浙江大学 数学专业毕业设计论文

max z x1 x2 x3 x4 s.t.x1 400 1.1x1 x2 440 1.21x1 1.1x2 x3 484 1.331x1 1.21x2 1.1x3 x4 532.4 xi 0, i 1,2,3,4
建立函数文件 FUN44.M function [f,g]=fun44(x) f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4))); g(1)=x(1)-400; g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440; g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484; g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4; 键入命令 x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];options=[]; x=constr('fun44',x0,options,vlb,vub) fun44(x)
优化方法与程序设计研究
一．最优化理论与方法综述
优化理论是以数量分析为基础，以寻找具有确定的资源、技术约束的系统最 大限度地满足特定活动目标要求的方案为目的， 帮助决策者或决策计算机构对其 所控制的活动进行实现优化决策的应用性理论。
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优化理论又称为数学规划， 依据优化理论对具体活动进行数学规划的方法成 为优化方法。在中国，优化理论通常被划为运筹学的范畴，所以在有些书籍中， 线性规划理论被称为运筹学的一个分支。 优化理论的主要分支结构为： 线性规划 整数规划 优化理论 目标规划 非线性规划 动态规划 随机规划 最优化理论与算法是一个重要的数学分支， 它所研究的问题是讨论在众多的 方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如，工 程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源 分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获 得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润； 原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规 划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局， 才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物 的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作 战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各 个领域中， 诸如此类， 不胜枚举。 最优化这一数学分支， 正是为这些问题的解决， 提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。 z f x , opt ci x 0, i 1,2, , m, s.t. ci x 0, i m 1, m 2, , p, 最优化问题数学模型的一般形式为： 无约束优化问题的解法 解析解法 数值解法：最速下降法；Newton 法；共轭梯度法；拟 Newton 法；信赖域法 约束优化问题的解法 解析方法：Lagrange 法 数值解法： 外罚函数法 内障碍罚函数方法 广义 Lagrange 乘子法 序列二次规划方法 线性规划的解法： 单纯形法：小型 对偶单纯形法 内点算法：大型 整数规划的解法： 分支定界法
27116只有土豆与生菜的为一元二次函数虽然这六个函数是通过检验值选取的但题中数据有限很可能产生偶然误差显著性高并不一定能够反映作物的实际规律根据公理1一元二次回归方程能够较好地反映作物产量与施肥量的关系据此本文以六个一元二次函数重新对土豆与生菜作物产量与施肥量的关系进行拟合
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2.问题的假设
1.假设本文搜到的数据是科学准确的，不会在短期内变动。 2.假设 N 、P、K 三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素，本文近似认为如 果三种肥料都不施用，农作物没有产量。 3. 假设生产的农作物可以以标准价格售出，并且其他因素的支出暂时算入 收益考虑。 4.假设土壤中含有 N 、 P 、 K 元素标准，对模型影响忽略不计。
3.符号的说明
主要符号 N、P、K 符号意义 氮、磷、钾肥 表示施用 N 肥的产量 表示施用 P 肥的产量
YN
YP
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YK
Y
表示施用 K 肥的产量 表示总产量 表示蔬菜售价 表示 N、P、K 肥的售价 表示施用 N、P、K 肥的是施肥量 施肥量 表示施用 N、P、K 肥时的收益 总体满意度 为最满意产量值、最满意效益值
x1 86.2, x2 104.2, x3 126.2, x4 152.8
得到 z 43.1
二．多因素条件下作物施肥效果分析
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本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题， 根据不同目标对施肥量与肥料 搭配比例进行调整，达到各目标的最优。 首先，基于一元线性回归模型，以一种肥料作为自变量，另外两种肥料固定 在第七水平，建立了六个一元回归方程，分别研究某一种肥料变化时，该肥料施 肥量与产量的关系。根据散点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图 更直观准确，将原数据进行无量纲化处理，得到 0 到 1 间的值。利用 eviews 软 件进一步对一元函数进行拟合，选取显著性最高的拟合结果，求解时，对非线性 的回归方程，通过取对数将其线性化，得到结果后再将其转换成原函数形式，最 终得到六个反映施肥量与产量关系的一元回归模型。 为了提高六个回归方程整体 的显著性，本文以三种肥料的施肥量同时作为自变量，建立三元二次回归模型， 检验均通过，并具有高度的显著性，拟合效果较好。 其次， 基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归 方程的最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模 型得到的产量更大， 其中土豆与生菜产量的最大值分别为 44.95t/ha， 23.04t/ha。 