专题24 与圆有关的计算(讲练)-2016年中考数学一轮复习讲练测课课通(解析版)

初中数学中考一轮复习——空间与图形 第五单元 圆
第二十四讲 与圆有关的计算
一、目标要求：
1．会计算圆的弧长和扇形的面积． 2．会计算圆锥的侧面积和全面积． 3．了解正多边形与圆的关系.
二、课前热身
1.一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是( ) A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形
D.正十二边形
【答案】C.
【解析】∵多边形的外角和都等于360°,而360°÷36°=10,∴这个正多边形是正十边形.故选C. 2.已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是( )
A ．5π
B ．6π
C ．8π
D ．10π 【答案】D ．
【解析】此扇形的弧长是：
150r
180
π⋅⋅=10π．故选D ． 3.圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是( )
A. π6
B. π8
C. π12
D. π16 【答案】B.
【解析】圆锥的侧面积=πrl=π×2×4=8π.故选B.
4.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π） 【答案】3π
5.在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则弧AB 的长等于（ ）
A ．
3π B ．2π C ．23π D ． 32
π 【答案】C ．
【解析】如图，连接OA 、OB ，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB=60°， ∴弧AB 的长为
ππ3
2
180260=⨯⨯.故选C ．
6.半径为1的圆内接正三角形的边心距为 ． 【答案】
2
1．
三、【基础知识重温】
1. 圆的周长为2πr ，1°的圆心角所对的弧长为
1803602r r ππ=，n °的圆心角所对的弧长为 180
180r n π=
⨯ ，弧长公式为 180
l =
. 2. 圆的面积为πr 2
，1°的圆心角所在的扇形面积为
360
2r π，n °的圆心角所在的扇形面积为
S= 360 ×πr 2
= 360 = 2
.
3. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线的长）；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2
.
四、例题分析
题型一 弧长、扇形的面积
例1.(2015·黑龙江哈尔滨）一个扇形的半径为3cm ，面积为π2cm ,则此扇形的圆心角为 【答案】40°.
【分析】直接利用扇形的面积S=2
3360
n p ´计算.
【解析】根据扇形的面积计算公式可得：2
3360
n p ´=π，解得：n=40°，即圆心角的度数为40°.
【点评】本题考查了扇形面积的计算，正确记忆公式是解决本题的关键.
例2.(2015·吉林长春）如图，PA 为O 的切线，A 为切点，B 是OP 与O 的交点，若203P OA ∠=︒=，，
则 AB 的长为 (结果保留π) ．
B
A
P
O
【答案】
76
π
【分析】根据切线的性质，直角三角形，弧长公式即可得
.
【点评】本题考查切线的性质及弧长,正确记忆公式是解决本题的关键.
【方法技巧规律】当已知半径r 和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S 扇＝360
2
r n π，当已知半径r 和弧长
求扇形的面积时，应选用公式S 扇＝21lr ，当已知半径r 和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l ＝180
r n π. 【趁热打铁】
1.圆心角为120 ，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A ．6
B ．9
C ．18
D ．36 【答案】C.
【解析】12012180
r
ππ=
，解得：r=18.故选C. 2.半径为4cm ，圆心角为60°的扇形的面积为 cm 2
．
【答案】8
3
π.
【解析】S=260483603
ππ⋅⋅=（cm 2
）
． 题型二 圆锥的侧面积和全面积
例.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）底面周长为10πcm ，高为12cm 的圆锥的侧面积为
． 【答案】65πcm 2．
【分析】直接根据圆锥的侧面积公式计算即可.
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，∴r =102ππ=5，∴a =13，∴圆锥的侧面积=12
×10π×13=65π，故答案为：65πcm 2
．
【点评】本题考查了圆锥的计算,圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,半径等于圆锥的母线长.
【方法技巧规律】圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,半径等于圆锥的母线长，正确理解是解题的关键． 【趁热打铁】
1.如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ）
A ．3
4π B ．32π C ．34 D ．32
【答案】B ．
【解析】设底面圆的半径为r ，则：90332r r 1804ππ⋅⋅=
⇒=.∴圆锥的底面周长为3
2
π.故选B ． 2.若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）
A. 15π
B. 20π
C.24π
D. 30π 【答案】A ．
3.一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm ，底面圆的直径是5cm ，点A 为圆锥底面圆周上一点，从A 点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A 点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（ ） A ． 10πcm B ． 10cm C ． 5πcm D ． 5cm
【答案】B
【解析】由题意可得出：OA=OA ′=10cm ，=
180
10
⨯πn =5π，解得：n=90°，∴∠AOA ′=90°，∴AA ′=2
2
'OA OA +=102（cm ），故选：B ．
题型三 阴影部分的面积
例.（2015·黑龙江绥化）如图 ，将一块含300角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放 ，使斜边与半圆相切。

若半径OA=2 ,则图中阴影部分的面积为____________.(结果保留π)
【答案】
43
32
π+
【分析】通过图形知S 阴影=S 扇形+S △-S △BOC ，所以由扇形的面积公式和三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积．
【点评】本题考查切线的性质、扇形的面积、勾股定理，解题的关键是确定好阴影部分面积的由来. 【方法技巧规律】 阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想. 【趁热打铁】
1如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心O ，则阴影部分的面积是 （结
果保留π）
【答案】3π
2.如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．23π-
．2
3
π- C ．π D ．π
【答案】B ． 【解析】连接BD ，
∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD 的高为3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，
设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，
在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ∠=∠=∠=∠⎧⎪
⎨⎪⎩，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF -S △ABD =32213602602⨯⨯-⨯π=33
2
-π．故选B ．
五、牛刀小试
1、【题源】2015·辽宁盘锦
如图，从一块直径是8m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（ ）m ．
A
．．5 C
．【答案】C ．
【题源】2015·湖北衡阳
圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）． 【答案】3π
【解析】根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为
2
1203
3
360
π
Sπ==.
2、【题源】2015·辽宁营口
圆内接正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为 cm2．
【答案】
【解析】因为圆内接正六边形的两条半径与正六边形边长组成等边三角形，由边心距可求得正六边形的边
长是24
=，把正六边形分成6个这样的三角形，则这个正六边形的面积为4×÷2×
6=
3、【题源】2015·辽宁抚顺
如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，若⊙O的半径为，则阴影部分的面积为．
【答案】2π-
4、【题源】2015·辽宁盘锦
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EH经过点C，则图中阴影部分的面积为．
【答案】
1 42π
-．。