中考数学 整式乘法与因式分解易错压轴解答题(含答案)
专题07 《整式乘法与因式分解》解答题压轴题专练(解析版) -七年级数学下册考点培优训练(苏科版)
专题07 《整式乘法与因式分解》解答题压轴题专练（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、解答题1．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为．（2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为．（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a=．（4）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，则2a+b的值为．【答案】（1）7（2）-7（3）-3（4）-15【解析】试题分析：（1）用2x+1中的一次项系数2乘以3x+2中的常数项2得4，用2x+1中的常数项1乘以3x+2中的一次项系数3得3，4+3=7即为积中一次项的系数；（2）用x+1中的一次项系数1，3x+2中的常数项2，4x-3中的常数项-3相乘得-6，用x+1中的常数项1，3x+2中的一次项系数3，4x-3中的常数项-3相乘得-9，用x+1中的常数项1，3x+2中的常数项2，4x-3中的一次项系数4相乘得8，-6-9+8=-7即为积中一次项系数；（3）用每一个因式中的一次项系数与另两个因式中的常数项相乘，再把所得的积相加，列方程、解方程即可得；（4）设422x ax bx +++可以分成（231x x -+ ）(x 2+kx+2)，根据小明的算法则有k -3=0，a=-3k+2+1，b=-3×2+k ，解方程即可得.试题解析：（1）2×2+1×3=7，故答案为7；（2）1×2×（-3）+3×1×（-3）+4×1×2=-7，故答案为-7；（3）由题意得：1×a×(-1)+(-3)×1×(-1)+2×1×a=0，解得：a=-3，故答案为-3；（4）设422x ax bx +++可以分成（231x x -+ ）(x 2+kx+2)，则有k -3=0，a=-3k+2+1，b=-3×2+k ，解得：k=3，a=-6，b=-3，所以2a+b=-15，故答案为-15.b=3-6=-32．阅读材料：若x 2－2xy ＋2y 2－8y ＋16=0，求x 、y 的值．解：∵x 2－2xy ＋2y 2－8y ＋16=0，∵(x 2－2xy ＋y 2)＋(y 2－8y ＋16)=0，∵(x －y )2＋(y －4)2=0，∵(x －y )2=0，(y －4)2=0，∵y =4，x =4．根据你的观察，探究下面的问题：已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2＋b 2－4a －6b ＋13=0．求∵ABC 的边c 的值．【答案】2或3或4【分析】先通过配方法，利用完全平方公式进行配方求出a ，b 的值，再根据三角形的三边关系即可确定c 的值.【详解】∵2246130a b a b +--+=∵22(44)(69)0a a b b -++-+=即22(2)(3)0a b -+-=∵20a -=，30b -=∵23a b ==，根据三角形的三边关系得a b c a b -<<+，即15c <<∵c 是正整数∵c 的值为2或3或4.【点睛】本题主要考查了配方法及三角形边长的确定，熟练掌握完全平方公式及三角形的三边关系是解决本题的关键.3．阅读下列材料：某同学在计算3（4+1）（42+1）时，发现把3写成4-1后，可以连续运用平方差公式计算，3（4+1）（42+1）=（4-1）（4+1）（42+1）=（42-1）（42+1）=44-1=256-1=255．请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）（2）2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++． 【答案】（1）24096-1；（2）2．【分析】（1）在前面乘一个（2-1），然后再连续利用平方差公式计算；（2）在前面乘一个2×（1-12），然后再连续利用平方差公式计算． 【详解】解：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（24-1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=24096-1；（2）2481521111111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 24815111111211111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1615112122⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭ 151511222=-+ =2． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．4．阅读下列分解因式的过程：x 2+2ax -3a 2=x 2+2ax+a 2-a 2-3a 2=(x+a)2-4a 2=(x+a+2a)(x+a -2a)(x+3a)(x -a)．像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：（1）m 2-4mn+3n 2；（2）x 2-4x -12．【答案】（1）（m -n ）（m -3n ）；（2）（x+2）（x -6）．【分析】（1）、（2）分别利用阅读材料中的配方法分解即可．【详解】解：（1）m 2-4mn+3n 2=m 2-4mn+4n 2-4n 2+3n 2=m 2-4mn+4n 2-n 2=（m -2n ）2-n 2=（m -2n+n ）（m -2n -n ）=（m -n ）（m -3n ）；（2）x 2-4x -12=x 2-4x+4-4-12=（x -2）2-42=（x -2+4）（x -2-4）=（x+2）（x -6）．【点睛】本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式．5．如图，长为m ，宽为x()m x >的大长方形被分割成7小块，除阴影,A B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y ，记阴影A 与B 的面积差为S ．（1）分别用含,,m x y 的代数式表示阴影,A B 的面积，并计算S ；（2）当6,1m y ==时，求S 的值；（3）当x 取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y 应满足什么条件？【答案】（1）阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --，阴影B 的面积为3(3)y x y m +-，236S y my xy mx =-+-+；（2）S 的值为3；（3）6m y =．【分析】（1）先分别求出阴影A 与B 的长、宽，再根据长方形的面积公式，即可得；（2）将6,1m y ==代入，计算含乘方的有理数混合运算即可得；（3）将S 的值进行变形，再根据其值与x 无关，列出等式求解即可得．【详解】（1）由图可知，阴影A 的长为3m y -，宽为2x y -；阴影B 的长为3y ，宽为(3)3x m y x y m --=+- 则阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --，阴影B 的面积为3(3)y x y m +-S A B =-(3)(2)3(3)m y x y y x y m =---+-22236393mx my xy y xy y my =--+--+236y my xy mx =-+-+；（2）由（1）可知，236S y my xy mx =-+-+将6,1m y ==代入得：2316166363S x x =-⨯+⨯-+=-+=即S 的值为3；（3）由（1）可知，22363(6)S y my xy mx y my m y x =-+-+=-++-要使当x 取任何实数时，面积差S 的值都保持不变则60m y -=整理得6m y =．【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算、含乘方的有理数混合运算等知识点，理解题意，根据图形正确求出阴影A 与B 的长、宽是解题关键．6．如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．（1）你认为图∵中的阴影部分的正方形的边长等于__________；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法∵____________；方法∵________________；（3）观察图∵，直按写出22(),(),m n m n mn +-这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若8,5a b ab +==，求2()a b -的值【答案】（1）m -n ；（2）2()m n -；2()4m n mn +-；（3）2()m n -=2()4m n mn +-；（4）44.【分析】（1）根据图∵可知，剪开后的小长方形长为m ，宽为n ，可以看出图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ；（2）图∵中阴影部分的面积：方法∵利用阴影小正方形的边长直接计算面积；方法∵利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积计算；（3）根据图∵里图形的面积关系，可以得出这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）中的等量关系式，代入数值求解即可．【详解】（1）剪开后的小长方形长为m ，宽为n ，所以图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ，故答案为：m -n ；（2）方法∵阴影的面积为边长的平方，即2()m n -；方法∵阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -；2()4m n mn +-；（3）根据图∵里图形的面积关系，可得2()m n -=2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -=2()4m n mn +-；（4）由（3）中的等量关系可知，2()a b -=2()4a b ab +-=64-20=44， 故答案为：44．【点睛】本题考查了图形的面积的代数式表示以及代数式之间的等量关系，掌握图形面积的代数式表示是解题的关键．7．因为()()2632x x x x +-=+-,令26x x +-=0,则（x+3）(x -2)=0,x=-3或x=2,反过来,x ＝2能使多项式26x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式,求m 的值;（2）若（x ﹣1）和（x+2）是多项式325x ax x b +-+的两个因式,试求a,b 的值;（3）在（2）的条件下,把多项式325x ax x b +-+因式分解的结果为 ．【答案】（1）m=-6;（2）26a b =-⎧⎨=⎩；（3）(x -1)(x+2)(x -3) 【分析】（1）由已知条件可知，当x=4时，x 2+mx+8=0，将x 的值代入即可求得；（2）由题意可知，x=1和x=-2时，x 3+ax 2-5x+b=0，由此得二元一次方程组，从而可求得a 和b 的值； （3）将（2）中a 和b 的值代入x 3+ax 2-5x+b ，则由题意知（x -1）和（x+2）也是所给多项式的因式，从而问题得解．【详解】解：（1）∵x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式，则x=4使x 2+mx+8=0，∵16+4m+8=0，解得m=-6；（2）∵（x ﹣1）和（x+2）是多项式325x ax x b +-+的两个因式，则x=1和x=-2都使325x ax x b +-+=0，得方程组为：15084100a b a b +-+=⎧⎨-+++=⎩，解得26a b =-⎧⎨=⎩； （3）由（2）得，x 3-2x 2-5x+6有两个因式（x ﹣1）和（x+2），又36(1)2(3)x x x x =⋅⋅=-⨯⨯-，， 则第三个因式为(x -3)，∵x 3-2x 2-5x+6=(x -1)(x+2)(x -3)．故答案为：(x -1)(x+2)(x -3)．【点睛】本题考查了分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．8．观察下列各式：∵60×60＝602－02＝3600；∵59×61＝(60－1)×(60＋1)＝602－12＝3599；∵58×62＝(60－2)×(60＋2)＝602－22＝3596；∵57×63＝(60－3)×(60＋3)＝602－32＝3591……（探究）（1）上面的式子表示的规律是：(60＋m)(60－m)＝；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数时，乘积最大．（应用）（2）根据上面的规律，思考若a＋b＝400，则ab的最大值是；（拓展）（3）将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为x厘米，面积为S，写出S与x 之间的等量关系？当x为何值时，S取得最大值？【答案】（1）602-m2；相等；（2）40000；（3）S=-x2+20x；当x=10时，S取得最大值．【分析】（1）按照已知等式的规律或平方差公式写出结果即可；对比题干中给出的等式可知，当两个因数相等即m=0时，乘积最大；（2）根据（1）中得出的规律可知，当a=b时，ab取得最大值，从而得出结果；（3）设长方形的一边长为x厘米，则根据题意得长方形的另一边长为（20-x）厘米，根据长方形的面积公式可得出S与x之间的等量关系；再根据（1）中的结论可得出当长方形的长与宽相等时，S取得最大值，从而得出结果．【详解】解：（1）根据题中的等式可得，(60＋m)(60－m)＝602-m2；对比题干中给出的等式可知，当两个因数相等时，即m=0时乘积最大，故答案为：602-m2；相等；（2）根据（1）中得出的规律可知，当a=b时，ab取得最大值，∵a+b=400，∵当a=b=200时，ab取得最大值，最大值为40000，故答案为：40000；（3）设长方形的一边长为x厘米，则根据题意得长方形的另一边长为（20-x）厘米，∵S=x(20-x)=-x2+20x，故S与x之间的等量关系式为：S=-x2+20x；∵长方形的两边长分别为x厘米，（20-x）厘米，有x+（20-x）=20，现要求S=x(20-x)的最大值，由（1）知，当x=20-x时，S取得最大值，故当x=10时，S取得最大值．