2020-2021苏州高新区实验初级中学(新实初中)九年级数学上期末一模试卷及答案
江苏省苏州市高新区2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题
江苏省苏州市高新区2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定2．下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线3．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝500，则∠DAB等于( )A．55°B．60°C．65°D．70°4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝16，BE＝4，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．15 D．205．如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块7．一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ）A ．2.5 cm 或6.5 cmB ．2.5 cmC ．6.5 cmD ．5 cm 或13cm8．若将半径为12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm9．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．4－9πB ．4－89πC ．8－49πD ．8－89π 10．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为A B ．5 C ．3 D二、填空题 11．半径为2的圆的内接正三角形的面积是____．12．过⊙O 内一点M 的最长弦为10cm ，最短弦为8cm ，则OM= cm.13．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠ABC ＝130°，则∠AOC 的度数是______．14．已知直角△ABC 的两直角边的长分别为6、8，则此直角三角形的内切圆的半径为__．15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）16．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为___________．17．已知，如图BC 与AD 的度数之差为20°（BC AD >），弦AB 与CD 交于点E ，∠CEB ＝60°，则∠CAB ＝_______________°．18．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，点D 在边BC 上，5CD =，13BD =.点P 是线段AD 上一动点，当半径为6的圆P 与ABC ∆的一边相切时，AP 的长为________.三、解答题19．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等．为什么．20．．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为（4，3）．（1）请写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标．（2）⊙D的半径为；（3）求弧ABC的长（结果保留π）．21．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．22．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）求证：AC＝CD；（2）如果OD＝1，tan∠OCA，求AC的长．23．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、F，BC＝7，⊙O（1）∠A＝60°，求△ABC的周长．（2）若∠A＝70°，点M为⊙O上异于F、E的动点，则∠FME的度数为°．24．如图，在平面直角坐标系中，⊙P切x轴、y轴于C、D两点，直线交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，且与⊙P相切于点E．若AC＝4，BD＝6．（1）求⊙P的半径；（2）求切点E的坐标．25．在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD为半径的⊙O与AD、BD分别交于点E、F，且∠ABE=∠DBC．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）若1sin3ABE∠=，CD=2，求⊙O的半径．26．如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求线段AD所在直线的函数表达式；（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．27．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．（1）如图，当C点在x轴上运动时，若设AC＝x，请用x表示线段AD的长．（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？这时⊙F和直线BO相切的位置关系如何？请给予说明．（4）G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连接HG、HC，求HG+HC 的最小值，并将此最小值用x表示．参考答案1．C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选C．2．B【分析】根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆心角定理得出B正确；由当弦为直径时不垂直也平分，以及利用切线的判定对D进行判定．【详解】解：A．三个点不共线的点确定一个平面，故A不正确；B．由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，故选项B正确；C．平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线，错误，正确的应该是：一条直线垂直于圆的半径的外端，这条直线一定就是圆的切线．故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了切线的判断和圆的确定、圆心角定理以及垂径定理等知识，熟练掌握定义是解题关键．3．C【详解】试题分析：如图，连接BD，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.∵点D是AC的中点，∴∠ABD=∠CBD．∵∠ABC=50°，∴∠ABD=25°.∴∠DAB=90°－25°=65°,故选C.4．D【分析】连接OC．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∴CE＝12CD＝8，设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r，∵OC2＝OE2+CE2，即r2＝82+（r﹣4）2解得r＝10，∴⊙O的直径＝2r＝20，故选：D．【点睛】本题考查了圆的直径问题，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．5．B【解析】如图所示，连接OC．∵∠BOC与∠CDB是弧BC所对的圆心角与圆周角，∴∠BOC=2∠CDB．又∵∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°．则∠E=90°﹣40°=50°．故选B．6．B【分析】根据不共线的三点能确定一个圆即可判断.【详解】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.【点睛】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.7．A【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．【详解】解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．8．D【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm），故选D．9．B【解析】试题解析：连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=80°，∴S扇形AEF=280?28 3609ππ=，S△ABC=12AD•BC=12×2×4=4，∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=4-89π．10．D【解析】试题分析：因为PQ为切线，所以∠OQP=90°，又OQ为定值2，所以当OP最小时，PQ最小．又点O到直线l的距离为3，所以根据垂线段最短，知OP⊥直线l时，OP最小等于3时PQ最小，由勾股定理可得:PQ===故选D．考点：切线的性质、垂线段的性质、勾股定理．11．【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，根据垂径定理得到BD＝CD，∠OBC＝30°，根据直角三角形的性质求出OD，由勾股定理求出BD，得到BC的长，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示，连接OB 、OC ，作OD ⊥BC 于D ，则∠ODB ＝90°，BD ＝CD ，∠BOC ＝3603︒＝120°， 则∠OBC ＝30°，∴OD ＝12OB ＝1，由勾股定理得，BD∴BC ＝2BD ＝∴△ABC 的面积＝3S △OBC ＝3×12×1＝故答案为：【点睛】本题考查了圆的内接正三角形的面积问题，掌握垂径定理、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式是解题的关键．12．3【解析】试题分析：最长弦即为直径，最短弦即为以M 为中点的弦，所以此时3OM == 考点：弦心距与弦、半径的关系点评：弦心距13．100°【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆的内接四边形的性质，可求得∠ADC的度数，然后由圆周角定理，求得∠AOC的度数．【详解】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵∠ABC=130°，∴∠ADC=180°-∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ADC=100°故答案为：100°．【点睛】本题考查圆周角定理．14．2．【分析】通过勾股定理计算出斜边的长，再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，即可计算出内切圆半径．【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为6，8，10，∴内切圆的半径为：（6+8﹣10）÷2＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了直角三角形的内切圆的半径问题，掌握勾股定理、内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半是解题的关键．15．8﹣2π【分析】根据S 阴=S △ABD -S 扇形BAE 计算即可．【详解】解：S 阴=S △ABD -S 扇形BAE =12×4×4-2454360π⨯⨯=8-2π， 故答案为8-2π．【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．16．【解析】【详解】⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，2120BOC BAC ∠=∠=；因为OB 、OC 是⊙O 的半径，所以OB=OC ，所以OBC OCB ∠=∠=30，在OBC ∆中，若⊙O 的半径OC 为2，OB=OC=2，在OBC ∆中，BC="2"•cos30OB =222⨯⨯=【点睛】本题考查圆周角与圆心角、弦心距，要求考生熟悉圆周角与圆心角的关系，会求弦心距和弦长17．35【详解】解：根据图形可得：∠CEB ＝∠A+∠C ＝60°，又弧的度数等于它所对的圆心角的度数，而同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半， 因为BC 与AD 的度数之差为20°（BC >AD ），所以∠A-∠C ＝10°， 由60{10A C A C ∠+∠︒∠-∠︒＝＝可得∠A ＝35° 故答案为：35．【点睛】本题考查弧的度数、三角形的外角的性质、圆周角定理．18．132或 【解析】【分析】根据勾股定理得到AB =13AD ==，当⊙P 于BC 相切时，点P 到BC 的距离=6，过P 作PH ⊥BC 于H ，则PH=6，当⊙P 于AB 相切时，点P 到AB 的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，∴AB ==在Rt △ADC 中，∠C=90°，AC=12，CD=5，∴13AD ==，当⊙P 于BC 相切时，点P 到BC 的距离=6，过P 作PH ⊥BC 于H ，则PH=6，∵∠C=90°，∴AC ⊥BC ，∴PH ∥AC ，∴△DPH ∽△DAC ， ∴PD PH DA AC＝， ∴61312PD =， ∴PD=6.5，∴AP=6.5；当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，过P作PG⊥AB于G，则PG=6，∵AD=BD=13，∴∠PAG=∠B，∵∠AGP=∠C=90°，∴△AGP∽△BCA，∴AP PG AB AC＝，612=，∴∵CD=5＜6，∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或故答案为6.5或【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．19．AC BD=，理由见解析．【详解】解：连结OC，OD易知OC，OD为⊙O半径．已知在△OAB中，OA=OB，则∠A=∠B∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∴∠OCA=∠ODB在△AOC和△BOD中，OA=OB，∠OCA=∠ODB，∠A=∠B可证△AOC≌△BOD．所以AC=BD．【点睛】本题考查全等三角形，本题难度较低，主要考查学生对全等三角形的判定的学习．20．（1）D（2，-1）；（2）（3．【分析】（1）连接AB，BC，分别作出这两条弦的垂直平分线，两垂直平分线交于点D，即为所求圆心，由图形即可得到D的坐标；（2）利用勾股定理求解；（3）由FD=CG，AF=DG，且夹角为直角相等，利用SAS可得出三角形ADF与三角形DCG 全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由同角的余角相等得到∠ADC为直角，利用弧长公式即可求出ABC的长．【详解】姐：（1）连接AB，BC，分别作出AB与BC的垂直平分线，交于点D，即为圆心，由图形可得出D（2，﹣1）；故答案为：（2，﹣1）；（2）在Rt△AED中，AE=2，ED=4，根据勾股定理得：=故答案为：（3）∵DF=CG=2，∠AFD=∠DGC=90°，AF=DG=4，∴△AFD≌△DGC（SAS），∴∠ADF=∠DCG，∵∠DCG+∠CDG=90°，∴∠ADF+∠CDG=90°，即∠ADC=90°，则ABC的长=．【点睛】本题考查垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算．21．点C的坐标为（1，3）．【分析】过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标．