完全市场中的资产定价--有限离散时间情形
金融决策
1 绪论人类社会产生伊始，就面临着一个基本矛盾，这就是人类需要的无限性与满足需要的手段即资源的稀缺性之间的矛盾。
一方面，人们的需要是无限多样、永无止境的，原有的一种需要满足了，新的需要又产生了。
另一方面，现实社会中，几乎没有什么资源、物品丰富到可以使任何人无需付出什么代价就能得到。
相对于人们的需要来说，绝大多数物品、资源都是数量有限的或稀缺的。
这种资源的稀缺性决定了人类的需要只能得到部分的满足，而不可能完全满足。
因此，如何充分利用稀缺的资源，实现资源的最佳配置以最大限度地满足人们的需要，也就成了任何社会都共同面临的基本经济问题。
整个社会是这样，对于构成社会的个人(或居民、或家庭，以下我们不加区分)来说也是这样。
个人通过消费物品等满足自己的需要，资源的稀缺性导致个人要获得需要的消费品必须付出代价(最常见的就是货币表示的价格)，这必然使得现实世界中，个人无限的欲望的满足受到其有限的货币收入水平等的限制，不可能得到完全的满足。
同样，作为社会生产单位的企业，希望从投资中产生巨大的效益，然而资金的有限性等诸多客观因素的制约，使企业不可能完全得到所需要的。
总之，满足手段的有限性(稀缺性)迫使人们必须做出选择，也就是做出决策，控制和引导自己的行为。
作为个人，为了最大限度地满足自己的消费需要面临的是如何最优地分配自己的收入的决策问题；作为企业，为了使投资得到最大的收益，也面临着诸多方面的决策问题。
决策就是根据对目标的评价，从可行的行为中选出令人满意的策略，作为行动的指南，现实世界中大多数决策是在不确定条件下进行的。
金融决策就是这样，它包括：选择，选择的结果向将来延伸。
由于将来是未知的，金融决策不可避免地是在不确定性条件下进行的。
不确定性(uncertainty)和风险(risk)是不能互相替换的两个概念。
不确定性指的是决策者外部环境的随机性，它超越了决策者的控制，决策者不能改变它的水平，但是它导致决策者目前采取的任何行为的将来结果都是不确定的。
为什么市场价格是离散的？
为什么市场价格是离散的？一、引言价格离散现象①是许多商品市场的特征。
某些经验研究检验这一现象时，经常假设出现价格差异的产品是异质的。
而越来越多的研究显示，同质产品市场的价格离散也是显著的，这就需要新的经济学解释。
经济学家用具有搜寻成本的消费者搜寻理论模型解释这一现象。
消费者搜寻理论假设消费者具有非完美信息和正的搜寻成本，这导致厂商的均衡价格策略是混合策略，即服从某一价格分布，从而造成市场价格是离散的。
这一模型假设(消费者拥有非完美信息和正的搜寻成本)适用于多数市场，所以消费者搜寻理论是对价格离散现象的一个好的解释。
斯蒂格勒(Stigler，1961)关于信息经济学的文章，是最早关于消费者搜寻和市场价格关系的研究。
他论证了市场价格的离散化是消费者搜寻次数的函数，同时也依赖于商品的特性。
因此，他得出消费者可能在下列情况下加大搜寻：(1)该商品在消费者支出所占比例很大；(2)重复消费者的比例大；(3)市场的地理区域小(低的搜寻成本)。
罗斯柴尔德(Rothschild，1974)指出，在斯蒂格勒的模型中只考虑了消费者行为，即假设市场价格分布已知，而忽略了厂商如何制定价格策略这一实际情况。
他指出应发展市场均衡模型，其中消费者和厂商利用他们的信息共同实现最优行动。
基于这一问题，多个经济学家发展并完善了消费者搜寻模型，可以得出稳定的市场均衡就是价格离散分布，越来越多的经验研究也证实了这一结论。
本文我们回顾与价格离散分布相关的消费者搜寻理论研究及经验研究，总结不同模型假设下得到的市场均衡及比较静态分析结果，是对非完美信息下消费者搜寻行为与市场均衡研究的一个理论综述。
二、基本模型自斯蒂格勒(1961)之后，多个学者发展了消费者搜寻模型，它们的主要结果由于模型假设不同而有所差别，但最终均衡均会得到价格离散分布的结果。
模型的基本思路是：由于某些消费者对于价格拥有不完全信息，为了获得价格信息他们必须支付正的搜寻成本，所以厂商采取高价格和低价格是无差异的。
离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型
离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型是金融学中重要的理论模型之一，用于分析金融市场中的资产定价和投资决策等问题。