【点睛】本题考查了通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，一般先根据题意，找到规律，并进行推导得出答案．9．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，将该长方形沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按照图2所示拼成一个正方形．（1）使用不同方法计算图2中小正方形的面积，可推出（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系为：；（2）利用（1）中的结论，解决下列问题：∵已知a-b＝4，ab＝5，求a+b的值；∵已知a＞0，a-3a＝2，求a+3a的值．【答案】（1）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（2）∵6或-6；∵4．【分析】（1）由题意知，阴影部分小正方形的边长为m-n．根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积求图中阴影部分的面积，利用两种求法确定出所求关系式即可；（2）∵利用（1）的结论，可知（a-b）2=（a+b）2-4ab，把已知数值整体代入即可；∵先利用完全平方公式进行变形，即将a-3a＝2两边同时平方，然后求出（a+3a）2的值，从而得出结果．【详解】解：（1）阴影部分的面积可以看作是边长m-n的正方形的面积，也可以看作边长m+n的正方形的面积减去4个小长方形的面积，∵（m-n）2=（m+n）2-4mn，故答案为：（m-n）2=（m+n）2-4mn；（2）∵∵a-b=4，ab=5，且由（1）知（a-b）2=（a+b）2-4ab，∵（a+b）2=16+20=36，∵a+b=6或-6；∵∵a-3a=2，∵（a -3a ）2= a 2-6+29a=4， ∵a 2+6+29a =16， ∵（a +3a）2=16， 又a ＞0，∵a +3a =4． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算以及分式的求值等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．数学课堂上，老师提出问题：如图，如何在该图形中数出黑色正方形的个数，以下是两位同学的做法：（1）甲同学的做法为：当1n =时，黑色正方形的个数共有14610⨯+=当2n =时，黑色正方形的个数共有24614⨯+=当3n =时，黑色正方形的个数共有34618⨯+=……则在第n 个图形中，黑色正方形的个数共有 （无需化简）（2）乙同学的做法为：当1n =时，黑色正方形的个数共有341210⨯-⨯=当2n =时，黑色正方形的个数共有452314⨯-⨯=当3n =时，黑色正方形的个数共有563418⨯-⨯=……则在第n 个图形中，黑色正方形的个数共有 （无需化简）（3）数学老师及时肯定了两位同学的做法，从而可以得到等式（4）请利用学习过的知识验证（3）问中的等式．【答案】（1）46n +；（2）(2)(3)(1)n n n n ++-+；（3）46(2)(3)(1)n n n n n +=++-+；（4）见解析．【分析】（1）根据所给算式总结规律即可；（2）根据所给算式总结规律即可；（3）根据两种算法都正确可得等式；（4）利用整式混合运算法则对(2)(3)(1)++-+进行化简，即可验证.n n n n【详解】n+，解：（1）由题中算式可知，在第n个图形中，黑色正方形的个数为：46n+；故答案为：46（2）由题中算式可知，在第n个图形中，黑色正方形的个数为：(2)(3)(1)n n n n++-+，故答案为：(2)(3)(1)++-+；n n n n（3）数学老师及时肯定了两位同学的做法，从而可以得到等式：46(2)(3)(1)+=++-+，n n n n n故答案为：46(2)(3)(1)+=++-+；n n n n n（4）∵22(2)(3)(1)32646++-+=+++--=+，n n n n n n n n n n∵该等式成立.【点睛】本题考查了图形类规律探索以及整式混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是验证等式成立的关键.。
中考数学复习《整式的乘法与因式分解》专项练习题--附带有答案
中考数学复习《整式的乘法与因式分解》专项练习题--附带有答案一、选择题1．下列计算正确的是（）A．(3a)2=6a2B．(a2)3=a5C．a6÷a2=a3D．a2⋅a=a32．若8x=21，2y=3，则23x−y的值是（）A．7 B．18 C．24 D．633．计算(−2ab)(ab−3a2−1)的结果是（）A．−2a2b2+6a3b B．−2a2b2−6a3b−2abC．−2a2b2+6a3b+2ab D．−2a2b2+6a3b−14．若(x−1)(x+4)=x2+ax+b，则a、b的值分别为（）．A．a=5，b=4 B．a=3，b=−4 C．a=3，b=4 D．a=55．下列变形中正确的是（）A．(x+y)(−x−y)=x2−y2B．x2−4x−4=(x−2)2C．x4−25=(x2+5)(x2−5)D．(−2x+3y)2=4x2+12xy+9y26．下列分解因式正确的是（）A．x2+2xy−y2=(x−y)2B．3ax2−6ax=3(ax2−2ax)C．m3−m=m(m−1)(m+1)D．a2−4=(a−2)27．图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b(a>b)，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（）A．a2b2=(ab)2B．(a+b)2=(a−b)2+4abC．(a+b)2=a2+b2+2ab D．a2−b2=(a+b)(a−b)8．若x−y=−3，xy=5则代数式2x3y−4x2y2+2xy3的值为（）A．90 B．45 C．-15 D．-30二、填空题9．若27×3x=39，则x的值等于10．计算：(√3−√2)(√3+√2)=．11．在实数范围内分解因式2x2+3x−1=．12．要使(y2−ky+2y)⋅(−y)的展开式中不含y2项，则k的值是．13．已知4y2−my+9是完全平方式，则m的值为．三、解答题14．计算：(2a−1)(a+2)−6a3b÷3ab．15．把下列多项式分解因式：（1）a4−8a2b2+16b4（2）x2(y2−1)+2x(y2−1)+(y2−1)16．已知a+b=5，ab=−6，求：（1）a2b+ab2的值；（2）a2+b2的值；（3）a-b的值.17．下面是某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程解：设x2−4x=y原式=(y+2)(y+6)+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=(y+4)2（第三步）=(x2−4x+4)2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2−2x)(x2−2x+2)+1进行因式分解．18．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）若a+b+c=10，ab+ac+bc=35利用得到的结论，求a2+b2+c2的值．参考答案1．D2．A3．C4．B5．C6．C7．B8．A9．610．111．2(x −−3+√174)(x −−3−√174)12．213．±1214．解：原式=2a 2+4a −a −2−2a 2=3a −2．15．（1）解：a 4−8a 2b 2+16b 4=(a 2−4b 2)2=(a +2b)2(a −2b)2（2）解：x 2(y 2−1)+2x(y 2−1)+(y 2−1)=(x 2+2x +1)(y 2−1)=(x +1)2(y +1)(y −1)16．（1）解：∵a +b =5，ab =−6∴a 2b +ab 2=ab(a +b)=−30（2）解： a 2+b 2=(a +b)2−2ab=25+12=37（3）解： (a −b)2=a 2+b 2−2ab=37+12=49故a−b=±7 .17．（1）C（2）否；(x−2)4（3）解：设x2−2x+1=y原式=(y−1)(y+1)+1=y2−1+1=y2=(x2−2x+1)2=[(x−1)2]2=(x−1)4．18．（1）解：∵边长为(a+b+c)的正方形的面积为：(a+b+c)2，分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+ 2bc+2ac∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）解：∵(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）解：∵a+b+c=10∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2ab−2bc−2ac=102−2×35=30∴a2+b2+c2的值为30．。
整式的乘法与因式分解习题带答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版Array第十四章、整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法（1）(－3x)2(x＋1)(x＋3)＋4x(x－1)(x2＋x＋1)，其中x=－1；解：原式=9x2(x2＋3x＋x＋3)＋4x(x3＋x2＋x－x2－x－1)=9x2(x2＋4x＋3)＋4x(x3－1)=9x4＋36x3＋27x2＋4x4－4x=13x4＋36x3＋27x2－4x当x=－1时原式=13×(－1)4＋36×(－1)3＋27×(－1)2－4×(－1)=13－36＋27＋4=8（2）y n(y n＋3y－2)－3(3y n＋1－4y n)，其中y=－2，n=2．解：原式=y2n＋3y n＋1－2y n－9y n＋1＋12y n=y2n－6y n＋1＋10y n当y=－2，n=2时原式=(－2)2×2－6×(－2)2＋1＋10×(－2)2=16＋48＋40=10415、已知不论x、y为何值时(x＋my)(x＋ny)=x2＋2xy－8y2恒成立.求(m＋n)mn的值.解：x2＋nxy＋mxy＋mny2＝x2＋2xy－8y2x2＋(m＋n)xy＋mny2＝x2＋2xy－8y2∴m＋n＝2，mn＝－8∴(m＋n)mn＝2×(－8)＝－166、已知31=+a a，则221a a +＝（ B ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．117、如果x 2＋kx ＋81是一个完全平方式，则k 的值是（ D ）A ．9B ．－9C ．±9D ．±188、下列算式中不正确的有（ C ）①(3x 3－5)(3x 3＋5)＝9x 9－25②(a ＋b ＋c ＋d)(a ＋b －c －d)＝(a ＋b)2－(c ＋d)2③22)31(5032493150-=⨯ ④2(2a －b)2·(4a ＋2b)2＝(4a －2b)2(4a －2b)2＝(16a 2－4b 2)2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9、代数式2)(2y x +与代数式2)(2y x -的差是（ A ） A ．xy B ．2xy C ．2xy D ．0 10、已知m 2＋n 2－6m ＋10n ＋34＝0，则m ＋n 的值是（ A ）A ．－2B ．2C ．8D ．－8二、解答题11、计算下列各题：(1)(2a ＋3b)(4a ＋5b)(2a －3b)(5b －4a)(2)(x ＋y)(x －y)＋(y －z)(y ＋z)＋(z －x)(z ＋x);(3)(3m 2＋5)(－3m 2＋5)－m 2(7m ＋8)(7m －8)－(8m)2(1) 解：原式＝(2a ＋3b)(2a －3b)(4a ＋5b)(5b －4a)＝(4a 2－9b 2)(25b 2－16a 2)＝100a 2b 2－64a 4－225b 4＋144a 2b 2＝－64a 4＋244a 2b 2－225b 4(2) 解：原式＝x 2－y 2＋y 2－z 2＋z 2－x 2＝0(3) 解：原式＝25－9m 4－m 2(49m 2－64)－64m 2＝－58m 4＋2512、化简求值：(1)4x(x 2－2x －1)＋x(2x ＋5)(5－2x)，其中x ＝－1(2)(8x 2＋4x ＋1)(8x 2＋4x －1)，其中x ＝21 (3)(3x ＋2y)(3x －2y)－(3x ＋2y)2＋(3x －2y)2，其中x ＝31，y ＝－21 (1) 解：原式＝4x 3－8x 2－4x ＋x(25－4x 2)＝4x 3－8x 2－4x ＋25x －4x 3＝－8x 2＋21x当x ＝－1时原式＝－8×(－1)2＋21×(－1)＝－8－21＝－29(2) 解：原式＝(8x 2＋4x)2－1当x ＝时，原式＝[8×()2＋4×]2－1＝(2＋2)2－1＝15(3) 解：原式＝9x 2－4y 2－9x 2－12xy －4y 2＋9x 2－12xy ＋4y 2＝9x 2－24xy －4y 2当x ＝，y ＝－时原式＝9×()2－24××(－)－4×(－)2＝1＋4－1＝413、解下列方程：(1)(3x)2－(2x ＋1)2＝5(x ＋2)(x －2)解：9x 2－4x 2－4x －1＝5x 2－205x 2－4x －1＝5x 2－204x ＝19∴x ＝419(2)6x ＋7(2x ＋3)(2x －3)－28(x －21)(x ＋21)＝4解：6x ＋28x 2－63－28x 2＋7＝46x －56＝46x ＝60∴x ＝1014、解不等式：(1－3x)2＋(2x －1)2>13(x －1)(x ＋1)解：1－6x ＋9x 2＋4x 2－4x ＋1>13x 2－1313x 2－10x ＋2>13x 2－13－10x>－15∴x<2315、若n 满足(n －2004)2＋(2005－n)2＝1，求(2005－n)(n －2004)的值.解：(n －2004)2＋2·(n －2004)·(2005－n)＋(2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)(n －2004＋2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)1＝1＋2(2005－n)(n －2004)∴(2005－n)(n －2004)＝014.3 因式分解一、选择题1、下列各式，从左到右的变形是因式分解的为（ B ）A ．x 2－9＋5x ＝（x ＋3）（x －3）＋5xB ．x 2－4x ＋4＝（x －2）2C ．（x －2）（x －3）＝x 2－5x ＋6D ．（x －5）（x ＋2）＝（x ＋2）（x －5）2、把多项式x 2－mx －35分解因式为(x －5)(x ＋7)，则m 的值是（ B）A ．2B ．－2C ．12D ．－123、分解因式：x 2－2xy ＋y 2＋x －y 的结果是（ A ）A ．（x －y ）（x －y ＋1）B ．（x －y ）（x －y －1）C ．（x ＋y ）（x －y ＋1）D ．（x ＋y ）（x －y －1）4、若9x 2－12xy ＋m 是一个完全平方公式，那么m 的值是（ B ）。
