研究生“应用数理统计”课程课外作业
《应用数理统计》吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案
第三章 假设检验课后作业参考答案某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。
假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。
已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ，(2)构造统计量36/06.064.261.2/u 00-=-=-=nX σμ(3)否定域⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=--21212αααu u u u u u V(4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.2212=-=-ααuu ，(5) 2αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。
一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。
已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平下确定这批元件是否合格。
解：{}01001:1000, H :1000950 100 n=25 10002.5V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得：拒绝域：本题中：0.950.950u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2,σμN ，其中()2/40cm kg =σ。
现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2/cm kg )。
设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高 解：(1)提出假设0100::μμμμ>=H H ，(2)构造统计量5.13/4020/u 00==-=nX σμ (3)否定域{}α->=1u u V(4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu(5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。
应用数理统计课外作业设计
学号 20110813121 姓名卢丽丽学院资环学院专业安全技术及工程成绩实验数据处理中一元线性回归的应用摘要：我们处理实验数据时数理统计方法往往能帮助我们很好的处理，并且能得到很好的结果，回归分析主要是从大量反映某些变量间关系的观测值出发，分析变量问相关程度及相关关系，并建立回归模型去拟合变量间的关系，从而达到对变量之间关系的认识的方法。
其中一元线性回归模型在很多实验中能很好的帮我们预测未来数据和预测数据范围。
本文运用一元线性回归模型对试验中电流与时间的关系进行了分析，发现，试验中电流随时间逐渐减小，并呈线性递减关系。
通过求得的模型，我们进行了预测。
一、问题提出，问题分析在现代社会，随着科技的发展，人们生活水平提高，可是污染也越来愈严重，特别是重金属的污染，同时治理污染的方法也在改善。
重金属污染修复技术也得到发展，我们在做重金属的电动修复实验过程中，对其修复区的电流进行了观测，有观测值我们作出散点图，发现电流与时间有明显线性关系，我们用一元线性回归的方法分析这组数据，并预测未来电流的变化，以更好的掌握实验条件，为实验数据提供合理的解释。
二、数据描述下面是随着时间电流的变化数据，表中时间是指通电时间。
表1 电流随时间变化表根据数据，我们利用Excel作出散点图，如图1图1 电流随时间变化的散点图由图中点的趋势我们可以看出，电流随时间基本呈线性关系，我们求出其相关系数如下表：表2 电流与时间相关系数表三、模型建立（1）提出假设条件，明确概念，引进参数根据上面分析，我们知道，电流随时间基本呈线性关系，我们假设电流与时间是线性的，我们用一元线性回归模型进行拟合，并用F 检验法和t 检验法进行模型检验，各函数符号代表含义如下：x ：电流； y ：实验时间i x ：各点电流值 i y ：各点实验时间α：显著性水平，设α=0.05 （2）模型构建我们假定这组数据满足一元线性回归模型： 一元线性模型：⎩⎨⎧++=),0(~210σεεββN x y （3）模型求解先用最小二乘估计方法求出模型如下： 计算基本数据，如下表：表3 基本数据表6010600==x 49.49109.494==y 4.1002549.4960106.1966810101-=⨯⨯-=⋅-=∑=y x y x l i i i xy1188060104788010221012=⨯-=-=∑=x x l i i xx189.888149.491079.3337310221012=⨯-=-=∑=y y l i i yy8439.0118804.10025ˆ1-=-==xxxy l l β124.100ˆˆ10=-=x y ββ 6425.420ˆ21222=-=-=xx yy R T E l l S S S β 2512.786425.4202ˆ2==-=n S E σ回归直线为：x x y 8439.0124.100ˆˆˆ10-=+=ββ 该方程说明，在刚开始实验时，加的电流为100.124mA 。