【详解】解：∵四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标为（8，0），CD∥OA，CD＝OB＝8，过点M作MF⊥CD于F，则CF＝12CD＝4，过C作CE⊥OA于E，∵A（10，0），∴OA＝10，OM＝5∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝5﹣4＝1连接MC，MC＝12OA＝5∴在Rt△CMF中，3MF==，∴点C的坐标为（1，3）．【点睛】本题考查了垂径定理，平行四边形的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．22．（1）详见解析；（2）2．【分析】（1）由直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊥OB ，易得∠ADC ＝∠DAC ，根据等角对等边，可得AC ＝CD ；（2）由tan ∠OCA ，可得2OA AC =AC ＝2x ，则AO ，由勾股定理，求得OC ＝3x ，继而可表示出AC ＝CD ＝2x ，可得OC ＝2x +1，即可得方程3x ＝2x +1，继而求得答案．【详解】（1）证明：∵直线AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，即∠OAB +∠DAC ＝90°，∵OC ⊥OB ，∴∠B +∠ODB ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠B ＝∠DAB ，∵∠ODB ＝∠ADC ，∴∠ADC ＝∠DAC ，∴AC ＝CD ；（2）解：在Rt △OAC 中，∠OAC ＝90°，∵tan ∠OCA ，∴OA AC =∴设AC ＝2x ，则AO ，由勾股定理得：OC ＝3x ，∵AC ＝CD ，∴AC＝CD＝2x，∵OD＝1，∴OC＝2x+1，∴2x+1＝3x，解得：x＝1，∴AC＝2．【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握切线的性质、等角对等边、解直角三角形、勾股定理是解题的关键．23．（1）20；（2）55或125．【分析】（1）连接OE、OF、OA，如图，根据切线长定理可切线的性质得到BD＝BF，CD＝CE，OE⊥AC，OF⊥AB，OA平分∠BAC，则∠OAE＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AE＝3，然后利用等线段代换得到△ABC的周长＝2BC+2AE；（2）先利用切线的性质得到∠OEA＝∠OF A＝90°，利用四边形内角和得到∠EOF＝180°﹣∠BAC＝110°，讨论：当点M在EDF上时，如图，利用圆周角定理得到∠FME的度数；当点M在EF上时，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠FM′E的度数．【详解】（1）连接OE、OF、OA，如图，∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、F，∴AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE，OE⊥AC，OF⊥AB，OA平分∠BAC，∴∠OAE＝12×60°＝30°，∴AE＝3，∴△ABC的周长＝BC+BF+AF+AE+CE＝BC+BD+CD+2AE＝2BC+2AE＝2×7+2×3＝20；（2）∵OE⊥AC，OF⊥AB，∴∠OEA＝∠OF A＝90°，∴∠EOF＝180°﹣∠BAC＝180°﹣70°＝110°，当点M在EDF上时，如图，∠FME＝12∠EOF＝55°；当点M在EF上时，如图，∠FM′E＝180°﹣55°＝125°，综上所述，∠FME的度数为55°或125°．故答案为55或125．【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握切线长定理、解直角三角形、四边形内角和、圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．24．（1）2；（2）E（185，165）．【分析】（1）如图，连接PD，PC．设PD＝DO＝OC＝PC＝x，利用切线长定理以及勾股定理即可解决问题．（2）作EH⊥OA于H．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】（1）如图，连接PD，PC．∵OB，OA，AB是⊙P的切线，∴BD＝BE＝6，AC＝CE＝4，OD＝OC，PD⊥OB，PC⊥OC，∴四边形PDOC是正方形，设PD＝DO＝OC＝PC＝x，∵OB2+OA2＝AB2，∴（x+6）2+（x+4）2＝102，解得x＝2或﹣12（舍弃），∴⊙P的半径为2．（2）作EH⊥OA于H．∵EH∥OB，∴EH AE AH OB AB AO==，∴48106EH AH==，∴EH＝165，AH＝125，∴OH＝6﹣125＝185，∴E（185，165）．【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握切线长定理以及勾股定理、平行线分线段成比例定理是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）218．【分析】（1）连接OE，根据矩形的性质可得AD∥BC，∠C=∠A=90°，即可得到∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°，再结合OD=OE，∠ABE=∠DBC可得∠2=∠3=∠ABE，从而可以证得结论；（2）由∠ABE =∠DBC可得1sin sin3DBC ABE∠=∠=，即可求得DB的长，再根据勾股定理求得DE的长，连接EF，根据圆周角定理可得∠DEF=∠A=90°，再证得DEF∆∽DAB∆，根据相似三角形的性质即可求得结果．【详解】解：（1）连接OE∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ，∠C=∠A=90°∴∠3=∠DBC ，∠ABE+∠1=90°∵OD=OE ，∠ABE=∠DBC∴∠2=∠3=∠ABE∴∠2+∠1=90°∴∠BEO=90°∵点E 在⊙O 上∴BE 与⊙O 相切；（2）∵∠ABE =∠DBC ∴1sin sin 3DBC ABE ∠=∠=∵DC=2，∠C=90°∴DB=6∵∠A=90°∴BE=3AE∵AB=CD=2利用勾股定理，得2AE =，AD =∴2DE = 连接EF∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF=∠A=90°∴AB ∥EF∴DEF ∆∽DAB ∆∴DE DF AD BD=6DF = ∴214DF = ∴⊙O 的半径为218． 【点睛】 本题考查矩形的性质，切线的判定，正弦，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上．26．（1）y =+（2）当t ＝2、6、10、14时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切．【分析】（1）在Rt △AOD 中，根据OA 的长以及∠BAD 的正切值，即可求得OD 的长，从而得到D 点的坐标，然后利用待定系数法可求得直线AD 的解析式．（2）由于点P 沿菱形的四边匀速运动一周，那么本题要分作四种情况考虑：在Rt △OAD 中，易求得AD 的长，也就得到了菱形的边长，而菱形的对角线平分一组对角，那么∠DAC ＝∠BAC ＝∠BCA ＝∠DCA ＝30°；①当点P 在线段AD 上时，若⊙P 与AC 相切，由于∠P AC ＝30°，那么AP ＝2R （R 为⊙P 的半径），由此可求得AP 的长，即可得到t 的值；②③④的解题思路与①完全相同，只不过在求t 值时，方法略有不同．【详解】（1）∵点A 的坐标为（﹣2，0），∠BAD ＝60°，∠AOD ＝90°，∴OD ＝OA •tan60°＝∴点D 的坐标为（0，，设直线AD 的函数表达式为y ＝kx +b ，20k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线AD的函数表达式为y =+．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠DCB ＝∠BAD ＝60°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝30°，AD ＝DC ＝CB ＝BA ＝4，如图所示：①点P 在AD 上与AC 相切时，连接P 1E ，则P 1E ⊥AC ，P 1E ＝r ，∵∠1＝30°，∴AP 1＝2r ＝2，∴t 1＝2．②点P 在DC 上与AC 相切时，CP 2＝2r ＝2，∴AD +DP 2＝6，∴t 2＝6．③点P 在BC 上与AC 相切时，CP 3＝2r ＝2，∴AD +DC +CP 3＝10，∴t 3＝10．④点P 在AB 上与AC 相切时，AP 4＝2r ＝2，∴AD +DC +CB +BP 4＝14，∴t 4＝14，∴当t ＝2、6、10、14时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切．【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握解直角三角形、待定系数法、菱形的性质、切线的性质是解题的关键．27．（1）AD＝1+x；（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变，直线AE的解析式为yx（3）直线BO与⊙F相切，理由详见解析；（4【分析】（1）由△OAB和△BCD都为等边三角形，等边三角形的边长相等，且每一个内角都为60°，得到∠OBA＝∠DBC，等号两边都加上∠ABC，得到∠OBC＝∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到对应边AD与OC相等，由OC表示出AD即可；（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由为：由（1）得到的两三角形全等，得到∠BAD＝∠BOC＝60°，又等边三角形BCD，得到∠BAO＝60°，根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE＝60°，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60°的定义求出OE 的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式；（3）由EA与OB平行，且EF也与OB平行，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可求出C的坐标；相切，理由是由F为等边三角形BC边的中点，根据“三线合一”得到DF与BC垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证；（4）根据等边三角形的“三线合一”得到DF垂直平分BC，所以C与D关于DF对称，所以GB为HC+HG的最小值，GB的求法是：由B，C及G三点在圆F圆周上，得到FB，FC 及FG相等，利用一边的中线等于这边的一半得到三角形BCG为直角三角形，根据“三线合一”得到∠CBG为30°，利用cos30°和BC的长即可求出BG，而BC的长需要过B作BM 垂直于x 轴，根据等边三角形的性质求出BM 及AM ，表示出CM ，在直角三角形BMC 中，根据勾股定理表示出BC 的长即可．【详解】（1）∵△OAB 和△BCD 都为等边三角形，∴OB ＝AB ，BC ＝BD ，∠OBA ＝∠DBC ＝60°，即∠OBA +∠ABC ＝∠DBC +∠ABC ，∴∠OBC ＝∠ABD ，∴△OBC ≌△ABD ，∴AD ＝OC ＝1+x ；（2）随着C 点的变化，直线AE 的位置不变．理由如下：由△OBC ≌△ABD ，得到∠BAD ＝∠BOC ＝60°，又∵∠BAO ＝60°，∴∠DAC ＝60°，∴∠OAE ＝60°，又OA ＝1，在直角三角形AOE 中，tan60°＝OE OA， 则OEE 坐标为（0，A （1，0），设直线AE 解析式为y ＝kx +b ，把E 和A的坐标代入得：0k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以直线AE 的解析式为y（3）根据题意画出图形，如图所示：∵∠BOA ＝∠DAC ＝60°，EA ∥OB ，又EF ∥OB ，则EF 与EA 所在的直线重合，∴点F 为DE 与BC 的交点，又F 为BC 中点，∴A 为OC 中点，又AO ＝1，则OC ＝2，∴当C 的坐标为（2，0）时，EF ∥OB ；这时直线BO 与⊙F 相切，理由如下：∵△BCD 为等边三角形，F 为BC 中点，∴DF ⊥BC ，又EF ∥OB ，∴FB ⊥OB ，即∠FBO ＝90°，故直线BO 与⊙F 相切；（4）根据题意画出图形，如图所示：由点B ，点C 及点G 在圆F 的圆周上得：FB ＝FC ＝FG ，即FG ＝12BC ， ∴△CBG 为直角三角形，又△BCD 为等边三角形，∴BG 为∠CBD 的平分线，即∠CBG ＝30°，过点B 作x 轴的垂直，交x 轴于点M ，由△OAB 为等边三角形，∴M 为OA 中点，即MA ＝12，BM ＝2，MC ＝AC +AM ＝x +12， 在直角三角形BCM 中，根据勾股定理得：BC ，∵DF 垂直平分BC ，∴B 和C 关于DF 对称，∴HC ＝HB ，则HC +HG ＝BG ，此时BG 最小，在直角三角形BCG 中，BG ＝BC cos30【点睛】本题考查了一次函数的几何问题，掌握一次函数的性质、等边三角形的性质、平角定义及对顶角、全等三角形的性质以及判定定理、解直角三角形、直角三角形的性质、三线合一的性质、勾股定理是解题的关键．。
苏州市高新区2020-2021学年第一学期初三数学自主检测试卷(含答案)
初三数学
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的, 把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
1.已知⊙O 的半径为 6 cm，点 P 到圆心 O 的距离为 7 cm，则点 P 的位置是
27.（本题满分 12 分）如图在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ x+6 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 点 P、Q 同时从点 A 出发，运动时间为 t 秒．其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位长度， 点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位长度．以点 Q 为圆心，PQ 长为半径作⊙Q． （1）求证：直线 AB 是⊙Q 的切线； （2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m，0），作直线 AB 的垂线 CM，垂足为 M．若 CM 与⊙Q 相切于 点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、CM、y 轴与⊙Q 同时相切？若存在，请直接写出此 时点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．
么∠C 的度数是▲．
第 13 题
第 14 题
第 15 题
16.在如图所示的网格中，△ABC 外心的坐标是▲.
17.如图，在△ABC 中，已知∠ACB=1250,∠BAC=250，BC=6，以点 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为▲.
第 16 题第 17 题第 18 题
18.如图，点 P 在双曲线 y k ( x 0 )上，⊙P 与两坐标轴都相切，点 E 为 y 轴负半轴上的一点，
（2）若∠G=380，求∠AED 的度数; （3）若 BG=12,CF=4，求⊙O 的半径.