八年级数学整式的乘法与因式分解易错题精选附答案
整式的乘法与因式分解易错题精选第1节 整式的乘法一、同底数幂的乘法 易错点：同底数幂的乘法公式理解不准确 1、请分析以下解答是否正确，若不正确，请写出正确的解答．（1）计算：63232x x x x ==⋅⨯（2）计算：5055x x x x ==⋅+2、【变式1】下列计算结果等于a 6的是（ ） A ．a 4+a 2 B ．a 2+a 2+a 2C ．32a a ⋅D ．222a a a ⋅⋅ 参考答案1、（1）错，a 5；（2）错，a 62、D易错点：不会倒着用同底数幂的乘法公式 1、若3=m a ，7=n a ，则1073=+=+=+n m n m a a a ． 上述计算是否有误，若有错，请改正． 2、【变式1】若32+m a 不能写成（ ） A ．32a a m ⋅ B ．3+⋅m m a a C ．32a a m +D ．21++⋅m m a a3、【变式2】若a x =10，b y =10，则210++y x 等于（ ） A ．2ab B ．a+b C ．a+b+2 D ．100ab 参考答案1、错；正确的结果是212、C3、D易错点：不会转换底数为相反数的幂 1、计算：=-⋅-4)()(m n n m 2、计算：=--3))(x y y x （ 3、计算：=-⋅-32)()(p q q p4、若k 为正整数，则122)2()2(2+-+-⋅k k 等于（ ） A ．0 B ．122-k C ．122+-k D ．222-k参考答案 1、(m -n)5 2、-(x -y)4 3、(q -p)5 4、A二、幂的乘方易错点：对幂的乘方计算方法理解出错1、判断下面计算的对错，并把错误的改正过来． 3332b b b =⋅（1）1644x x x =⋅（2）725)(a a =（3）9423)(a a a =⋅（4） 623a a a =⋅（5）224)2(a a -=-（6） 2、【变式1】判断下面计算的对错，并把错误的改正过来． 1313)(++=x x a a （1）623322)()(a a a =⋅（2） 623322)()(a a a =+（3） 53210)10(=（4）632)(a a =-（5） 623])[(a a =-（6） 参考答案1、（16b ）错，；（28x ）错，；（310a ）错，；（4）10a 错，；（55a ）错，；（724a ）错，2、（133+x a ）错，；（212a ）错，；（3）对；（4）610错，；（56a -）错，；（6）对易错点：混淆乘法和乘方1、若k 为正整数，则（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案 1、A三、积的乘方易错点：对积的乘方法则理解出错1、将下列计算中错误的找出来，并改正 （1）(ab 2)3=ab 6 （2）(3cd)3=9c 3d 3 （3）(-3a 3)2=-9a 6 （4）(-x 3y)3=-x 6y 3参考答案1、（1）错，a 2b 6；（2）27c 3d 3；（3）9a 6；（4）-x 9y 3易错点：分不清负数的乘方和幂的相反数 1、计算：0.12530×(-829)= 2、计算：=-⋅815)16()41(3、【变式1】计算：=-⋅)16()41(8154、【变式2】计算：=-⋅2120)1314()1413(参考答案 1、-0.125 2、4 3、-44、1314-四、单项式乘以单项式易错点：漏乘只在一个单项式中出现的字母 1、计算：=⋅z xy y x 2223)(2、【变式1】计算：=⋅-4233)2(2n m p mn 参考答案 1、3x 5y 4z 2、-32m 13n 11p易错点：弄错运算顺序 1、计算：=-⋅-2224)3(2y x y x 2、【变式1】=-⋅-223)3()2(a a 3、【变式2】=-+⋅-)2(4)2(23ab ab b a 参考答案 1、-18x 8y 4 2、-72a 73、16a 7b 3-2ab五、单项式乘以多项式 易错点：漏掉常数项1、计算：=+-)13(222xy x xy2、【变式1】计算：=---)22(3322n m n m 参考答案1、2x 3y -6x 2y 3+2xy2、-3m 4n+6m 2n 4+6m 2n易错点：忘记负号 1、计算：=--)(32xy x xy2、【变式1】=--+)3(2222y x y x y x y x 参考答案 1、-x 3y+x 2y 42、3x 2y -3x 3y+x 2y 2六、多项式乘以多项式 易错点：弄错符号和漏乘 1、计算：=--)2)(2(y x y x 2、计算：=-+-))(32(22y x xy x 参考答案1、22252y xy x +-2、2336644xy y x xy x -++- 七、同底数幂的除法易错点：弄错运算顺序1、计算：=÷÷3310a a a2、【变式1】计算：=÷÷-2242)(xy xy y x 参考答案 1、a 4 2、x 6易错点：不会转换相反数的幂 1、计算：=-÷-45)()(x y y x2、【变式1】计算：=-÷-34)()(m n n m3、【变式2】计算：=-÷-35)()(m n n m 参考答案 1、y x - 2、m n - 3、2)(m n --第2节 乘法公式一、平方差公式易错点：对平方差公式的特征理解偏差 1、下列计算正确的是（ ） A ．(a+3b)(a -3b) = a 2-3b 2 B ．(-a+3b)(a -3b) = -a 2-9b 2 C ．(-a -3b)(a -3b) = -a 2+9b 2 D ．(-a -3b)(a+3b) = a 2-9b 2参考答案 1、C二、完全平方公式易错点：混淆积的乘方与完全平方1、已知5)1(2=+x x ，求221xx +的值．2、【变式1】已知7)(2=-y x ，1=xy ，求22y x +的值．3、【变式2】已知5)1(2=-a a ，求221aa +的值．参考答案 1、3 2、9 3、7易错点：开方漏解1、已知25)(2=+b a ，6=ab ，则______=-b a ．2、【变式1】已知25)(2=-b a ，6=ab ，求b a +的值．3、【变式2】已知722=+b a ，1=ab ，则___=+b a ． 参考答案 1、1± 2、7± 3、3±三、添括号和去括号易错点：添括号或去括号时符号出错1、在括号内添上适当的项：（1）a+b-c = a+(______________）（2）a+b-c = a-(______________）（3）a-b-c = a-(______________）（4）a+b+c = a-(______________）（5）a-b-c+d = a-(______________）（6）a-b+c+d = a-(______________）（7）(a+b-c)(a-b+c) =[a+(______________）][a-(______________）]（8）2x+3y-4z+5t = -(______________）= 2x-(______________）= 2x+3y-(___________）2、在下列去括号或添括号中错误的是（）A．a3-(2a-b-c)=a3-2a+b+cB．3a-5b-1+2c=-(-3a)-[5b-(2c-1)]C．-(a+1)-(-b+c)=+(-1+b-a-c)D．a-b+c-d=a-b+(d+c)参考答案1、解：（1）b-c（2）-b+c（3）b+c（4）-b-c（5）b+c-d（6）b-c-d（7）b-c；b-c（8）-2x-3y+4z-5t；-3y+4z-5t；4z-5t2、D第3节因式分解一、提取公因式易错点：第一项有负号1、因式分解：-2a2b-4ab+8a=2、【变式1】因式分解：-2a2b+12ab-8b参考答案1、-2a(ab+2b-4)2、-2b(a2-6a+4)易错点：整体法时不会处理互为相反数的项1、因式分解：2x(a-b)-y(b-a)=2、【变式1】因式分解：2x(a-b)-y(b-a)2=3、【变式2】因式分解：-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)=参考答案1、(a-b)(2x+y)2、(a-b)(2x-ay+by)3、(y-x)(a-b-c)二、平方差公式易错点：因式分解不彻底1、因式分解：a4-16=2、【变式1】因式分解：81-x4=3、【变式2】因式分解：4m2-36=4、【变式3】因式分解：16-36n2=5、【变式4】因式分解：16x4-1=参考答案1、(a2+4)(a+2)(a-2)2、(9+x2)(3+x)(3-x)3、4(m+3)(m-3)4、4(2+3n)(2-3n)5、(4x2+1)(2x+1)(2x-1)三、完全平方公式易错点：没考虑完全平方有两种情况1、若x2+mx+16是一个完全平方式，则常数m=____．2、【变式1】在括号里填________时，能使式子a2-( )+36成为完全平方式．3、【变式2】多项式x2-mx+25可以因式分解成(x+n)2，则m+n=_______．参考答案1、-8或82、a123、5或15易错点：因式分解不彻底1、因式分解：a4-2a2+1=(a2-1)2是否正确？若错误，请改正．2、【变式1】因式分解：16x4-8x2y2+y43、【变式2】因式分解：a4-8a2+16参考答案1、错误，(a+1)2(a-1)22、(2x+y)2(2x-y)23、(a+2)2(a-2)2。
(完整版)整式的乘法与因式分解压轴题解析
整式的乘法与因式分解【知识脉络】【基础知识】1．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3 a2 b2×2abc=（3×2）×（a2 b2×abc）=6 a3 b3c2．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．3．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．5．因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2【典例解析】例题1：数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是﹣m2+2m ．（结果要化简）【考点】整式的混合运算．【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m，则将数对（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m．故答案为：﹣m2+2m【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是a+b ，宽是a﹣b ，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【考点】平方差公式的几何背景．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．例题3：如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2 B． b2+a2 C．（b+a）2 D． a2+2ab考点：勾股定理．分析：先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．解答：解：∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）?b=b2+（b﹣a）2．故选：A．点评:本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．例题4：如图1，我们在2017年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为10×12﹣4×18=48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为24 ．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2017，则这个十字星中心的数为975 （直接写出结果）．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2017求出a的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；故答案为：24；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2017，解得：a=975．故答案为：975．【跟踪训练】1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历]日一二三四五六1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 3031（1）计算：（12+92）﹣（22+82）= 14 ，﹣= 14 ，自己任选一个有4个数的方框进行计算14（2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．6. 已知，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 1 ．7. ①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为2m﹣2m2+2m3．②6x2+5x﹣6 ÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是a﹣b ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是27a3b2．④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为a+c m．8. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥０即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．参考答案：1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．【解答】解：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？【考点】多项式乘多项式．【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的张数．【解答】解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】因式分解的应用．