平面向量线性运算教案
平面向量的线性运算(一)
课题：平面向量的线性运算（一）一、教学目标：（1）掌握向量加、减法的运算法则，并理解其几何意义；（2）会用平行四边形法则和三角形法则作两个向量的和向量、差向量，培养数形结合的能力；（3）通过将向量运算与实数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
二、教学重点、难点：（1）重点：向量加法的运算（三角形法则、平行四边形法则）、向量的减法运算及其几何意义。
（2）难点：对向量加法法则和减法的定义的理解，特别是向量减法的定义的理解。
三、教学方法：问题式教学、小组合作、自主探究． 四、教学过程： （一）课题引入以前由于大陆和台湾没有直航，因此从上海到台北乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移的结果是什么呢？（二）新知探究阅读教材第80页并思考力F 对橡皮条产生的效果与力F 1 和 F 2共同作用产生的效果相同吗？合力F 与F 1 ,F 2 有怎样的关系呢？改变力F 1 和 F 2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F 与F 1 ,F 2之间的关系吗？ 1. 向量的加法：【问题1】向量加法的运算法则：【问题2】三角形法则和平行四边形法则的几何意义:台北上海香港【问题3】用三角形法则和平行四边形法则作图求和向量时应注意什么？【问题4】类比实数的加法交换律和结合律，思考对于任意向量 a ，b 的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探究？【问题5】若a 与b共线，如何作出 + a b ？2. 向量的减法：【问题1】相反向量的定义：【问题2】向量减法的定义及运算法则：【问题3】 向量减法的几何意义：【问题4】若a 与b共线，如何作出 - a b ？【问题5】 ||a 、 ||b 、 +||a b 、 -||a b 之间有何联系？【问题6】向量减法的三角形法则与向量加法的三角形法则有何异同？（三）典型例题O Aaaab b b例1．已知向量、，求作向量+. ba解:1.三角形法则（首尾相接，首指向尾为和）如图，在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。
本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。
二、知识点梳理1. 平面向量的定义和表示方法2. 平面向量的加法和减法运算3. 数乘运算及其性质4. 平面向量的数量积及其性质5. 平面向量的分解与合成三、教学步骤1. 概念讲解(1) 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。
2. 加法和减法运算(1) 加法运算- 向量的加法满足交换律和结合律。
- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。
(2) 减法运算- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。
3. 数乘运算及其性质(1) 数乘运算- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。
(2) 数乘运算的性质- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)4. 数量积及其性质(1) 数量积的定义- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。
- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。
(2) 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c5. 分解与合成(1) 向量的分解- 分解是将一个向量表示为多个已知向量的线性组合。
- 可以使用平行四边形法则或三角函数来进行向量的分解。
(2) 向量的合成- 合成是根据给定向量和它们的系数，通过线性组合得到一个新的向量。
四、案例演练1. 解决实际问题(1) 给定向量A(-3, 4)和向量B(2, 5)，求A + B和2A - B的结果。
山东乐陵一中2015高三上数学教案：平面向量的线性运算
【学习目标】: 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念、向量的几何表示.2. 掌握向量加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解向量线性运算的性质及其几何意义．【学习重点】:理解平面向量的概念，掌握向量加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.【难点】向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义.【自主学习】：1．向量的有关概念(1)向量：具有____和____的量叫做向量，表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度(或模)．(2)相等向量：长度_____且方向______的向量．(3)共线(平行)向量，如果向量的基线____________，则称这些向量共线或平行．(4)零向量：_________的向量，记作0，零向量的方向不确定，规定零向量与任意向量平行．(5)向量a 的单位向量：给定一个非零向量a ，_____________________叫做向量a 的单位向量，若a 的单位向量记作a 0，则有____________(6)相反向量：____________________的向量叫做a 的相反向量记作－a .2．向量的加法与减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则，多边形法则．运算性质：a ＋b ＝b ＋a ； (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(2)向量的减法①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以___________为始点，_______________为终点的向量． ②一个向量等于它的终点相对于点O 的位置向量减去它的始点相对于点O 的位置向量，或简记为“_______________”．3．实数与向量的积(1)实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：①长度：|λa |＝|λ||a |；②方向：当λ>0，a ≠0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0，a ≠0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0.(2)运算律：设λ、μ∈R ，则：①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb .4．平行向量基本定理如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .【自我检测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R)的充要条件( )(4)若O 是△ABC 的重心，则OA →＋OB →＋OC →＝0( )2．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |3.设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.【合作探究】【例1】 给出下列四个命题，其中假命题的个数为( )①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形；③若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练1】给出下列四个命题，其中假命题的个数为( )①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③设a 0是单位向量，若a ∥a 0，且|a |＝1，则a ＝a 0； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【变式训练】如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－ke 2，且A 、C 、F 三点共线，则k ＝__.知识总结方法总结【达标检测】1.设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0.A ．①②③B ．②④C ．②③④D ．②③4． 设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．5 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC . 若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．7．设点M 是线段BC 的中点，A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.8．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，求实数λ的值．。
高中数学_平面向量的线性运算教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的线性运算课型：习题课教学目标：1、知识目标：（1）理解并掌握平面向量的加法、减法运算法则及其几何意义（2）使学生掌握平面向量共线定理并能熟练应用。
2、能力目标：（1）了解平面向量的加法、减法运算法则等方面的应用。
（2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。
3、德育目标：通过采取小组合作学习，引导学生共同讨论，共同协作，使学生体会到合作精神的重要性，同时学会尊重他人。
教学重点：掌握平面向量线性运算并能熟练应用。
