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=443223572z x z y x x y第二层次学习1. 自学指导：（1）自学内容：自学课本P104例1.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：认真观察方程组的特点，合理进行消元，简化解方程组的难度.（4）自学参考提纲：1）课本中解方程组的方法是先消去未知数，从而得到关于未知数的二元一次方程组.2）请你尝试用其它的方法.3）比较你的方法和课本给出的方法，哪种更简便？2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.3.助学：（1）明了学情：（2）差异指导：4.强化：（1）解三元一次方程组的思路及消元策略.（2）解三元一次方程组27, 5322, 34 4.y xx y zx z=-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩三、评价：1.学生学习的自我评价（围绕三维目标）2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：（2）纸笔评价：课堂评价检测3.教师的自我评价（教学反思）。
8.4三元一次方程组解法举例 导学案
8.4三元一次方程组解法举例 导学案编号： 使用日期： 编写人： 审核人：学习目标：了解三元一次方程组的概念，理解解三元一次方程组的基本思路，会解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤。
学习重点、难点：三元一次方程组的解法学习过程：一、课前小练1、请快速写出方程组23y x x y =⎧⎨+=⎩的解：x y =⎧⎨=⎩ ； 2、请快速写出方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解：x y =⎧⎨=⎩ ； 3、 以上两个方程组都是 方程组，第一个方程组用 法较便捷，第二个方程组用 法较便捷，不管那一种方法，它们的目的都是为了 ，从而把二元一次方程组转化为 方程来解。
二、例题主干讲解请观察方程组1225224x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩这个方程组有什么特点？一般地，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 方程组。
三元一次方程组如何解呢？对比二元一次方程组的解法，你想到了解决办法了吗？方法：把三元一次方程组变为 方程组或 方程来解。
尝试解三元一次方程组：12 (1)2522 (2)4 (3)x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解：把(3)分别代入(1)、(2)得：(4)(5)把方程(4)、(5)组成方程组⎧⎨⎩解这个方程组，得y z =⎧⎨=⎩把y = 代入（3），得x =因此，三元一次方程组的解为x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩小结：解三元一次方程组的基本思想方法是：将三元一次方程组通过 或______化为__________，然后再次消元将二元方程组化为一元一次方程。
仿照练习：解三元一次方程组：31233325x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩三、题组训练1、下列方程组不是三元一次方程组的是( )A.576x x y x y z =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩B.342x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ C ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-232181531794z y x z y x z x D 5132x y z xyz x y +-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩2、将三元一次方程组540 (1)3411 (2)2 (3)x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩，经过步骤(1)- (3)和(3)×4+(2)消去未知数z 后，得到的二元一次方程组是( )A ．432753x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.432231711x y x y +=⎧⎨+=⎩ C.342753x y x y +=⎧⎨+=⎩D 342231711x y x y +=⎧⎨+=⎩3、已知221(21)(42)0x y z -++++=，则2x y z -+= 。
8.4 三元一次方程组的解法(导学案)
*8.4 三元一次方程组的解法一、新课导入1.导入课题:前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法，知道有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多个未知数，这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法（板书课题）.2.学习目标:（1）知道什么是三元一次方程组.（2）会用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组.（3）通过解三元一次方程组进一步体会消元思想.3.学习重、难点:重点：用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组，进一步体会消元思想.难点：根据方程组的特征寻找合适的消元途径.二、分层学习1.自学指导：(1)自学范围：课本P103~P105例2之前的内容.（2）自学时间：8分钟（3）自学要求：认真阅读课文，弄清楚解三元一次方程组的基本思路还是消元，通过尝试比较，体会如何选择合理、简便的消元途径.（4）自学参考提纲：①什么叫三元一次方程组？②解三元一次方程组的基本思路是什么？常用的方法有哪些？③按课本上提供的消元思路解方程组1225224x y zx y zx y++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，你还有其他的解法吗？试一试.④仔细阅读例1，体会“分析”是怎样思考找消元思路的，以及如何书写解题过程，其中解消元后的二元一次方程组的详细过程可省略不写，最后尝试解决例题后方框中的问题.⑤通过解这两个三元一次方程组，对“怎么消元、先消哪个元”你有何感悟或心得？2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况（主要是学习进度、效果及存在的问题等）.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内同学间相互交流研讨、互助解疑难. 4.强化：（1）解三元一次方程组的基本思路、消元策略和一般步骤. （2）练习：解下列三元一次方程组:a. 293247x y y z z x .-=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，①，②③b. 3423126x y z x y z x y z .-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩，①，②③解：a.①+②×2，得x-2z=-3.④③与④组成方程组24723z x x z .+=⎧⎨-=-⎩，解得22252x z .=⎧⎪⎨=⎪⎩，把252z =代入②，得312y =.∴原方程组的解为22312252x y z .⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，， b.①+②，得5x+2y=16.④①-③，得2x-2y=-2.⑤ ④和⑤组成方程组5216222x y x y .+=⎧⎨-=-⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，.把23x y =⎧⎨=⎩，代入③得z=1. ∴原方程组的解为231x y z .=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，1.自学指导：（1）自学范围：课本P105例2. （2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：认真阅读课文，先根据题中条件得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，然后分析方程组的特点，找到简便消元途径，进而求出方程组的解.（4）自学参考提纲：①例2中解三元一次方程组为什么要先消元未知数c？②不看例题的解题过程，自己再解一遍这个三元一次方程组，然后再与课本相对照，体会如何书写规范的解题过程.③若甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的13等于丙数的12，你能求出这三个数吗?答案：甲=10，乙=15，丙=10.2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内同学间相互交流、纠错.4.强化：（1）解三元一次方程组的基本思路、消元策略和一般步骤. （2）练习：在y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=2；当x=2时，y=8；当x=5时，y=158.