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．【解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，即（a﹣b）（a+b﹣c）=0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．故选：C．4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历]日一二三四五六1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 3031（1）计算：（12+92）﹣（22+82）= 14 ，﹣= 14 ，自己任选一个有4个数的方框进行计算14（2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．【考点】整式的混合运算．【分析】（1）先算乘法，再合并即可；（2）设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，根据题意得出算式[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]，求出即可．【解答】解：（1）（12+92）﹣（22+82）=1+81﹣4﹣64=14，﹣=100+324﹣121﹣289=14，（32+112）﹣（42+102）=9+121﹣16﹣100=14，故答案为：14；（2）计算结果等于14，理由是：设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，所以[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49=14．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴25=x2+y2+，∴x2+y2=∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，∴（x﹣y）2=﹣=16∴x﹣y=±46. 已知，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 1 ．考点：因式分解-运用公式法．分析：首先利用完全平方公式展开进而合并同类项，再将已知代入求出即可．解答：解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2=（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2）=4ab，∴将，代入上式可得：原式=4ab=4××=1．故答案为：1．点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．7. ①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为2m﹣2m2+2m3．②6x2+5x﹣6 ÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是a﹣b ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是27a3b2．④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为a+c m．考点：整式的混合运算．分析：①利用2m乘1﹣m+m2计算即可；②把除式和商相乘即可；③根据被除式÷商=除式，被除式=除式×商列式计算即可；④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，得到4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，又此块地的宽为（a+b）米，根据矩形的面积公式得到此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b），把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论．解答：解：①2m（1﹣m+m2）=2m﹣2m2+2m3；②（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6；③（3a2b﹣ab2）÷3ab=a﹣b，3ab?9a2b=27a3b2；④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，∴将这4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，而此块地的宽为（a+b）米，∴此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）=（a2+ac+bc+ab）÷（a+b）=[a（a+c）+b（a+c）÷（a+b）]=（a+b）（a+c）÷（a+b）=a+c．故答案为：2m﹣2m2+2m3；6x2+5x﹣6；a﹣b，27a3b2；a+c．点评：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法是解决问题的关键．8. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥０即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．考点：因式分解的应用．专题：阅读型．分析：（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解答：解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥．则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．。
七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(含答案)100
七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(含答案)100一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）计算并观察下列各式：________；________；________；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格.________；（3）利用该规律计算： .2．某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________.（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.3．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为________．（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为________．（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=________．4．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如， ···，因此都是奇巧数.（1）是奇巧数吗？为什么？（2）奇巧数是的倍数吗？为什么？5．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形。
专题03 《整式乘法与因式分解》压轴题专练(1)(解析版)
专题03 《整式乘法与因式分解》压轴题专练（1）（满分120分 时间：60分钟） 班级 姓名 得分一、单项选择题：1．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）A ．6858B ．6860C ．9260D ．9262 【答案】B【分析】由()()33221212422019n n n +--=+≤可得2n ≤201724，再根据和谐数为正整数，得到1≤n≤9，可得不超过2019的正整数中，“和谐数”共有10个，依次列式计算即可求解．【详解】解：由332(21)(21)242n n n +--=+≤2019，可得2n ≤201724， ∵和谐数为正整数，∵1≤n≤9，且为正整数，则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为3333331(1)3153--+-+-+…+3319-17=3319-(-1)6860=．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的乘方、整式的乘法与乘法公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．2．已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有（ ）个A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】B【分析】先根据整式的乘法可得,16m a b ab =+=-，再根据“,a b 为整数”进行分析即可得．【详解】 2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，2216()x mx x a b x ab ∴+-=+++，,16m a b ab ∴=+=-，根据,a b 为整数，有以下10种情况：（1）当1,16a b ==-时，()11615m =+-=-；（2）当2,8a b ==-时，()286m =+-=-；（3）当4,4a b ==-时，()440m =+-=；（4）当8,2a b ==-时，()826m =+-=；（5）当16,1a b ==-时，()16115m =+-=；（6）当1,16a b =-=时，11615m =-+=；（7）当2,8a b =-=时，286m =-+=；（8）当4,4a b =-=时，440m =-+=；（9）当8,2a b =-=时，826m =-+=-；（10）当16,1a b =-=时，16115m =-+=-；综上，符合条件的m 的值为15,6,0,6,15--，共有5个，故选：B ．【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．3．观察下列等式：()()2111x x x -+=-，()()23111x x x x -++=-，()()324111x x x x x -+++=-，……，利用你发现的规律回答：若()()65432112x x x x x x x -++++++=-，则2016x 的值是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．22016 【答案】C【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据()()65432112x x x x x x x -++++++=-求出x 的值，然后代入求值即可得．【详解】观察等式：()()2111x x x -+=-， ()()23111x x x x -++=-，()()324111x x x x x -+++=-，归纳类推得：()()12111n n n x x x x x --+-+++=-，其中n 为大于1的整数， 则()()6547321121x x x x x x x x -++++=-++=-， 即71x =-，解得1x =-，则()2016201611x =-=， 故选：C ．【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题、有理数的乘方，依据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．4．现有一张边长为a 的大正方形卡片和三张边长为b 的小正方形卡片（12a b a <<）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大26ab -，则小正方形卡片的面积是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】 根据题意、结合图形分别表示出图2、3中的阴影部分的面积，根据题意列出算式，再利用整式的混合运算法则计算即可．【详解】图3中的阴影部分的面积为：（a−b ）2，图2中的阴影部分的面积为：（2b−a ）2，由题意得，（a−b ）2−（2b−a ）2＝2ab−6，整理得，b 2＝2，则小正方形卡片的面积是2，故选：A ．【点睛】本题考查的是整式的混合运算，正确表示出两个阴影部分的面积是解题的关键．5．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,)n =的展开式的系规律（按a 的次数由大到小的顺序）：请根据上述规律，写出2020(1)x +的展开式中含2019x 项的系数是（ ） A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 【答案】C【分析】 首先确定2019x 是展开式中第几项，再根据杨辉三角中的规律即可解决问题．【详解】解：由图中规律可知：含2019x 的项是2020(1)x +的展开式中的第二项，∵1()a b +展开式中的第二项系数为1，2()a b +展开式中的第二项系数为2，3()a b +展开式中的第二项系数为3，4()a b +展开式中的第二项系数为4，∵()n a b +展开式中的第二项系数为n ，∵2020(1)x +的展开式中的第二项系数为2020，故选：C ．【点睛】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”． 6．248162(31)(31)(31)(31)(31)⨯+++++的计算结果的个位数字是（ ）A ．8B ．6C ．2D ．0【答案】D【分析】先将2变形为()31-，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．【详解】解：2416(31)(31)(31)(31)(31)-+++⋯+ 22416(31)(31)(31)(31)=-++⋯+4416(31)(31)(31)=-+⋯+3231=-133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=，836561=，⋯∴3n 的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，3248÷=，故323与43的个位数字相同即为1，∵3231-的个位数字为0，∵248162(31)(31)(31)(31)(31)⨯+++++的个位数字是0．