苏州高新区实验初级中学(新实初中)数学九年级上册期末试卷(含答案)
20．一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为 ，则袋中应再添加红球____个（以上球除颜色外其他都相同）．
21．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_____．
23．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．
A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O内部
9．二次函数 图象的顶点坐标是（）
A． B． C． D．
10．一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为（）
A．1B．2C．3D．4
11．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
4．要得到函数y＝2(x－1)2＋3的图像，可以将函数y＝2x2的图像（）
A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
5．一元二次方程x2＝9的根是（ ）
苏州高新区实验初级中学（新实初中）数学九年级上册期末试卷(含答案)
苏州市2020-2021学年第一学期初三数学期末模拟卷(2)含参考答案及评分标准
2020～2021学年度第一学期期末初三数学模拟试卷（2）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上）1．方程x 2＝4的解是A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－42．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE ＝2，BC ＝6，则△ADE 的周长△ABC 的周长＝A ．13B ．14C ．16D ．193．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是A ．（－2，1）B ．（－2，－1）C ．（2，1）D ．（2，－1）4．如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，D 是优弧⌒BC 上一点，如果∠AOB ＝58º，那么∠ADC的度数为A ．32ºB ．29ºC ．58ºD ．116º5．某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表所示．现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中不正确的是A ．团队平均日工资不变B ．团队日工资的方差不变C ．团队日工资的中位数不变D ．团队日工资的极差不变6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0＜b ）的图像与x 轴只有一个交点，下列结论：①x ＜0时，y 随x 增大而增大；②a ＋b ＋c ＜0；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③7.实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行综合评分，下表是其中一周的统计数据：组别1234567分值90959088909285学校班级姓名考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------这组数据的中位数和众数分别是【▲】A.88,90B.90,90C.88,95D.90,958．在△ABC 中，若|sinA﹣12|+（2﹣cosB）2=0，则∠C 的度数是【▲】A.45°B.75°C.105°D.120°9．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD⊥AB 于D，设∠ACD=α，则cosα的值为【▲】A.B.C.D.10．如图，等腰直角三角形ABC 的腰长为4cm，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B 和A →C 的路径向点B、C 运动，设运动时间为x (单位：s)，四边形PBDQ 的面积为y (单位：cm 2)，则y 与x (0≤x ≤4)之间的函数关系可用图象表示为【▲】二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上）11．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋x －4＝0的两根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝▲．12．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为▲．13．若圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥侧面展开图的面积是▲cm 2．14．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为▲．15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝▲°．16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是▲．17．如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝6，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为▲．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD 的长为▲．三、解答题（本大题共10小题，共76分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解方程（1）x2－6x－7＝0；（2）(2x－1)2＝9．20．（6分）某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：跳绳成绩（个）132133134135136137一班人数（人）101521二班人数（人）014122（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：众数中位数平均数方差一班a135135c二班134b135 1.8表中数据a＝▲，b＝▲，c＝▲．（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．21．（6分）某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100m比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组．（1）甲分到A组的概率为▲；（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．AC ED BO(第20题)22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，连接BD ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝3，AD ＝4，则DE ＝▲．23．（6分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数图像关于x 轴对称的图像所对应的函数表达式▲；24.（6分）如图，分别以△ABC 的边AC 和BC 为腰向外作等腰直角△DAC 和等腰直角△EBC ，连接DE .（1）求证：△DAC ∽△EBC ；（2）求△ABC 与△DEC 的面积比．x …－2－1012…y…5－3－4－3…EADCB（第22题）25.（8分）某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG ∶BG ＝3∶2．设BG 的长为2x 米．（1）用含x 的代数式表示DF ＝▲；（2）x 为何值时，区域③的面积为180平方米；（3）x 为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？26．（9分）已知二次函数y ＝(x －m )(x ＋m ＋4)，其中m 为常数．（1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．（2）若A (－1，a )和B (n ，b )是该二次函数图像上的两个点，请判断a 、b 的大小关系．27．（9分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点F 是⌒AD上一点，连接AF 交CD 的延长线于点E ．（1）求证：△AFC ∽△ACE ；（2）若AC ＝5，DC ＝6，当点F 为⌒AD的中点时，求AF 的值．(第26题)OH EFDCB AFDABGHE C②①③（第24题）28．（10分）如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A （-1，0）．过点A作直线y=x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y=x+c上，从点A出发，个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）.（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；（2）点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E的坐标；（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）12345678910C AD B B C B C A C二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．－5；12.23；13.15π；14.y＝2(x－2)2＋3；15.115°；16.－1＜x＜3；17.2或1.5；18.83、103、54。
苏州市2020-2021学年第一学期初三数学期末模拟卷(3)含参考答案与解析
苏州市2020－2021学年第一学期初三数学期末模拟卷(3)班级姓名学号一、选择题1.方程23x x =的解为()A.x=3B.x=0C.x 1=0,x 2=－3D.x 1=0,x 2=32.抛物线23y x =-+的项点坐标是()A.(0,3)B.(1,3)C.(－1,－3)D.(2,－3)3.如图，AB 是⊙O 直径，∠AOC ＝140°，则∠D 为()A.40°B.30°C.20°D.70°4.一个圆锥的高为()A.9πB.18πC.27πD.39π5.如图，D 是等边△ABC 外接圆上的点，且∠DAC ＝20°,则∠ACD 的度数为()A.20°B.30°C.40°D.45°第3题第5题第8题6.一次函数y ax c =+的图象如所示，二次函数2y ax x c =++的图象可能大致是()A B C D7.已知一个扇形的径为R.圆心角为n °.当这个扇形的面积与一个直径为R 的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n 的度数是()A.180° B.120° C.90° D.60°8.如图，将一块等腰Rt △ABC 的直角顶点C 放在⊙O 上，绕点C 旋转三角形，使边AC 经过圆心O ，某一时刻，斜边AB 在⊙O 上截得的线段DE ＝2cm ，且BC ＝7cm ，OC 的长为()A.3cmB.207cm D.cm9.如图，已知AB 、CD 分別是半圆O 的直径和弦，AD 和BC 相交于点E ，若∠AEC ＝α，则S △ABE :S △CDE =()A.1:sina B.1:cosa C.1:sin 2a D.1:cos 2a第9题第10题10.如，已知二次函数()20y ax bx c a=++≠的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝1.下列结论:①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a；⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是()A.①③B.①③④C.②④⑤D.①③④⑤二、填空题11.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是.12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝23，则tanB＝.13.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是.14.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD.若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为.第13题第14题第15题第18题15.在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是.16.若函数()2241y a x x a=--++的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为.17.已知函数223y x x=--，当－1≤x≤a时，函数的最小值是－4，则实数a的取值范围是.18.如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，CD为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH·FC＝.三、解答题19.计算:()1113tan30 3.143π-⎛⎫-︒+-⎪⎝⎭20.如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，若∠E＝36°，求∠ADC的度数.21.有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有其它任何区别.现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个，且只能放一个小球.(1)请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况;(2)求红球恰好被放入②号盒子的概率.22.在一次“爱心助学”捐款活动中，九(1)班同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况.根据统计数据绘制了图①和图②两幅尚不完整的统计图.(1)该班共有名同学，学生款的众数是;(2)请你将图②的统计图补充完整(3)计算该班同学平均捐款多少元?23.如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积;(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似，请给以证明:如果不相似，请说明理由.24.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N 点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP.(1)求证:直线CP是⊙O的切线;(2)若BC＝5sin5BCP∠=，求直径AC的长及点B到AC的距离;(3)在第(2)的条件下，求△ACP的周长.25.如图，已知点B(0，6)，∠BAO＝30°经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速远动.设它们运动的时间为t秒.(1)A点的坐标为;(2)用含t的代数式表示点P的坐标;(3)过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问:t为何值时，以P为圆心、l为半径的圆与直线OC相切?并说明此时⊙P与直线CD的位置关系.26.如图①，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CAB＝30°，它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，)，AB＝10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图②)，则点P的运动速度为;(2)求(1)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的最大值及S取最大值时点P的坐标;(3)如果点P，Q保持(1)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时问t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有个.27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++<与x 轴交于A(－2，0)、B(4，0)两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OA.(1)试求抛物线的解析式;(2)直线()10y kx k =+>与y 轴交于点D ，与抛物线交于点P ，与直线BC 交于点M ，记PMm DM =，试求m 的最大值及此时点P 的坐标;(3)在(2)的条件下，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形?若存在，请求出点N 的坐标;若不存在，请说明理由.28.（本题满分10分）如图1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，点C 是线段OA 上一动点（0<AC <）.以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交x轴于另一点D ，交线段AB 于点B ，连结OE 并延长交⊙A 于点F .（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证:AOCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值.29.（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+m与x轴，y轴分别交于点A、点B（0，1），抛物线y=x2+bx+c经过点B，交直线AB于点C（4，n）.（1）分别求m、n的值；（2）求抛物线的解析式:（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0<t<4），DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形（如图2），若矩形DFEG的周长为D，求p与t 的函数关系式和p的最大值.参考答案与解析题号12345678910答案D A C B C C C A D D11.1412.25513.2214.15.316.-2或2或317.a ≥118.32425一．选择题3．如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC ＝140°，则∠D 的度数是（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°【分析】利用圆周角定理判断即可求出所求．【解答】解：∵∠AOC ＝140°，∴∠BOC ＝40°，∵∠BOC 与∠BDC 都对，∴∠D ＝∠BOC ＝20°，故选：A ．4．如图，D 是等边△ABC 外接圆上的点，且∠DAC ＝20°，则∠ACD 的度数为（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．45°【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠ACD ＝180°﹣∠DAC ﹣∠D ＝40°，故选：C ．