“应用数理统计”课外作业设计
学号姓名学院专业成绩典型燃煤中汞的赋存规律摘要：近年来，燃煤引起的汞污染越来越受到人们关注。
中国能源结构以燃煤为主，但由于中国煤质地区差异较大，造成现有烟气脱汞技术对煤质适应性较差，因此针对中国典型煤种中汞的赋存规律进行研究，对促进烟气脱汞技术的发展和环境保护具有重要意义。
论文针对烟煤和无烟煤，通过总汞测定、X射线荧光光谱分析等手段，对15个典型煤样中汞的赋存状态和规律进行了实验研究。
随着煤炭变质程度的增高，煤中总汞含量有增高趋势，各地区煤总汞含量差别较大，在本实验范围内，汞含量大致呈现北低南高的特征。
α= 0. 05时，煤样中的总汞含量与硅含量、硫含量、氯含量的相关性系数分别为0.509、0.600和0.682，具有较好的相关性。
关键词：CO2；赋存规律；相关性1提出问题并分析问题大气中的汞有两种不同类型的排放源：天然源和人类源。
主要还是以人类活动排放为主。
在自然界中汞以各种形式存在，例如以硫化汞的形式存在于岩石中。
这些汞经过一系列的自然过程进入大气。
天然源释放到大气中的主要是Hg0，还有一些二甲基汞、挥发性无机汞化合物等。
煤中汞的赋存形式是影响汞排放的一个重要因素。
有学者提出煤中存在与有机煤岩组分结合的有机汞化合物，但主要还是以与无机物结合形式存在[1]。
对于煤中汞的存在形式，许多学者都进行了研究。
Finkelman在煤中发现了含汞的硫化物和硒化物，Cahill和Shiley发现煤中的方铅矿含汞，Dvornikov还提出煤中的汞主要以辰砂、金属汞和有机汞化合物的形式存在[1]。
煤在地质化学中被归为亲硫元素，因而，煤中的汞主要存在于黄铁矿（FeS2）和朱砂（HgS）中[2]。
文献[1]的研究证实了煤中大多数汞以固溶物形式分布于黄铁矿中,特别是后期成因的黄铁矿。
与煤中汞的含量分布研究相比，我国对煤中汞的赋存状态研究相对薄弱。
目前对煤中汞赋存状态的研究，采集的样品大多为我国西南地区的高硫煤或某些高汞煤，主要讨论煤中的汞与黄铁矿或硫分之间关系。
应用数理统计作业题及参考答案（第二章）（2）
应用数理统计作业题及参考答案（第二章）（2）第二章参数估计（续）P682.13 设总体X 服从几何分布：{}()11k P X k p p -==-，12k = ，，，01p <<，证明样本均值11ni i X X n==∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。
证明：总体X 服从几何分布，∴()1=E Xp，()21-=p D X p.1 ()()1111111=====??==∑∑ nn i i i i E XE X E X n E X nn n p p .∴样本均值11ni i X X n==∑是()E X 的无偏估计量。
2 ()22221111111==--===??=∑∑nn i i i i p p D XD X D X n nn np np . ()()()()1111ln ln 1ln 1ln 1-??=-=+--??；X f X p p p p X p .()111ln 111111fX p X X pppp p--=-=+?--；.()211222ln 111fX p X ppp ?-=-+-；.()()()()211122222ln 111111f X p X X I p E E E p p p p p --=-=--+=+--??????； ()()()()1222221111 111111111??-= +-=+-=+? ?---??pE X ppp p p p p p ()()() ()2221111111-+=+==---p ppp pp p pp .()()()222111111??'???? ???????===--n p pe p D X n I p n nppp .∴样本均值11ni i X X n==∑是()E X 的有效估计量。
3证法一：()21lim lim0→∞→∞-== n n p D X np，01p <<.∴样本均值11ni i X X n==∑是()E X 的相合估计量。
应用数理统计课后答案
t
2 i
11
t
2
3406
.681
．
i 1
i 1
所以
bˆ
lt z lt t
496 .583 3406 .681
0.146
；
Aˆ z bˆ t 0.532 ．
得 zˆ 0.532 0.146 t ．