故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．7．观察下列各式及其展开式()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++()554322345 510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ······ 请你猜想()10+a b 的展开式第三项的系数是（ ）A ．35B ．45C ．55D ．66【答案】B【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b ）10的展开式第三项的系数．【详解】解：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（a+b ）3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3；（a+b ）4=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4；（a+b ）5=a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；（a+b ）6=a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6；（a+b ）7=a 7+7a 6b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7；第7个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第8个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第9个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b ）10的展开式第三项的系数为45．故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．二、填空题8．若2()()6x a x b x mx ++=++，其中,,a b m 均为整数，则m 的值为_______．【答案】5±或7±【分析】先根据整式的乘法运算可得,6a b m ab +==，再根据“,,a b m 均为整数”分情况求解即可得．【详解】2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，2()()6x a x b x mx ++=++，22()6x a b x ab x mx ∴+++=++，,6a b m ab ∴+==，,,a b m 均为整数，∴分以下8种情况：∵当6,1a b =-=-时，6(1)7m =-+-=-，∵当3,2a b =-=-时，3(2)5m =-+-=-，∵当2,3a b =-=-时，2(3)5m =-+-=-，∵当1,6a b =-=-时，1(6)7m =-+-=-，∵当1,6a b ==时，167m =+=，∵当2,3a b ==时，235m =+=，∵当3,2a b ==时，325=+=m ，∵当6,1a b ==时，617m =+=，综上，m 的值为5±或7±，故答案为：5±或7±．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则，并正确分情况讨论是解题关键．9．()()()24321(31)3131312+++⋯++的值为_______．【答案】6432【分析】设()()()()24321313131312A +++⋯++=，利用平方差公式求出()31A -的值，由此即可得． 【详解】 设()()()()24321313131312A +++⋯++=， 则()()()()()()243213131313131312A ⎡⎤-=-+++⋯++⎢⎥⎣⎦， ()()()()()()243213131313131312=-+++⋯++-⨯， ()()()()22432313131311=-++⋯++，()()323231311=-++，64311=-+，643=， 所以646433312A ==-， 故答案为：6432． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算求值，熟练掌握平方差公式是解题关键．10．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了()n a b +（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如：()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过148天是星期______．【答案】三【分析】根据814＝（7＋1）14＝714＋14×713＋91×712＋…＋14×7＋1可知814除以7的余数为1，从而可得答案．【详解】∵814＝（7＋1）14＝714＋14×713＋91×712＋…＋14×7＋1，∵814除以7的余数为1，∵假如今天是星期二，那么再过814天是星期三，故答案为：三．【点睛】本题考查了完全平方公式，能发现（a＋b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a ＋b）n−1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．11．现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图①的完全相同的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图①的大长方形，则图①中阴影部分面积与整个图形的面积之比为________．【答案】1：6【分析】先求出图∵中阴影部分的面积，由此可求出图∵中阴影部分的面积，再根据图∵可得到a=3b，由此可求出图∵中整个图形的面积，然后求出图∵中阴影部分面积与整个图形的面积之比．【详解】解：如图∵种阴影部分的面积为（a+b）2-4ab=（a-b）2．如图∵可知3a+3b=4a∵a=3b∵S阴影部分=（3b-b）2=4b2;∵图∵中S 阴影部分=3×4b 2=12b 2;图∵中整个图形的面积为：4a×（a+3b ）=12b （3b+3b ）=72b 2；∵图∵中阴影部分面积与整个图形的面积之比为12b 2：72b 2=1：6．故答案为：1：6．【点晴】此题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是：结合图形找出长与宽的数量关系．12．若多项式241x Q ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q 是_______．【答案】±4x , 4x 4【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q ，∵如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，故Q = ±4x ; ∵如果如果这里首末两项是Q 和1，则乘积项是4x 2=2×2x 2，所以Q = 4x 4.【详解】解：∵4x 2 +1±4x = (2x ±1)24x 2+1+4x 4 = (2x 2+1)2;∵加上的单项式可以是±4x , 4x 4,中任意一个,故答案为：±4x , 4x 4.【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.13．已知20052004,20052005,20052006,a x b x c x =+=+=+则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为_________________．【答案】3【分析】观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．【详解】∵a ＝2005x ＋2004，b ＝2005x ＋2005，c ＝2005x ＋2006，∵a−b ＝−1，b−c ＝−1，a−c ＝−2，∵222a b c ab bc ac ++---＝12（2a 2＋2b 2＋2c 2−2ab−2bc−2ca ）＝12 [（a 2−2ab ＋b 2）＋（b 2−2bc ＋c 2）＋（a 2−2ac ＋c 2）]＝12 [（a−b ）2＋（b−c ）2＋（a−c ）2] ＝12[（−1）2＋（−1）2＋（−2）2]＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键． 14．观察下列各式：111113132a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 2111135235a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 3111157257a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 4111179279a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； ①①①，则123200a a a a +++⋅⋅⋅+=______【答案】200401【分析】根据题意，总结式子的变化规律，然后得到1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--⨯+-+，然后把代数式化简，通过拆项合并的方法进行计算，即可求出答案． 【详解】 解：∵111113132a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭；2111135235a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 3111157257a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 4111179279a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； ……∵1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--⨯+-+；∵123200a a a a +++⋅⋅⋅+11111111111(1)()()()232352572399401=-+-+-+⋅⋅⋅+⨯- 11111111(1)233557399401=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+- 11(1)2401=⨯- 14002401=⨯200401=； 故答案为：200401． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握正确掌握题意，找到题目的规律，从而运用拆项法进行解题．三、解答题15．已知a+b=1，ab=-1，设S 1=a+b ，S 2=a 2+b 2，S 3=a 3+b 3，…，S n =a n +b n （1）计算S 2和S 4（2）已知a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2),求S 3并猜想S n -2，S n -1，S n 三者之间的数量关系（不需要证明）；（3）若M=(S 1+S 2+S 3+----S 99)（S 2+S 3+----S 100），N=（S 1+S 2+S 3+----S 100）（S 2+S 3+----S 99）判断M ，N 的大小，并说明理由．【答案】（1）S 2＝3，S 4＝7，（2）S 3=4， S n -2+S n -1=S n ，理由见详解；（3）M ＞N ，理由见详解 【分析】（1）根据完全平方公式以及变形公式，即可求解；（2）根据a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)，即可求出S 3=4，由a n -2+b n -2 +a n -1+ b n -1结合a+b=1，ab=-1，可得S n -2+S n -1=S n ； （3）设A= S 1+S 2+S 3+----+S 99，B= S 2+S 3+----+S 100，利用作差法，即可判断M ，N 的大小． 【详解】解：（1）S 2＝a 2＋b 2＝（a ＋b ）2−2ab ＝12−2×（−1）＝3，S 4＝a 4＋b 4＝（a 2＋b 2）2−2a 2b 2＝（a 2＋b 2）2−2（ab ）2=32−2×（−1）2＝7， （2）S 3=a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)=1×（3+1）=4， 猜想：S n -2+S n -1=S n ， 理由如下：∵a+b=1，ab=-1，∵a n -2+b n -2 +a n -1+ b n -1= a n -2(1+a)+ b n -2(1+b)= a n -2(-ab+a)+ b n -2(-ab+b)= a n -1(1-b)+ b n -1(1-a)= a n +b n ， ∵S n -2+S n -1=S n ；（3）∵S 1=a+b ，S 100= a 100+b 100＞0， 设A= S 1+S 2+S 3+----+S 99，B= S 2+S 3+----+S 100 ∵M -N=AB -(A+ S 100)(B - S 100) =AB -AB+(A -B) S 100+ S 100×S 100 =(S 1-S 100) S 100+ S 100×S 100 = S 1 S 100 = S 100＞0， ∵M ＞N ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键，规律是S n−2＋S n−1＝S n ． 16．阅读理解并填空：（1）为了求代数式223x x ++的值，我们必须知道x 的值． 若1x =，则这个代数式的值为_________， 若2x =，则这个代数式的值为_________，．．．．可见，这个代数式的值因x 的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：22223212(1)2x x x x x ++=+++=++，因为2(1)x +是非负数，所以这个代数式的最小值是_________，此时相应的x 的值是_________．（3）求代数式21235x x -+的最小值，并写出相应的x 的值． （4）求代数式2612x x --+的最大值，并写出相应的x 的值．【答案】（1）6；11；（2）2；-1；（3）最小值是-1，相应的x 的值是6；（4）最大值是21，相应的x 的值是-3． 