5．如图，将一块等腰Rt △ABC 的直角顶点C 放在⊙O 上，绕点C 旋转三角形，使边AC 经过圆心O ，某一时刻，斜边AB 在⊙O 上截得的线段DE ＝2cm ，且BC ＝7cm ，则OC 的长为（）A．3cm B．cm C．cm D．2cm【分析】利用垂径定理得ME＝DM＝1，利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO 的关系式，解得结果．【解答】解：过O点作OM⊥AB，∴ME＝DM＝1cm，设MO＝h，CO＝DO＝x，∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，∴∠MAO＝45°，∴AO＝h∵AO＝7﹣x，∴，在Rt△DMO中，h2＝x2﹣1，∴2x2﹣2＝49﹣14x+x2，解得：x＝﹣17（舍去）或x＝3，故选：A．6．一次函数y＝ax+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+x+c的图象可能大致是（）A．B．C．D．【分析】首先根据一次函数图象得出a，c的值，进而利用二次函数性质即可解决问题．【解答】解：∵一次函数y＝ax+c的图象经过一三四象限，∴a＞0，c＜0，故二次函数y＝ax2+x+c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴，故选：C．9．如图，已知AB 、CD 分别是半圆O 的直径和弦，AD 和BC 相交于点E ，若∠AEC ＝α，则S △ABE ：S △CDE 等于（）A ．1：sin αB ．1：cos αC ．1：sin 2αD ．1：cos 2α【分析】连接AC ，根据圆周角定理得到∠ACB ＝90°，根据余弦的定义得到cos α＝，证明△CED ∽△AEB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．【解答】解：连接AC ，∵AB 为半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴cos α＝，由圆周角定理得，∠DCE ＝∠BAE ，∠CDE ＝∠ABE ，∴△CED ∽△AEB ，∴S △ABE ：S △CDE ＝（）＝，故选：D ．10．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：其中正确结论有①③④⑤．①abc ＞0；②16a +4b +c ＜0；③4ac ﹣b 2＜8a ；④＜a；⑤b ＞c ．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x 轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．【解答】解：抛物线开口向上，因此a ＞0，对称轴为x ＝1＞0，a 、b 异号，故b ＜0，与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，即﹣2＜c ＜﹣1，所以abc ＞0，故①正确；抛物线x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为x ＝1，因此与x 轴的另一个交点为（3，0），当x ＝4时，y ＝16a +4b +c ＞0，所以②不正确；由抛物线的顶点为（1，﹣2），则＝﹣2，也就是4ac ﹣b 2＝﹣8a ，又a ＞0，所以4ac ﹣b 2＜8a 是正确的，故③是正确的；由题意可得，方程ax 2+bx +c ＝0的两个根为x 1＝﹣1，x 2＝3，又x 1•x 2＝，即c ＝﹣3a ，而﹣2＜c ＜﹣1，也就是﹣2＜﹣3a ＜﹣1，因此＜a ＜，故④正确，抛物线过（﹣1，0）点，所以a ﹣b +c ＝0，即，a ＝b ﹣c ，又a ＞0，即，b ﹣c ＞0，得，b ＞c ，所以⑤正确，综上所述，正确的结论有三个：①③④⑤，故答案为：D ．二．填空题13．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值是．【分析】首先连接AB ，由勾股定理易求得OA 2＝12+32＝10，AB 2＝12+32＝10，OB 2＝22+42＝20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB 是等腰直角三角形，继而可求得cos ∠AOB 的值．【解答】解：连接AB ，∵OA 2＝12+32＝10，AB 2＝12+32＝10，OB 2＝22+42＝20，∴OA 2+AB 2＝OB 2，OA ＝AB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，即∠OAB ＝90°，∴∠AOB ＝45°，∴cos ∠AOB ＝cos45°＝．故答案为：．14．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝BD ．若⊙O 的半径OB ＝2，则AC的长为2．【分析】连接OA、OC，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝45°，根据圆周角定理求出∠AOC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接OA、OC，∵AD⊥BC，AD＝BD，∴∠ABC＝45°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴AC＝OA＝2，故答案为：2．15．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是．【分析】如图，连接OA，OB，则OC＝OB，求得∠OBC＝30°，根据平行线的性质得到∠BOE＝30°，同理∠DOA＝30°，根据扇形的面积公式计算即可；【解答】解：如图，∵OC＝OB，∠OCB＝90°，∴∠OBC＝30°，∵BC∥OE，∴∠BOE＝30°，同理∠DOA＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°﹣30°＝30°，＝＝，∴S扇形OAB故答案为．16.17.18．如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC＝．【分析】连接BF、OF、OD，OD交CH于K．首先证明OD垂直平分线段CF，利用面积法求出CK、FK，利用勾股定理求出OK，利用三角形的中位线定理求出BF，再利用相似三角形的性质即可解决问题；【解答】解：连接BF、OF、OD，OD交CH于K．∵DF＝DC，OF＝OC，∴OD垂直平分线段CF，∴CK＝KF＝＝，OK＝＝，∵OB＝OC，CK＝KF，∴BF＝2OK＝，∵BC是直径，∴∠BFC＝90°，∵∠CBH＝90°，∴∠CBF+∠FCB＝90°，∠HBF+∠FBC＝90°，∴∠HBF＝∠FCB，∵∠BFH＝∠BFC＝90°，∴△BFH∽△CFB，∴BF2＝CF•FH＝．故答案为．三．解答题19．320．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，若∠E＝36°，求∠ADC的度数．【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAE＝90°，然后用90°减去∠E，求出∠B等于多少度；最后根据平行四边形的对角相等，可得∠ADC＝∠B，据此解答即可．【解答】解：∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵∠E＝36°，∴∠B＝90°﹣∠E＝90°﹣36°＝54°，又∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC＝54°．21．有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有其它任何区别．现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个，且只能放一个小球．（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：如图所示：（2）P（红球恰好被放入②号盒子）＝．22．在一次“献爱心”捐款活动中，九年1班同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况．根据统计数据绘制了图①和图②两幅尚不完整的统计图．（1）学生捐款的众数是10，该班共有多少名同学？（2）请将图②的统计图补充完整；并计算图①中“10元”所在扇形对应的圆心角度数；（3）计算该班同学平均捐款多少元？【分析】（1）根据总人数×百分比＝某项人数计算总人数；众数是数据中出现次数最多的数，计算出捐10元的人数便知；（3）根据（1）的计算结果就可补全直方图，用360°乘以图①中“10元”所占百分比即可得出所在扇形对应的圆心角度数；（3）求该班的平均数就是求出50个学生的捐款的总数除以50就得到平均捐款数．【解答】解：（1）∵捐20元的有10人，所占比例为20%，∴总人数＝10÷20%＝50人；∴捐10的人数＝50﹣6﹣16﹣10＝18人，∴10元是捐款额的众数；故答案为10．（2）如图：图①中“10元”所在扇形对应的圆心角度数是：360°×＝129.6°；（3）平均数＝＝13，因此该班同学平均捐款为13元．23．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．【分析】（1）易得c ＝3，故设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +3，根据抛物线所过的三点的坐标，可得方程组，解可得a 、b 的值，即可得解析式；（2）易由顶点坐标公式得顶点坐标，根据图形间的关系可得四边形ABDE 的面积＝S △ABO +S 梯形BOFD +S △DFE ，代入数值可得答案；（3）根据题意，易得∠AOB ＝∠DBE ＝90°，且，即可判断出两三角形相似．【解答】解：（1）∵抛物线与y 轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）根据题意，得，解得．∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，设该抛物线对称轴是DF ，连接DE 、BD ．过点B 作BG ⊥DF 于点G ．由顶点坐标公式得顶点坐标为D （1，4）设对称轴与x 轴的交点为F∴四边形ABDE 的面积＝S △ABO +S 梯形BOFD +S △DFE＝AO •BO +（BO +DF ）•OF +EF •DF ＝×1×3+×（3+4）×1+×2×4＝9；（3）相似，如图，BD ＝；∴BE ＝DE ＝∴BD 2+BE 2＝20，DE 2＝20即：BD 2+BE 2＝DE 2，所以△BDE 是直角三角形∴∠AOB ＝∠DBE ＝90°，且，∴△AOB∽△DBE．24．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC＝2，sin∠BCP＝，求直径AC的长及点B到AC的距离；（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN＝∠CAB，∠CAB＝2∠BCP判断出∠ACP＝90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．（3）在直角△BCF中，利用勾股定理可以求得CF＝2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°，∴∠CAN+∠ACN＝90°，2∠BAN＝2∠CAN＝∠CAB，∵∠CAB＝2∠BCP，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠ACP＝∠ACN+∠BCP＝∠ACN+∠CAN＝90°，∵点C在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC，连接AN，∵AB＝AC，∠ANC＝90°，∴CN＝CB＝，∵∠BCP＝∠CAN，sin∠BCP＝，∴sin∠CAN＝，∴，∴AC＝5，∴AB＝AC＝5，设AF＝x，则CF＝5﹣x，在Rt△ABF中，BF2＝AB2﹣AF2＝25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2＝BC2﹣CF2＝20﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2＝20﹣（5﹣x）2，∴x＝3，∴BF2＝25﹣32＝16，∴BF＝4，即点B到AC的距离为4．（3）在Rt△BCF中，CF＝＝2，∴AF＝AC﹣CF＝5﹣2＝3，∵BF∥CP，∴，，∴CP＝，BP＝∴△APC的周长是AC+PC+AP＝20．25．如图，已知点B（0，6），∠BAO＝30°经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）A点的坐标为（6，0）；（2）用含t的代数式表示点P的坐标；（3）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．【分析】（1）根据Rt△OAB中，根据30°的正切值可得OA＝6，从而得点A的坐标；（2）如图1，过点P向y轴引垂线．根据平移的速度可得BB'＝t，PB'＝t，根据三角函数可得P的坐标；（3）分作两种情况考虑：①如图2，当P位于OC左侧，⊙P与OC第一次相切时，易证得∠COB'＝∠BAO＝30°，设直线A'B'与OC的交点为M，根据∠BOC的度数，即可求得B′M、PM的表达式，而此时⊙P与OC相切，可得PM＝1，由此可列出关于t的方程，求得t的值，进而可判断出⊙P与CD的位置关系；②如图3，当P位于OC右侧，⊙P与OC第二次相切时，方法与①相同．【解答】解：（1）∵点B（0，6），∴OB＝6，Rt△ABO中，∠BAO＝30°，∴tan30°＝＝，∴OA＝6，∴A（6，0）；（2）如图1，作PF⊥y轴于F，由平移得：BB'＝t，PB'＝t，∠B'A'O＝30°，∵PF∥OA'，∴∠B′PF＝∠B'A'O＝30°，则B′F＝，PF＝t，∴OF＝OB﹣BB′﹣B′F＝6﹣t﹣＝6﹣t，则P点的坐标为（t，6﹣t）；（2）分为两种情况：①当⊙P和OC第一次相切时，如图2，设直线B′P与OC的交点是M，根据题意，知∠B'OC＝∠BAO＝30°，则B′M＝OB′＝（OB﹣BB'）＝（6﹣t）＝3﹣t，则PM＝B'M﹣PB'＝3﹣t﹣t＝3﹣t，根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得：3﹣t＝1，t＝；此时⊙P与直线CD显然相离；②当⊙P和OC第二次相切时，如图3，PM＝PB'﹣B'M＝t﹣（3﹣t）＝﹣3，则有t﹣3＝1，t＝，此时⊙P与直线CD显然相交；综上所述，当t＝或时，⊙P和OC相切；t＝时，⊙P和直线CD相离，当t＝时⊙P和直线CD相交．26．如图①，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CAB＝30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），AB＝10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为2个单位/秒；（2）求（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的最大值及S取最大值时点P 的坐标；（3）如果点P，Q保持（1）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有2个．【分析】（1）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可．（2）已知了AB的长和B点的坐标，那么sin∠BAO＝＝，因此∠BAO＝60°．根据（1）的求解过程即可得出S的解析式．然后根据函数的解析式来得出函数的最大值及此时对应的t的取值，然后根据P，Q的速度和t的取值，可求出P点的坐标．（3）本题其实主要是看P在B点和C点时∠OPQ的度数范围，当∠OBQ的度数大于90°，∠OCQ的度数小于90°时，那么在AB，BC上分别有一个符合要求的点P，如果∠OBQ 的度数小于90°时那么就没有符合要求的点，如果∠OBQ＝90°，那么符合要求的点只有一个．当P，B重合时，作∠OPM＝90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，然后比较OM和OQ的长即可得出∠OPQ的大致范围，根据相似三角形OPH和OPM不难得出OM的长，然后比较OM，OQ的大小，如果OQ＞OM则说明∠OPQ＞90°，反之则小于90°，用同样的方法可得出当P与C重合时∠OPQ的大致取值范围，然后根据上面的分析即可判定出有几个符合要求的点．【解答】解：（1）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB＝10，因此点P的运动速度为10÷5＝2个单位/秒，点P的运动速度为2个单位/秒．故答案是：2个单位/秒；（2）如图①，过P作PM⊥x轴，∵点P的运动速度为2个单位/秒．∴t秒钟走的路程为2t，即AP＝2t，∵顶点B的坐标为（5，5），AB＝10，∴sin∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，∴∠APM＝30°，∴AM＝t，又OA＝10，∴OM＝（10﹣t），即为△OPQ中OQ边上的高，而DQ＝2t，OD＝2，可得OQ＝2t+2，∴P（10﹣t，t）（0≤t≤5），∵S＝OQ•OM＝（2t+2）（10﹣t），＝﹣（t﹣）2+．∴当t＝时，S有最大值为，此时P（，）．（3）当点P沿这两边运动时，∠OPQ＝90°的点P有2个．①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°，当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，作∠OPM＝90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，由△OPH∽△OPM得：OM＝＝11.5，所以OQ＞OM，从而∠OPQ＞90度．所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ＝90°的点P有1个．②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ＝12+＝17.8，而构成直角时交y轴于（0，），＝20.2＞17.8，所以∠OCQ＜90°，从而∠OPQ＝90°的点P也有1个．所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ＝90°的点P有2个．故答案是：2．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B （4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时；【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．28．