该模型基于离散时间和假设的市场效率，帮助投资者和决策者理解资产价格形成的机制以及投资组合的构建方法。
离散时间的金融市场均衡模型基于投资者的理性预期和市场上所有交易者的行为，认为资产价格的变动是由于预期收益和风险之间的平衡关系。
根据这一模型，投资者的资产定价和投资决策是基于其对未来经济环境和财务状况的预测。
模型中的关键因素包括预期收益率、风险和市场流动性等。
资产估值多期模型是离散时间金融市场均衡模型的一种扩展，考虑了多个投资期限内的资产价格和投资者的决策。
在这种模型中，投资者可以在多个期限内购买或出售资产，并根据不同时间段的预期收益和风险来决定投资组合。
该模型可以帮助投资者在不同期限内进行风险管理和资产配置的决策。
这两种模型的应用非常广泛，可以用于分析股票、债券、期权等各种金融资产的定价和风险管理。
通过建立合理的模型和假设，投资者可以根据自己的投资目标和风险承受能力来选择适合自己的投资组合，从而实现资产配置和财富增长。
然而，需要注意的是，离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型都是建立在一系列假设和简化条件的基础之上的。
在实际应用中，投资者和决策者需要根据具体情况进行适当修正和调整。
此外，模型中的参数估计和预测也存在不确定性，需要投资者谨慎使用和解读模型的结果。
总之，离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型是金融学中重要的理论框架，对于分析资产定价和投资决策具有重要意义。
通过合理运用这些模型，投资者可以更好地理解市场价格形成的机制，并基于理性预期进行投资组合的构建和优化。
离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型为投资者和决策者提供了一种理论框架，帮助他们更好地理解金融市场的运作机制，并进行有效的资产定价和投资决策。
这些模型在实际应用中发挥着重要的作用，对于投资组合的构建、风险管理和财富增长等方面至关重要。
CAPM文献综述
CAPM模型文献综述一、前言资产定价理论是关于金融资产的价格决定理论，价格决定理论在金融理论中占有重要的地位，资本资产定价理论（Capital Assets Pricing Model，CAPM模型）就是分析组合资产中各种金融资产的风险与报酬率之间关系的一种理论模型。
CAPM作为金融理论中第一个金融资产均衡定价模型，被认为是金融市场现代价格理论的脊梁骨。
它被广泛用于实际研究，成为专业投资决策的一个重要基础，在资产组合业绩评价、资本成本估计等方面得到了广泛运用。
二、CAPM的历史渊源1.Markowitz的均值-方差模型(M-V)。
尽管在1952年以前已有相关的投资理论,但它们所缺乏的是当诸多风险相关时,或投资组合有效或无效时,对分散化投资效应如何进行解释,对收益-风险如何进行权衡。
Markowitz的独特之处在于他认为分散化投资可有效降低投资风险,但一般不能消除风险,而且在其论文中证券组合的风险用方差来度量。
另外,他第一个给出了分散化投资理念的数学形式,即“整体风险不低于各部分风险之和”的金融版本。
具体数学形式如下:上式说明这样一个事实:即由于不同证券在一定时期的收益率之间常常存在着相互关联,因此它们构成的组合的预期风险并不等于这些个别证券预期风险的加权平均,这使得投资者可利用组合投资来降低整体风险。
由此可知,分散化投资降低整体风险不只与组合中证券的个数有关,还与这些证券之间的相关性或协方差有关。
2.从均值-方差理论到CAPM。
是1959年Markowitz在吸收当时Van Newman和Morgenstern (1947)及Savage(1954)成果的基础上,力图寻求一种调和的方法,将他的均值-方差理论与财富的预期效用函数结合起来。
另外，Markowitz还在他1959年的著作中预见了几个未来研究方向,其中一个研究方向描述在其著作的脚注中,他给出了对角的或市场模型的轮廓。
基于Markowitz的建议，Sharpe于1963年对这个模型进行了详细的研究。
资产定价理论izqq.pptx
1
完全市场或代表消费者假定
p=E(mx) 只是说当前价格是未来偿付的
线性函数，不涉及市场的完全性。
对每一个个体消费者都 成立，并不要求是代表消费者。 经典的理论是通过一般均衡框架，假定 市场完全，或者全体消费者合成一个代 表消费者，来得到资产定价公式的。