【分析】（1）把x=1和x=2分别代入代数式x 2+2x+3中，再进行计算即可得出答案； （2）根据非负数的性质即可得出答案；（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （4）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】解：（1）把x=1代入x 2+2x+3中，得：12+2+3=6； 若x=2，则这个代数式的值为22+2×2+3=11； 故答案为6；11； （2）根据题意可得：x 2+2x+3=（x 2+2x+1）+2=（x+1）2+2， ∵（x+1）2是非负数，∵这个代数式x 2+2x+3的最小值是2，相应的x 的值是-1． 故答案为2；-1；（3）∵x 2-12x+35=（x -6）2-1，∵代数式x 2-12x+35的最小值是-1，相应的x 的值是6； （4）∵-x 2-6x+12=-（x+3）2+21，∵-x 2-6x+12的最大值是21，相应的x 的值是-3． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．17．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到()2222a b a ab b +=++，请解答下列问题（1）写出图2中所表示的数学等式（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10,35a b c ab ac bc ++=++=，则222a b c ++= （4）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形z 张边长分别为,a b 的长方形纸片拼出一个面积为()()5794a b a b ++长方形，则x y z ++=【答案】（1）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++； （2）见解析 ； （3）30 ； （4）156． 【分析】（1）利用整体法求解正方形的面积为()2a b c ++，利用分割法求解正方形的面积为：222222a b c ab ac bc +++++，从而可得答案；（2）利用多项式乘以多项式的法则把左边通过计算展开，合并同类项后可得结论；（3）利用变形公式：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=++---，再整体代入即可得到答案； （4）由题意可得，所拼图形的面积为:22xa yb zab ++，再利用整式的乘法运算法则计算：()()5794a b a b ++，由面积相等可得,,x y z 的值，从而可得答案．【详解】 解：（1）正方形的面积()2a b c =++;正方形的面积222222a b c ab ac bc =+++++()2222222.a b c a b c ab ac bc ++=∴+++++故答案为:()2222222.a b c a b c ab ac bc ++=∴+++++ （2）证明：()()a b c a b c ++++222,a ab ac ab b bc ac bc c =++++++++222222.a b c ab ac bc =+++++（3）10,35a b c ab ac bc ++=++=()2222222a b c a b c ab ac bc ∴++=++---()2102ab ac bc =-++ 100235,=-⨯30.=故答案为:30（4）由题可知，所拼图形的面积为:22xa yb zab ++()()5794a b a b ++2245206328a ab ab b =+++ 22452883a b ab =++ 45,28,83x y z ∴=== 452883156x y z ∴++=++=故答案为：156【点睛】本题考查的是乘法公式的几何意义，整式的乘法运算，公式的应用能力，掌握以上知识是解题的关键．18．设a，b，c为整数，且对一切实数都有(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c)恒成立．求a+b+c的值．【答案】20或28．【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c 的值即可得出答案．【详解】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，∵﹣（a+8）＝﹣（b+c），∵8a+1＝bc，消去a得：bc﹣8（b+c）＝﹣63，（b﹣8）（c﹣8）＝1，∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，解得b＝c＝9或b＝c＝7，当b＝c＝9时，解得a＝10，当b＝c＝7时，解得a＝6，故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，故答案为：20或28．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式和因式分解变形，有一定难度．此题若直接求a，b，c的值不易，需另辟蹊径，这种解题思想很常用，需要特别注意19．阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．这个三角形给出了()na b +（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序、b 的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数等．从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．（1）根据材料规律，请直接写出()4a b +的展开式；（2）根据材料规律，如果将-a b 看成()a b +-，直接写出211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式（结果化简）；若24212527n n n =-+，求211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值； （3）已知实数a 、b 、c ，满足22224610a b c a b c +++-+=-，且1110123a b c +-=+-+，求a b c +-的值．【答案】（1）()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；（2）211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭221212n n n n =+-+-，211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=1或9；（3）6a b c +-=或2 【分析】（1）依据规律进行计算即可；（2）24212527n n n =-+分子分母同时除以2n 可化为22112725n n =-+，得出222257n n -+=，从而求得2216n n +=，即可求得12n n -=±，代入211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭即可求解； （3）将式子22224610a b c a b c +++-+=-通过完全平方式变形为()()()2221234a b c ++-++=，设1a x +=，2b y -=，3c z +=，通过a b c +-与x y z +-的关系联立阅读材料可求得a b c +-的值．【详解】解：（1）()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；（2）22111=1n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222111122121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⨯-+⨯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2212122n n n n =++-+-221212n n n n =+-+-∵24212527n n n =-+ ∵22112725n n =-+，即222257n n -+=，可得2216n n+=，∵2221126n n n n ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，可得12n n -=±当12n n -=时，211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭221212n n n n =+-+-=61229=-+⨯=当12n n -=-时，211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭221212n n n n =+-+-=()61221=-+⨯-=（3）∵22224610a b c a b c +++-+=- 整理得到()()()2221234a b c ++-++= ∵1110123a b c +-=+-+ 设1a x +=，2b y -=，3c z +=，则2224111x y z x y z ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22240x y z xy xz yz ⎧++=⎨--=⎩ ∵()()()2221234x y z a b c a b c +-=++---=+--222222x y z xy xz yz =+++--()2222x y z xy xz yz =+++--4=∵42a b c +--=±∵当42a b c +--=时，6a b c +-=； 当42a b c +--=-时，2+-=a b c ； ∵6a b c +-=或2 【点睛】本题考查了乘法公式的运用；解题的关键是根据题目式子的形式进行恰当变形，从而求解，注意平方根的个数．20．我们可以用以下方法求代数式265x x ++的最小值．222226523335(3)4x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-①2(3)0x +≥ ①()2443x -≥-+，①当3x =-时，265x x ++有最小值-4． 请根据上述方法，解答下列问题（1）求代数式241x x -+的最小值；（2）求证：无论x 、y 取任何实数，代数式2221066211x y xy x y +---+的值都是正数；（3）已知x 为实数，求代数式()2424162021x x x x ++++的最小值．【答案】（1）241x x -+有最小值3-；（2）证明见解析；（3）()2424162021x x x x ++++有最小值2020．【分析】（1）通过配方可得：241x x -+()223x =--，再利用非负数的性质，结合不等式的性质可得答案； （2）把原式通过配方化为：()()()2221331y x x y -+-+-+，再利用非负数的性质可得：()()()22213311,y x x y -+-+-+≥从而可得结论；（3）利用配方法把原式化为：()2424162021x x x x ++++()22212020x x =+++()412020,x =++ 再利用非负数的性质可得代数式的最小值．【详解】解：（1）241x x -+()2443x x =-+-()223x =-- ()220,x -≥()2233,x ∴--≥-∴ 当2x =时，241x x -+有最小值3-．（2） 2221066211x y xy x y +---+ 22222169691y y x x x xy y =-++-++-++()()()2221331y x x y =-+-+-+ ()()()22210,30,30,y x x y -≥-≥-≥()()()22213311,y x x y ∴-+-+-+≥∴ 22210662111x y xy x y +---+≥，∴ 无论x 、y 取任何实数，代数式2221066211x y xy x y +---+的值都是正数；（3） ()2424162021x x x x ++++()()222214142020x x x x =+++++()22212020x x =+++ ()412020x =++ ()410,x +≥()4120202020,x ∴++≥∴ 当1x =-时，()2424162021x x x x ++++有最小值2020．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，利用配方法求代数式的最值，因式分解的应用，掌握利用完全平方式的特点进行配方是解题的关键．。
整式的乘法与因式分解易错题(Word版 含答案)