教学难点：掌握平面向量共线定理并能熟练应用教学方法：讲练结合教具：多媒体教学过程：一、组织教学二、温故知新（1）向量的有关概念（2）向量的线性运算（3）共线向量定理向量()0a a ≠r r r与b r 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_______.三、小试牛刀1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) （1）零向量与任意向量平行.（ ）( 2 )若//,//a b b c r r r r,则//a c r r ( )( 3 )向量AB u u u r与向量CD uuu r 是共线向量，则,,,A B C D 四点在一条直线上.( )( 4 )当两个非零向量 ,a b r r 共线时,一定有b a λ=r r,反之成立( )( 5 )在ABC ∆中,D 是BC 中点,则()12AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r.( )2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若,a b r r都是单位向量,则a b =r r ;③向量BA u u u r 与AB u u u r相等.则所有正确命题的序号是( )A. ①B. ③C. ①③D.①②3.设向量,a b r r不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数λ＝____________.4.已知平行四边形ABCD 的对角线AC u u u r 和BD u u u r相交于O ，且,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则= ;= ;(用,a b r r表示四、典例解析考点一 平面向量的线性运算 ［例1］（1）在ABC ∆中，Q P ，分别是BC AB ，的三等分点，且BC BQ AB AP 3131==，，若=a r ，=b r，则=( )A.1133a b +r rB.1133a b -+r rC.1133a b -r rD. 1133a b --r r（2）在ABC ∆中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ， 若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r则x = ；y = .规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 跟踪训练： 【训练1】(1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点, 点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点,那么等于（ ）A. 1123AB AD -u u u r u u u rB. 1142AB AD +u u ur u u u rOA BD CC.1132AB DA +u u u r u u u rD. 1223AB AD -u u ur u u u r (2) 在ABC ∆中，2,3AB BC == ,60ABC ∠=o,AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r则λμ+ 等于 ( )A. 1B.12 C. 13 D.23考点二 共线向量定理及其应用［例2］设两个非零向量a r 和b r不共线（1） 若(),28,3AB a b BC a b CD a b =+=+=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r,求证：,,A B D 三点共线；（2） 试确定实数k ，使ka b +r r 与a kb +r r共线.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量,a b r r 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使 120a b λλ+=r r r成立.【训练2】（1）已知向量3,53,33AB a b BC a b CD a b =+=+=-+u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则 （ ）A. 三点共线B. 三点共线C. 三点共线D. 三点共线 （2）已知,,A B C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线 l 上，则使等式20x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r成立的实数x 的取值集合为（ ）A. {}0B. φC. {}1-D.{}0,1-考点三 向量线性运算的综合应用 ［例3］（1）O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆ 的（ ）C B A ,,D B A ,,D C A ,,D C B,,A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心（2）设O 为ABC ∆内部的一点，且30OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r则AOC ∆的面积与BOD ∆ 的面积之比为规律方法（1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算【学习目标】1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量. 2．能结合图形进行向量的计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算． 4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算． 5．掌握向量共线的条件． 【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作,AB a BC b ==u u u r r u u u r r，再作向量AC u u u r ，则向量AC u u u r 叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,a b r r ，作,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD u u u r u u u r为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+u u u r r r．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a r ，我们规定00a a a +=+=r r r r r．要点诠释：两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1.向量求和的多边形法则的概念已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．112231n n n A A A A A A A A -=++⋅⋅⋅+u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r特别地，当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110n n n A A A A A A A A -++⋅⋅⋅++=u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u r r2．向量加法的运算律（1）交换律：a b b a +=+r r r r ；（2）结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r要点三：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到(1)当,a b r r 不共线时，||||||a b a b +<+r r u u r r ；(2)当,a b r r 同向且共线时，,,a b a b +r r r r 同向，则||||||a b a b +=+r r u u r r ；(3) 当,a b r r 反向且共线时，若||||a b >u u r r ，则a b a +r r r 与同向，||||||a b a b +=-r r u u r r ；若||||a b <u u r r，则a b b +r r r 与同向，||||||a b b a +=-r r u u r r ． 要点四：向量的减法 1．向量的减法（1）如果b x a +=r r r ，则向量x r 叫做a r 与b r 的差，记作a b -r r，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a r 方向相反且等长的向量叫做a r的相反向量．（2）向量a r 加上b r 的相反向量，叫做a r 与b r 的差，即()a b a b -=+-r r r r．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．要点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有()0a a +-=r r r ；若a r ，b r 互为相反向量，则,0a b a b =-+=r r r r r．（3）两个向量的差仍是一个向量． 2．向量减法的作图方法（1）已知向量a r ，b r ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则BA a b =-u u u r r r =OA OB -u u u r u u u r ,即向量BA u u u r等于终点向量（OA u u u r ）减去起点向量（OB uuu r）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a b -r r ．作,,OA a OB b AC b ===-u u u r r u u u r r u u u r r，则()OC a b =+-u u u r r r，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．要点五：数乘向量 1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：a λr(1)||||||a a λλ=r r；(2)①当0>λ时，a ρλ的方向与a ρ的方向相同；②当0<λ时.a ρλ的方向与a ρ的方向相反；③当0=λ时，0ρρ=a λ.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积a ρλ的几何意义是：a ρλ可以由a r同向或反向伸缩得到．当||1λ>时，表示向量a r的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上伸长为原来的||λ倍得到a ρλ；当0||1λ<<时，表示向量a r的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上缩短为原来的||λ倍得到a ρλ；当1λ=时，a ρλ=a r ；当1λ=-时，a ρλ=-a r ，与a r互为相反向量；当0λ=时，a ρλ=0r ．实数与向量的积得几何意义也是求作向量a ρλ的作法．3.向量数乘的运算律 设λμ、为实数结合律：()()a a λμλμ=r r；分配律：a a a ρρρμλμλ+=+)(，b a b a ρρρρλλλ+=+)(要点六：向量共线的条件 1．向量共线的条件（1）当向量0a =r r 时，a r 与任一向量b r共线．（2）当向量0a ≠r r 时，对于向量b r ．如果有一个实数λ，使b a λ=r r，那么由实数与向量的积的定义知br 与a r共线．反之，已知向量b r 与a r （0a ≠r r ）共线且向量b r 的长度是向量a r 的长度的λ倍，即||||b a λ=r r，那么当br 与a r 同向时，b a λ=r r ；当b r 与a r 反向时，b a λ=-r r．2．向量共线的判定定理a ρ是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b a λ=r r ，则向量b r 与非零向量a ρ共线．3．向量共线的性质定理若向量b r 与非零向量a ρ共线，则存在一个实数λ，使b a λ=r r ．要点诠释：（1）两个向量定理中向量a ρ均为非零向量，即两定理均不包括0r 与0r 共线的情况；（2）0a ≠r r 是必要条件，否则0a =r r ，0b ≠r r时，虽然b r 与a r 共线但不存在λ使b a λ=r r ； （3）有且只有一个实数λ，使b a λ=r r．（4）//(0)a b a b b λ⇔=≠r r r r r r是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 【典型例题】类型一：向量的加法运算例1．如图所示，已知三个向量r a 、b r 、r c ，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量r a +b r +rc ． 