如图1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE＝EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠CDF＝2∠CDE，进而得出∠OAE＝∠ODF，即可得出结论；②设出EM＝3m，AM＝4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），∴﹣×4+b＝0，∴b＝3，∴直线l的函数表达式y＝﹣x+3，∴B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝；（2）①如图2，连接DF，∵CE＝EF，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠CDF＝2∠CDE，∵∠OAE＝2∠CDE，∴∠OAE＝∠ODF，∵四边形CEFD是⊙A的圆内接四边形，∴∠OEC＝∠ODF，∴∠OEC＝∠OAE，∵∠COE＝∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E作EM⊥OA于M，由①知，tan∠OAB＝，设EM＝3m，则AM＝4m，∴OM＝4﹣4m，AE＝5m，∴E（4﹣4m，3m），AC＝5m，∴OC＝4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2＝OA•OC＝4（4﹣5m）＝16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2＝25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16＝16﹣20m，∴m＝0（舍）或m＝，∴4﹣4m＝，3m＝，∴E（，），（3）如图，设⊙A的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，∴AB×OG＝OA×OB，∴OG＝，∴AG＝＝×＝，∴EG＝AG﹣AE＝﹣r，连接FH，∵EH是⊙A直径，∴EH＝2r，∠EFH＝90°＝∠EGO，∵∠OEG＝∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE•EF＝HE•EG＝2r（﹣r）＝﹣2（r﹣）2+，∴r＝时，OE•EF最大值为．29．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+m与x轴、y轴分别交于点A、点B（0，﹣1），抛物线y＝+bx+c经过点B，交直线AB于点C（4，n）．（1）分别求m、n的值；（2）求抛物线的解析式；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4），DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形（如图2），若矩形DFEG的周长为p，求p 与t的函数关系式和p的最大值．【分析】（1）由B点坐标可求得m的值，则可求得直线解析式，把C点坐标代入即可求得n的值；（2）由B、C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（3）可先用t表示出DE的长度，再利用△AOB∽△DFE可表示出DF和EF，利用矩形的性质可表示出p，利用二次函数的性质可求得p的最大值．【解答】解：（1）∵直线y＝x+m与y轴交于点B（0，﹣1），∴m＝﹣1，∴直线解析式为y＝x﹣1，∵直线经过点C（4，n），∴n＝×4﹣1＝2；（2）∵抛物线经过点C和点B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣1；（3）∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），DE∥y轴交直线AB于点E，∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE＝t﹣1﹣（t2﹣t﹣1）＝﹣t2+2t，∵DE∥y轴，∴∠DEF＝∠ABO，且∠EFD＝∠AOB＝90°，∴△DFE∽△AOB，∴＝＝，在y＝x﹣1中，令y＝0可得x＝，∴A（，0），∴OA＝，在Rt△AOB中，OB＝1，∴AB＝，∴＝＝，∴DF＝DE，EF＝DE，∴p＝2（DE+EF）＝2×（+）DE＝DE＝（﹣t2+2t）＝﹣t2+t＝﹣（t ﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当t＝2时，p有最大值．。
《试卷3份集锦》苏州高新区XX名校中学2020-2021年九年级上学期期末监测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．已知x ，y 满足2254440-+++=x x xy y ，则x y 的值是（ ）． A ．16 B ．116C ．8D ．18【答案】A【分析】先把等式左边分组因式分解，化成非负数之和等于0形式，求出x,y 即可. 【详解】由2254440-+++=x x xy y 得()()22244440xy y x xx +++-+=()()22220x x y +++=所以2x y +=0，2x +=0 所以x=-2,y=-4所以xy =（-4）-2=16故选：A 【点睛】考核知识点：因式分解运用.灵活拆项因式分解是关键.2．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．14【答案】D【解析】试题分析：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n ，然后找出某事件出现的结果数m ，最后计算概率．同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4=14． 考点：概率的计算．3．如图，在线段AB 上有一点C,在AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△ECB,且AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,直线BD 与线段AE,线段CE 分别交于点F,G.对于下列结论：①△DCG ∽△BEG ；②△ACE ∽△DCB ；③GF·GB=GC·GE ；④若∠DAC=∠CEB=90°,则2AD 2=DF·DG.其中正确的是（ ）A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②【答案】A【解析】利用三角形的内角和定理及两组角分别相等证明①正确；根据两组边成比例夹角相等判断②正确；利用③的相似三角形证得∠AEC=∠DBC,又对顶角相等，证得③正确；根据△ACE∽△DCB证得F、E、B、C 四点共圆，由此推出△DCF∽△DGC，列比例线段即可证得④正确.【详解】①正确；在等腰△ACD和等腰△ECB中AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,∴∠ACD=∠ADC=∠BCE=∠BEC,∴∠DCG=180︒-∠ACD-∠BCE=∠BEC,∵∠DGC=∠BGE,∴△DCG∽△BEG;②正确；∵∠ACD+∠DCG=∠BCE+∠DCG,∴∠ACE=∠DCB,∵AC DC EC BC=,∴△ACE∽△DCB；③正确；∵△ACE∽△DCB，∴∠AEC=∠DBC,∵∠FGE=∠CGB,∴△FGE∽△CGB,∴GF·GB=GC·GE；④正确；如图，连接CF, 由②可得△ACE∽△DCB，∴∠AEC=∠DBC,∴F、E、B、C四点共圆，∴∠CFB=∠CEB=90︒，∵∠ACD=∠ECB=45︒，∴∠DCE=90︒，∴△DCF∽△DGC∴DF DC DC DG,∴2DC DF DG,∵2DC AD,∴2AD2=DF·DG.故选：A.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，③的证明可通过②的相似推出所需要的条件继而得到证明；④是本题的难点，需要重新画图，并根据条件判定DF、DG所在的三角形相似，由此可判断连接CF，由此证明F、E、B、C四点共圆，得到∠CFB=∠CEB=90 是解本题关键.4．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x …﹣3 ﹣1 ﹣1 0 1 1 3 4 …y …11 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 …给出以下结论：（1）二次函数y＝ax1+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（1）当﹣12＜x＜1时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x1，y1）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x1＜4时，y1＞y1．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．1 D．3【答案】B【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（1）从表格可以看出，当﹣12＜x＜1时，y＜0，符合题意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x1＜4时，x1离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．下列图形的主视图与左视图不相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】确定各个选项的主视图和左视图，即可解决问题. 【详解】A 选项，主视图：圆；左视图：圆；不符合题意； B 选项，主视图：矩形；左视图：矩形；不符合题意； C 选项，主视图：三角形；左视图：三角形；不符合题意； D 选项，主视图：矩形；左视图：三角形；符合题意； 故选D 【点睛】本题考查几何体的三视图，难度低，熟练掌握各个几何体的三视图是解题关键. 6．某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2120y x =（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/s D ．5 m/s【答案】C【解析】当y=5时，则21520x =，解之得10x =（负值舍去），故选C 7．某商品先涨价后降价，销售单价由原来100元最后调整到96元，涨价和降价的百分率都为x ．根据题意可列方程为（ ） A ．()()1001196x x +-= B ．()2100 196x += C ．()()9611 100x x +-= D ．()2961 100x +=【答案】A【分析】涨价和降价的百分率都为x ，根据增长率的定义即可列出方程． 【详解】涨价和降价的百分率都为r ．根据题意可列方程()()1001196x x +-= 故选A ． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程．8．将一元二次方程2473x x +=化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．4，3 B ．4，7C ．4，-3D ．24 3x x【答案】C【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：2473x x +=化成一元二次方程一般形式是4x 2-1x+7=0，则它的二次项系数是4，一次项系数是-1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式． 9．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）A ．抛一枚硬币，正面朝上的概率B ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C ．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D ．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率 【答案】D【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P ≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A 、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意； B 、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项不符合题意； C 、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为23，故此选项不符合题意；D 、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为13，故此选项符合题意．故选：D ． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，属于常见题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答的关键． 10．如图，在ABC ∆中，点D 为AC 边上一点，,6,3DBC A BC AC ∠=∠==则CD 的长为（ ）A ．1B ．12C ．2D ．32【答案】C【解析】根据∠DBC=∠A ，∠C=∠C ，判定△BCD ∽△ACB ，66=代入求值即可.【详解】∵∠DBC=∠A ，∠C=∠C ， ∴△BCD ∽△ACB ， ∴CD BCBC AC=， 636= ∴CD=2. 故选:C. 【点睛】主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 11．方程x 2-2x=0的根是（ ） A ．x 1=x 2=0 B ．x 1=x 2=2 C ．x 1=0，x 2=2 D ．x 1=0，x 2=-2 【答案】C【解析】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式x 可得x （x-2）=0，然后按照ab=0的形式的方程解法，可得x=0或x-2=0，解得x 1＝0，x 2＝2. 故选C.点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.12．有人预测2020年东京奥运会上中国女排夺冠的概率是80%，对这个说法正确的理解应该是（ ）. A ．中国女排一定会夺冠B ．中国女排一定不会夺冠C ．中国女排夺冠的可能性比较大D ．中国女排夺冠的可能性比较小【答案】C【分析】概率越接近1，事件发生的可能性越大，概率越接近0，则事件发生的可能性越小，根据概率的意义即可得出答案.【详解】∵中国女排夺冠的概率是80%， ∴中国女排夺冠的可能性比较大 故选C. 【点睛】本题考查随机事件发生的可能性，解题的关键是掌握概率的意义. 二、填空题（本题包括8个小题）13．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x ，则满足x 的方程是______．【答案】2300(1)260x -=．【分析】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率），可得降价一次后的售价是300(1)x -，降价一次后的售价是2300(1)x -，再根据经过连续两次降价后售价为260元即得方程．【详解】解：由题意可列方程为2300(1)260x -= 故答案为：2300(1)260x -=． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，要注意增长的基础．14．如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO 、BD ，则∠OBD 的度数是_____．【答案】30°【解析】根据点的坐标得到OD ，OC 的长度，利用勾股定理求出CD 的长度，由此求出∠OCD 的度数；由于∠OBD 和∠OCD 是弧OD 所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD 的度数. 【详解】连接CD.由题意得∠COD=90°， ∴CD 是⊙A 的直径. ∵D （0，1），C 3，0）， ∴OD=1，3∴2213+（）， ∴∠OCD=30°，∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等） 故答案为30°. 【点睛】本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答. 15．双曲线2y x=-经过点()11,A y -，()22,B y ，则1y ______2y （填“>”，“<”或“=”）. 【答案】>【分析】将点A 、B 的坐标分别代入双曲线的解析式，求得1y 、2y ，再比较1y 、2y 的大小即可. 【详解】双曲线2y x=-经过点()11,A y -，()22,B y ， 当1x =-时，1221y =-=-， 当2x =时，1212y =-=-，∴12y y >． 故答案为：>． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，直接将横坐标代入解析式求得纵坐标，再作比较更为简单． 16．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+5a ＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为_____． 【答案】5【分析】根据根的判别式，令=0∆，可得2220=0b a -，解方程求出b ＝﹣5，再把b 代入原方程，根据韦达定理：12bx x a+=-即可．【详解】当关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根时，=0∆，即2220=0b a-，解得b＝﹣25a或b＝25a（舍去），原方程可化为ax2﹣25ax+5a＝0，则这两个相等实数根的和为25．故答案为：25．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。
江苏省苏州市高新区九年级上学期期末模拟数学试题