整式的乘法与因式分解易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定 【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，k 6∴-=±，解得：k 6=±，故选：C ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．若()(1)x m x +-的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2．【答案】A【解析】【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果.【详解】 ()()1x m x +-=x 2+(m-1)x-m ，而计算结果不含x 项，则m-1=0，得m=1.【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题.3．如图，从边长为(4a )cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D【解析】【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15．故选D．4．已知4y2+my+9是完全平方式，则m为()A．6 B．±6 C．±12 D．12【答案】C【解析】【分析】原式利用完全平方公式的结构特征求出m的值即可．【详解】∵4y2+my+9是完全平方式，∴m=±2×2×3=±12．故选：C．【点睛】此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．(a＋1)(a－1)＝a2－1 B．a2－6a＋9＝(a－3)2C．x2＋2x＋1＝x(x＋2x)＋1 D．－18x4y3＝－6x2y2·3x2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B、是因式分解，正确．C、右边不是积的形式，错误；D、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．x2+4x+4=（x+2）2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A选项,从左到右变形错误,不符合题意,B选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.7．下列等式由左边向右边的变形中，属于因式分解的是 ( )A．x2+5x－1=x(x+5)－1 B．x2－4+3x=(x+2)(x－2)+3xC．(x+2)(x－2)=x2－4 D．x2－9=(x+3)(x－3)【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．【详解】解：A、右边不是积的形式，故A错误；B、右边不是积的形式，故B错误；C、是整式的乘法，故C错误；D、x2－9=(x+3)(x－3)，属于因式分解．故选D．【点睛】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．8．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．9．不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2﹣10x+8y+45的值均为（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数【答案】A【解析】【详解】因为x 2+y 2－10x +8y +45=()()225440x y -+++>, 所以x 2+y 2－10x +8y +45的值为正数,故选A.10．小淇用大小不同的 9 个长方形拼成一个大的长方形 ABCD ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．(a + 1)(b + 3)B ．(a + 3)(b + 1)C ．(a + 1)(b + 4)D ．(a + 4)(b + 1)【答案】B【解析】【分析】通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.【详解】平移后，如图，易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).故选B.【点睛】本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】 【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.12．222---x xy y =__________【答案】()2x y -+【解析】根据因式分解的方法，先提公因式“﹣”，再根据完全平方公式分解因式为：()()2222222x xy y x xy y x y ---=-++=-+. 故答案为()2x y -+.点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），注意符号的变化.13．－3x 2＋2x －1＝____________＝－3x 2＋_________.【答案】 －(3x 2－2x ＋1) (2x －1)【解析】根据提公因式的要求，先提取负号，可得－(3x 2－2x ＋1)，再把2x-1看做一个整体去括号即可得（2x-1）.故答案为：－(3x 2－2x ＋1) ，(2x －1).14．计算：532862a a a -÷=（）___________．【答案】343a a -【解析】根据整式的除法—多项式除以单项式，可知：532862a a a -÷=（）8a 5÷2a 2-6a 3÷2a 2=343a a -.故答案为：343a a -.15．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______． 【答案】6根据完全平方公式，可知（x ﹣1x ）2= x 2-2+21x =4，移项整理可得x 2+21x=6. 故答案为6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.16．分解因式2242xy xy x ++=___________【答案】22(1)x y +【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2，故答案为2x （y ＋1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．【答案】xy （x ﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy （x 2-2x+1）=xy （x-1）2．故答案为：xy （x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．分解因式：32363a a a -+=_____．【答案】()231a a -【解析】【分析】先提取公因式3a ，再根据完全平方公式进行二次分解即可．【详解】 ()()232236332131a a a a a a a a -+=-+=-． 故答案为：()231a a -本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．19．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.【答案】31-．【解析】首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．20．已知8a b +=，224a b =，则222a b ab +-=_____________． 【答案】28或36．【解析】【分析】【详解】解：∵224a b =，∴ab=±2．①当a+b=8，ab=2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×2=28； ②当a+b=8，ab=﹣2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×（﹣2）=36； 故答案为28或36．【点睛】本题考查完全平方公式；分类讨论．。
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中考数学整式乘法与因式分解易错压轴解答题(含答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．阅读下列材料:对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1):同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2)，于是我们可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)又如:对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因式(x-2)，我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我们可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)请你根据以上材料，解答以下问题:（1）当x=________时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式________ ，从而因式分解6x2-x-5=________.（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6（3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想:代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ，________ ，________ ，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。
2．（1）若m2+n2=13，m+n=3，则mn=________ 。
（2）请仿照上述方法解答下列问题：若(a-b-2017)2+(2019-a+b)2=5，则代数式的值为________。
3．观察下列一组等式，然后解答后面的问题，，，（1）观察以上规律，请写出第个等式：________ 为正整数）．（2）利用上面的规律，计算：（3）请利用上面的规律，比较与的大小．4．效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B 种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B 种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：________，方法2：________；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2， a2+b2， ab之间的等量关系________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；②已知（2019-a）2+（a-2018）2=5，求（2019-a）（a-2018）的值．5．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02， 12=42﹣22， 20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？6．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）图③可以解释为等式：________．（2）图④中阴影部分的面积为________．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab 之间的等量关系是________．（3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形；①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示）②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系．7．若x满足（5-x）（x-2）=2，求（x-5）2+（2-x）2的值；解：设5-x=a，x-2=b，则（5-x）（x-2）=ab=2，a+b=（5-x）+（x-2）=3，所以（x-5）2+（2-x）2=（5-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5，请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若x满足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）2+（x-4）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=4，长方形EMFD的面积是63，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．8．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．（1）填空：（3i﹣2）（3+i）＝________；（1+2i）3（1﹣2i）3＝________；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）a的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）的值．9．问题发现：小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1，可得到等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.（1）类比探究：如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来.（2）结论应用：已知a+b+c=14，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值.（3）拓展延伸：如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=8，ab=14，请求出阴影部分的面积. 10．认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．11．已知A=2 a -7，B=a2- 4a+3，C= a2 +6a-28，其中．（1）求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）阅读对B因式分解的方法：解：B=a2- 4a+3=a2- 4a+4-1=（a-2）2-1=（a-2+1）（a-2-1）=（a-1）（a-3）.请完成下面的两个问题：①仿照上述方法分解因式：x2- 4x-96；②指出A与C哪个大？并说明你的理由．12．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(解析：（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y)【解析】【分析】（1）根据阅读材料可知当x=1时多项式6x2-x-5的值为0，从而可得到多项式6x2-x-5的一个因式为（x-1）即可将此多项式分解因式。
（2）将x=-1代入2x2+5x+3，可知其值为0，因此可将此多项式分解因式；将x=1代入x3-7x+6，可知 x3-7x+6=0，再将x=2代入，可知x3-7x+6=0，从而可将其多项式进行分解因式。
（2）利用试根法，将已知多项式进行分解因式即可。
2．（1）-2（2）-4038【解析】【解答】解：（1）∵ m+n=3 ，则（m+n）2=9,m2+n2+2mn=9,,∴mn=(9-13)÷2=-2，（2）设 a-b-解析：（1）-2（2）-4038【解析】【解答】解：（1）∵m+n=3，则（m+n）2=9,m2+n2+2mn=9,,∴mn=(9-13)÷2=-2，（2）设a-b-2017=m,2019-a+b=n,则m+n=a-b-2017+2019-a+b=2,∴(m+n)2=4,则故答案为：-4038.【分析】（1）利用完全平方公式进行代数式变形求得：，把m2+n2和m+n的值代入即可求出mn的值.（2）根据题（1），设a-b-2017=m,2019-a+b=n，先求m+n的值，利用题（1）的结论代值即可求出mn的值，则求值式的值可求。