换 yˆ ezˆ , aˆ e Aˆ 1.73 , x 1 t
（参考数据：）
6-2. 解：检验问题 H0 ：1 2 3
工厂
寿命
Ti
Ti
2
或 i
n
i
S
2 i
甲
40 48 38 42 45 (1600 2304 1444 1764 2025
213
45369 42.6
63.2
乙
26 34 30 28 32 676 1156 900 784 1024
xi
150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260
yi
56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7
（1）求 对 x 的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加 1kg 水泥时，可提高的
（4）当 x0 225 时，0 的预测值为 yˆ0 10.28 0.304 225 78.68
由于 0 的1 预测区间为： ( yˆ0 (x0) , yˆ0 (x0) )
(
yˆ0
ˆ
t 12
(n
2)
1
1 n
北航研究生数理统计答案完全版
n
令
ˆ 于是， 的极大似然估计
⑵ 似然函数
1 。 x x0
L( x0 ; x1 , x 2 , , x n ) n e
( xi x0 )
i 1
n
n e n ( x0 x ) ， xi x0 0 （ i 1 ， 2,, n ）
当 已知时，为 x 0 的单调递增函数，于是由极大似然估计定义可知，
书后部分习题解答整理版
即 ~ t (n 1) .
5. (P35.28) 设 x1 ， x 2 ，…， x m 和 y1 ， y 2 ，…， y n 分别是从 N ( 1 , 2 ) 和 N ( 2 , 2 ) 总 体中抽取的独立样本， 和 是两个实数，试求
( x 1 ) ( y 2 )
北航研究生数理统计 课后答案完全版
北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
P{ xi2 1.44} P{ (
i 1
10
xi 2 1.44 ) } 0.09 i 1 0.3 10 x 1 P{ ( i ) 2 16} i 1 0.3 1 0.9 0.1
2 1m
2
2 (n 1) S 2 n
2
( x 1 ) ( y 2 )
2 (m 1) S12m (n 1) S 2 n mn2
2
m
2
n
~ t (m n 2) 。
6． （ P80.1）设总体 X 服从两点分布 B(1, ) ， 0 1 ， x1 ， x 2 ，…， x n 为简单随机样 本，⑴ 求 q( ) Var ( x ) ；⑵ 求 q( ) 的频率估计。
研究生教材《应用数理统计》作业题及参考答案 李永乐
1第一章 数理统计的基本概念P261.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。
解：(){}{}()12nn i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=⎡⎤⎣⎦L ，，，.()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>>L ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>L{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-⎡-≤⎤⎡-≤⎤⎡-≤⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()11nF x =-⎡-⎤⎣⎦()()()()1111n f x F x n F x f x -'=⎡⎤=⎡-⎤⎣⎦⎣⎦.1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，，今抽取容量为5的子样1X ，2X ，…，5X ，试问： （i ）子样的平均值X 大于13的概率为多少？（ii ）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？ （iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？解：()~124X N Q ，，5n =，4~125X N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，. （i ）{}{}()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>>L ，，， {}{}{}5551111011101110i i i i P X P X P X ===->=-⎡-<⎤=-⎡-<⎤⎣⎦⎣⎦∏∏.