江苏省苏州市高新区九年级上学期期末模拟数学试题一、选择题1．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）A ．40B ．50C ．60D ．702．如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是（ ）A ．BM ＞DNB ．BM ＜DNC ．BM=DND ．无法确定 3．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k≠0C ．k≥﹣1且k≠0D ．k ＞﹣1且k≠0 4．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ） A ．1x =B ．2x =C ．1x =或2x =D ．1x =-或2x =- 5．若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ） A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d ≤ 6．某班7名女生的体重（单位：kg ）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（ ）A ．74B ．44C ．42D ．407．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）A ．一定相似B ．一定全等C ．不一定相似D ．无法判断8．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ）A ．23B ．1.15C ．11.5D ．12.5 9．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤10．已知关于x 的一元二次方程 (x - a )(x - b ) -12= 0 (a < b ) 的两个根为 x 1、x 2，(x 1< x 2)则实数 a 、b 、x 1、x 2的大小关系为（ ）A ．a < x 1< b <x 2B ．a < x 1< x 2 < bC ．x 1< a < x 2 < bD ．x 1< a < b < x 2 11．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ） A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 12．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB ＝40°，弦BC 的长等于半径，则∠ADC的度数等于（ ）A ．50°B ．49°C ．48°D ．47°13．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ︒︒∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）A．2 B．3C．32D．214．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为( )A．点M在⊙C上B．点M在⊙C内C．点M在⊙C外D．点M不在⊙C内15．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA等于（）A．50°B．60°C．65°D．75°二、填空题16．已知∠A＝60°，则tan A＝_____．17．已知矩形ABCD，AB=3,AD=5,以点A为圆心，4为半径作圆，则点C与圆A的位置关系为 __________.18．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．19．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程ax2＋bx＋c＝0的根为____．20．将抛物线y=﹣2x 2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线________；21．如图，AB 是半圆O 的直径，AB=10，过点A 的直线交半圆于点C ，且sin ∠CAB=45，连结BC ，点D 为BC 的中点．已知点E 在射线AC 上，△CDE 与△ACB 相似，则线段AE 的长为________；22．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．23．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.24．如图，在ABC 中，62BC =+，45C ∠=︒，2AB AC =，则AC 的长为________．25．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．26．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm=，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l为___cm．27．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．C是⊙O上一个动点．且不与A，B重合．若∠PAC＝α，∠ABC＝β，则α与β的关系是_______．28．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为_____．29．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是2S甲、2S乙，且22S S>甲乙，则队员身高比较整齐的球队是_____．30．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB 上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝_____cm．三、解答题31．用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．（1）我们知道：把平面内线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆．类比圆的定义，给圆锥下定义；（2）已知OB＝2cm，SB＝3cm，①计算容器盖铁皮的面积；②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是．A．6cm×4cm B．6cm×4.5cm C．7cm×4cm D．7cm×4.5cm32．如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB，某人从C点测得吊灯顶端A的仰角为35︒，吊灯底端B的仰角为30，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B 的仰角为60︒．请根据以上数据求出吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，2≈1.41，3≈1.73）33．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)①ABM；②AOP；③ACQ（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为12，求k的值．（3）点B在x轴上，以B为圆心，3为半径画⊙B，若直线y=3x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于3，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．34．一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．（1）用树状图列出所有可能出现的结果；（2）求3次摸到的球颜色相同的概率．35．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，S的最大值是多少；（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．四、压轴题36．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，2时，求⊙O的半径；(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.37．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，T 的半径为3，点C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围，（3）已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝+-+⎭+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围．38．如图 1，抛物线21:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于C ，且OB OC =．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________39．如图，抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线122y x =-经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是t ．①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．40．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．①当t＝2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y＝4x（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.【详解】解：∵ ADC=110°,即优弧ABC的度数是220°,∴劣弧ADC的度数是140°,∴∠AOC=140°,∵OC=OB,∴∠OCB=12∠AOC=70°,故选D.【点睛】本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．C解析：C【解析】分析：连接BD ，根据平行四边形的性质得出BP=DP ，根据圆的性质得出PM=PN ，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM ，从而得出三角形全等，得出答案．详解：连接BD ，因为P 为平行四边形ABCD 的对称中心，则P 是平行四边形两对角线的交点，即BD 必过点P ，且BP=DP ， ∵以P 为圆心作圆， ∴P 又是圆的对称中心， ∵过P 的任意直线与圆相交于点M 、N ， ∴PN=PM ， ∵∠DPN=∠BPM ，∴△PDN ≌△PBM （SAS ）， ∴BM=DN ．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．3．D解析：D【解析】∵一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=4+4k ＞0，且k≠0．解得：k ＞﹣1且k≠0．故选D ．考点：一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类思想的应用．4．C解析：C【解析】【分析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案.【详解】解：∵(1)(2)0x x --=，∴x －1=0或x －2=0，解得：1x =或2x =.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.5．B解析：B【解析】【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.【详解】解：∵直线l 与半径为5的O 相离， ∴圆心O 与直线l 的距离d 满足：5d >.故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，当d >r 时，直线与圆相离；当d =r 时，直线与圆相切；当d <r 时，直线与圆相交. 6．C解析：C【解析】试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C.考点：众数.7．A解析：A【解析】【分析】根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．【详解】解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴A DCH ∠∠=，∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴ADG CDH ∠∠=，继而可得出AGD CHD ∠∠=，∴ADG ~CDH ．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．8．C解析：C【解析】【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，故选：C ．【点睛】此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.．9．D解析：D【解析】【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.【详解】将()4,0代入二次函数，得2440m -+=∴4m =∴方程为240x x t -+=∴42x ±= ∵15x <<∴54t -<≤故答案为D .【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.10．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】如图，设函数y ＝（x−a ）（x−b ），当y ＝0时，x ＝a 或x ＝b ，当y ＝12时， 由题意可知：（x−a ）（x−b ）−12＝0（a ＜b ）的两个根为x 1、x 2， 由于抛物线开口向上，由抛物线的图象可知：x1＜a＜b＜x2故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．11．D解析：D【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x12)2+14，∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；对称轴是直线x＝12，故选项B错误；当x＝12时取得最大值14，该函数有最高点，故选项C错误；在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．12．A解析：A【解析】【分析】连接OC，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝60°，得到∠AOC＝100°，根据圆周角定理解答．【详解】连接OC，由题意得，OB＝OC＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝100°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC＝50°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．13．D解析：D【解析】【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD2AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD2AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．【详解】∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD2AB，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD2AB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，2×12．故选D．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．14．A解析：A【分析】根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．【详解】如图，∵由勾股定理得2268+，∵CM是AB的中线，∴CM=5cm，∴d=r，所以点M在⊙C上，故选A．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．15．C解析：C【解析】【分析】根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以1252A COD∠=∠=︒，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COD＝∠A+∠ACO，∴1252A COD∠=∠=︒，∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tanA=tan60°=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tan A=tan60°．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．17．点C在圆外【解析】【分析】由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．【详解】解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，∴AC＝厘米，∵半径为4厘米，∴点C在圆A外【点解析：点C在圆外【分析】由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．【详解】解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，∴AC＝22+=厘米，3534∵半径为4厘米，∴点C在圆A外【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．18．－1＜x＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，故答案为：－1＜x＜3.【点睛解析：－1＜x＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，故答案为：－1＜x＜3.【点睛】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．19．【解析】【分析】根据点A的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.【详解】解：由二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1可得：解析：123;1x x ==-【解析】【分析】根据点A 的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x 轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.【详解】解：由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1可得： 抛物线与x 轴交于（3，0）和（-1，0）即当y=0时，x=3或-1∴ax 2＋bx ＋c ＝0的根为123;1x x ==-故答案为：123;1x x ==-【点睛】本题考查抛物线的对称性及二次函数与一元二次方程，利用对称性求出抛物线与x 轴的交点坐标是本题的解题关键.20．【解析】【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.【详解】根据题意：平移后的抛物线为.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关解析：()2231y x =-+-【解析】【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.【详解】根据题意：平移后的抛物线为()2231y x =-+-.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关键. 21．3或9 或或【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90，∵sin ∠C解析：3或9 或23或343 【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90︒，∵sin ∠CAB=45， ∴45BC AB =, ∵AB=10，∴BC=8，∴6AC ===, ∵点D 为BC 的中点,∴CD=4.∵∠ACB=∠DCE=90︒,①当∠CDE 1=∠ABC 时，△ACB ∽△E 1CD,如图 ∴1AC BC CE CD =，即1684CE =， ∴CE 1=3，∵点E 1在射线AC 上，∴AE 1=6+3=9，同理：AE 2=6-3=3.②当∠CE 3D=∠ABC 时，△ABC ∽△DE 3C ，如图 ∴3AC BC CD CE =，即3684CE =， ∴CE 3=163， ∴AE 3=6+163=343, 同理：AE 4=6-163=23. 故答案为：3或9 或23或343. 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.22．①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是x=-=1，∴ab ＜0，①正确；∵二次函数y=ax2+b解析：①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】 解：∵对称轴是x=-2b a=1，∴ab ＜0，①正确；∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；∵当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，③错误；由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，故答案为①②④．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．23．【解析】【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a 的值，再利用tanA 即可求解.