3．（1）(n+1+n)(n+1-n)=1（2）解：原式（3）解：，，119+18<118+17 ，．【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第 n 个等式为 (n解析：（1）（2）解：原式（3）解：，，，．【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第个等式为；故答案为：【分析】（1）根据已知等式，可得第个等式为；（2）利用分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减计算即得；（3）先求出的大小，从而得出结论.4．（1）（a+b）2；a2+b2+2ab（2）（a+b）2=a2+b2+2ab（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴25=13+2ab，∴ab=6；②∵（a+b）2=a2+解析：（1）（a+b）2；a2+b2+2ab（2）（a+b）2=a2+b2+2ab（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴25=13+2ab，∴ab=6；②∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴[（2019-a）+（a-2018）]2=（2019-a）2+（a-2018）2+2（2019-a）（a-2018），即1=5+2（2019-a）（a-2018），∴（2019-a）（a-2018）=-2．【解析】【解答】解：方法1：S=（a+b）2，方法2：S=a2+b2+2ab；故答案为（a+b）2， a2+b2+2ab；（2）由面积相等，可得（a+b）2=a2+b2+2ab；故答案为（a+b）2=a2+b2+2ab【分析】（1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；（2）由同一图形面积相等即可得到关系式；（3）根据（a+b）2=a2+b2+2ab，将所给条件代入即可求解5．（1）解：设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：(2m+2)2-(2m)2=28，8m+4=28，m=3，∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，∴28是“神解析：（1）解：设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：(2m+2)2-(2m)2=28，8m+4=28，m=3，∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，∴28是“神秘数”.(2m+2)2-(2m)2=2012，8m+4=2012，m=501，∴2m=1002∴2012是“神秘数”.（2）解：是；理由如下：∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.（3）解：由（2）可知“神秘数”可表示为4(2n-1)，∵2n-1是奇数，∴4(2n-1)是4的倍数，但一定不是8的倍数，设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，则(2n+1)2-(2n-1)2=8n.∴连续两个奇数的平方差是8的倍数，∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，列方程求出m的值即可得答案；（2）根据“神秘数”的定义可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，即可得答案；（3）由（2）可知“神秘数”是4的倍数，但一定不是8的倍数，而连续两个奇数的平方差一定是8的倍数，即可得答案.6．（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2（2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，解析：（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2（2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，∴大长方形的面积＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S，∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2；②设AB＝m，∴大长方形的面积＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S，∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b），∵若AB为任意值，且①中的S的值为定值，∴3a＝b.【解析】【解答】解：（1）根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；故答案为（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；（ 2 ）④图中阴影部分面积是（a﹣b）2，根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案为（a﹣b）2，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；【分析】（1）根据图形面积可知（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2；（2）根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积，得到（a-b）2=（a+b）2-4ab；（3）①大长方形的面积=（3a+b）（4+b）=7ab+4×3a+4×3a-S；②设AB=m，大长方形的面积=（3a+b）（m+b）=7ab+3ma+3ma-S，3a-b=0；7．（1）解：设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5，∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=1解析：（1）解：设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5，∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17；（2）解：∵正方形ABCD的边长为x，∴DE=x-2，DF=x-4，设x-2=a，x-4=b，则S正方形EMFD=ab=63，a-b=（x-2）-（x-4）=2，那么（a+b）2=（a-b）2+4ab=256，得a+b=16，∴（x-2）2-（x-4）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=32．即阴影部分的面积是32．【解析】【【分析】（1）设（9-x）=a，（x-4）=b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．8．（1）7i﹣9；125（2）解：∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i ，又a+bi是（1+2i）2的共轭复数，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）a＝（﹣4解析：（1）7i﹣9；125（2）解：∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，又a+bi是（1+2i）2的共轭复数，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）a＝（﹣4+3）﹣3＝﹣1，∴（b﹣a）a的值为﹣1（3）解：∵（a+i）（b+i）＝1﹣3i，∴ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，∴ab＝2，a+b＝﹣3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣2×2＝5，∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，i2+i3+i4+…+i2019有2018个加数，2018÷4＝504…2，∴i2+i3+i4+…+i2019＝0+i2018+i2019＝i2016•i2+i2016•i3＝﹣1﹣i，∴（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）＝5（﹣1﹣i）＝﹣5﹣5i．【解析】【解答】（1）解：（3i﹣2）（3+i）＝9i﹣3﹣6﹣2i＝7i﹣9；（1+2i）3（1﹣2i）3＝[（1+2i）（1﹣2i）]3＝（1﹣4i2）3＝（1+4）3＝125；故答案为：7i﹣9；125【分析】（1）按照定义计算即可；（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b 的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案．9．（1）解： (a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）解：∵a+b+c=14，ab+bc+ac=26，∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+ac+bc解析：（1）解： =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）解：∵a+b+c=14，ab+bc+ac=26，∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+ac+bc)=196−52=144（3）解：∵a+b=8，ab=14，∴ = + (a+b)×b- = + - ab= - ab= ´ - ´14=11【解析】【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解. 10．（1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0= ，当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= ，当n=3时，多项解析：（1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0= ，当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= ，当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3= ，当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6= ，…∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：（2）解：预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n（3）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，…∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n【解析】【分析】由杨辉三角形的规律，得到多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式；由规律得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和；根据题意当n=1时，n=2时···，得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和.11．（1）解：B-A= a2- 4a+3-2 a+7= a2- 6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A（2）解：①x2- 4x-96=x2- 4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+1解析：（1）解：B-A= a2- 4a+3-2 a+7= a2- 6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A（2）解：①x2- 4x-96=x2- 4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+10）（x-2-10）=（x+8）（x-12）；②C-A=a2+6a-28-2a+7=a2+4a-21=（a+7）（a-3）．因为a＞2，所以a+7＞0，从而当2＜a＜3时，A＞C；当a=3时，A=C；当a＞3时，A＜C【解析】【分析】（1）根据题意B-A=（a-3）2+1＞0，得到A与B的大小关系是B＞A；（2）根据完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2和平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分解即可；由C-A=（a+7）（a-3），再由a > 2，得到a+7＞0，2＜a＜3时，A＞C；当a=3时，A=C；当a ＞3时，A＜C.12．（1）（x﹣y+1）2（2）解：令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2 ，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2（3）证明：（n+1）（解析：（1）（x﹣y+1）2（2）解：令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2（3）证明：（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1.=（n2+3n）（n2+3n+2）+1.=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1.=（n2+3n+1）2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方.【解析】【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解；(3)将原式转化为(n²+3n) [(n+1)（n+2）]+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数，从而说明原式是整数的平方.。