【解析】 利用三角形法则作r a +b r +r c ，如图1所示，作=u u u r r OA a ，以A 为起点，作=u u u r rAB b ，再以B 为起点，作=u u u r r BC c ，则=+=++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r OC OB BC OA AB BC a b c ．利用平行四边形法则作r a +b r +r c ，如图2所示，作=u u u r r OA a ，=u u u r r OB b ，=u u u r r OC c ，以OA u u u r、OB uuu r 为邻边作平行四边形OADB ，则=+u u u r r r OD a b ，再以OD u u u r 、OC u u u r为邻边作平行四边形ODEC ，则=+=++u u u r u u u r u u u r r r r OE OD OC a b c ．【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则． 举一反三：【变式1】已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF EF AB DC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r．【证明】如图所示，在四边形CDEF 中，0EF FC CD DE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r， 所以EF FC CD DE CF DC ED =---=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．在四边形ABFE 中，0EF FB BA AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，所以EF BF AB EA =++u u u r u u u r u u u r u u u r．所以()()()EF EF CF DC ED BF AB EA CF BF ED EA AB DC +=+++++=+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，所以0ED EA +=u u u r u u u r r ，0CF BF +=u u u r u u u r r ．所以EF EF AB DC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r．【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识． 类型二：向量的减法运算例2．（1）在平面内任画两个非零向量r a 、b r ，求作r a －b r；（2）如图，已知不共线的两个非零向量r a 、b r ，求作向量r a ―b r ，b r ―r a ．【解析】 （1）①当r a 、b r 共线时，若r a 、b r 同向，如下图甲．任取一点A ，作=u u u r r AB a ，=-u u u r rBC b ，则=-u u u r r r AC a b ．若r a 、b r 反向，如上图乙．任取一点，作=u u u r r AB a ，=-u u u r r BC b ，则()=-=+-u u u r r r r r AC a b a b ．②当r a 、b r 不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O ，作=u u u r r OA a ，=u u u r r OB b ，则． ()=+=+-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r BA BO OA OA OB OA OB a b ．（2）作=u u u r r OA a ，=u u u r r OB b ，则=-u u u r r r BA a b ，=-u u u r r rAB b a ，如图（右）．【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键． （2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点．举一反三：【变式1】O 为正六边形ABCDEF 的中心，设OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ，则DE u u u r等于（ ）． （Ａ）a b +r r （Ｂ）a b -r r （Ｃ）b a -r r （Ｄ）a b --r r【答案】Ｂ【高清课堂：向量的线性运算 395568 例2】【变式2】化简 ()()AC DB AB DC +-+u u u r u u u r u u u r u u u r【解析】原式=()()0AC AB DB DC BC CB -+-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r．类型三：与向量的模有关的问题例3．（1）已知r a 、b r 、r c 的模分别为1、2、3，求|r a +b r +rc |的最大值；（2）如图所示，已知矩形ABCD 中，||43AD =u u u r，设=u u u r r AB a ，=u u u r r BC b ，=u u u r r BD c ，试求|r a +b r +r c |的大小．【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度．【解析】（1）∵|r a +b r +r c |≤|r a |+|b r |+|r c |=1+2+3=6， ∴|r a +b r +rc |的最大值为6．（2）过点D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于E ，如图所示． ∵DE ∥AC ，AD ∥BE ，∴四边形ADEC 为平行四边形，∴DE AC =u u u r u u u r ，CE AD =u u u r u u u r ，于是2++=++=+=+==+=r r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r uu u r u u u r a b c AB BC BD AC BD DE BD BE AD AD AD ， ∴||2||83++==r r r u u u ra b c AD ．【总结升华】 求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形——借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）． 举一反三：【变式1】已知非零向量r a ，b r 满足||71=+r a ，||71=-rb ，且|r a －b r |=4，求|r a +b r |的值．【解析】 如图，=u u u r r OA a ，=u u u r r OB b ，则||=-u u u r r rBA a b ． 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则||||=+u u u r r rOC a b ．由于222(71)(71)4++-=．故222||||||OA OB BA +=u u u r u u u r u u u r ，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以Y OACB 是矩形．根据矩形的对角线相等有||||4OC BA ==u u u r u u u r，即|r a +b r |=4．类型四：向量的数乘运算 例4．（2016 安徽合肥月考）计算下列各式：（1）3(2)2(43)a b a b ---r r r r ；（2）113(43)(3)322a b a b b +--+rr r r r ；（3）2(34)3(23)a b c a b c -+-+-r r r r r r．【答案】（1）23a b -+r r ；（2）136a b -+rr ；（3）1111b c -+r r ．【解析】（1）3(2)2(43)638623a b a b a b a b a b ---=--+=-+r r r r r r r r r r；（2）11343131(43)(3)332232226a b a b b a b a b b a b +--+=+-++=-+r r r r r r r r r r rr ；（3）2(34)3(23)6826391111a b c a b c a b c a b c b c -+-+-=-+--+=-+r r r r r r r r r r r r r r．【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，λ＞0时，λr a 与ra 同向；λ＜0时，λr a 与r a 反向；λ=0时，λr a =0；故λr a 与ra 一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．举一反三：【变式1】计算：（1）6(3r a ―2r b )+9(―2r a +rb )；（2）127137(32)236276⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦rr r r r r r a b a b a b a ；（3）6(r a ―r b +r c )―4(r a ―2r b +r c )―2(―2r a +r c )． 【解析】 （1）原式=18r a ―12r b ―18r a +9r b =―3rb ．（2）127137(32)236276⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦rr r r r r r a b a b a b a12711332236227⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r rr r r r r a a b b a a b 17732367⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r a b a b 717106262a b a b =+--=r r r r r ． （3）原式=6r a ―6r b +6r c ―4r a +8r b ―4r c +4r a ―2rc =(6r a ―4r a +4r a )+(8r b ―6r b )+(6r c ―4r c ―2r c ) =6r a +2r b ．例5.（2015春 山西运城期中）在边长为1的正△ABC 中，2BC BD =u u u r u u u r ，3AC EC =u u u r u u u r，AD 与BE 相交于点F ．（1）求AD BE ⋅u u u r u u u r的值；（2）若AF FD λ=u u u r u u u r，求实数λ的值．【思路点拨】（1）通过题意可得AD ⊥BC ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，利用23AE AC =u u u r u u u r，代入计算即可；（2）通过计算可得22(1)2(1)BF BA AF AB AC λλλλ+=+=-+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，记BF BE μ=u u u r u u u r ，通过计算可得2()3BF AB AE AB AC μμμ=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，根据平面向量的基本定量计算即得结论．