2
正态分布和二次效用函数假定
10
谁是鸡？谁是蛋？
这个问题是指谁是外生变量（因变量）， 谁是内生变量（自变量）。
答案是谁也不是。在基本定价方程中，
知道 E(mx) 可求得 p；反之，知道 p也
可用来确定消费和储蓄决策。
11
大多数资产定价问题的目标
“对于大多数的资产定价应用来说，我 们感兴趣的是资产的一大类横截面。这 样，有意义的是以单一的折现因子来对 比资产价格（期望收益）的横截面变化 与它们的二阶矩 (beta) 的横截面变化。 在多数应用中，折现因子是集总变量 （市场收益，集总消费）的函数，因而 它们似乎是在我们把一种个别资产与另 一种资产作比较时是常数。”
19
关于基本定价方程的结语（续）
当我们说到政策干涉、新的市场等等的效应时， 同样是如履薄冰。统计建模的均衡消费或资产 收益过程都可能因结构上的变化而变化。
对于这样的问题实在需要从一般均衡的观点出 发来考虑问题。
应该看到有一支研究持久消费的宏观经济学家 的大军，它们以资产收益过程作为外生的，来 研究（内生）的消费和储蓄决策。
例如取
那么超额收益满足
因而有
这个等式就可进行经验研究。
22
计算得到的图象
取10个CRSP的组合，＝0.98, =241, 得到季 度超额收益的预测比较。Cochrane (1996)
资本资产定价模型的假设条件
资本资产定价模型的假设条件资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是一种衡量资产预期回报的模型，其中有几个假设条件需要满足。
以下是CAPM的假设条件：假设1：市场是无限完备的该假设意味着所有市场参与者都可以买卖任何资产，并且可以以任何量进行交易。
例如，如果某个人想要买黄金，那么他可以在市场上找到足够数量的卖家。
假设2：市场是理性的CAPM模型假设市场是完全理性的，市场参与者具有完美的信息，能够提前获得所有公开信息，而且每一个参与者都可以分析和理解这些信息并据此作出正确的决策。
假设3：没有交易成本在此假设条件下，市场没有交易成本，包括买入和卖出交易的费用、证券转让税、交易费用等等。
这也适用于买卖各种证券以及其他的投资工具。
假设4：所有的投资者都可以借入和借出资金该假设条件允许投资者以低于市场利率的利率借入资金，以购买证券，并以高于市场利率的利率向市场出租资产，以赚取更高的回报率。
假设5：所有的投资者都有相同的投资期限在CAPM模型中，假设所有的投资者都持有相同的投资期限，这意味着他们都是长期投资者，持有证券的时间长达几个月或几年，或者更长期。
假设6：证券市场处于均衡状态最后，该模型假设证券市场处于均衡状态，这意味着市场参与者已经通过需要的方法，根据市场上所有的信息得出了收益率预期。
这个假设允许我们预测资产收益率的参考系数。
总之，这些假设条件以及CAPM模型的结构为我们提供了预测资产回报率的一种有力工具。
如果以上条件均满足，那么CAPM模型可以用来评估证券的风险与回报之间的关系，从而更好地理解市场并做出更好的投资决策。
金融市场中的资本资产定价模型
金融市场中的资本资产定价模型1. 引言资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是金融领域中一种用于估计资产预期回报的模型。
它在投资和风险管理方面具有重要的应用。
本文将深入探讨金融市场中的资本资产定价模型，并对其原理、假设以及实际应用进行分析。
2. 模型原理资本资产定价模型建立在投资组合理论的基础上，通过考虑资产预期回报、风险以及市场的整体风险来确定资产的合理定价。
根据CAPM，资产的预期回报是由市场回报和资产与市场的β系数共同决定的。
3. 模型假设CAPM的基本假设包括：- 完全市场：投资者可以自由买卖任何资产，不存在交易限制。
- 无风险利率：存在一个无风险资产，其回报稳定且不受市场波动影响。
- 单一期望回报：投资者只关注资产的期望回报而非风险。
- 非国际资产定价：CAPM主要适用于国内资产，不考虑国际资产定价因素。
4. β系数的解释和计算β系数是CAPM中的重要概念，用于衡量资产相对于市场的风险。
β系数大于1表示资产波动大于市场，小于1则反之。
β系数的计算通常通过回归分析进行。
5. 实际应用CAPM在实际金融市场中具有广泛的应用，特别是在投资组合的构建和风险管理中。
它可以帮助投资者评估资产回报率是否与预期相符，从而进行投资决策。