【详解】设BC=EC=a,∵AB∥CD，∴△ABF∽△ECF，∴,即解得a=（-舍去）∴【解析】【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到222a a =+，求出a 的值，再利用tan DAE ∠=tanA 即可求解.【详解】设BC=EC=a,∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△ECF ， ∴AB EC BF CF =,即222a a =+解得1（-1舍去）∴tan DAE ∠=tanF=2EC a CF ==12故答案为：512-. 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.24．【解析】【分析】过点作的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求的长.【详解】过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．【点睛】本题考查勾股定解析：2【解析】【分析】过A 点作BC 的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求AC 的长.【详解】过A 作AD BC ⊥于D 点，设2AC x =，则2AB x =，因为45C ∠=︒，所以AD CD x ==，则由勾股定理得223BD AB AD x =-=，因为62BC =+，所以362BC x x =+=+，则2x =．则2AC =．【点睛】本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.25．【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积 ∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为．【点睛】此题主要解析：13【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积 ∴飞镖落在阴影部分的概率是3193=， 故答案为13． 【点睛】 此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.26．【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长cm ，设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为．【点睛】本解析：【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π．27．或【解析】【分析】分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解：当点解析：αβ=或180αβ+︒＝【解析】【分析】分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解：当点C 在优弧AB 上时，如图，连接OA 、OB 、OC ，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO=90°，∴∠OAC=α-90°=∠OCA ，∵∠AOC=2∠ABC=2β，∴2（α-90°）+2β=180°，∴180αβ+︒＝；当点C 在劣弧AB 上时，如图，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO=90°，∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ，∵∠AOC=2∠ABC=2β，∴2（90°-α）+2β=180°，∴αβ=.综上：α与β的关系是180αβ+︒＝或αβ=. 故答案为：αβ=或180αβ+︒＝. 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.28．y ＝﹣（x+1）2﹣2【解析】【分析】根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为，再把点（0，﹣3）代入即可求解a 的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．【详解】解析：y ＝﹣（x +1）2﹣2【解析】【分析】根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为()212y a x +-=，再把点（0，﹣3）代入即可求解a 的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．【详解】由题意可知，平移后的函数的顶点为（﹣1，﹣2），设平移后函数的解析式为()212y a x +-=，∵所得的抛物线经过点（0，﹣3），∴﹣3＝a ﹣2，解得a ＝﹣1，∴平移后函数的解析式为()212y x +=--，故答案为()212y x +=--．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握坐标平移规律：“左右平移时，横坐标左移减右移加，纵坐标不变；上下平移时，横坐标不变，纵坐标上移加下移减”。
2020-2021苏州市初三数学上期末第一次模拟试题附答案
2020-2021苏州市初三数学上期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( ) A ．()1119802x x += B ．()1119802x x -= C ．()11980x x += D ．()11980x x -= 2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．正三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形3．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，分别以A 、C 为圆心，以2AC 的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分面积为（ ）A ．（24−254π）cm 2 B ．254πcm 2 C ．（24−54π）cm 2D ．（24−256π）cm 2 4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（ ） A ．27B ．36C ．27或36D ．185．已知m 、n 是方程2210x x --=的两根，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于A ．5-B ．5C ．9-D ．96．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞4 7．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A．正三角形B．矩形C．正八边形D．正六边形8．如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6B．8C．10D．129．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（）A．将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象B．将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象C．将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象D．将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象10．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于()A．68°B．58°C．72°D．56°11．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+12x2B．y=（2x+1）2C．y=（x﹣1）2D．y=2x212．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为( )A．10B．8C．5D．3二、填空题13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为_______．14．直线y=kx +6k 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，以原点O 为圆心，3为半径的⊙O 与l 相交，则k 的取值范围为_____________． 15．函数 2y 24x x =-- 的最小值为_____.16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．17．如图，已知射线BP BA ⊥，点O 从B 点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA 向右运动；同时射线BP 绕点B 顺时针旋转一周，当射线BP 停止运动时，点O 随之停止运动.以O 为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒______度.18．已知在同一坐标系中，抛物线y 1＝ax 2的开口向上，且它的开口比抛物线y 2＝3x 2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a 值：_____．19．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____． 20．已知扇形的面积为12πcm 2，半径为12cm ，则该扇形的圆心角是_______.三、解答题21．我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对A 《三国演义》、B 《红楼梦》、C 《西游记》、D 《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：（1）本次一共调查了_________名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.22．如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A（-2，-1），B（0，7）两点．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当x为何值时，y＞0？（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．23．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．24．某商场今年“十一”期间举行购物摸奖活动，摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地，大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，再记下小球标号．商场规定：两次摸出的小球之和为“8”或“6”时才算中奖．请结合“树形图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．25．如图，已知AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CD＝BD，E、F是线段AC、AB 的延长线上的点，并且EF与⊙O相切于点D．（1）求证：∠A＝2∠BDF；（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1980．【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，∴全班共送：（x-1）x=1980，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x个人是解决问题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是中心对称图形，轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形， 轴对称图形.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用勾股定理得出AC 的长，再利用图中阴影部分的面积=S △ABC −S 扇形面积求出即可． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，∴10AC ===cm ，则2AC=5 cm ， ∴S 阴影部分=S △ABC −S 扇形面积=2190525862423604ππ⨯⨯⨯-=-（cm 2）， 故选：A ． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，阴影部分的面积可以看作是Rt △ABC 的面积减去两个扇形的面积．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．4．B解析：B 【解析】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k 的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k 的值，再求出方程的两个根进行判断即可． 试题解析：分两种情况：（1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程， 得：32-12×3+k=0 解得:k=27将k=27代入原方程， 得：x 2-12x+27=0 解得x=3或93，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去； （2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0， 此时：144-4k=0 解得：k=36 将k=36代入原方程， 得：x 2-12x+36=0解得：x=63，6，6能够组成三角形，符合题意．故k的值为36．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解．5．C解析：C【解析】试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8∴（7+a）×（﹣4）=8∴a=﹣9．故选C．6．D解析：D【解析】【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．7．C解析：C【解析】因为正八边形的每个内角为135 ，不能整除360度，故选C.8．D解析：D【解析】【分析】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．9．D解析：D【解析】【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A选项,将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象,故A选项不符合题意;B选项,将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象,故B选项不符合题意;C选项,将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象,故C选项不符合题意;D选项,将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2+1的图象,故D选项符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的关键.10．D解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA12（180°﹣68°）=56°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．D解析：D【解析】【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．【详解】y=2（x﹣1）2+3中，a=2．故选D．【点睛】本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单．12．A解析：A【解析】【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．【详解】连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=12CD=12×8=4，在Rt△OCP中，设OC=x，则OA=x，∵PC=4，OP=AP-OA=8-x，∴OC2=PC2+OP2，即x 2=42+（8-x ）2， 解得x=5， ∴⊙O 的直径为10． 故选A ． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】设⊙O 半径为r 根据勾股定理列方程求出半径r 由勾股定理依次求BE 和EC 的长【详解】连接BE 设⊙O 半径为r 则OA=OD=rOC=r-2∵OD⊥AB∴∠ACO=90°AC=BC=AB=4在 解析：213【解析】 【分析】设⊙O 半径为r ，根据勾股定理列方程求出半径r ，由勾股定理依次求BE 和EC 的长． 【详解】 连接BE ，设⊙O 半径为r ，则OA=OD=r ，OC=r-2， ∵OD ⊥AB ， ∴∠ACO=90°， AC=BC=12AB=4， 在Rt △ACO 中，由勾股定理得：r 2=42+（r-2）2， r=5， ∴AE=2r=10， ∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ABE=90°， 由勾股定理得：BE=6，在Rt △ECB 中，EC 222264213BE BC +=+=. 故答案是：13 【点睛】考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．14．且k≠0【解析】【分析】根据直线与圆相交确定k 的取值利用面积法求出相切时k 的取值再利用相切与相交之间的关系得到k 的取值范围【详解】∵交x 轴于点A 交y 轴于点B 当故B 的坐标为（06k ）;当故A 的坐标为（解析：33-k k ≠0． 【解析】 【分析】根据直线与圆相交确定k 的取值，利用面积法求出相切时k 的取值，再利用相切与相交之间的关系得到k 的取值范围. 【详解】∵6y kx k =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ， 当0,6x y k ==，故B 的坐标为（0,6k ）; 当0,6y x ==-，故A 的坐标为（-6,0）;当直线y=kx +6k 与⊙O 相交时, 设圆心到直线的距离为h,根据面积关系可得:116|6|=22k h ⨯⨯ 解得h = ;∵直线与圆相交,即,3h r r =＜ ,3 解得33-k且直线中0k ≠,则k 的取值范围为：k k ≠0．故答案为：33-k ，且k ≠0． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于根据相交确定圆的半径与圆心到直线距离的大小关系.15．-5【解析】【分析】将二次函数配方即可直接求出二次函数的最小值【详解】∵y ＝x2﹣2x ﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x ﹣1）2﹣5∴可得二次函数的最小值为﹣5故答案是：﹣5【点睛】本题考查了二次函数的解析：-5 【解析】 【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值． 【详解】∵y ＝x 2﹣2x ﹣4＝x 2﹣2x+1﹣5＝（x ﹣1）2﹣5， ∴可得二次函数的最小值为﹣5．故答案是：﹣5．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．16．