【解析】（1）由题意，D 为BC 的中点， 而△ABC 为正三角形，∴AD ⊥BC ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，又3AC EC =u u u r u u u r ，则1()()2AD BE AB AC AE AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12()()23a b b a =+⋅-r r r r 22111326b a a b =--⋅r r r r 14=-；（2）根据题意：1BF BA AF AB AD λλ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur()2(1)AB AB AC λλ=-+++u u u r u u u r u u u r 22(1)2(1)AB AC λλλλ+=-+++u u u r u u u r 记BF BE μ=u u u r u u u r ，则2()3BF AB AE AB AC μμμ=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，根据平面向量的基本定理可得：22(1)22(1)3λμλλμλ+⎧-=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：λ=4．【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【高清课堂：向量的线性运算 395568 例6】【变式1】如图，已知ABC ∆三边中点为D E F 、、，求证：0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r.【解析】AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r =3()2AG BG CG ++u u u r u u u r u u u r=3()2GA GB CG ⎡⎤-++⎣⎦u u u r u u u r u u u r =322GF CG ⎡⎤-+⎣⎦u u u r u u u r =302⋅r =0r【变式2】如图，四边形OADB 是以向量=u u u r r OA a ，=u u u r rOB b 为邻边的平行四边形，又13=u u u u r u u u r BM BC ，13=u u u r u u u rCN CD ，试用向量r a 、r b 表示OM u u u u r ，ON u u u r ，MN u u u u r ．【解析】 ∵1111()()3666===-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r rBM BC BA OA OB a b ，∴11156666=+=+-=+u u u u r u u u r u u u u r r r r r r OM OB BM b a b a b ，∵1136CN CD OD ==u u u r u u u r u u u r ，∴11222()()26333=+=+==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ON OC CN OD OD OD OA OB a b ，21511()36626=-=+--=-u u u u r u u u r u u u u r r r r r r r MN ON OM a b a b a b ．类型五：共线向量与三点共线问题例6.设两非零向量1e u r 和2e u u r不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r求证D B A ,,三点共线.(2)试确定实数k ，使12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u u r共线.【思路点拨】 要证明D B A ,,三点共线，须证存在λ使12()BD e e λ=+u u u r u r u u r 即可.而若12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u u r共线，则一定存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+u r u u r u r u u r.【解析】(1)证明 12121212,283()5()5,AB e e BD BC CD e e e e e e AB =+=+=++-=+=u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r u u u rQ,AB BD ∴u u u r u u u r共线，又有公共点B ， ∴D B A ,,三点共线.(2)解 ∵12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u u r共线，∴存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+u r u u r u r u u r，则12()(1),k e k e λλ-=-u r u u r 由于1e u r 和2e u u r不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 则1k =±.【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即,a b r r共线⇔存在λ使b a λ=r r (正用与逆用)举一反三：【变式1】（2015秋 安徽滁州月考）（1）设两个非零向量1e u r ，2e u u r 不共线，如果1223AB e e =+u u u r u r u u r，12623BC e e =+u u u r u r u u r ，1248CD e e =-u u u r u r u u r，求证：A ，B ，D 三点共线．（2）设1e u r ，2e u u r 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+u u u r u r u u r ，123CB e e =+u u u r u r u u r ，122CD e e =-u u u r u r u u r，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． 【答案】（1）略；（2）－8【解析】（1）证明：∵121210155(23)5BD BC CD e e e e AB =+=+=+=u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u u u r ，∴BD u u u r 与AB u u u r共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线；（2）121212(2)(3)4BD CD CB e e e e e e =-=--+=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r ，∵A 、B 、D 三点共线，∴AB u u u r 与BD u u u r 共线，则AB BD λ=u u u r u u u r ，即12122(4)e ke e e λ+=-u r u u r u r u u r，所以24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得k =－8．类型六：向量的综合应用例7．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，证明O 是△ABC的重心．【思路点拨】 要证明O 是△ABC 的重心，即证O 是△ABC 各边中线的交点，可联系重心的性质证之．【证明】 ∵0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，∴()OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r，即OB OC +u u u r u u u r 是与OA u u u r 方向相反且长度相等的向量． 如图所示，以OB 、OC 为相邻两边作Y OBDC ，则OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴OD OA =-u u u r u u u r ．在Y OBDC 中，设BC 与OD 相交于E ，则BE EC =u u u r u u u r ，OE ED =u u u r u u u r， ∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =u u u r u u u r．根据平面几何知识，知O 是△ABC 的重心．【总结升华】若AB CD λ=u u u r u u u r且直线AB 与直线CD 不重合，则AB ∥CD ．若AB CD =u u u r u u u r且直线AB 与直线CD 不重合，则以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．举一反三：【变式1】如图，已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ． 证明：取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求，如图．∵E 是AD 的中点，∴12AE AD =u u u r u u u r ． ∵F 是BC 的中点，∴1()2AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 又∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，∴1()2AF AB AD DC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 11()22AB DC AD =++u u u r u u u r u u u r ． ∴1111()()2222EF AF AE AB DC AD AD AB DC =-=++-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到． 例8． 2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12 km / h ，水流的速度是6 km / h ．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎样？【解析】如图（1）所示，AB u u u r 为汽艇在静水中的速度，AD u u u r 为水流速度，由平行四边形法则可知，小汽艇在实际速度为AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，在Rt △ADC 中，||6AD =u u u r ，||||12DC AB ==u u u r u u u r ，||6513.4AC =≈，∠CAD ≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4 km / h ，方向与水流速度的夹角约为63°43′．如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为AC u u u r ，则AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ．在Rt △ABC 中，||12AB =u u u r ，||6BC =u u u r ，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．【总结升华】用向量加法解决简单的实际问题其步骤为：先用向量表示相关物理量（如速度等），再进行向量运算，然后归结到实际问题去解决．举一反三：【变式1】在湘江的某渡口处，江水以12.5 km / h 的速度向北流去，渡船的速度是25 km / h ，现渡船要垂直地渡过湘江，问：其航向应该怎样确定？【解析】设AB u u u r 表示水流速度，AD u u u r 表示船的速度，AC u u u r 表示渡船实际垂直过江的速度，现以AB 为一边，以AC 为对角线作Y ABCD ，则AD 就是船的速度（如图）．在Rt △ACD 中，∠ACD=90°，||||12.5DC AB ==u u u r u u u r ，||25AD =u u u r ，所以∠CAD=30°．故其航向应该调整为东偏南30°．。