同时，CAPM也被用于确定无风险利率和评估市场风险溢价。
6. 模型局限性和争议尽管CAPM是金融领域中重要的定价模型，但它也存在一些局限性和争议。
首先，它基于一系列假设，而这些假设在现实中可能并不成立。
其次，非线性的市场波动以及无风险利率的不稳定性可能导致模型的失效。
此外，人们对CAPM的β系数解释和计算方法也存在争议。
7. 其他定价模型除了CAPM，金融市场中还存在其他一些重要的资产定价模型，如APT （Arbitrage Pricing Theory）和FFM（Fama-French三因子模型）。
这些模型在一定程度上可以弥补CAPM的局限性，并提供更全面的解释和预测能力。
期权定价理论文献综述
期权定价理论文献综述[摘要］本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black—Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。
最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。
[关键字］综述;期权定价；Black-Scholes模型；二叉树模型;蒙特卡罗法1 期权的分类及意义1.1 期权的定义期权（option）是一份合约，持有合约的一方(seller）有权(但没有义务)向另一方在合约中事先指定的时刻（或此时刻前）以合约中指定的价格购买或者出售某种指定数量的特殊物品。
为了获得这种权利，期权的购买者（holder or buyer）必须支付一定数量的权利金（也称保证金或保险金），因此权利金就成为期权这个金融衍生品的价格。
1。
2 期权的分类期权交易的类型很多，大致有如下几种:（1)按交易方式可分为看涨期权、看跌期权和双重期权；（2）按期权的执行时间不同可分为美式期权和欧式期权；（3）按期权交割的内容标准可分为股票期权、货币期权、利率期权与指数期权；此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式，如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。
1.3 期权的功能作为套期保值的工具。
当投资者持有某种金融资产，为了防范资产价格波动可能带来的风险，可以预先买卖该资产的期权来对冲风险。
当投资者预期基础资产的市场价格将下跌时，为防止持有这种资产可能发生的损失，可以买入看跌期权予以对冲，其所付成本仅为购买期权的权利金。
通过购买看涨期权和看跌期权，一方面可以达到基础资产保值的目的；另一方面也可以获得基础资产价格升降而带来的盈利机会。
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完全市场中的资产定价--有限离散时间情形韩琦;包守鸿;胡永云【摘要】In this paper, we discussed asset pricing of single period model and multi-period model based on the complete market and limited discrete time situations. First, we gave the concept of the risk-free return and defined risk neutral probability by the concept of risk-free return. Based on risk neutral probability, we got the formula of asset rice. Second, by means of the risk neutral probability, we discussed multiphase asset pricing model, and got the stock pricing equation, particularly we got the European call option equation and discount price of asset price is a martingale about risk neutral proba-bility.% 研究完全市场中有限离散时间情形下的资产定价问题。
