曲线与方程

曲线与方程
一、曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：
1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；
2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点，
那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．
二、求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．
三、求曲线的方程的步骤：
①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标；
②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =；
③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =；
④将方程(,)0f x y =化为最简形式；
⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
四、直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程．
（1）共点直线系：过已知点 P (x 0 , y 0 ) 的直线系方程 y − y 0 = k (x − x 0 ) （k 为参数） （2）平行直线系：斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b （b 是参数）
与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 （λ 为参数）
（3）垂直直线系：与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程Bx − Ay + λ = 0（λ 为参数）
（4）过直线 l 1 ：A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 与 l 2 ：A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的交点的直线系
方程：A 1 x + B 1 y + C 1 + λ(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0（λ 为参数），此直线系不含直线 l 2
例1： “ 以方程 f(x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上” 是 “ 曲线 C 的方程是 f(x,y) = 0 ” 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
下列方程各表示什么曲线？
① 29y x -=
② 0324222=++-+y x y x 0)9)(2(22=-+-+y x y x
例2： 设圆 C : (x − 1)2 + y 2 = 1 ，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
练习1：（直接法）已知线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴，y 轴上滑动，求AB 的中点P 的轨迹方程。

练习2：（代入法）已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C 在曲线y ＝32 x 上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．
练习3：（定义法）设A(1,0)，B(－1,0)，若动点M 满足k MA ·k MB ＝－1，求动点M 的轨迹方程．
练习4（参数法）已知定点P(a ，b)不在坐标轴上，动直线l 过点P ，并分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴，y 轴的垂线交于点M ，求动点M 的轨迹方程．
练习(相关点法)
5 已知抛物线y 2=x+1，定点A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有 BP ∶PA=1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．。