()12~012X Y N -=Q ，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---⎧⎫⎧⎫∴<=<=<-=<-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=. {}[]5min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.（iii ）{}{}{}{}{}55max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-⎡<⎤⎣⎦∏L ，，，.{}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.1.4 试证：（i ）()()()22211nni i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成立。
吴代顶“应用数理统计”课外作业
学号 20111613210 姓名 吴代顶 学院 土木工程学院 专业 建筑与土木工程 成绩重庆大学土木工程学院2011届建工9班毕业生出生地农村或城市与毕业去向读研或工作的独立性假设检验摘要：文章通过对重庆大学土木工程学院2011届应届毕业的建筑工程9班学生调查，研究学生家庭出生地（城市或农村）与学生毕业去向（读研或工作）是否相互独立，来说明假设检验里独立性假设检验（非参数假设检验）所用方法的原理以及在实际中的应用。
文章对事件独立与否采用的是2χ检验法，通过实际数据计算其检验统计量2n χ并以显著性水平为05.001.0==αα和分别确定拒绝域，从而确定家庭出生地（城市或农村）与学生毕业去向（读研或工作）是否相互独立，最终完成一个数学方法在实际中的应用。
一、问题提出，问题分析重庆大学土木工程学院2011届应届毕业的建工9班共38人，通过对学生的出生地与毕业去向的调查，试以显著性水平为05.001.0==αα和分析该班学生的出生地（农村或城市）与毕业去向（读研或工作）是否相互独立?该问题旨在确定事件之间是否相互独立，是一个非参数的独立性假设检验问题，该问题宜采用2χ检验法。
二、数据描述重庆大学土木工程学院2011届应届毕业的建工9班学生信息表如下：表1该表格信息由重庆大学土木工程学院2011届应届毕业的建工9班班长李军谊提供，该表格为该班毕业时学生去向的统计表，真实可靠。
三、模型建立（1）提出假设条件，明确概念，引进参数设总体随机向量（X,Y ），X 表示学生毕业去向，取值为r a a a ,,,21 （此问题取值有读研和工作）；Y 表示学生出生地，取值为s 21,,,a a a （此问题取值有农村和城市）；现在对（X,Y ）做n 次独立观测，得到事件},X {j i b Y a ==的频数),,2,1;,,2,1(n s j r i ij ==，此问题r=2，s=2。
则该问题统计假设为：0H ：X 与Y 独立 1H ：X 与Y 不独立 （2）模型构建检验的统计量为：∑∑=⋅⋅⋅⋅=-=ri ji j i ij n n nn n n 12s1j 2n )(nχ ，其中各数据根据以下列联表得到，列联表根据原始数据统计而来，列联表如下：（3）模型求解及模型检验 ①检验统计量为1451.018*20*22*16)11*711*9(38)(n )(n 2212122112221112s1j 2n =-=-=-=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∑∑n n n n n n n n n n nn n n ri ji j i ij χ②0H 成立下统计量2n χ的极限分布为))1)(1((2--s r χ，则当01.0=α时，拒绝域为：}63.6)1())1)(1(({299.02120==-->=-χχχαs r K n 当05.0=α时，拒绝域为：}84.3)1())1)(1(({295.02120==-->=-χχχαs r K n四、计算方法设计和计算机实现假设（X,Y ）的联合分布函数为F(X ，Y) ，边缘分布为)(),(F y F x Y X ，那么X 与Y 独立等价于+∞<<-∞=y x y F x F y x F Y X ,),()(),( 将抽样数据用s r ⨯表3表示),,2,1(1r i n n sk ik i ==∑=⋅ ，),,2,1(1s i n n r k kj j ==∑=⋅记),(j i ij b Y a X P p ===，∑=⋅=s k ik i p 1p ，),,2,1;,,2,1(p 1j s j r i p rk kj ===∑=⋅。
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0.5
37.35
37.45
37.42
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37.4300
7
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因而本文就用一元线性回归的方法进行对Y型固体压力传感器回归分析，来进行对其鉴定，并分析仪器误差。