平面向量的概念及线性运算(基础)-教案
学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第07讲---平面向量的概念及线性运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解向量、向量的相等、共线向量等概念；②掌握向量、向量的相等、共线向量等概念；③熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．2、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．知识梳理aAB图7－2、平行四边形法则：如图7－4所示，这说明，在平行四边形ABCD aa起点相同的两个向量a、b，其差a－b仍然是一个向量，的终点，终点是被减向量a的终点．()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ．考点一：平面向量的基本概念 例1、给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误的命题有________．(填序号)【解析】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．故答案为①②③⑥；例2、在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点．（1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量．【解析】要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解： 由平行四边形的性质，得（1）CB =DA ；（2）BA =DC -,CD DC =-；（3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 考点二：平面向量的线性表示例1、一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．典例分析ADCB图7－5O【解析】如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．例2、 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小． 【解析】利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以 12cos k F =θ．例3、已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．【解析】如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ．例4、在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．求出向量AC 与【解析】因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别BD .AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ，BbOaAba（1）（2）图7－14ABD CF 1F 2kθ 图7－11图7－16因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ． 例5、平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.【解析】BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD→＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b . 考点三：共线向量例1、设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解析】(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴ AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴ 存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a 、b 是两不共线的非零向量， ∴ k －λ＝λk －1＝0. ∴ k 2－1＝0.∴ k ＝±1.例2、已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．【解析】由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t(a ＋μb )＝t a＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.考点四：向量共线的应用例1、如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________． 【解析】如图所示，设M 是AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 例2、如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．【解析】∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1．在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤D ．①③⑤【解析】由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D. 2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( )A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM →【解析】原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →；故选C 。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算教学案数学教学案
2.2 平面向量的线性运算第1课时向量加法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C 点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同．②力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．2．归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝_.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a．平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线_就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[问题思考](1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．(3)式子＝0正确吗？[课前反思](1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律：．[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则．[思考2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示， (平行四边形法则)，(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.(2)如图ⓑ，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝a＋b.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．练一练1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．作＝a＋b＋c.[思考] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．讲一讲2．化简下列各式：解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB 的中点，化简下列三式：讲一讲3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[尝试解答] 如图所示，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有＝800＋800＝1 600 (km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 3 km处．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3．求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1 求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作题组2 向量加法运算4．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝aA．2 5 B．45C．12 D．66．根据图示填空．解析：由三角形法则知7．已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝c ，＝b ，则|a ＋b ＋c |为________．解析：|a ＋b ＋c |＝＝＝2 2.答案：22 8．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算： 解：(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以题组3 向量加法的应用 9．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析：如图所示，设＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则||＝8 2 km ，∠BAC ＝45°.答案：8 2 km 北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB ，就是雨滴下落的实际速度． 在Rt △OAC 中，||＝4，||＝433，∴∠AOC ＝30°. 故雨滴着地时的速度大小是833m/s ，方向与垂直方向成30°角向东.[能力提升综合练]1．设a ＝，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤解析：选C a ＝＝0，∴①③⑤是正确的．2．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，3．