首先，给出了无风险收益的概念，借助无风险收益定义了一种风险中性概率。
基于这个概率，得到了资产的价格等于随机现金流与随机贴现因子乘积的期望，而且资产的价格还等于资产支付关于 q 的期望对无风险收益的贴现值。
其次，借助无风险概率考虑了资产在多期情形下的资产定价，得出了相应的股票期权公式，尤其作为推论给出了欧式看涨期权的定价公式，并对资产价格过程的鞅性作了讨论【期刊名称】《金融理论与实践》【年(卷),期】2012(000)009【总页数】5页(P6-10)【关键词】状态价格;无风险利率;风险中性概率;鞅;无套利;贴现【作者】韩琦;包守鸿;胡永云【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】F830.9金融资产的定价问题是现代金融理论的一个基本问题，以金融资产为标的资产的期权，是主要的金融衍生品，它是金融工程的主要工具，也是构成其他金融衍生产品的基础。
Stephen Ross(斯蒂芬∙罗斯)曾经说，期权定价理论不仅在金融领域，甚至在整个经济学领域中都是最成功的理论[1-2]。
自1973年以来布莱特和斯科尔斯提出一个比较准确的期权定价模型之后，期权定价理论在金融领域中的应用越来越广泛，正如布莱特和斯科尔斯所提及的，几乎所有的公司负债都可看成期权或期权的复合。
事实上，期权定价理论的应用范围比这还要广泛[3]。
因此，学习并理解期权定价理论是十分重要的，而理解期权定价理论的重点在于掌握期权定价的思想及其论证过程。
期权定价公式的论证方法较多，每一种方法都包含了一种定价的思想，研究这些方法有助于开阔视野及深入理解期权定价理论。
关于期权等资产的定价问题，传统的研究方法大都基于深奥晦涩的数学工具，不容易理解和操作。
本文通过简单的离散模型，构造出一种新的风险中性概率，借助这种风险中性概率讨论了单期和多期情形下的资产的定价问题。
特别地，给出了完全市场中有限离散情形下的欧式看涨期权定价公式，为分析和研究资产定价理论提供了一个简单的新视角。
定义1.1[2]：假设投资者自由交易n种不同资产，而且期末自然状态的数量是有限的，自然状态s的概率用λs表示。
Zsi表示单位资产i在s状态下的现金支付。
不妨设存在k 种状态和n种资产，则：i=1，2，…，n表示单位资产i的现金支付。
从而，所有资产的单股现金流可以表示为：这是一个k×n维偿付矩阵。
若k=n，则矩阵Z为方阵，进一步假设Z满秩，称这样的市场是完全的，此时n 种资产横跨k种状态。
若k<n，且偿付矩阵Z的秩为k，称这样的市场也是完全的，此时意味着存在唯一的或有状态价格。
注：当k>n时，即资产数量超过自然状态数量时，此时某些资产在状态k时的现金支付可以用其他资产在此状态下的现金支付的线性组合来表示，称这些资产为冗余资产。
若存在冗余资产，可以通过将它们编入k个独立资产（组合）的方式将资产数量将为k。
命题1.1：在完全市场假设条件下（k≤n）,可以通过购买k个线性独立的资产使每种自然状态下的期末财富达到理想财富的水平。
证明：设表示各种状态下的理想财富水平，它是一个k×1矩阵，其中Ws，s=1，2，…，k 表示自然状态s下的理想财富水平。
用N表示购买资产的份额向量，从而由于只考虑k种独立资产（线性无关），此时Z为一个k×k矩阵，N为一个k×1矩阵，则Z的秩为k，从而为非奇异的，所以存在逆矩阵，使得：显然这样的N是唯一存在的，所以只要投资者的初始财富足以购买份额为N的k 种资产，就可以获得期末k种状态下的任意理想财富水平W。
推论：若令：为最初（期初）k项独立资产的单位价格，那么要获得期末理想（目标）财富水平，只要具有P*N的最初财富。
定义1.2[1-2]：在完全市场的条件下，无套利就意味着新的（冗余）资产的价格，可以由期初的k 种资产价格来确定。
比如，假设存在某种新资产，其最终理想财富为W，在无套利的情况下，其价格等于P*N。
若该资产的价格高于P*N，投资者可以通过卖出该项资产并买入份额为N的最初k项资产，从而实现了套利，套利金额等于新资产价格与P*N的差额。
若该资产的价格低于P*N，投资者可以通过买入该项资产并卖出份额为N的最初k项资产，同样实现了套利。
定义1.3[3]：设某种证券在状态s下得支付为1，在其他状态下得支付为0，称这样的证券为基础证券（或Arrow-Debreu证券）。
基础证券s的支付向量不妨表示为：显然它是k×1矩阵。