（1）求a，b，c的值；（2）求当x=-2时，y的值.解：（1）根据题意，有2428255158a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得8612abc.=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，(2)把（1）中a=8，b=-6，c=-12代入y=ax2+bx+c，得y=8x2-6x-12.当x=-2时，y=8×（-2）2-6×（-2）-12=32.三、评价1.学生的自我评价：学生代表交流学习目标的达成情况及学习的感受等.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价:教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(20分)对于方程组23526322x y x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩，，，最优的解法是先消去（ C ）转化为二元一次方程组.A.xB.yC.zD.都一样2.(20分)解方程组2333215x y z x y z x y z .-+=⎧⎪+-=-⎨⎪++=⎩，，（1）若先消去x ，得到关于y 、z 的方程组是372516y z y z -+=-⎧⎨+=⎩.（2）若先消去y ，得到关于x 、z 的方程组是52348x z x z +=⎧⎨+=⎩.（3）若先消去z ，得到关于x 、y 的方程组是412539x y x y +=⎧⎨+=⎩.通过消元转化为二元一次方程组的过程看，上面的三种方法中第二种比较简便.3.（30分）解下列三元一次方程组：2715322344y x x y z x z =-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩，①（），②；③解：（1）把①代入②，得11x+2z=23.④③与④组成方程组34411223x z x z .-=⎧⎨+=⎩，解得212x z .=⎧⎪⎨=⎪⎩，把x=2代入①，得y=-3.∴原方程组的解为2312x y z .=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，4912232175194x y y z x z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，①（），②；③(2)①-②×3，得4x+6z=9.④③与④组成方程组75194469x z x z .+=⎧⎨+=⎩，解得324x z .=-=， 把z=2代入②，得53y =. ∴原方程组的解为34532x y z .=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，， 4917331518232x z x y z x y z .-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，①（），②③（3）②×2-③，得5x+27z=34.④①与④组成方程组491752734x z x z .-=⎧⎨+=⎩，解得513x z .=⎧⎪⎨=⎪⎩，把513x z .=⎧⎪⎨=⎪⎩，代入②，得y=-2.∴原方程组的解为5213x y z .⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，，二、综合运用（15分）4.解方程组24393251156713x y z x y z x y z .++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，①，②③解：①+②×2，得8x+13z=31.④②×3-③，得x+2z=5.⑤ ④与⑤组成方程组8133125x z x z .+=⎧⎨+=⎩，解得13x z .=-⎧⎨=⎩，把13x z .=-⎧⎨=⎩，代入①，得y=12.∴原方程组的解为1123x y z .=-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，三、拓展延伸（15分）5.在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=20；当x=32与x=13时，y的值相等，求a、b、c的值.解：根据题意，得三元一次方程组2209311 4293a b ca b ca b c a b c.++=--+=++⎧⎪⎪⎨⎪⎪=++⎩，，解得6113abc==-⎩=⎧⎪⎨⎪，，.∴a，b，c的值分别为6，-11，3.。
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8.4三元一次方程组解法举例导学案
学习目标：
了解三元一次方程组的概念，理解解三元一次方程组的基本思路，会解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤。
学习重点、难点：三元一次方程组的解法
学习过程：
一、课前预习
1、请快速写出方程组
2
3
y x
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
的解：
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
2、请快速写出方程组
3
1
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解：
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
3、以上两个方程组都是方程组，第一个方程组用法较便捷，第二个方程组用法较便捷，不管那一种方法，它们的目的都是为了，从而把二元一次方程组转化为方程来解。
二、新课讲授
问题1 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
解：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，
根据题意，得方程组
_________________
_________________
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，①
，②_________________. ③
请观察上面方程组的特点，归纳三元一次方程组的定义.
一般地，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做方程组。
三元一次方程组如何解呢？对比二元一次方程组的解法，你想到了解决办法了吗？
方法：
尝试解三元一次方程组：
12 (1)
2522 (2)
4 (3) x y z
x y z
x y
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
解：把(3)分别代入(1)、(2)得：
(4)
(5)
把方程(4)、(5)组成方程组
解这个方程组，得
y z =⎧⎨=⎩
把 代入（3），得
x =
因此，三元一次方程组的解为
x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
问题2 解三元一次方程组
3472395978.x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
，①，②③
分析：方程①只含_____、______，因此，可由②③消去，得到一个只含x ，y 的方程_____________，
与①组成一个二元一次方程组______________.______________.⎧⎨⎩解这个方程组得__________.
x y =⎧⎨=⎩，进而求得z=_____.因此，
原方程组的解为__________,_____.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
学生独立完成过程
三、当堂测评
1、下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A.576x x y x y z =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩
B.342x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ C ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-232181531794z y x z y x z x D 5132x y z xyz x y +-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩
2、将三元一次方程组540 (1)3411 (2)2 (3)x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩
，经过步骤(1)- (3)和(3)×4+(2)消去未知数z 后，得
到的二元一次方程组是( )
A ．432753x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.432231711x y x y +=⎧⎨+=⎩ C.342753x y x y +=⎧⎨+=⎩D 342231711x y x y +=⎧⎨+=⎩
3、解方程组：
⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-4723
92x z z y y x
四、小结本节课所学内容。