二、数据描述
本文的数据摘自《现代科学仪器》，主要是标准压力计对Y型固体压力传感器进行标定，得到了下表的一系列值。如表1：
表1压力传感器检定数据表
序号
标准压力x（pa）
传感器输出电压y（mv）
四次读数平均值
12.21300
6
0.5
37.4300
0.25
1401.00490
18.71500
7
0.6
44.3275
0.36
1964.92720
26.59650
8
0.7
51.2175
0.49
2623.23231
35.85225
9
0.8
58.1000
0.64
3375.6100
46.48000
10
0.9
64.9550
Xi
Yi
Xi2
yi2
xiyi
1
0.0
2.8100
0.00
7.89610
0.00000
2
0.1
9.7550
0.01
95.16003
0.97550
3
0.2
16.6925
0.04
278.63936
3.33850
4
0.3
23.5975
0.09
556.84201
7.07825
5
0.4
30.5325
0.16
932.23356
11
1.0
71.73
71.73
71.73
71.75
71.7400
其主要测定了11组值，通过控制其标准压力（标准压力范围0.0pa—1.0pa）来测定其升压与降压四组值，再算出他们的平均值写与其后。从表中可以看出随着标准压力的升高，其升压值和降压也都升高，但其是否成一定的线性关系，还有待进一步确定。
三、模型建立
0.81
4219.15203
58.45950
11
1.0
71.7400
1.00
5146.62760
77.74000
5.5
411.1575
3.85
20610.32536
281.44950
/n
0.5
37.378
0.35
1873.66549
25.58632
（2）计算统计量 ，lyy，lxy
（3）求系数
则回归方程为：
一、问题提出，问题分析
压力传感器是工业实践中最为常用的一种传感器，其广泛应用于各种工业自控环境，涉及水利水电、铁路交通、智能建筑、生产自控、航空航天、军工、石化、油井、电力、船舶、机床、管道等众多行业。因而，其工作时的精确性是十分的重要。为了进行对其标准压力与传感器输出电压之间的关系，采用一元线性回归进行对该传感器进行分析，看其是否满足一定的线性关系，若满足，前提是所得的回归方程显著性高。所以问题也就转化为对一元回归线性方程显著性检验。只要该方程高度显著，说明实验误差和参与误差都很小，该传感器与标准压力之间还是存在这一种相互制约、相互联系的关系。
选定显著性水平为0.01，查附表可得:
由于 > F0.01(1,33)=7.47， 0.01 ，说明两种的第二F检验都高度显著。
仪器要求线性标定，即是要求得到一条回归直线 ,可以证明用平均的各点拟合的回归直线，与用原来的44个点拟合的回归直线完全一样。对所得出的直线进行显著性检验，运用第一F，和第二F检验。对的出的检验结果判断其线性拟合的显著性，从而来判断其线性拟合度的高低。
四、计算设计及检验
（1）列表计算，如表2所示
表2一元线性回归计算表
选定显著性水平为0.01，查附表可得Fa(fM，fE)=F0.01(9,33)=3.由于F1=5.65> F0.01(9,33)=3，故回归线与回归方程失拟高度显著，说明失拟误差相对于实验误差来说是不可忽略的，表明所选择的一元线性回归这个数学模型与实际情况不合。
（6）第二F检验
有重复实验时，如果F1检验结果显著，不见得所得到的回归方程就没有用了，必须对所得到的回归方程进行第二F检验。
对Y型固体压力传感器的回归分析
摘要：为了得到标准压力与传感输出电压之间的关系，对Y型固体压力传感器进行标定以及仪器误差分析，对所获得的数据进行一元线性回归分析，得到一元线性方程 。并对该方程进行显著性检验，结果显示用第一F检验表明该回归方程失拟高度显著，与实际不符合；第二F检验表明高度显著，说明实验误差和参与误差都很小，而当第一F检验不显著，第二F检验显著时，得到的回归方程仍能可以使用，因而可以用次方程对该仪器进行标定。
（4）各偏差平方和与自由度
根据单次测定值的响应值yij、全部nm次试验点测定响应值的平均值 、每一次试验点m次试验结果的平均值 ，可以计算得到各偏差平方和的值:
各偏差平方和的自由度一次为
fx=1
fM=n-2=11-2=9
fE=n(m-1)=11 3=33
fT= fx+ fM+ fE=nm-1=43
（5）第一F检验
升压
降压
升压
降压
1
0.0
2.78
2.80
2.80
2.86
2.8100
2
0.1
9.70
9.76
9.78
9.78
9.7550
3
0.2
16.60
16.71
16.70
16.76
16.6925
4
0.3
23.54
23.56
23.58
23.71
23.5பைடு நூலகம்75
5
0.4
30.44
30.51
30.54
30.64
30.5325