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则＝( )4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P P 在△ABC 的外部解析：选D ，根据平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外．答案：6．若P 为△ABC 的外心，且，则∠ACB ＝________． 解析：∵，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心，因此∠ACB ＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且||＝＝0，cos ∠DAB ＝12.求 又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， ∴∠ DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．8．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt△ACD中，＝|v水|＝10 m/min，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．第2课时向量减法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a＋(－a)＝0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b 吗？提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．2．归纳总结，核心必记(1)相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．①规定：零向量的相反向量仍是零向量；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．(2)向量的减法①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则_＝a －b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[问题思考](1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？提示：①长度相等；②方向相反．(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．[课前反思](1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：．讲一讲(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．练一练1．化简下列各式：[思考1] 已知两个非零向量a，b，如何作a－b?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．[思考2] a－b的几何意义是什么？名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．讲一讲2．(1)四边形ABCD中，若( )A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[尝试解答] (1)＝a＋c－b.(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.答案：(1)A求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．练一练2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.如图所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.讲一讲3．如图，解答下列各题：利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．练一练—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲1；(2)向量减法及其几何意义，见讲2；(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．课下能力提升(十五)[学业水平达标练]题组1 向量的减法运算1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )A．①② B．①③C．①③④ D．②③题组2 向量减法及其几何意义4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )解析：选B 由减法法则知B正确．A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝( )7．已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模．题组3 利用已知向量表示未知向量8．如图，向量，则向量可以表示为( ) A．a＋b－c B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c解析：选C ＝b－a＋c.故选C.9．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝a－b＋c.10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．解析：＝b－c.答案：b－c11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量[能力提升综合练]1．有下列不等式或等式：①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，一定不成立的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b ＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A．8 B．4 C．2 D．14．平面上有三点A，B，C，设若m，n 的长度恰好相等，则有( )A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C 由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．答案：6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|＝2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i＝1，2，3，则b1－b2＋b3＝________．解析：将a i顺时针旋转30°后得a i′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵b i与a i′同向，且|b i|＝2|a i|，∴b1－b2＋b3＝0.答案：07．设O是△ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．证明如下：∵，∴，∴，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．第3课时向量数乘运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 87～P 90的内容，回答下列问题．(1)已知非零向量a ，根据向量的加法，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你认为它们与a 有什么关系？提示：a ＋a ＋a ＝3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相同；(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相反．(2)λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向、长度之间有什么关系？ 提示：当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反，且λa 的长度是a 长度的|λ|倍．(3)若a ＝λb ，则a 与b 共线吗？提示：共线．2．归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反Ｗ. 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0．(2)向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．(3)共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．[问题思考](1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．[课前反思](1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：．[思考] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．讲一讲1．化简下列各式：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[尝试解答] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．练一练1．设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j . 讲一讲2.已知在▱ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若，试用e 1，e 2表示[尝试解答] ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴MN 綊12BD . 用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．练一练2.如图所示，四边形OADB 是以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示 [思考1] 如何证明向量a 与b 共线？名师指津：要证向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可．[思考2] 如何证明A ，B ，C 三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3．(1)已知e 1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x＋y的值．∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．练一练3．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N 三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴M，A，N三点共线．—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作▱ABCD，且则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1 向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．