土豆对应的 N、 P、 K 肥料的施肥量分别为 293.13kg/ha， 250.0kg/ha， 540.0kg/ha。 生菜对应的 N、 P、 K 肥料的施肥量分别为 212.06kg/ha， 426.91kg/ha， 665.69kg/ha。 再次，考虑到施肥的经济性，以产值和施肥费用作为自变量，以总收益作为 因变量， 建立收益最大化模型。 分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型 与三元二次回归模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜 K 肥施肥量 无穷大时，收益也趋近于无穷大，显然不合理，本文以一元二次函数对六个回归 方程重新进行拟合，检验看出，显著性不高，但基于新的回归方程得到的结果更 加合理，更符合实际情况，具有较高的实用性。基于三元二次回归模型进行求解 时，通过（0,0,0,0）点的引入，增加了三种肥料交互影响产生的交叉项，避免 了肥料搭配不合理造成的大量浪费。比较两种模型的结果看出，基于三元二次回 归方程得到的收益更大，土豆与生菜的最大值分别为 102500 元/公顷，52023 元 /公顷。 再次，引入环保因素时，通过两种方法实现，一是基于收益最大化模型，将 污染指数作为限制条件，以收益最大为目标，建立线性规划收益最大化模型。二 是引入目标偏差变量，以偏差变量之和最小为目标，以污染指数，肥料搭配比例 作为约束条件，建立多目标规划模型，以环境指数小于 25 为前提，追求收益尽 量大。比较两种模型的结果看出，多目标规划的的结果更符合本问的要求，土豆 与生菜的最大收益值分别为，环境指数为 25，属于轻度污染， K 肥施肥量超过 满意值，但 K 肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满 意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。 最后对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到 评价模型。 本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作 为单目标的满意度， 利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与 满意度求和可以得到多目标满意度， 根据多目标总体的满意度对模型应用效果作 量化估计。 从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推 广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。
S
bN 、 bP 、 bK
n、 p 、k
Q
mN 、 mP 、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱmK
M
m1 、 m2
4.问题的分析及建模流程图
本问题涉及的是作物施肥数量与结构的优化问题，要解决的问题是如何建 立及深化模型，逐步引入限制因素，达到最优目标，其中如何分配施肥量的数量 和结构，达到多目标最优，是需要解决的核心问题。 4.1 基本思路 根据 N、P、K 肥料施肥量与作物产量的数据，构造函数可以拟合出施肥量与 产量的关系， 该拟合函数的最大值即对应产量的最大值。 考虑到施肥的经济性时， 通过对产量最大化模型进行改进，以收益最大化为目标，得到收益最大时肥料的 使用数量与结构。引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最 大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将 污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目 标规划模型，得到多目标最优解。 4.2 具体分析 问题一：分析施肥量与产量的关系，选取适当的拟合函数是关键，有两种方 法。 一是以一个肥料的施肥量作为自变量，将另外两个肥料的施肥量保持在第七 水平，以产量作为自变量构造六个一元函数，表示三种肥料分别作为自变量时， 两种作物施肥量与产量的关系。 二是以三种肥料作为自变量， 以产量作为因变量， 构造三元函数，拟合施肥量与产量的关系。具体的函数拟合结果的求解通过 eviews,Matlab 软件实现。 问题二：问题一中拟合函数的最大值即产量的最大值，基于问题一中的模 型，通过求解其产量最大值，得到产量最大时各肥料的施肥量和结构。 问题三：考虑到施肥的经济性，以收益最大化为目标，通过作物产量与售
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1.问题的重述
农作物生长所需的营养素主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。某作物研究所在 某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中 ha 表 示公顷，t 表示吨，kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个 营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时， P 与 K 的施肥量分别取为 196kg/ha 与 372kg/ha。 (1)试分析施肥量与产量之间关系； (2)试以作物产量最大化为目标，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并 求解每公顷土豆和生菜的施肥量的数量和结构； (3)作物产量最大化，不一定是最经济的，请考虑施肥的经济性，建立作物 施肥数量与结构的优化模型，并根据主要肥料的营养素含量、市场价格情况，以 及农产品的价格情况等，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构； (4)有研究表明，我国大部分地区作物生产的施肥量超过了土地承受能力， 除加重农民负担外， 土壤退化、 江河湖海的富营养化正在成为农业和环境可持续 发展的严重障碍。 由于施肥给蔬菜带来的污染有两个途径，其一是通过肥料中所 含有的有毒有害物质，如重金属、病原微生物等直接对蔬菜或土壤的污染；其二 是通过不合理施入大量氮素肥料造成蔬菜体内硝酸盐的过量积累， 导致蔬菜品质 和口感较差。鉴于以上情况，请在问题(3)的优化模型的基础上，进一步改进你 的模型，根据实验数据，并进行合理的数值假定，优化每公顷土豆和生菜的肥料 使用数量与结构。 (5)对所得模型与结果从如何改进与应用价值与效果等方面做出量化估计。