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程再利用三角形三边关系得出各边长进而得出答案【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0解得：x1＝2x2＝5故等腰三角形的腰长只能为55底边长解析：12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 17．30或60【解析】【分析】射线与恰好有且只有一个公共点就是射线与相切分两种情况画出图形利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案【详解】解：如解析：30或60【解析】【分析】射线BP与O恰好有且只有一个公共点就是射线BP与O相切，分两种情况画出图形，利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角，然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案.【详解】解：如图1，当射线BP与O在射线BA上方相切时，符合题意，设切点为C，连接OC，则OC⊥BP，于是，在直角△BOC中，∵BO=2，OC=1，∴∠OBC=30°，∴∠1=60°，此时射线BP旋转的速度为每秒60°÷2=30°；如图2，当射线BP与O在射线BA下方相切时，也符合题意，设切点为D，连接OD，则OD⊥BP，于是，在直角△BOD中，∵BO=2，OD=1，∴∠OBD=30°，∴∠MBP=120°，此时射线BP旋转的速度为每秒120°÷2=60°；故答案为：30或60.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、30°角的直角三角形的性质和旋转的有关概念，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键.18．4【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0再由开口的大小由a的绝对值决定可求得a的取值范围【详解】解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上∴a＞0又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小∴|a|＞3解析：4【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0，再由开口的大小由a的绝对值决定，可求得a的取值范围．【详解】解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上，∴a＞0，又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，∴|a|＞3，∴a＞3，取a＝4即符合题意【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的绝对值决定是解题的关键，即|a|越大，抛物线开口越小．19．-1-1【解析】【分析】设方程的另一根为t根据根与系数的关系得到2+t=-p2t=-2然后先求出t再求出p【详解】解：设方程的另一根为t根据题意得2+t＝﹣p2t＝﹣2所以t＝﹣1p＝﹣1故答案为：解析：-1-1【解析】【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=-p，2t=-2，然后先求出t，再求出p．【详解】解：设方程的另一根为t，根据题意得2+t＝﹣p，2t＝﹣2，所以t＝﹣1，p＝﹣1．故答案为：﹣1，﹣1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1•x2=ca．20．30°【解析】设圆心角为n°由题意得：=12π解得：n=30故答案为30°解析：30°【解析】设圆心角为n°，由题意得：212360nπ⨯=12π，解得：n=30，故答案为30°．三、解答题21．（1）50；（2）见解析；（3）16．【解析】【分析】(1) 本次一共调查：15÷30%;(2)先求出B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7，再画图；（3）先列表，再计算概率.【详解】（1）本次一共调查：15÷30%=50（人）；故答案为50；（2）B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7=12，如图所示：（3）列表：A B C DA AB AC ADB BA BC BDC CA CB CDD DA DB DC∴P（选中A、B）=212=16．【点睛】本题考核知识点：统计初步，概率.解题关键点：用列表法求概率.22．（1） y=-（x-1）2+8;对称轴为：直线x=1;（2）当2＜x＜2时，y＞0；（3） C点坐标为：（-1，4）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可；（2）求出二次函数与x轴交点坐标即可，再利用函数图象得出x取值范围；（3）利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案．【详解】（1）∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A（-2，-1），B（0，7）两点．∴1427b cc-=--+⎧⎨=⎩，解得：27bc=⎧⎨=⎩，∴y=-x2+2x+7，=-（x2-2x）+7，=-[（x2-2x+1）-1]+7，=-（x-1）2+8，∴对称轴为：直线x=1．（2）当y=0，0=-（x-1）2+8，∴x-1=±，x1x2，∴抛物线与x轴交点坐标为：（，0），（，0），∴当＜x＜时，y＞0；（3）当矩形CDEF为正方形时，假设C点坐标为（x，-x2+2x+7），∴D点坐标为（-x2+2x+7+x，-x2+2x+7），即：（-x2+3x+7，-x2+2x+7），∵对称轴为：直线x=1，D到对称轴距离等于C到对称轴距离相等，∴-x2+3x+7-1=-x+1，解得：x1=-1，x2=5（不合题意舍去），x=-1时，-x2+2x+7=4，∴C点坐标为：（-1，4）．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及利用图象观察函数值和正方形性质等知识，根据题意得出C、D两点坐标之间的关系是解决问题的关键．23．1 3【解析】【分析】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13．【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．24．“树状图法”或“列表法”见解析，1 4【解析】【分析】列举出所有情况，让两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：解法一：列树状图得：共有16种结果，且每种结果的可能性相同，因为6=2+4=3+3=4+2，8=4+4，所以两次摸出的小球之和为“8”或“6”的有4种，所以小彦中奖的概率为41 164=．解法二：列表得：共有16种结果，且每种结果的可能性相同，因为6=2+4=3+3=4+2，8=4+4，所以两次摸出的小球之和为“8”或“6”的有4种，所以小彦中奖的概率为41 164=．【点睛】此题考查的是用列表法或用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）见解析：（2）CE＝1．【解析】【分析】（1）连接AD，如图，先证明CD BD=得到∠1＝∠2，再根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥EF，然后证明∠1＝∠4得到结论；（2）连接BC交OD于F，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据垂径定理，由CD BD=得到OD⊥BC，则CF＝BF，所以OF＝12AC＝32，从而得到DF＝1，然后证明四边形CEDF为矩形得CE＝1．【详解】（1）证明：连接AD，如图，∵CD＝BD，∴CD BD=，∴∠1＝∠2，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1+∠ABD＝90°，∵EF为切线，∴OD⊥EF，∴∠3+∠4＝90°，∵OD＝OB，∴∠3＝∠OBD，∴∠1＝∠4，∴∠A＝2∠BDF；（2）解：连接BC交OD于F，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵CD BD=，∴OD⊥BC，∴CF＝BF，∴OF＝12AC＝32，∴DF＝52﹣32＝1，∵∠ACB＝90°，OD⊥BC，OD⊥EF，∴四边形CEDF为矩形，∴CE＝DF＝1．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．。
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∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB= 2 ，
2
∴S 扇形 ABD= 30 2 = ，
360
6
又∵Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S 阴影部分=S△ADE+S 扇形 ABD−S△ABC=S 扇形 ABD= ， 6
故选 A. 【点睛】
双曲线 y c 在二、四象限， x
∴C 是正确的． 故选 C． 【点睛】
此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】 A、图形既不是轴对称图形是中心对称图形， B、图形是轴对称图形， C、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形， D、图形是轴对称图形. 故选 C． 【点睛】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两 部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重 合．
即﹣ b ＝﹣1，解得 b＝2a，即 2a﹣b＝0， 2a
所以②错误； ③∵抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（1，0），且对称轴为直线 x＝﹣1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣3，0）， 当 a＝﹣3 时，y＝0，即 9a﹣3b+c＝0， 所以③正确； ∵m＞n＞0， ∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1， 由 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小知 x＝m﹣1 时的函数值小于 x＝n﹣1 时的函数值，故④ 正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及 点的坐标特征．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 【分析】 根据二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到 a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定
y=ax+b 经过一、二、四象限，双曲线 y c 在二、四象限． x
【详解】 根据二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象， 可得 a＜0，b＞0，c＜0， ∴y=ax+b 过一、二、四象限，
负数的概率是 2 . 5
故选 B. 考点：概率.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】 ①根据抛物线开口方向、对称轴、与 y 轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断； ③根据抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（1，0），且对称轴为直线 x＝﹣1 可得抛物线与 x 轴的 另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断； ④根据 m＞n＞0，得出 m﹣1 和 n﹣1 的大小及其与﹣1 的关系，利用二次函数的性质即可 判断． 【详解】 解：①观察图象可知： a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0， 所以①错误； ②∵对称轴为直线 x＝﹣1，
三、解答题
21．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进 价是 40 元．超市规定每盒售价不得少于 45 元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒． （1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58 元．如果超市想 要每天获得不低于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 22．如图，BC 是半圆 O 的直径，D 是弧 AC 的中点，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 点 E． （1）求证：△DCE∽△DBC；
AB＝8，CD＝2，则 EC 的长为_______．
14．已知：如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3 cm，BO=4 cm．将△AOB 绕顶点 O， 按顺时针方向旋转到△A1OB1 处，此时线段 OB1 与 AB 的交点 D 恰好为 AB 的中点，则线段 B1D=__________cm．
（2）若 CE= 5 ，CD=2，求直径 BC 的长．
23．如图， AB 是 O 的直径， AC 是上半圆的弦，过点 C 作 O 的切线 DE 交 AB 的延 长线于点 E ，过点 A 作切线 DE 的垂线，垂足为 D ，且与 O 交于点 F ，设 DAC ， CEA 的度数分别是 a、 .
1 用含 a 的代数式表示 ，并直接写出 a 的取值范围； 2 连接 OF 与 AC 交于点 O ' ，当点 O ' 是 AC 的中点时，求 a、 的值.
故答案为：A． 【点睛】 本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角 是直角、三角形内角和定理是解题的关键．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】 设扩大后的正方形绿地边长为 xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加 300m2”建立方程即 可．
【详解】
设扩大后的正方形绿地边长为 xm， 根据题意得 x（x-20）=300， 故选 A． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
5．A
解析：A 【解析】
【分析】
先根据勾股定理得到 AB= 2 ，再根据扇形的面积公式计算出 S 扇形 ABD，由旋转的性质得
到 Rt△ADE≌Rt△ACB，于是 S 阴影部分=S△ADE+S 扇形 ABD-S△ABC=S 扇形 ABD． 【详解】
B．
C．
D．
3．如图，AB 是圆 O 的直径，CD 是圆 O 的弦，若 C 35 ，则 ABD （ ）
A． 55
B． 45
C． 35
D． 65
4．现有一块长方形绿地，它的短边长为 20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使
扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加 300 m2，设扩大后的正方
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据抛物线 y＝kx2﹣2x﹣1 与 x 轴有两个不同的交点，得出 b2﹣4ac＞0，进而求出 k 的取值 范围． 【详解】 ∵二次函数 y＝kx2﹣2x﹣1 的图象与 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵抛物线 y＝kx2﹣2x﹣1 为二次函数， ∴k≠0， 则 k 的取值范围为 k＞﹣1 且 k≠0， 故选 C. 【点睛】 本题考查了二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与 x 轴 交点的个数与 b2-4ac 的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于 0.
24．某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元，试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 （元）与销售单价 （元）之间的 函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案 方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元； 方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 25．如图，某小区规划在一个长 16m，宽 9m 的矩形场地 ABCD 上，修建同样宽的小路， 使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为 112m2，求小路的宽．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据同弧所对的圆周角相等可得∠BAD C 35 ，再根据圆直径所对的圆周角是直 角，可得 ADB 90 ，再根据三角形内角和定理即可求出 ABD的度数．
【详解】
∵ C 35 ∴∠BAD C 35
∵AB 是圆 O 的直径
∴ ADB 90 ∴∠ABD 180 ∠ADB ∠BAD 55
2020-2021 苏州高新区实验初级中学（新实初中）九年级数学上期末一模试卷 及答案
一、选择题 1．已知 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图，则 y ax b 和 y c 的图象为（ ）
x
A．
B．
C．
D．
2．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．
a+b+c>0；③a+c>b；④2a+b=0；⑤ =b2-4ac<0 中，成立的式子有( )
A．②④⑤
B．②③⑤
C．①②④
D．①③④
12．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（ ）
A．36°
B．54°
C．72°
D．108°
二、填空题
13．如图，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，连结 EC．若
A． 6
B． 3
C． - 1 22
D． 1 2
6．一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价后每盒 16 元，设两次降价的百分率都为 x，则
x 满足等式( )
A．16(1+2x)=25 B．25(1-2x)=16 C．25(1-x)²=16 D．16(1+x)²=25
7．分别写有数字 0，﹣1，﹣2，1，3 的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一
本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.
6．C
解析：C 【解析】解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x），第二次降价后的价格为：25×（1﹣ x）2． ∵两次降价后的价格为 16 元，∴25（1﹣x）2=16．故选 C．
7．B