题组2 用已知向量表示未知向量A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p＝－12p ＋32q .4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且则t 的值为( )A.13B.23C.12D.535．如图所示，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则＝________．(用a ，b 表示)＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a ) 6．如图所示，已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别为K 、L，且＝e 1，＝e 2，试用e 1，e 2表示⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2. ②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2， 解得x ＝23(2e 2－e 1)，即＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1， 同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)， 即＝－43e 1＋23e 2.题组3 共线向量定理的应用7．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2； ④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－12b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．8．已知向量a ，b ，且＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：选A＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2，所以A ，B ，D 三点共线．9．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________．解析：由题设知k 22＝1－52k 3， 所以3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13. 答案：－2或1310．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，＝a ，＝b .(1)用a ，b 分别表示向量(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[能力提升综合练]2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a ，b 共线的是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④已知梯形ABCD ，其中A ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：选A 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；λa －μb ＝0，λa ＝μb ，故②可以；x ＝y ＝0，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析：选B 如图，在△ABC 中，以BM ，CM 为邻边作平行四边形MBDC ，依据平行四边形法则可得两向量有公共点M ，则A ，M ，D 三点共线，设BC ∩MD ＝E ，结合MD 是平行四边形MBDC 的对角线可知，AE 是△ABC 的中线，同理可证BM ，CM 也在△ABC 的中线上，即M 是△ABC 的重心．以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABFC ，依据向量加法的平行四边形法则可得4．如图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．③④到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，34＋13＞34＋14＝1，12＋13＝56＜1，34＋15＝1920＜1，故选A. 答案：236．已知两个不共线向量e 1，e 2，且＝e 1＋λe 2，＝3e 1＋4e 2，＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．又＝e 1＋λe 2，且A ，B ，D 三点共线，所以存在实数μ，即e 1＋λe 2＝μ(5e 1－3e 2)，又e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧5μ＝1，－3μ＝λ，则λ＝－35. 答案：－357．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设＝a ，＝b ，试用a ，b 分别表示解：∵ABCD 是平行四边形，BF ＝MC ＝14BC ， ∴FM ＝BC －BF －MC ＝12BC . ∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH . ∴FM 綊AH .∴四边形AHMF 也是平行四边形．8．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点， (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．。
平面向量的线性运算教学设计
平面向量的线性运算【教学目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．【教学重点】1．了解向量的实际背景；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．理解向量的几何表示．【教学难点】1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【高考动向】1．本节课是高考考查的重点和热点；2．考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角函数、解析几何交汇命题时，则出现在解答题中，难度一般不大，属中低档题．【教学过程】一、近三年平面向量真题展示（5.3复习资料P82，略）二、知识讲解1. 平面向量的两种表示：①向量的几何表示：常用表示；②向量的字母表示：（1）印刷体；（2）手写体．2. 平面向量的概念：⃗⃗⃗⃗⃗ 的也就是向量的长度（或模）．①向量的长度（模）：向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ |或|a⃗|．记作：|AB②两个特殊向量：（1）零向量：长度（模）为的向量，记作：0⃗；（2）单位向量：长度（模）为个单位的向量；（3）平行向量（又叫共线向量）：方向或的非零向量，记作：a⃗//b⃗ //c⃗；（4）相等向量：长度且方向的向量，记作：a⃗=b⃗ =c⃗．规定：0⃗与任一向量平行．3. 【露他一小手儿】 例1. 下列说法中：① 相等向量一定是平行向量； ② 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 也是单位向量； ③ 向量的模是一个非负实数； ④ 共线向量一定在同一直线上． 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 变1. 下列结论中，正确的是（ ） A ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的长度相等，且方向相同或相反B ． 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ //b ⃗D ． 由于零向量的方向不定，故零向量不能与任一向量平行 变2. 下列说法正确的是（ ）A ．若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B ．向量a⃗ 与b ⃗ 平行，则a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 C ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 D ．若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 变3. 下列说法正确的是（ ） A ．平行向量不一定是共线向量B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C ．共线向量都相等D ．模为0的向量与任意一个向量平行 4.向量的两个法则 ①向量加法三角形法则口诀：尾首相连，由起点指向终点.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =②向量加法平行四边形法则 口诀：起点相同，对角为和.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ③向量减法三角形法则口诀：共起点，连终点，方向指向被减向量.OA⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A5.重要结论在∆ABC 中，若D 为BC 边的终点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6. 【露他一小手儿】例2.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A ．34AB ⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗ C ．14AB ⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗ D ．14AB ⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗ 变1. 在∆ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A ．23b ⃗ +13c B ．53b ⃗ −23c C ．23b ⃗ −13c D ．13b ⃗ +23c 7.向量共线定理向量a ⃗ （a ⃗ ≠0⃗ ）与b ⃗ 共线，当且仅当有唯一实数λ，使 ．即a ⃗ 与b ⃗ 共线⇔ （a ⃗ ≠0⃗ ）．8. 【露他一小手儿】例3.设a ⃗ 与b ⃗ 是两个不共线，且a ⃗ +λb ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 共线，则λ= ． 变1. 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线向量，且3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与m e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 共线，则m = ． 9. 平面向量基本定理如果e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量a⃗ ，有且只有一对实数λ1，λ2使 ．其中，不共线的两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 叫做一组 ．10. 【露他一小手儿】例4.已知向量e 1⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，e 2⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，λ∈R ，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ ，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则下列关系一定成立的是( )A ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗B ．e 2⃗⃗⃗ =0⃗C ．λ=0D ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ 或λ=0变1.已知向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 不共线，实数x ，y 满足（2x −3 y ）e 1⃗⃗⃗ +(3x −4y )e 2⃗⃗⃗ =6e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，则x = ，y= ．ＡＢＣＤＡＢＣＤ。