若用ps表示基础证券s的最初价格，那么要在状态s下得到数量为1的支付，在最初要准备数量为ps的金额，称ps为基础状态价格。
命题1.2：基础证券价格可以用最初k种独立资产价格和偿付来表示：推论：在完全市场假设条件下，存在唯一的基础状态价格。
注：可以认为总有ps>0,s=1，2，…，k。
事实上，对于追求最大利益的投资者而言，他们在任何状态下获得的单位财富都应该大于0（换言之，对于所有的期末财富水平而言，投资者的边际效用都大于0）。
定义1.4[2]：所有状态下的状态价格之和的倒数称为无风险收益，记作Rf即：假设有某种资产A,其在状态s下的现金支付为ZsA。
在无套利条件下，资产价格PA必满足：若令，即基础证券价格的状态价格与状态概率的商，称m=(ms)，s=1，2，…，k 为随机贴现因子。
则有ms>0，而且有：其中ZA称为资产A的随机现金流。
由上面的推导可得下面的命题：命题1.3：资产A的价格等于随机现金流与随机贴现因子乘积的期望。
注：由随机贴现因子的定义，可以认为它是经过状态概率调整后的基础证券的价格。
推论1：在完全市场条件下，存在唯一的正的随机贴现因子。
推论2：随机状态s的概率的增加或该状态随机贴现因子的增大，在状态s下进行1单位支付的基础证券的价格也随着增大，即状态价格随机增大。
证明：由于，可得到p=mλ，从而可直sss接得出结论。
注：从经济学角度讲，当消费水平较低时，状态价格则较高，此时的低消费状态反映了经济陷入衰退期。
若令 qs=psRf，则有：而且，又qs>0，故可以把qs视为一种概率。
由（1.2）式可得于是，可得到如下命题：命题1.4：资产A的价格等于资产支付关于q的期望关于无风险收益的贴现值。
注：若将Eq[ZA]看做资产支付ZA的期望，那么资产价格就是资产支付关于无风险收益的贴现，在这个意义下，也可以认为q为一种风险中性概率。
相应地，Eq[∙]称为风险中性期望算子。
风险中性概率是一种包含了风险溢价的非反映真实的概率，但正是它跟无风险收益的紧密关系，使得风险资产的价格更容易刻画，已成为现在金融领域研究资产定价的最有效工具。
从经济学的角度，若把随机贴现因子解释为边际替代率，可以看出，在消费边际效用较高（或消费水平较低）时的经济形势较“差”,而此时qs>λs，这表明了风险中性概率赋予“差”的状态更高的概率权重，而赋予“好”的自然状态较低的概率权重。
其实状态价格ps，s=1，2，…，k还有满足如下结论：引理1[4]：设Z为偿付矩阵，V为资产价格向量，在市场无套利的情况下，当且仅当存在一个严格正的状态价格向量P,满足：V=Z*P其中Z*表示Z的转置。
这个结论就是著名的无套利定理。
命题1.5：在无套利假设条件下，状态价格由基础资产的收益决定，而与基础资产自身价格无关。
证明：假设资产价格非零，且Vs>0，s=1，2，…，k可直接得到。
由无套利定理可知，V=Z*P展开可得到下列方程组:将上面每一个方程除以相应的价格，得：若令为收益矩阵，则有：从而可得到如下状态价格方程：由（1.4）可得结论。
上面考虑的都是单期模型，然而对于实际目的单期模型常常太过简单。
每个人一生中对储蓄、投资、消费等往往要做出多次抉择，这就涉及动态市场中资产的定价问题，这里仅考虑股票期权的定价问题。
不妨设股票周期回报是独立同分布的，更特别是把每个周期回报取成的个值（高的与低的）用Ru，Rd来表示[5-6]。
这种假设虽然简单，但能限制到完全市场上来考虑。
结合前面的记号，可知在每一个完全市场上有唯一的状态价格集合，此外，这个集合仅仅依赖于基础资产收益，而资产回报又假设为独立分布的，这意味着它们在所有单期模型中是相同的，也就是说我们有一个相同的定价方程。
前面也告诉我们可以依据风险中性概率重新表达状态价格，特别地，收益为：的无套利价格由贴现收益的风险中性期望给出，无套利期权价格：其中qu、qd为无风险中性概率，Cu、Cd分别表示上涨与下降的期权价格，显然满足：其中Ru、Rd分别表示股票上涨与下跌时的价格。
若设Ct表示时刻t的期权价格，我们可以把期权定价公式更优美地写成一个条件期望：其中中字母q表示风险概率，2表示时刻t=2,表示在t=2时刻关于风险中性概率的依赖于信息条件的期望值，也就是说，在时刻t=2的期权价格是在t=3时以无风险利率贴现的风险中性期望，该期望依赖于t=2时的信息。
类似的，在时刻t=1时的所有节点的期权价格可以表示为：t=0时的信息非常简单，可以认为是一种非条件期望。