曲线与方程

曲线与方程
本节内容
一、曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
二、解析几何
建立直角坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(),x y 所满足的方程(),0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质．这个方法叫做坐标法．数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质．
三、求曲线的方程
第一步：建立适当的直角坐标系，用(),x y 表示曲线上任意一点P 的坐标；
第二步：写出满足条件的点P 的集合，用坐标表示该条件，写出方程(),0f x y =；
第三步：化简方程（等价变形），并验证．
四、求动点轨迹方程的方法
（1）直接法
直接根据条件建立动点(),P x y 满足的方程(),0f x y =．
（2）定义法
若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．
（3）待定系数法
根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再根据条件确定待定系数．
（4）代入法(相关点法)
动点(),P x y 满足的条件不便用等式列出，但动点随着另一动点而运动．如果另一动点所满足的条件是可求的，这是我们可以用动点坐标来表示其相关点坐标，根据相关点坐标所满足的方程来求出动点(),P x y 的轨迹方程．
（5）交轨法
求两动曲线交点的轨迹问题时，通常要通过解方程组得出交点坐标（含参），再消去参数求出轨迹方程．该方法常与参数法并用
注：
①轨迹方程是坐标关系式，是一个方程，有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．
②求曲线方程或轨迹方程时，要注意：第一，建立不同的坐标系，同一曲线的方程也不相同；第二，一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(),x y ；化简所求的方程(),0f x y =时，一定要注意同解性．如果破坏了同解性，就要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹但遗漏的点．
五、两曲线的交点
两曲线的交点坐标即两曲线的方程所构成的方程组的解．
六、曲线的对称性
在曲线方程里，如果以y -代y 方程不变，那么当点(),P x y 在曲线上时，它关于x 轴的对称点()',P x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称．同理：我们也可以推出满足什么条件，曲线关于y 轴对称，关于原点对称．并且，曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．想一想这是为什么呢？
本节习题
题型一 方程表示的曲线
1.（1）11x y -=-表示（ ）
A ．两条线段
B ．两条直线
C ．两条射线
D ．一条射线一条线段
（2）方程111x y -+-=所表示的图形是 ．
（3）方程()22
140x y x y +-+-=表示的曲线是 ．
题型二 曲线的对称性
2.曲线(),0f x y =关于直线30x y --=对称的曲线方程是（ ）
A ．()3,0f x y -=
B ．()3,0f y x +=
C ．()3,30f y x -+=
D ．()3,30f y x +-=
题型三 求轨迹方程
3.设圆()2
2:11C x y -+=，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．请分别用直接法、 定义法、代入法、参数法来求．
4.求到直线20x y -=和20x y -=的距离相等的点的轨迹方程．
5.已知动点P 到定点()1,0F 和直线3x =的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．
6.圆()()22
:546C x y -+-=内的一定点()4,3A ，在圆上作弦MN ，使90MAN ∠=，求弦MN 的 中点P 的轨迹方程．
7.已知点P 到两个定点()()1,0,1,0M N -距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的 方程．
8.已知点()3,0P -，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，且0PA AQ ⋅=．点M 在直线AQ 上， 满足32
AM MQ =-
．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程．
9.由P 向圆221x y +=作两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，60APB ∠=，求动点P 的轨迹方程．
10.已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2
21:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．
11.已知圆()221:425M x y ++=，圆()222:41M x y -+=，一动圆与这两个圆都外切，求动圆圆心P
的轨迹方程．
12.动点P 是抛物线2
21y x =+上任一点，定点为()0,1A -，点M 分PA 所成的比为2，求动点M 的 轨迹方程．
13.已知定点()3,0B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13
AM MB =
，求点M 的轨迹方程．
14.过点()1,3P 作两条相互垂直的直线12,l l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
15.点P 是曲线22412390x y x y ++-+=上的动点，直线10x y -+=是线段PQ 的中垂线，求点Q 的 轨迹方程．
课后练习
【练1】 若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ）
A ．1122⎡⎤-+⎣⎦，
B ．122122⎡⎤-+⎣⎦，
C ．1223⎡⎤-⎣⎦，
D ．123⎡⎤-⎣⎦，
【练2】 若曲线C 上的点的坐标都是方程(),0f x y =的解，则下面判断正确的是（ ）
A ．曲线C 的方程是(),0f x y =
B ．以方程(),0f x y =的解为坐标的点都在曲线
C 上
C ．方程(),0f x y =表示的曲线是C
D ．方程(),0f x y =表示的曲线不一定是C
【练3】 “点M 在曲线24y x =上”是点M 的坐标满足方程2y x =-的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【练4】 下列命题正确的是（ ）
A ．到两坐标轴的距离相等的点组成的直线方程是y x =
B ．已知三点()()()2,0,0,2,0,0A B
C ，ABC 的边AB 上的中线方程为y x =
C ．到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是1xy =±
D ．到x 轴的距离等于1的点的轨迹方程是1y =
【练5】 方程221y x x =-+所表示的曲线是（ ）
A ．两条直线
B ．两条射线
C ．一条直线
D ．一条射线
【练6】 方程222xy x y x -=所表示的曲线（ ）
A ．关于y 轴对称
B ．关于0x y +=对称
C ．关于原点对称
D ．关于0x y -=对称
【练7】 21y x =-与曲线y x =的交点个数是______．
【练8】 曲线22330y x ++=与曲线22450x y x +--=的交点的个数是_________．
【练9】 已知两点551,,4,44M N ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
给出下列曲线方程：①4210x y +-=；②223x y +=；③2212x y +=；④2
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x y -=，在曲线上存在点P 满足MP NP =的所有曲线方程是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④
【题1】 两条直线10x my --=与10mx y +-=的交点的轨迹方程是 ．
【题2】 圆()2
2:11C x y -+=，过原点O 作圆的弦OA ，则弦的中点M 的轨迹方程是 ． 【题3】 当m 变化时，则抛物线()22
211y x m x m =+++-的顶点的轨迹方程为 ．。