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向量的加法；向量的减法；向量的数乘.教学目标通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。
能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。
通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
〔 _____________ !教学难点教学过程」、导入高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不大，属于简单题二、知识讲解I 考）向量加量加三法形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。
运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。
0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。
知识点 向量的加减法的几何意义 。
【知识导图】（2）平行四边形法则以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。
于是-（-a）=a。
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。
TH 4 4 H ^4^4所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a • b =0。
考点3实数与向量的积的运算律设■, ^为实数，那么⑴，（七）=（」i）a；（2）（I 丄）a 虫；」a ；（3）（a b）八a ■ b.■.斗、- ,4 _斗屮.4特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。
■H 屮 4 .向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数•，使■I Jb —■ a。
二、例题精析类型一平面向量的坐标表示例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和uuiv uuvAB与AD的坐标.【规范解答】由题知B、D分别是30 ° 120角的终边与单位圆的交点.设B(x i, y”，D(X2, y2).由三角函数的定义，得3 1 3 1x i= cos 30 =专，y i = sin 30=㊁，…B占,2 )■ X2= cos 120 角一2, y2= sin 120 =当，二AB = (1,5), CA = (4, —1),BC = (一5,—••• 3 AB + 2cA = 3(1,5) + 2(4,—1)=(3 + 8,15—2)=(11,13).BC —2 AB = (—5, —4) —2(1,5)=(—5 —2,—4—10)=(—7，—14).(2) a+ b= (—1,2) + (3, —5) = (2, —3),a—b= (—1,2)—(3 , —5) = (—4,7),3a = 3( —1,2)= (—3,6),【总结与反思】(1) 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.(2) 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.类型二平面向量坐标运算例题1(1)已知三点A(2, —1), B(3,4), C(—2,0)，则向量3 AB + 2CA = ,BC2 AB⑵已知向量a, b 的坐标分别是(一1,2), (3, - 5)，求a+ b, a—b,3a,2a+ 3b 的坐标.【规范解答】(1) •/ A(2, —1), B(3,4), C(—2,0),4).2a + 3b = 2(- 1,2) + 3(3, - 5) =(-2,4) + (9, - 15) =(7，- 11)•在进行平面向量的坐标运算时， 应先将平面向量用坐标的形式表示出来， 再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积).类型三由向量相等求坐标例题1(1)若 a = (- 1,2), b = (1, - 1), c = (3 , - 2)，且 c = p a + q b ，贝V p = ____________ , q【规范解答】(1) v a = (- 1,2), b = (1,- 1), c = (3, - 2),••• pa + qb = p(- 1,2) + q(1, - 1) = (- p + q,2p - q).v c = pa + qb ,-p+ q = 3,解得 2p - q =- 2 ,故所求p , q 的值分别为1,4.(2)由 A(-2,4) , B(3 , - 1) , C(-3, - 4), 可得 CA = (- 2,4) - (-3, - 4) = (1,8),CB = (3 , - 1) - (- 3, - 4) = (6,3), 所以 CM = 3 cA = 3(1,8) = (3,24), CN = 2 CB = 2(6,3) = (12,6).设 M(X 1, y 1), N(x 2, y 2),则 CM = (X 1 + 3, y r + 4) = (3,24), X 1= 0, y 1= 20;CN = (X 2 + 3, y 2+ 4) = (12,6), X 2= 9 , y 2= 2 ,所以 M(0,20) , N(9,2), MN = (9,2) -(0,20) = (9 , - 18).【总结与反思】(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相 等向量.⑵已知A( - 2,4), B(3, - 1), C(-3, - 4)，且 CM =3 CA , ，求M ,C|= 4.CN =2 CB及(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值.四、课堂运用基础1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，| OA |= 4逅,/ xOA = 60 ° ° (1)求向量OA 的坐标；⑵若B( .3, - 1)，求BA的坐标.2.若向量BA = (2,3), CA = (4,7),则B C =( )A • (-2, - 4)B • (3,4)C. (6,10) D . (-6, - 10)3.已知a = AB , B 点坐标为(1,0), b = (- 3,4), c= (—1,1),且a = 3b —2c,求点A 的坐标.答案与解析1. 【答案】同解析【解析】设点A(x, y),贝U x= 4 3cos 60 = 2 3,y= 4 3s in 60 =6, 即卩A(2 3, 6), OA = (2 . 3, 6).(2) BA=(2 3 6)- ( .3, - 1) = ( .3, 7).2. 【答案】【解缶=BA - M = (2,3) - (4,7) = (- 2,- 4).3. 【答案】(8, - 10)•- b= (-3,4), c= (- 1,1),••• 3b- 2c= 3( —3,4) —2(- 1,1) = (—9,12) —(—2,2) = (—7,10),即 a = (-7,10) = AB .又B(1,0)，设 A 点坐标为(x, y),贝U AB = (1 —x,0-y)= (—7,10),1 —x=- 7, ? ]x= 8,'y=- 10,0-y= 10即A点坐标为(8,- 10).巩固已知AB = ( - 2,4)，则下面说法正确的是()A . A点的坐标是(一2,4)B. B点的坐标是(一2,4)C. 当B是原点时，A点的坐标是(一2,4)D .当A是原点时，B点的坐标是(一2,4)2.设平面向量a = (3,5), b = (- 2,1),贝U a-2b =( )C . (2,1)3.若 A(2, - 1), B(4,2), C(1,5)，则答案与解析 1•【答案】D••• a -2b = (3,5) - 2( — 2,1) = (3,5) - (-4,2)= (7,3).3.【答案】(一4,9)【解析】••• A(2, - 1), B(4,2), C(1,5),=(2,3) + 2(- 3,3) = (2,3) + (-6,6)= (-4,9). 拔高 IT T T1. 已知点A(2,3), B(5,4), C(7,10)，若AP = AB +入AC (入€ R)，试求 入为何值时,(1)点P 在第一、三象限角平分线上? (2)点P 在第三象限内？ 答案与解析 1. 【答案】同解析【解析】设点 P 的坐标为(x , y ), 则 AP = (x , y)- (2,3) = (x - 2, y -3),AB + 入AC = (5 - 2,4 - 3) + 入(7,10) - (2,3)] = (3 + 5 人 1 + 7 为. T AP = AB + X A C (入€ R),• • (x — 2, y — 3) = (3 + 5 入 1 + 7 才,x — 2= 3+ 5 入 y - 3= 1 + 7 入 x = 5+ 5 人• \• P(5 + 5 人 4+ 7»ly =4+ 7 人(1)若点P 在第一、三象限角平分线上，1D . (7,2)A B + 2 "B C =【解析】由任一向量的坐标的定义可知•当2•【答案】BA 点是原点时，B 点的坐标是(一 2,4).AB = (2,3),=(-3,3).AB + 2 BC^(2)若点P 在第三象限内，则5 + 5 入 <0, 4 + 7 入则5 + 5入=4+ 7入，故入= 2.解得f 4入 ＜—7,故入＜—1,即只要 入＜—1，点P 在第三象限内.课程小结堂小结共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量； （3）同向且模相等； （4）同向且模不等； （5）反向且模相等； （6）反向且模不等。
4数与向量的积仍是一个向量， 向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由I ' ||a|III确定。
它的几何意义是把向量 a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小。
向量的平行与直线的 平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点； 而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。
向量的加、减、数乘运算统称为向4 4量的线性运算。